DIDACTICA DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS<br />DERIVACIÓN<br />NUMÈRICA<br />
Las fórmulas de derivación numérica son<br />importantes en el desarrollo de algoritmos<br />para resolver problemas de co...
La aproximación del valor de la derivada de una<br /> función en un punto no es, nuestro objetivo, pues<br />el comando di...
Ejemplo<br />   Vamos a aproximar la derivada primera de una función   <br />  f, que suponemos regular, en un punto x uti...
quedetermina<br />Portanto, la formula<br />aproxima la derivada primera de f en x<br />
  con un error<br />denotemos<br />
Fórmulas de diferencias centradas<br /> Si la función f(x) puede evaluarse en puntos que<br /> están a ambos lados de x, e...
Es más, existe un número Ɵ= Ɵ (x) ε[a,b] tal que<br />siendo  <br />El termino E(f,h) se llama error de truncamiento<br />
En efecto, usando la formula de Taylor de orden 2<br />  de f, alrededor de x, para f(x+h) y f(x-h)<br />y<br />
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Así, la formula:<br />aproxima a la derivada de f en el punto x con un<br />  error<br />
Si los valores de la tercera derivada f’’’(Ɵ) no<br />  cambian muy rápidamente, entonces el error<br />  de truncamiento ...
Teorema 2 (Fórmula centrada de orden O(h4)<br />Supongamos que f Ɛ 𝐶5[a,b] y que x-2h, x-h, x,  x+h,<br />x+2h pertenecen ...
siendo<br />
En efecto, a partir de los desarrollos de cuarto<br />  orden de f, alrededor de x, para f(x+h) y f(x-h)<br /> y<br />
Ahora usamos como incremento 2h, en vez de h,<br />  y escribimos la correspondiente aproximación:<br />
A continuación multiplicamos por 8 a la   expresión<br /> (@) y le restamos la relación (*), con ello se<br /> simplifican...
Si 𝑓(5) tiene signo constante y no cambia muy<br /> rápidamente cerca de x, podemos encontrar un<br /> punto ɞ en [x-2h,x+...
Reemplazando la ecuación (6) en (5) y despejando<br />  f’(x), obtenemos<br />
Ahora podemos comparar las formulas (1) y (3).<br />  Supongamos que f(x) admite cinco derivadas<br />  continuas y que |𝑓...
  EJEMPLO:  sea f(x)=cos(x)<br />(a)  Vamos a usar las fórmulas (1) y (3) con<br />         incrementos h=0.1, 0.01, 0.001...
SOLUCIÓN<br />Usando la fórmula (1) con h=0.01<br />
Usando la fórmula (3) con h=0.01<br />
(b) El error en las aproximaciones dadas por las<br />        fórmulas (1) y (3) son:<br />        ⇒ -sen(0.8) - (-0.71734...
Vemos que, en este ejemplo, la fórmula (3)<br />  proporciona una aproximación a f’(0.8) mejor<br />  que la que proporcio...
Tabla : Derivación numérica mediante las<br />fórmula (1) y (3)<br />
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Didactica de la ensenanza de las matematicas

  1. 1. DIDACTICA DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS<br />DERIVACIÓN<br />NUMÈRICA<br />
  2. 2. Las fórmulas de derivación numérica son<br />importantes en el desarrollo de algoritmos<br />para resolver problemas de contorno de<br />ecuaciones diferenciales ordinarias y<br />ecuaciones en derivadas parciales.<br />
  3. 3. La aproximación del valor de la derivada de una<br /> función en un punto no es, nuestro objetivo, pues<br />el comando diff de Matlab, se encarga de eso.<br />Por el contrario, si es que se conocen los valores<br />de la función en algunos puntos, es ahí donde las<br />fórmulas de derivación aproximada sí serán de<br />granutilidad.<br />
  4. 4. Ejemplo<br /> Vamos a aproximar la derivada primera de una función <br /> f, que suponemos regular, en un punto x utilizando <br />los valores de la función en dos puntos x y x+h.<br /> Consideremos el desarrollo de Taylor de segundo<br />orden:<br />
  5. 5. quedetermina<br />Portanto, la formula<br />aproxima la derivada primera de f en x<br />
  6. 6. con un error<br />denotemos<br />
  7. 7. Fórmulas de diferencias centradas<br /> Si la función f(x) puede evaluarse en puntos que<br /> están a ambos lados de x, entonces usamos…<br />Teorema 1. (Fórmula centrada de orden O(h2))<br /> Supongamos que f ε C[a,b] y que x-h,<br /> x, x+h ε [a,b]. Entonces:<br />
  8. 8. Es más, existe un número Ɵ= Ɵ (x) ε[a,b] tal que<br />siendo <br />El termino E(f,h) se llama error de truncamiento<br />
  9. 9. En efecto, usando la formula de Taylor de orden 2<br /> de f, alrededor de x, para f(x+h) y f(x-h)<br />y<br />
  10. 10. Restando ambas expresiones y dividiendo por 2h<br />como f’’’(x) es continua, por el teorema de valor<br /> intermedio existe q= q(x) en (a,b) tal que<br />
  11. 11. Así, la formula:<br />aproxima a la derivada de f en el punto x con un<br /> error<br />
  12. 12.
  13. 13. Si los valores de la tercera derivada f’’’(Ɵ) no<br /> cambian muy rápidamente, entonces el error<br /> de truncamiento tiende a cero a la misma<br /> velocidad que h2, lo que expresamos<br /> mediante la notación O(h2)<br /> <br />
  14. 14. Teorema 2 (Fórmula centrada de orden O(h4)<br />Supongamos que f Ɛ 𝐶5[a,b] y que x-2h, x-h, x, x+h,<br />x+2h pertenecen a [a,b]. Entonces: <br />Es mas, existe un numero Ɵ= Ɵ (x)Ɛ[a,b] tal que<br /> <br />
  15. 15. siendo<br />
  16. 16. En efecto, a partir de los desarrollos de cuarto<br /> orden de f, alrededor de x, para f(x+h) y f(x-h)<br /> y<br />
  17. 17.
  18. 18. Ahora usamos como incremento 2h, en vez de h,<br /> y escribimos la correspondiente aproximación:<br />
  19. 19. A continuación multiplicamos por 8 a la expresión<br /> (@) y le restamos la relación (*), con ello se<br /> simplifican varios términos y obtenemos<br />
  20. 20. Si 𝑓(5) tiene signo constante y no cambia muy<br /> rápidamente cerca de x, podemos encontrar un<br /> punto ɞ en [x-2h,x+2h] tal que<br /> <br />
  21. 21. Reemplazando la ecuación (6) en (5) y despejando<br /> f’(x), obtenemos<br />
  22. 22. Ahora podemos comparar las formulas (1) y (3).<br /> Supongamos que f(x) admite cinco derivadas<br /> continuas y que |𝑓(3)(c)| y |𝑓(5)(c)|valen más o<br /> menos lo mismo, entonces el error de truncamiento<br /> de (3) es de orden O(h4) y convergerá a cero más<br /> rápidamente que el error de truncamiento de la<br /> fórmula (1) que es de orden O(h2); esto quiere decir<br /> que podemos usar un incremento mayor para lograr<br /> la misma precisión.<br /> <br />
  23. 23. EJEMPLO: sea f(x)=cos(x)<br />(a) Vamos a usar las fórmulas (1) y (3) con<br /> incrementos h=0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001 para<br /> calcular aproximaciones a f '(0.8).<br /> Trabajaremos con nueve cifras decimales<br /> significativas.<br /> (b) Compararemos los valores obtenidos con el<br /> exacto f '(0.8) = -sen(0.8)<br />
  24. 24. SOLUCIÓN<br />Usando la fórmula (1) con h=0.01<br />
  25. 25. Usando la fórmula (3) con h=0.01<br />
  26. 26. (b) El error en las aproximaciones dadas por las<br /> fórmulas (1) y (3) son:<br /> ⇒ -sen(0.8) - (-0.717344150)<br /> = - 0.717356090899523- ( - 0.717344150)<br /> = - 0.000011941<br /> ⇒ -sen(0.8) - (-0.717356108)<br /> = - 0.717356090899523- ( - 0.717356108)<br /> =0.000000017 <br />
  27. 27. Vemos que, en este ejemplo, la fórmula (3)<br /> proporciona una aproximación a f’(0.8) mejor<br /> que la que proporciona la fórmula (1) cuando<br /> h=0.01 pero no cuando h=0.0001(véase la<br /> tabla)<br />
  28. 28. Tabla : Derivación numérica mediante las<br />fórmula (1) y (3)<br />
  29. 29. FIN<br />

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