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Arte y Matemáticas

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Trabajo para la cátedra de Historia de la Matemática

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Arte y Matemáticas

  1. 1. Razón áurea Salvador Dalí Esta obra se puede considerar como un homenaje al Número de oro. No sólo se puede descomponer el cuadro en una serie de rectángulos áureos sino, que además, los diferentes elementos del cuadro, son la llave que permite reconstruirlos estos rectángulos. A partir de la “taza”, se obtiene una sucesión de rectángulos áureos que nos llevan a una espiral áurea que acaba en la sombra negra de la parte alta del cuadro. Por otra parte, ese “anexo inexplicable” del título que sale del “asa de la taza” y que obliga a prolongar el cuadro hacia arriba, es en realidad totalmente explicable: resulta que las dimensiones del cuadro están en proporción áurea I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática
  2. 2. Razón áurea También la arquitectura y la escultura se han visto influidas por la razón áurea. Ejemplos de ello son la armonía de la estructura de la Catedral de Notre-Dame en París, y en el Partenon en Grecia en donde encontramos múltiples referencias de la razón áurea. En lo que respecta a la escultura existen relaciones basadas en la sección áurea en algunas de las más célebres estatuas griegas como el Hermes de Praxíiteles (390 - 330 a. C.). También la Venus de Milo de Boticelli respeta la razón áurea aunque la aplica un poco más libremente. I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática
  3. 3. Simetría Simetrías de traslación, rotación y axial. Las simetrías han sido utilizadas desde la antigüedad por diversas civilizaciones. Los sumerios fueron particularmente aficionados a la simetría bilateral, de esto hay gran variedad de ejemplos. También nuestras poblaciones indígenas se valen de la simetría para la decoración de diversos objetos como las cestas. La imagen nos da un excelente ejemplo de ello. Utilizando un motivo y por repetición del mismo, mediante simetrías de diversos tipos, se obtienen diseños geométricos con los cuales se pueden se pueden realizar ornamentaciones. Cuando el motivo generador se repite a lo largo de una faja, se obtienen los frisos y si se recubre una parte del plano, sin dejar “huecos” ni superponerse, se obtienen mosaico o teselaciones. También hay diseños denominados grupos puntales de Leonardo (en honor a Leonardo Da Vinci). El arte islámico es muy rico en diseños geométricos. Entre estos, los árabes decoraron sus palacios con una gran variedad de ornamentos construidos a partir de figuras geométricas mediante su repetición y acoplamiento. Este arte islámico tiene su mayor exponente en la Alhambra de Granada. El artista holandés M. C. Escher, inspirado en el embaldosado de la Alhambra en España, aprendió a usar traslaciones, rotaciones y reflexiones para cambiar la forma de los triángulos equiláteros, paralelogramos y hexágonos regulares en figuras como pájaros, peces y reptiles que también sirvieran para enbaldosar I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática
  4. 4. Geometría proyectiva Durero (1471 - 1528) es el artista con mejor base matemática, racionaliza estos procedimientos en “Institutionum geometricarum...” Donde analiza el alargamiento de los objetos alejados. Girard Desargues (1593 - 1662), considerado como el padre de la geometría proyectiva. Arquitecto, utilizó por primera vez la idea de “puntos del infinito” (ideal original de Kepler) en un tratado sobre las secciones cónicas. En el siglo XVII destacan también Pascal, y de la Hire, pero la geometría proyectiva fue abandonada en favor de la geometría analítica hasta el siglo XIX. Dalí conocía perfectamente la geometría en muchos sentidos, era un maestro de las formas precisas y de la geometría descriptiva, y podía realizar precisos estudios arquitectónicos basados en estructuras matemáticas. Conocía perfectamente la perspectiva, razón por la cual después la podía distorsionar muy bien. Estudio para el bailet “Coloquio sentimental”. 1944. Óleo sobre lienzo. San Petesburgo (Florida). Museo Salvador Dalí. “Carne de gallina inaugural”. 1928. Óleo sobre cartón. Figueras, Fundación Gala-Salvador Dalí I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática
  5. 5. Geometría Fractal Dalí parece ser el primer artista que pintó un fractal: era su visión de la guerra. En esta obra los ojos y la boca contienen una cara, cuyos ojos y boca contienen, a su vez, , una cara cuyos ojos y boca contienen una cara. Es un ejemplo obvio de fractal en el arte. Un análisis del trabajo revela que el fractal representado es el llamado “Polvo de Cantor”, generado por tres contacciones con factor de contracción aproximado de 0.21, y de dimensión Hausdorff 0.705. Pertenece a los triángulos de Siersponski. Fractales y computadoras La representación de un conjunto fractal requiere del empleo de la informática. Una pequeña imagen, por ejemplo de 640x480 píxeles, contiene 307.200 puntos que deben ser calculados. Cada uno de estos puntos puede requerir ser calculado por la fórmula que determina el fractal unas 1.000 veces. Esto implica que la fórmula ha de ser calculada más de 300 millones de veces. Y esto sólo para una imagen de pequeñas dimensiones. Algunas de las imágenes de gran formato que he elaborado para exposiciones han requerido más de un billón de cálculos y, consecuentemente, varios días de cálculo. Para calcular una imagen a partir de una fórmula se sigue el método conocido como iteración. Este proceso consiste en calcular una fórmula repetidas veces a partir de un valor inicial. En el caso de los fractales este valor inicial estará relacionado con cada punto del plano o del espacio que necesitemos calcular y vendrá dado en función de su posición geométrica. Una vez calculada la fórmula por primera vez, tomamos el valor resultante y volvemos a introducirlo en la fórmula. El nuevo resultado se vuelve a calcular y así sucesivamente. Esto es lo que se conoce como iteración. Si se continúa este proceso, basta con observar que ocurre y asignar un color en función de los resultados. En algunas ocasiones los números parecen “explotar” en la fórmula y avanzan rápidamente hacia el infinito, en otros casos convergen hacia un valor finito y otras veces se estabilizan en ciclos que se repiten I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática
  6. 6. Geometría Fractal Algoritmo de los enteros Gaussianos Un entero Gaussiano es un número complejo cuyo componente real e imaginario son ambos enteros. El algoritmo calcula la distancia de cada zn al entero Gaussiano más cercano, y entonces lo colorea basándose en la menor distancia obtenida en la iteración. Conceptualmente, este método es similar a una captura de órbitas, donde la trampa T (definida como un punto) se repite a lo largo del plano complejo en una malla regular coincidente con los enteros Gaussianos. Percibido de esta manera, es claro que esta técnica puede ser extendida a cualquier otra forma T, con diferentes espaciados, e incluso mayas no rectangulares, como las radiales o las triangulares. Fractales multicapa Algoritmo de movimiento Browniano El movimiento Hoy en día la técnica Browniano, ese más relevante de movimiento pseudo creación artística caótico que se produce consiste en combinar en las partículas de varios de los algoritmos polvo suspendidas en aquí descritos en capas el aire o en el agua que se superponen turbia, ha sido como si fueran transportado al campo transparencias a de los fractales con través de la luz de un gran éxito. Gracias a proyector. Al resultado este movimiento se lo denominamos consiguen tramas y texturas de gran realismo que son fractales multicapa, Con unas posibilidades de combinación prácticamente profusamente utilizadas como fondo de las imágenes o como textura para los motivos en primer plano. inagotables. I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática
  7. 7. Arquitectura Podríamos decir que la Geometría, y más generalmente la Matemática, ha estado presente en la Arquitectura desde el momento en el que el hombre siente la necesidad de construir un hogar donde guarecerse de las inclemencias de la naturaleza, descansar o mantenerse alejado de sus enemigos. Presencia que a lo largo de la historia nos ha dejado obras de gran belleza. La Catenaria Es la forma que adopta una cuerda o cadena cuando se cuelga de dos puntos y sólo soporta su propio peso. Gaudí utiliza los arcos catenarios en el Colegio de las Teresianas (1889 en la casa Batlló (1904-1906), en la casa Milá, quot;La Pedreraquot; (1905-1910), Iglesias de la Colonia Güell y de la Sagrada Familia. I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática
  8. 8. Arquitectura La Esfera La esfera y la circunferencia se han considerado desde la antigüedad como símbolos de perfección, en gran medida por su simetría, considerándose por ello en ocasiones como símbolos de lo divino. Cúpulas de Foro Rotunda, Kaiser del Auditorio de Honolulu y Union Tank Car Company en Baton Rouge. El Cilindro El cilindro es la superficie reglada formada por las rectas que pasan por una circunferencia y son perpendiculares al plano que la contiene. Mucho podríamos decir sobre el cilindro y construcciones en las que se utiliza; sin ir más lejos, es una forma habitual en bóvedas y cubiertas. I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática
  9. 9. Arquitectura El Toro El toro es una superficie de revolución que se obtiene al hacer girar una circunferencia alrededor de una recta que no corta a la circunferencia. Museo Americano de Aire (Duxford, Reino Unido). El Cono El cono es la superficie reglada formada por las rectas que se apoyan en una curva plana (por ejemplo, la circunferencia) y en un punto exterior al plano. Proyecto de Torre del Milenio (Tokio, Japón). I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática
  10. 10. Arquitectura El Hiperboloide de una hoja El hiperboloide es una superficie de revolución. Consideremos una hipérbola; si la hacemos rotar respecto a la recta perpendicular que es eje de simetría de la hipérbola obtenemos el hiperboloide de una hoja. A. Gaudí: De izquierda a derecha, capiteles del Palau Güell, bóveda para giro de carruajes del Parc Güell; techos de las naves y ventanales del templo de la Sagrada Familia. El Paraboloide hiperbólico El paraboloide hiperbólico es una superficie reglada formada por las rectas que se apoyan, de forma ordenada, en dos rectas que se cruzan en el espacio (por ejemplo, haciendo que las rectas generadoras sean todas paralelas a un plano dado perpendicular a una de las rectas generatrices). Restaurante del Parque Oceanográfico de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia. Iglesia de San José Obrero, Monterrey, México Catedral Metropolitana, Brasilia, Brasil. I. S. F. D. N 127 - Prof. en Matemática - Historia de la Matemática

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