Dirigidas 2013-I

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Colección de problemas en cálculo integral

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Dirigidas 2013-I

  1. 1. C´alculo Integral Problemas 2 4 6 8 −2 −4 2 4 6−2−4−6 A B n = 10 f(x) = 0.4x2 x y Alvaro M. Naupay Gusukuma Universidad Nacional de Ingenier´ıa 2013-I
  2. 2. ´Indice general 1. PR´ACTICA DIRIGIDA № 1 1 1.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. PR´ACTICA DIRIGIDA № 2 4 2.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. PR´ACTICA DIRIGIDA № 3 7 3.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4. PR´ACTICA DIRIGIDA № 4 10 4.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5. PR´ACTICA DIRIGIDA № 5 12 5.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6. PR´ACTICA DIRIGIDA № 6 13 6.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7. PR´ACTICA DIRIGIDA № 9 15 7.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 7.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8. PR´ACTICA DIRIGIDA № 11 18 8.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9. PR´ACTICA DIRIGIDA № 12 20 9.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 10.Primera Pr´actica Calificada 22 10.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 11.Segunda Pr´actica Calificada 24 11.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
  3. 3. 12.Tercera Pr´actica Calificada 26 12.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 13.Examen Parcial 27 13.1. 2015-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 14.Cuarta Pr´actica Calificada 28 14.1. 2013-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 15.Quinta Pr´actica Calificada 29 15.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 16.Sexta Pr´actica Calificada 31 16.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 17.Examen Final de C´alculo Integral 32 17.1. 2009-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 17.2. 2013-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 18.Examen Sustitutorio 34 18.1. 2012-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Bibliograf´ıa 35 ii
  4. 4. 1 PR´ACTICA DIRIGIDA № 1 1.1. Problemas 1. Enuncie las definiciones de antiderivada y de integral definida. 2. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones con adecuada jus- tificaci´on: a) Si F es una antiderivada de f en R, entonces F(x + 1) es una antiderivada de f(x + 1) en R. b) Si F es una antiderivada de f en R, entonces F(3x) es un antiderivada de f(3x) en R. c) Sean F una antiderivada de f en I y g una funci´on derivable tal que F ◦ g y f ◦ g est´an definidas en I. Luego, F ◦ g es una antiderivada de (f ◦ g). d) Sean F un antiderivada de f en I y g una funci´on derivable tal que F ◦ g y f ◦ g est´an definidas en I. Luego, F ◦ g es una antiderivada de (f ◦ g) · g′ . e) Si F es una antiderivada de g ·f′ en un intervalo I, entonces f ·g −F es una antiderivada de f · g′ . 3. Sea F una antiderivada de f y supongamos que f tiene inversa, denotada por f−1 , adem´as f y su inversa son derivables. Pruebe que la funci´on definida por: G(x) = xf−1 (x) − F(f−1 (x)) es una antiderivada de f−1 . Soluci´on. 4. Sea f(x) = |x| y F definida por: F(x) =    − 1 2 x2 , si x < 0 1 2 x2 , si x ≥ 0 . Demuestre que F es una antiderivada de f en ] − ∞, ∞[. 5. Calcule (x3 + 1)2 x2 dx mediante dos m´etodos: a) Hacer la sustituci´on u = x3 + 1 b) Desarrollar primero (x3 + 1)2 compare resultados y explique.
  5. 5. 6. Sean f y g definidas en ]−∞, ∞[, tales que f es una antiderivada para g y este ´ultimo es una antiderivada de −f. Adem´as que f(0) = 0, g(0) = 1. Demuestre que [f(x)]2 + [g(x)]2 = 1 7. Sea f(x) =    −1 , si x < 0 0 , si x = 0 1 , si x > 0 . F(x) = |x|. Demuestre que F′ (x) = f(x) si x = 0. ¿Es F una antiderivada de f en ]−∞, ∞[?. Explique. 8. Sea U(x) = 0 , si x < 0 1 , si x ≥ 0 . Demuestre que U no tiene antiderivada en −∞, ∞ . 9. Sean g y f dos funciones definidas por: g(x) =    x2 sen 1 x , si x = 0 0 , si x = 0 . f(x) =    2x sen 1 x − cos 1 x , si x = 0 0 , si x = 0 . a) Pruebe que g es una antiderivada de f. b) Pruebe que f no es continua. 10. Halle una funci´on y = f(x) tal que f′′ (x) = sen( √ x) √ x para x ∈ ]0, +∞[ y la recta tangente a la gr´afica de f en el punto A(π2 ; 0) tiene por ecuaci´on πy − x + π2 = 0. 11. Determine cada una de las siguiente integrales a) sen4 (2x) cos3 (2x) dx b) tan5 (x) sec(x) dx c) sec x 1 − sen x dx d) (4 − x2 )5/2 x6 dx e) x2 √ x2 + 2x + 5 dx f) x5 √ x2 − 4 dx 12. Demuestre cada una de las siguientes relaciones: a) (ln x)n dx = x(ln x)n − n (ln x)n−1 dx, n ∈ N. b) xn eax dx = xn eax a − n a xn−1 eax dx, a ∈ R, n ∈ N. c) (csc x)n dx = − 1 n − 1 cot x(csc x)n−2 + n − 2 n − 1 (csc x)n−2 dx, n ∈ N, n > 1. 1.2. Soluciones 1. 2. 2
  6. 6. 3. Como F es antiderivada de f tenemos que dF(x) dx = f(x) haciendo el siguiente cambio de variable x = f−1 (y) en la ecuaci´on anterior tenemos dF(f−1 (y)) d[f−1(y)] = f(f−1 (y)) = y luego reescribiendo y por x tenemos dF(f−1 (x)) d[f−1(x)] = x teniendo esto ´ultimo en mente y usando la regla de la cadena hallemos G′ (x) como sigue dG(x) dx = f−1 (x) + x d(f−1 (x)) dx − dF(f−1 (x)) d[f−1(x)] d[f−1 (x)] dx = f−1 (x) + x d(f−1 (x)) dx − x d[f−1 (x)] dx = f−1 (x) . Lo que prueba que G es la antiderivada de f. Problema. 3
  7. 7. 2 PR´ACTICA DIRIGIDA № 2 2.1. Problemas 1. Analizar si P es una partici´on de [a, b]. En caso afirmativo, hallar P = m´ax{xi+1 − xi / i = 0, . . . , n} a) [3, 6], P = {xk = 3 + k n / k = 0, 1, 2, . . .} b) [0, 1], P = {xk = sen kπ 2n / k = 0, 1, 2, . . .} c) [3, 5], P = {xk3 + 2k − 2 n / k = 0, 1, 2, . . .} d) [−2, −1], P = {xk = −2 + k n / k = 0, 1, 2, . . .} 2. Sea P = {−1, 0, 1, 3, 4} una partici´on de [−1, 4] y f(x) =    x + 2 , −1 ≤ x ≤ 0 x , 0 < x < 1 1 + √ x , 1 ≤ x ≤ 4 hallar mi(f) y Mi(f), i = 1, 2, 3, 4. Calcular U(f, P), L(f, P) y aproximar el valor de la integral de f desde −1 hasta 4 con esta partici´on, indicando una cota del error cometido. 3. Sea f la funci´on definida por f(x) = sen 1 x ∀x ∈ [ 1 5π , 6 5π ]. Dada la partici´on P = { 1 5π , 2 5π , 3 5π , 4 5π , 6 5π } de este intervalo, halle L(f, P) y U(f, P). 4. Sean f, g : [a, b] → R funciones acotadas. Pruebe que L(f, P) + L(g, P) ≤ L(f + g, P) y U(f + g, P) ≤ U(f, P) + U(g, P) para toda partici´on P del intervalo [a, b]. 5. Sea f una funci´on acotada en el intervalo I y sean P1, P2 particiones de I tal que P2 es un refinamiento de P1. Demuestre que: a) P2 ≤ P1 .
  8. 8. b) L(f, P2) − L(f, P1) ≤ r(M − m) P1 y U(f, P1) − U(f, P2) ≤ r(M − m) P1 si P2 P1 tiene r puntos.(M = sup(f) y m = ´ınf(f)) 6. Sea f la funci´on definida por f(x) = x3 sobre [0, 1]. si P = {0, 1 4 , 1 2 , 3 4 , 1} y Q = {0, 1 3 , 2 3 , 1} son dos particiones de [0, 1]. ¿Cu´al es la relaci´on entre L(f, P) y L(f, Q)?. ¿Es contradictorio con el resultado anterior?. 7. Si f es decreciente sobre [a, b], pruebe que U(f, P) − L(f, P) ≤ P (f(a) − f(b)) para cada partici´on P de [a, b], luego concluya que f es integrable en [a, b]. 8. Sea f una funci´on derivable sobre [a, b] tal que |f′ (x)| ≤ K. Demuestre que: a) Para cada partici´on P de [a, b], U(f, P) − L(f, P) ≤ K|P|(b − a). b) b a f − 1 2 [U(f, P) + L(f, P)] ≤ K 2 P (b − a). 9. Expresar el l´ımite de cada suma, como una integral definida: a) l´ım |P |→0 n i=1 xi + xi+1 2 3 (xi − xi−1), P partici´on de [2, 5]. b) l´ım |P |→0 n i=1 xi 1 + xi (xi − xi−1), P partici´on de [0, √ 3]. c) l´ım |P |→0 n i=1 (x2 i − x2 i1 ), P partici´on de [−3, 10]. d) l´ım |P |→0 n i=1 sen(xi) 1 + x4 i (xi − xi−1), P partici´on de [0, 2] y xi ∈ [xi−1, xi]. e) l´ım |P |→0 n i=1 sen xi + xi−1 2 (xi − xi−1), P partici´on de [0, π]. 10. Expresar cada uno de os siguiente l´ımites como una integral definida, donde P = {xi / i = 0, 1, . . . , n} es una partici´on de [a, b]. a) l´ım |P |→0 n i=1 2π(1 − xi − xi−1)x2 i (xi − xi−1); [0, 1]. b) l´ım n→∞ n i=1 1 n [a + i n (b − a)]; [a, b]. c) l´ım n→∞ 1 n n i=1 [a + i − 1 n (b − a)][a + i n (b − a)]; [a, b]. 11. Expresar cada l´ımite como una integral definida: l´ım n→∞ n i=1 (xi − xi−1)2 + (cos(xi) − cos(xi−1))2 , [0, π] Sugerencia: Use el Teorema del Valor Medio. 5
  9. 9. 12. Sea f : [a, b] → R una funci´on continua. Si b a f = 0 y f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], demuestre que f(x) = 0 ∀x ∈ [a, b]. 13. Sea f una funci´on creciente sobre [a, b]. Demuestre que f(a)(b − a) ≤ b a f ≤ f(b)(b − a) . 14. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Si Pn es una partici´on de [a, b] en n partes iguales, demuestre que 0 ≥ U(f, P) − b a f ≤ b − a n (f(b) − f(a)) . 15. Sea f : [0, 1] → R la funci´on definida por f(x) = x , x ∈ Q 1 − x , x ∈ I analice la integrabilidad de f en [0, 1]. 16. ¿La composici´on (si existe) de dos funciones integrables, es integrable?. si su respuesta es afirmativa demu´estrelo, en caso contrario de un contraejemplo. 6
  10. 10. 3 PR´ACTICA DIRIGIDA № 3 3.1. Problemas 1. Calcular las siguientes integrales, si f(x) = x2 , 0 ≤ x ≤ 1 2 − x , 1 < x ≤ 2 : a) I = 1 0 |1 − x| dx b) I = b 0 |x| x dx c) 2 0 f(x) dx 2. Calcular: a) l´ım h→0 1 h   x+h 1 sen(t) dt − x 1 sen(t) dt   b) l´ım h→0 1 h c+h c f(t) dt c) l´ım h→0 1 h 3+h 3−h 1 1 + x2 dx d) l´ım h→0 1 h  x − x 0 t2 1 + t2 dt − x+h 0 1 1 + t2 dt   e) l´ım h→0 1 h x+h x t3 dt 3. a) Si 1/(3x+1) 0 f(t) dt = 2 ax + ax. Hallar los valores a de modo que f 1 4 = 16 3 . b) si x2 x3 t6 1 + t4 dt, calcular F′ (x). c) Si f es continua en [0, 2[ y f(1) = 1, calcular l´ım x→1 x x − 1 3/(2+x) 3/(4−x) f(t) dt. 4. Demostrar que: Si f es una funci´on continua y par en [−a, a], entonces a −a f(x) dx = 2 a 0 f(x) dx.
  11. 11. 5. a) Hallar el valor medio de f(x) = |x| sobre [−2, 2]. b) Sea f(x) = (x − 2)2 + 2. Graficar f, halla el valor medio f de f sobre [1, 3] y los c tales que f = f(c), c ∈]1, 3[. c) Usando f(x) = x sen(x) y el teorema del valor medio para integrales. Demostrar que ∃c ∈ [0, 2π] tal que sen(c) = − 1 c d) Demostrar que el valor medio de f(x) = x2 en [a, b] es b2 + ab + a2 3 6. Sean f y g continuas sobre [a, b], probar que:   b a f(t)g(t) dt   ≤   b a f2 (t) dt     b a g2 (t) dt   Sugerencia: F(t) = (f(t) − λg(t))2 . 7. Sea f : R → R tal que f(x) = 2x x 1 √ 1 + t4 dt, sin resolver la integral: a) Hallar f′ (x). b) ¿Es f par?, ¿Es f impar?. c) Calcular l´ım x→∞ f(x), l´ım x→−∞ f(x). d) Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, los puntos cr´ıticos y graficar f. 8. Si f es continua sobre [0, ∞[, demuestre que x 0 f(u)(x − u) du = x 0   u 0 f(t) dt   du Sugerencia: Usar el segundo T.F.C. 9. Sea f continua en [a, b] y g integrable y no-negativa en [a, b]. Probar que x c f(t)g(t) dt = f(c) b a g(t) dt , c ∈ [a, b] . 10. Encontrar una funci´on f y un valor de la constante tal que x c tf(t) dt = sen(x) − x cos(x) + x2 2 , para todo x ∈ R . 11. Si f′ > 0 sobre un intervalo I, hallar L = l´ım h→0 1 h f∗(x+h) f∗(x) f(t) dt. 12. a) Si f es continua en [0, a], demuestre que a 0 f(x) dx = a 0 f(a − x) dx. 8
  12. 12. b) Si f es una funci´on par y continua, demuestre que π 0 xf(cos(x)) dx = π π/2 0 f(sen(x)) dx . 13. Calcular J = π 0 x sen(x) a + cos2(x) dx. 14. calcular J = 16 1 arctan( √ x − 1) dx. 15. Demostrar que: 1 x dt 1 + t2 = 1/x 1 dt 1 + t2 , si x > 0. 16. Calcular π/4 0 dx a2 sen2(x) + b2 cos2(x) , ba = 0. 9
  13. 13. 4 PR´ACTICA DIRIGIDA № 4 4.1. Problemas 1. Sea f : [0, 4] → R una funci´on continua. Si 2 0 f = −2 y 4 0 f = 0, demuestre que existe c ∈ [0, 4] tal que f(c) = 1. 2. Calcular las siguientes integrales a) I = 2 −1 |x| x dx b) 2 0 f(x) dx si f(x) = x2 , 0 ≤ x ≤ 1 2 − x , 1 < x ≤ 2 3. Demuestre cada una de las siguientes desigualdades: a) π 4 ≤ 1 0 1 1 + x4 dx ≤ 1 b) 2 3 ≤ 1 0 1 √ 2 + x − x2 dx ≤ √ 2 2 4. Sea f : [1, 5] → R una funci´on continua. Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [1, 5] y 5 1 f = 0, demuestre que f es la funci´on nula. ¿Si la hip´otesis de no negatividad, se tendr´a la misma conclusi´on?. Justifique su respuesta. 5. Sea f : [a, b] → R una funci´on continua. Si b a f(x) dx = 0, demuestre que la gr´afica de f intersecta al eje X en un punto cuya abscisa est´a en el intervalo [a, b].
  14. 14. 6. Calcular: a) l´ım h→0 1 h x+h x t3 dt b) l´ım h→0 1 h 3+h 3−h 1 1 + x2 dx c) l´ım h→0 1 h   x+h 1 sen(t) dt − x 1 sen(t) dt   d) l´ım h→0 1 h  x − x 0 t2 1 + t2 dt − x+h 0 1 1 − t2 dt   e) l´ım h→0 1 h c+h c f(t) dt 7. a) Si 1/(3x+1) 0 f(t) dt = 2 ax + ax. Hallar los valores a de modo que f 1 4 = 16 3 . b) Si x2 x3 t6 1 + t4 dt, calcular F′ (x). c) si f es continua en [0, 2[ y f(1) = 1, calcular l´ım x→1 x x − 1 3/(2+x) 3/(4−x) f(t) dt. 8. Demostrar que: Si f es una funci´on continua y par en [−a, a]: Entonces a −a f(x) dx = 2 a 0 f(x) dx. 9. a) Hallar el valor medio de f(x) = |x| sobre [−2, 2]. b) Sea f(x) = (x − 2)2 + 2. Graficar f, hallar el valor medio f de f sobre [1, 3] y los c tales que f = f(c), c ∈]1, 3[. c) Usando f(x) = x sen(x) y el teorema del valor medio para integrales. Demostrar que ∃c ∈ [0, 2π] tal que sen(c) = 1 c . 10. Sean f y g continuas sobre [a, b], probar que:   b a f(t)g(t) dt   2 ≤   b a f2 (t) dt     b a g2 (t) dt   Sugerencia: F(t) = (f(t) − λg(t))2 . 11. sea f : R → R tal que f(x) = 2x x 1 √ 1 + t4 dt sin resolver la integral a) Hallar f′ (x). b) ¿Es f par ?, ¿es f impar?. c) Calcular l´ım x→∞ f(x), l´ım x→−∞ f(x). d) Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, los puntos cr´ıticos y graficar f. 11
  15. 15. 5 PR´ACTICA DIRIGIDA № 5 5.1. Problemas 1. Demuestre que a) ∀x ∈]1, +∞[: 1 − 1 x ≤ ln x ≤ x − 1. b) Si h = x − 1, entonces: h 1 + h ≤ ln(1 + h) ≤ h . Concluya que ln′ (1) = 0. 2. Sean I un intervalo y g : I → R una funci´on tal que Rang(g) ⊂ ]0, +∞[. Demuestre que: a) Si l´ım x→a g(x) = +∞ entonces l´ım x→a ln(x) = +∞. b) Si l´ım x→a g(x) = 0 entonces l´ım x→a ln(x) = −∞.
  16. 16. 6 PR´ACTICA DIRIGIDA № 6 6.1. Problemas 1. Determine las siguientes antiderivadas: a) x + 1 2x2 + 4x + 1 dx b) 1 x ln x dx c) sen(2x) 1 − cos(2x) dx d) 1 √ x(1 + √ x) dx e) 1 x ln(x) dx f) ln(x3 ) x dx 2. Halle los siguientes l´ımites: a) l´ım x→∞ ln( √ x) x b) l´ım x→∞ ln(x) √ x c) l´ım x→0+ x ln(x) 3. Demuestre que si x ≥ 1, ln(x + √ x2 − 1) = − ln(x − √ x2 − 1) 4. Bosquejar la gr´afica de las siguientes funciones a)f(x) = x ln(x) b)f(x) = x2 ln(x) c)f(x) = √ x ln(x) 5. Determine las primitivas que se indican: a) xex2 dx b) ex+ex dx c) x + e2x x2 + e2x dx d) √ xe2x √ x dx e) e2x 1 + e2x dx f) ex 1 + ex dx 6. Evalue los siguientes l´ımites: a) l´ım x→∞ ex x b) l´ım x→∞ ex √ x c) l´ım x→∞ e √ x x d) l´ım x→∞ x2 e−x 7. Trace la gr´afica de la funci´on f si: a)f(x) = x2 e−x b)f(x) = x3 e−x c)f(x) = e−x2
  17. 17. 8. Si una planta qu´ımica despide una cantidad A de contaminantes en un canal en el instante t = 0, entonces la concentraci´on resultante de contaminantes en el agua del canal de unpueblo a una distancia x0 rio abajo de la planta en el instante t es: C(t) = A √ kπt exp − x2 0 4kt , donde t ∈ R . Demuestre que la concentraci´on en el pueblo es: Cmax = A x0 2 πe 14
  18. 18. 7 PR´ACTICA DIRIGIDA № 9 7.1. Problemas 1. En la figura adjunta se muestra las regiones D1 y D2. Exprese el ´area de la regi´on D2 en t´erminos del ´area de la regi´on D1. Soluci´on. x y y = xex2 D1 x y y = ex D2 2. Sea D la regi´on del plano limitada por la curva C : y = 4 − x2 y las rectas tangentes a C trazadas desde el punto A(0; 5). Calcule el ´area de la regi´on D. Soluci´on. 3. Sea C la curva con ecuaci´on C : y = ln x. Calcule el ´area de la regi´on D del plano limitado por C, la recta tangente a C en el punto A(e; 1) y el eje x. 4. Sea C la curva con ecuaci´on C : y = x4 − 2x3 + 8x − 4. Calcule el ´area de la regi´on D del plano limitado por C y la recta tangente a C en el punto de abscisa -1. 5. Calcule el parea dela regi´on D de lplano limitado por las curavas C1 : x = y2 , C2 : y = x + 2, C3 : y = −2 y C4 : y = 3. 6. Calcule el ´area del al regi´on D del plano limitado por la elipse x2 a2 + y2 b2 = 1 7. Calcule el ´area de la regi´on D del plano limitado por las rectas y = 1, y = 0 y la hip´erbola x2 − y2 = 3
  19. 19. 8. Calcule el ´area de la regi´on D del plano limitada por y = 1 − x2 , y = 1 − x 2 , y = 1 9. Sea D la regi´on del plano limitada por el eje x, y = tan−1 x, x = −1 y x = √ 3. Calcule el ´area de D 10. Calcule el ´area de la regi´on D del plano limitado por la curva C : x = y3 − y y el eje y. 11. Sea D la regi´on del problema 2. Calcule el volumen del solido que se genera cuando D gira alrededor del eje x. 12. Sea D la regi´on del problema 3. Calcule el volumen del s´olido de revoluci´on cuando D gira alrededor de la recta a) y = 0 b) x = 0 c) x = e d) y = 1 e) x = −1 13. Sea D la regi´on del plano limitado por y = ex , y = ex , y = 2. Calcule a) El ´are de D. b) El volumen del s´olido que se genera cuando D gira alrededor del eje x. 14. Dea D la regi´on del plano limitado por y = ex , y = x + 1, x = 1. Calcule el volumen del s´olido que se genera cuando D gira alrededor a) del eje x b) del eje y 15. Calcule el volumen del s´olido que se genera cuando la regi´on D del problema 9 gira alrededor del eje x. 16. Sea D la regi´on del plano limitado por el eje x y la elipse del problema 6 con y ≥ 0. Calcule el volumen del s´olido que se genera cuando D gira alrededor del eje x. 17. Sea D la regi´on del primer cuadrante limitado por y = x2 , x = 0 y la recta y = 2. Calcule el volumen del s´olido que se genera cuando D gira alrededor del eje y. 18. Sea D la regi´on del plano limitado por y = 1 1 + x2 , x = 0, y = 0. Calcule el volumen del s´olido que se genera cuando D gira alrededor a) del eje y b) de la recta x = −1 19. La base de un s´olido E es la regi´on D del plano XY limitado por la curvas y = x2 , y = 3−2x. si las secciones transversales perpendiculares al eje x son tri´angulos rect´angulos is´osceles uno de cuyos catetos se encuentra en el plano XY , calcule el volumen de E. 20. La base de un s´olido es la regi´on D del plano XY limitado por y = 1 − x2 , y = −1. si las secciones transversales perpendiculares al eje y son tri´angulos equil´ateros, calcule el volumen del s´olido. 21. La base de un s´olido es al regi´on del plano XY limitado por la elipse del problema 6. Calcule el volumen del s´olido si las secciones transversales perpendiculares al eje x son cuadrados. 22. La base de un s´olido es la regi´on del plano limitado por la circunferencia de centro (0; 0) y radio a. Calcule el volumen del s´olido si las secciones transversales perpendiculares al eje x son rect´agulares en los que la longitud de las base es el doble del al longitud de la altura. 16
  20. 20. 7.2. Soluciones 1. De manera general podemos expresar D1 y D2 en funci´on de t D1(t) = t 0 xex2 dx = et2 2 y D2(t) = t 0 ex dx = et donde t > 0 real, en particular, D1(1) = D1 y D2(1) = D2, adem´as D1(t) = (et )t 2 entonces t 2D1(t) = et , de esto podemos expresar D2(t) en t´erminos de D1(t) como sigue D2(t) = et = t 2D1(t) en particular para t = 1 tenemos que D2 = 2D1. Problema. 2. Por la simetr´ıa de la gr´afica trabajaremos en el primer cuadrante. Tenemos que hallar los puntos de tangencia de las rectas y la par´abola, sea (a, b) el punto de tangencia en el primer cuadrante, luego la pendiente de la recta tangente es m = b − 5 a , pero esta misma pendiente esta dada tambi´en por y′ = −2x es decir m = −2a, luego tenemos la ecuaci´on: −2a = b − 5 a entonces − 2a + 5 = b por otra parte el punto (a, b) obedece a la ecuaci´on de la par´abola, b = 4−a2 , luego tenemos la ecuaci´on: −2a + 5 = b = 4 − a2 es decir a2 − 2x + 1 = 0 resolviendo tenemos que a = 1 y b = 3, entonces (1, 3) es el punto de tangencia en primer cuadrante, luego por simetr´ıa el punto de tangencia en el segundo cuadrante es (−1, 3). el ´area pedida es igual al ´area bajo las rectas tangentes desde x = −1 hasta x = 1 menos el ´area bajo la par´abola limitada por los mismo puntos, es decir D = 8 − 1 −1 4 − x2 dx = 2 3 . Problema 17
  21. 21. 8 PR´ACTICA DIRIGIDA № 11 8.1. Problemas 1. Para cada una de las siguientes curvas, cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares son dadas, halle su ecuaci´on en coordenadas polares: a) y = 4x2 b) y2 − x2 = 4 c) x2 a2 + y2 b2 = 1 d) 2x + 3y = 5 e) x2 + y2 = 2ax f) y2 + 8x = 16 g) (x2 + y2 )2 = 4x2 − 4y2 h) x2 + y2 = x2 + y2 + x i) xy = 1 2. Para cada una de las siguientes curvas, cuyas ecuaciones en coordenadas polares son dadas, halle su ecuaci´on en coordenadas rectangulares: a) r = 4 cos(θ) b) r2 cos(2θ) = 4 c) r = 4 sec(θ) d) r = 2 csc(θ) e) r2 = 4 csc(2θ) f) r = −4 sen(θ) 3. Trace cada una de las curvas cuyas ecuaciones son dadas en coordenadas polares. En cada caso establecer si existen o no las simetr´ıas estudiadas en clase. a) r = 2 − sen(θ) b) r = 2 − sen(θ) c) r = 3 sen(θ) d) r2 = 4 sen(2θ) e) r = sen(θ) f) r = 2 sen(2θ) g) r2 = 4 cos(2θ) h) r = 2 − cos(θ) i) r = 2 cos(2θ) 4. Calcule el ´area de la regi´on interior com´un a las curvas C1 : r = 2 − sen θ, C2 : r = 3 sen θ. 5. Sea D la regi´on del primer cuadrante que es interior a C1 : r2 = 9 sen(2θ) y exterior a la curva C2 : r = 9 cos(2θ). Calcule el ´area de D. 6. Sea D la regi´on que es interior a la curva C1 : r = 1 − cos θ y exterior a C2 : r = sen(θ). Calcule el ´area de la regi´on D. 7. Calcule el ´area de la regi´on D del plano que es interior a la curva C1 : r = 2 + 2 cos(θ) y exterior a C2 : r = 4 cos(θ). 8. Sea D la regi´on del plano que es interior a C1 : r = 2 sen(θ) y exterior a C2 : r = 2 sen(2θ). Calcule el ´area de D.
  22. 22. 9. Calcule el ´area de la regi´on D que es interior a C1 : r = 2 + 2 sen θ y que se encuentra debajo de la recta θ = π 6 . 10. Sea D la regi´on que es interior a C1 : r = 4 cos(2θ) y exterior a C2 : r = 2. Calcule el ´area de la regi´on D. 11. Sean D1 la limitada por C1 : r = sen(2θ) y D2 la regi´on limitada por C2 : r = √ 3 2 . Calcule el ´area de la regi´on D = D1 ∪ D2. 12. Sea D la regi´on del primer cuadrante que es interior a la curva C1 : r = sen(2θ) y exterior a la curva C2 : r = sen(θ). Calcule el ´area de la regi´on D. 13. Calcule el ´area de cada una de las regiones limitadas por las curvas C1 : r = 3 sen(θ) y C1 : r = 1 + sen(θ). 19
  23. 23. 9 PR´ACTICA DIRIGIDA № 12 9.1. Problemas 1. C´alcule la longitud de cada una de las siguientes curvas: a) y = x2 4 − ln x 2 , 1 ≤ x ≤ 2 b) y2 = 4(x + 4)3 , 0 ≤ x ≤ 2 , y > 0 c) x = et cos t , y = et sen t d) y = √ x , 0 ≤ x ≤ 4 e) r = a + a cos θ , a > 0 f) y = x3 3 + 1 4x , 1 ≤ x ≤ 2 g) x2/3 + y2/3 = a2/3 h) y = x 1 √ t − 1dt , 1 ≤ x ≤ 16 i) r0 cos(2θ) j) x = a(t − sen t) , y = a(1 − cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π 2. Calcule el per´ımetro de la regi´on D del plano limitado por las rectas x = 1, x = e, el eje x y la curva C : y = x2 4 − ln x 2 3. Calcule la longitud de la curva C : r = 2 sen(2θ) 4. Sea D la regi´on que es exterior a C1 e interior a C2, donde C1 : r = 3 cos θ y C2 : r = 1 + cos θ plantee integrales definidas que permitan calcular el per´ımetro de la regi´on D. 5. Calcule el ´area de al superficie de revoluci´on que se genera cuando la curva dad gira alrededro del eje X: a) y = x2 4 − ln x 2 , 1 ≤ x ≤ 2 b) y = cos(2x) , 0 ≤ x ≤ π 6 6. Sea C : 9y2 = x(3 − x)3 , 0 ≤ x ≤ 1. Calcule el ´area de la superficie de revoluci´on que se genera cuando C gira alrededor de la recta x = 3.
  24. 24. 7. Sea f(x) = x √ x 3 − √ x, 4 ≤ x ≤ 9. Calcule el ´area de la superficei de revoluci´on que se genera cuando la gr´afica de f gira alrededor de la recta y = −1. 8. Sea C : x = et sen t, y = et cos t, 0 ≤ t ≤ π 2 . Calcule el ´area de la superficie de revoluci´on que se obtiene cuando C gira alrededor del eje X. 9. Calcule el ´area de la superficie de revoluci´on que se genera por la rotaci´on de la mitad superior de la cardiode r = a(1 − cos θ) alrededor del eje polar. 10. Halle las coordenadas del centroide de la regi´on del plano limitado por las gr´aficas de y = x2 e y = 2x. 11. Sea D la regi´on del plano limitado por las curvas C1 : y = −x y C2 : y = 2x − x2 . Si L es la recta tangente a C2 en el origen de coordenadas, calcule el volumen del s´olido de revoluci´on que se genera cuando D gira alrededor de la recta L 12. sea D la regi´on del plano limitado por las gr´aficas de y = x2 y y = 2x. Exprese integrales definidas que permita calcular el volumen del s´olido que se genera cuando D gira alrededor del eje X. 13. Sean D la regi´on del plano limitada por las curvas C1 : y = x2 y C2 : y = x + 2; L es la recta tangente a C1 que es paralela a la recta y = 2x. Calcule el volumen del s´olido que se genera cuando D gira alrededor de la recta L. 14. Un tanque tiene la forma de un tronco truncado con un di´ametro de 2m en la parte inferior y 3m en la parte superior y 10m de altura. Si el tanque se encuentra lleno, determine el trabajo que se necesita para vaciar el tanque por la parte m´as alta del mismo. 15. Un tanque tiene la forma de un cono circular invertido de 10m de altura y 4m de radio en la base. si al tanque se echa agua hasta un nivel de 8m, calcule el trabajo requerido para vaciarlo bombeando toda el agua hasta un lugar que se encuentre a al misma altura de la tapa del tanque. 16. En el problema 14, calcule el trabajo necesario para vaciar la mitad de la cantidad de agua que tiene el tanque. 17. Los extremos de un abrevadero de 8 pies de longitud tiene la forma de trapecios is´osceles de 4 pies de alto, la base inferior mide 4 pies y al parte superior 6 pies. Calcule la fuerza total sobre uno de los extremos cuando el abrevadero est´a lleno de agua. 18. Un tanque cil´ındrico de 2m de di´ametro y 3m de largo yace de costado y tiene aceite, que pesa 930 kg/m3 , hasta la mitad de su capacidad. Calcule la fuerza ejercida sobre uno de los extremos del tanque. 19. Los extremos de un abrevadero tiene la forma de la regi´on acotada por las gr´aficas de y = x2 e y = 4, donde x e y se miden en pies. Si el abrevadero est´a lleno de agua, calcule la fuerza sobre uno de los extremos. 21
  25. 25. 10Primera Pr´actica Calificada 10.1. Problemas 1. Resuelva cada una de las situaciones siguientes con una adecuada justificaci´on y utilizaci´on de los cuantificadores cuando sea necesario: a) Sean I un intervalo de R, f : I → R dos funciones ¿Cu´ando se dice que f es una antiderivada de F en I? (1pto.) b) Sea F : [a, b] → R una funci´on acotada. Defina, la Integral Inferior de f sobre [a, b]. (1pto.) c) Sea f : [a, b] → R una funci´on integrable. Si P es una partici´on de [a, b] tal que la suma superior de f con respecto de P es dos. ¿Es posible que b a f = 3? (1pto.) d) Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. Si α y β son n´umeros reales tales que para cualesquiera particiones P y Q de [a, b] se cumple L(f; P) ≤ α < β ≤ U(f; Q) . ¿Es f integrable en [a, b]? (1pto.) 2. Sean f y g funciones definidas en ] − π 2 , π 2 [ tales que f es una antiderivada de g2 y g es una antiderivada de fg en ] − π 2 , π 2 [. Si f(0) = 0 y g(0) = 1, demuestre que (4pts.) ∀x ∈] − π 2 , π 2 [ (g(x))2 − (f(x))2 = 1 . 3. Sean f y F las funciones con regla de correspondencia f(x) = x + |x + 1| F(x) = x , x < 1 x2 − x + 1 , x ≥ 1 . Halle el intervalo I de mayor longitud en el cual F sea una antiderivada de f (4pts.) 4. Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. Si f es decreciente, demuestre que f es integrable en [a, b]. (4pts.) 5. Halle una funci´on f que satisface las siguientes condiciones: C1) ∀x ∈]0, +∞[ : f′′ (x) = cos √ x √ x
  26. 26. C2) La ecuaci´on de la recta tangente a al gr´afica de f en el punto (π2 , π) es x + πy = 2π2 . (4pts.) 23
  27. 27. 11Segunda Pr´actica Calificada 11.1. Problemas 1. a) Use uno de los teorema estudiados en la clase, para demmostrar que existe un n´umero real c ∈ [0, π 2 ] tal que cos(c) = 2 π . Antes de hacer la demostraci´on enuncie el teorema que utiliza. (2pts.) b) Enuncie el Primer Teorema Fundamental del C´alculo. (1pto.) c) Sea f : [a, b] → R y g : [a, b] → R funciones acotadas tales que: b a f + b a g = b a f + b a g Pruebe que f + g es integrable en [a, b]. (1pto.) 2. Sea f la funci´on definida por f(x) = −1 , −1 ≤ x < 0 2 , 0 ≤ x ≤ 1 a) ¿Posee f antiderivada en [−1, 1]? b) ¿Es f integrable en [−1, 1]? En cada respuesta justifique su respuesta. 3. Calcule las siguientes integrales: a) I = 1 0 2x + 1 ex dx (2pts.) b) I = 1 0 x {1 + x2 + (1 + x2)3/2} dx (2pts.) 4. Si f∗ denota la inversa de la funci´on f, halle el valor de (f∗ )′ (0) + (f∗ )′′ (0) si: f(x) = x2−1 0 [4 + sen(sen(π √ t + 1))] dt ; x ≥ 0 . (2pts.)
  28. 28. 5. Demuestre que a) 1 ≤ 1 0 √ 1 + x4 dx ≤ 5 3 b) 2 ≤ 1 0 √ 4 + x4 dx ≤ 21 5 sin calcular las integrales. 25
  29. 29. 12Tercera Pr´actica Calificada 12.1. Problemas 1. Trace la gr´afica de la funci´on f(x) = ex x . En su soluci´on determine dominio, ecuaciones de as´ıntotas horizontales, verticales u oblicuas; intervalos de crecimiento y de decrecimiento; intervalo de convexidad y de concavidad y puntos de inflexi´on si es que existen. (4pts.) 2. Calcule cada una de las siguientes integrales. (4pts.) a) ln(x2 + 1) x2 dx b) 1 ex + 1 dx 3. Demuestre que (5pts.) a) ∀x ∈ (0, +∞) : ln x < x b) ∀x ∈ R : x < ex 4. Sea f(x) = cosh(x) − x a) Demuestre que f es decreciente en ] − ∞; ln(1 + √ 2)[ y decreciente en ] ln(1 + √ 2); +∞[ (2pts.) b) Utilice (a) para demostrar que ∀x ∈ R : x < cosh(x) (2pts.) 5. Sea f : A → R una funci´on talque su dominio A no es acotado superiormente. Se dice que l´ım x→+∞ f(x) = +∞ si y s´olo si ∀L > 0 ∃M > 0 | ∀x ∈ A∩]M, +∞[ : f(x) > L Use la definici´on anterior para demostrar que l´ım x→+∞ ln x = +∞ (3pts.)
  30. 30. 13Examen Parcial 13.1. 2015-I 1. (6 ptos.) Justifique la veracidad de las siguientes afirmaciones: (a) Una funci´on F : [a, b] → R cuyo valor absoluto es continuo, es primitiva de alguna funci´on f : [a, b] → R no continua. (b) Se cumple: l´ım n→∞ n k=1 1 + k2 n2 1/n = exp 1 0 ln(1 + x2 )dx (c) Se cumple que π 0 2xf(sen x π )dx = π 0 f(sen x)dx (d) Si f : [0, 1] → R es una funci´on de clase C1 que verifica las condiciones f(0) = f(1) = 1 y 1 0 f2 (x)dx = 1, entonces 1 0 xf(x)f′ (x)dx = 0 2. (4 ptos.) Sea f una funci´on integrable tal que f(c − x) = f(c + x), para un cierto n´umero fijo c. Demuestre usando el l´ımite de sumas que c c−a f(x)dx = c+a c f(x)dx . 3. Calcule: (a) (3 ptos.) I = −2 2 ln(x + √ x2 + 1) 1 + x2 dx . (b) (3 ptos.) El l´ımite l´ım x→0 (f(x))1/x , si se cumple f(0) = 1, f′ (0) = a. 4. (4 ptos.) Sea f : R → R. Sea F : R {0} → R definida por F(x) = 1 2x x −x f(t)dt . (a) Calcule l´ım x→0 F(x). Definiendo f(0) = l´ım x→0 F(x) pruebe que la funci´on as´ı definida en R es continua. (b) Pruebe que si F es derivable o no en R y calcule su derivada.
  31. 31. 14Cuarta Pr´actica Calificada 14.1. 2013-I 1. Calcular el valor del ´area A de la regi´on limitada por y = √ x, y = x 4 , y la normal a y = √ x en el punto (1,1). (4pts.) 2. Sea R la regi´on del plano acotado por y = sin(x), x = π 6 , x = π 3 y el eje X: a) Halle el volumen del s´olido obtenido al girar la regi´on R alrededor de la recta y = −1. b) Halle el volumen del s´olido obtenido al girar la regi´on R alrededor del eje Y . 3. Sea A = {(x, y) | |x| ≤ r; − √ r2 − x2 ≤ y − R ≤ √ r2 − x2} (r, R ∈ R+ ). Si rotamos el conjunto A alrededor del eje X se forma un s´olido llamado “Toro”. DEmuestre que su volumen es 2π2 Rr2 . (4pts.) 4. Sea R la regi´on del plano limitado por: El eje X, la curva y = arctan(x), y la recta x = 1. Determine el volumen del s´olido que se genera cuando la regi´on R gira alrededor del eje X. (Sug. π/4 0 t tan(t)dt = 0,19). (4pts.) 5. Una compa˜n´ıa minera encuentra oro en un cerro que es representado en la figura adjunta. Se sabe que la base del cerro es aproximadamente limitada por una elipse de semiejes 200 y 400 metros y que cada secci´on transversal perpendicular al eje mayor es una regi´on limitada por un tri´angulo equil´atero. Si la empresa estima que la cantidad de reserva de oro es el 0,002 por ciento del volumen del cerro, establezca una integral definida que permita determinar la reserva total de oro que hay en el cerro. (4pts.)
  32. 32. 15Quinta Pr´actica Calificada 15.1. Problemas 1. Resuelva cada una de las siguientes situaciones con uan adecuada justificaci´on: a) Determine si el punto P cuyas coordenadas polares son (0, π 2 ) pertenece o no a la curva r = 1 + cos(θ). (1pto.) b) Mencione dos diferencias entre los sistemas de coordenadas rectangulares y polares. Ilustre cada caso con un ejemplo. (2pts.) c) Sean P y Q dos puntos cuyas coordenadas polares son (r1; θ1) respectivamente. De- muestre que la distancia D entre P y Q est´a dada por (2pts.) D = r2 1 + r2 2 − 2r1r2 cos(θ1 − θ2) 2. Sea D la regi´on del primer cuadrante que es exterior a C1 : r = sin(θ) e interior a la curva C2 : r = 1 − sin(θ). Calcule el ´area de la regi´on D (4pts.) 3. Sea C la curva cuya ecuaci´on en coordenadas polares es r = 1 √ 2 + cos(θ) a) Exprese la ecuaci´on de C en coordenadas rectangulares. (3pts.) b) Trace la curva C. (1pto.) 4. Se desea hacer una may´olica cuadrada de 8cm de lado tal como se muestra en la figura. La may´olica tendr´a tres colores: La parte interior a al rosa de cuatro p´etalos de ecuaci´on r = 4 cos(2θ) es verde, la parte exterior de la regi´on circular r = 4 es crema y el resto es de color naranja. Determine: (4pts.) a) ¿Cu´antos cent´ımetros cuadrados de color verde tendr´a la may´olica?. b) ¿Cu´antos cent´ımetros cuadrados de color naranja tendr´a la may´olica?. c) ¿Cu´antos cent´ımetros cuadrados de color crema tendr´a la may´olica?.
  33. 33. Figura 15.1: Gr´afico para el problema 4. 5. Halle el ´area de la regi´on acotada por la gr´afica de al ecuaci´on (4pts.) (x2 + y2 )2 = 4(x2 − y2 ) . 30
  34. 34. 16Sexta Pr´actica Calificada 16.1. Problemas 1. Halle la longitud total de la curva: r = a sen3 θ 3 0 ≤ θ ≤ 2π (a > 0) . (4ptos.) 2. Halle el area S de la superficie que se forma al rotar alrededor del eje Y la gr´afica de la funci´on f : [0, 1] → R definida por f(x) = 3 √ x para todo x ∈ [0, 1] (4pts.) 3. Un cable que pesa 0, 6kg/m est´a conectado a un elevador de construcci´on que pesa 150kg. Encuentre el trabajo realizado para subir el elevador desde el piso hasta una altura de 50m3 . (4pts.) 4. Sea D la regi´on del plano limitada por la par´abola y = −x2 + 5x − 4 y la recta y = x − 1. Calcule el volumen del s´olido que se genera cuando D gira alrededor de la recta L : 3x − 4y − 22 = 0. (4pts.) 5. En una represa un recipiente tiene 20 metros de profundidad y sus extremos son de forma trapezoidal tal como se muestra en la figura adjunta. Si la superficie del agua se encuentra a 4m del borde del recipiente, determine la fuerza total ejercida por el l´ıquido sobre un extremo del recipiente.
  35. 35. 17Examen Final de C´alculo Integral 17.1. 2009-I 1. Halle y′ , si y = 4x + 4xx + x4x , x > 0, x = 1. 2. Una especie de bacteria virulenta crece en un cultivo. Se observa que la tasa de crecimiento de la poblaci´on bacteriana es proporcional al n´umero de individuos presentes. Si en la poblaci´on inicial hay 1000 bacterias y el n´umero se duplica despu´es de los primeros 30 minutos ¿Cu´antas bacterias habr´a despu´es de 2 horas? 3. Calcule ∞ 1 1 x4 √ 1 + x3 dx 4. Estudiar le convergencia de b a dx (x − a)p 5. Estudiar la convergencia o divergencia de ∞ 1 e−x √ x dx . 6. Probar que ∀m, n > 0: B(m, n) = ∞ 0 xm−1 (x + 1)m+n dx . 17.2. 2013-I 1. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 2m de redio en al base y 5m de altura. a) Calcule el trabajo que se requiere para vaciar el tanque si se encuentra lleno de agua. (2pts.) b) Establezca una integral definida que permita calcular el trabajo que se requiere para vaciar el tanque si ´este se encuentra a la mitad de su capacidad. (2pts.)
  36. 36. 2. Determine la longitud de la curva C definida por. (4pts.) C = {(x, y) ∈ R2 | y = 2 √ 2( √ x + 1 + √ 1 − x) , −1 ≤ x ≤ 1} 3. Sea D la regi´on limitada por la par´abola y2 = 4x + 12 y la recta y = x − 1. Calcule el volumen del s´olido que se genera cuando D gira alrededor de la recta y = x − 2. (4pts.) 4. Sea f : [0, ∞[→ R una funci´on continua. La transformada de Laplace de f es la funci´on F definida por F(s) = +∞ 0 e−st f(t) dt , s > 0 . Demuestre que para cada n ∈ N, la transformada de Laplace de f(t) = tn es F(s) = n! sn+1 (4pts.) 5. Considere la ecuaci´on diferencial (x2 + y2 )dx + (x2 − y2 )dy = 0 (1) a) Use el cambio de variable z = y/x para transformar (1) en una ecuaci´on diferencial de variable separable en x y z. (2pts.) b) Resuelva la ecuaci´on diferencial en x y z obtenida en (a), y halle la soluci´on general de (1) (2pts.) 33
  37. 37. 18Examen Sustitutorio 18.1. 2012-I 1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique a. Sea X ⊂ R no vac´ıo y X f −→ R una funci´on diferenciable con primitiva F. Entonces todas las primitivas son de la forma F(x) + c, donde c es una constante real. b. La funci´on [0, 1] f −→ R definida como f(x) = 1 x = 0 4 x = 0 no es integrable porque no es continua. c. Si − π 2 , π 2 f −→ R es definida como f(x) = cos(x) x = 0 −1 x = 0 , entonces por el Teorema Fundamental del C´alculo se tiene π −π f(x)dx = sen π 2 − sen − π 2 d. Toda funci´on diferenciable [a, b] f → R es integrable. 2. Halle todas las funciones que satisfacen la igualdad f′ (t) = 1 2 f(t) + t 0 f(r)dr 3. Calcule el ´area de la superficie del s´olido que se genera al rotar la curva 3 √ x2 + 3 y2 = 1 alrededor de la recta x = −1. 4. Haga lo que se pide a. Analice la convergencia de +∞ 0 e−x2 √ x dx b. Indique los valores de r para los que la integral +∞ 0 ex sen(x)x2−r dx converge. 5. Halle una soluci´on y = f(x) de la ecuaci´on diferencial y′′ = 1 − y′ x que cumplalas siguien- tes caracter´ısticas a. el punto P = (1, 0) ∈ Graf(f). b. La recta tangente a Graf(f) en el punto P coincide con el eje X.
  38. 38. Bibliograf´ıa [1] N. Piskunov, C´alculo diferencial e Integral TOMOS I y II, Editorial MIR, Mosc´u, 1977. [2] P.E. Danko, A.G. Popov, T.Y.A. Kozhevnikova, Matem´aticas Superiores en Ejercicios y Problemas TOMOS I y II, Editorial MIR, Mosc´u, 1980. [3] V. Bolgov, B. Demidovich, V. Efimenko, A. Efimov, A. Karakulin, S. Kogan, G. Lunts, E. Porshneva, A. Pospelov, S. Frolov, R. Shostak, Y.A. Yampolski, Problemas de las Ma- tem´aticas Superiores TOMOS I y II, Editorial MIR, Mosc´u, 1983. [4] G. Baranenkov, B. Demidovich, V. Efiimenko, S. Kogan, G. Lunts, E. Proshneva, E. Sicho- va, S. Frolov, R. Shostak y A.Y. Yanpolski, Problemas y ejercicios de An´alisis Matem´atico, Editorial MIR, Mosc´u, 1967. [5] Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolski, Matem´aticas Superiores, C´alculo diferencial e Integral, Edi- torial MIR, Mosc´u, 1980. [6] G.N. Berman, Problemas y Ejercicios de An´alisis Matem´atico, Editorial MIR, Mosc´u, 1977. [7] V.Il´ın, E. Pozniak, Fundamentos del An´alisis Matem´atico TOMOS I, II y III, Editorial MIR, Mosc´u, 1991. [8] Tom M. Apostol, CALCULUS TOMOS I y II, Editorial Revert´e S.A., Espa˜na, (9na. reimpresi´on) 2001. [9] E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, C´alculo, Pearson, M´exico, 2007. [10] J. Marsden, A. Weinstein, CALCULUs TOMOS I, II y III, Springer, USA, 1985. [11] W.A. Granville, P.F. Smith, W.R. Longley, Elements of the Differential and Integral Cal- culus, GINN and COMPANY, USA, 1911. [12] Stefan Banach, C´alculo Diferencial e Integral, UTENA, M´exico, 1967. Comentarios sobre la bibliograf´ıa: [12] Es una traducci´on del ruso al espa˜nol, es un libro con un estilo antiguo pero con las ideas y fundamentos bien claros, no es dem´as decir que S. Banach (1892-1945) es uno de los 20 matem´aticos m´as importantes e influyentes del siglo pasado, adem´as se debe a ´el los Espacios de Banach, que son muy importantes dentro del An´alisis Funcional. Es por ello que amerita una lectura.

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