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# Mathematics of Paper Folding - Computational Origami

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For almost as long as there have been computers, people have tried out ways of creating origami—or at least, folded paper shapes—using computational techniques. Once they began developing computational tools for folding, there arose the supporting field of computational origami: the study of mathematical laws and data structures that apply to the intersection of computing and folding. Computational origami is a subset of the branch of computer science known as computational geometry; many of the algorithms of the former have broader applicability in the latter. We see, for example, the straight skeleton appearing in problems as diverse as the design of origami insects and the design of pitched roofs on buildings! The practical realization of computational origami theory and algorithms are tools—computer programs — that carry out origami design and computations (more informations in http://www.langorigami.com/science/computational/computational.php).

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• @adolfont Pois é professor, é uma área densa, vasta e impressionante que vai desde a simulação de encaixe de proteínas até a metalurgia. A apresentação foi realizada por um amigo matemático com o qual desenvolvo este hobby de pesquisa!

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• Que legal! Minha filha adora origami. Mas diz que não gosta de matemática. Vou mostrar pra ela!

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### Mathematics of Paper Folding - Computational Origami

1. 1. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Origami Matemático Augusto Ícaro F. da Cunha Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. Simões Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970 Professora: Anayara Gomes dos Santos icaro.morpheus@gmail.com 30 de Março 2012 Origami Matemático Projetos I
2. 2. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Sumário Motivação História do Origami Construções Matemáticas Problema da Trissecção de Ângulos Origami Matemático Projetos I
3. 3. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Sumário Motivação História do Origami Construções Matemáticas Problema da Trissecção de Ângulos Origami Matemático Projetos I
4. 4. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Sumário Motivação História do Origami Construções Matemáticas Problema da Trissecção de Ângulos Origami Matemático Projetos I
5. 5. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Sumário Motivação História do Origami Construções Matemáticas Problema da Trissecção de Ângulos Origami Matemático Projetos I
6. 6. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Motivação Dar uma breve explanação sobre Origami Matemático para a turma de Projetos I Mostrar uma das áreas de atuação na grande área da Matemática Aplicada Origami Matemático Projetos I
7. 7. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões História da Origami Origami é uma palavra composta das parcelas oru (dobrar) e kami (papel), consistindo na arte japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado, sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes perﬁs de artistas Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami computacional Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70) Origami Matemático Projetos I
8. 8. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões História da Origami Origami é uma palavra composta das parcelas oru (dobrar) e kami (papel), consistindo na arte japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado, sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes perﬁs de artistas Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami computacional Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70) Origami Matemático Projetos I
9. 9. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões História da Origami Origami é uma palavra composta das parcelas oru (dobrar) e kami (papel), consistindo na arte japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado, sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes perﬁs de artistas Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami computacional Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70) Origami Matemático Projetos I
10. 10. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões História da Origami Origami é uma palavra composta das parcelas oru (dobrar) e kami (papel), consistindo na arte japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado, sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes perﬁs de artistas Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami computacional Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70) Origami Matemático Projetos I
11. 11. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões História da Origami Origami é uma palavra composta das parcelas oru (dobrar) e kami (papel), consistindo na arte japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado, sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes perﬁs de artistas Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami computacional Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70) Origami Matemático Projetos I
12. 12. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões História da Origami Origami é uma palavra composta das parcelas oru (dobrar) e kami (papel), consistindo na arte japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado, sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes perﬁs de artistas Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami computacional Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70) Origami Matemático Projetos I
13. 13. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas Mas qual a relação de origami com matemática? Origami Matemático Projetos I
14. 14. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas O Origami é dividido em 2 categorias: Mudulares Poliedros Convexos e não convexos Construção feita por modulos Abrange conceitos de Topologia, Grafos, Geometria e outros A principal regra é a Característica de Euler (V − A + F = 2) Não Modulares Construção através de um quadrado Construções Euclidianas Geometria Plana* Abrange conceitos de Grafos, EDO, Probabilidade, Geometria Diferencial e outros Origami Matemático Projetos I
15. 15. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas O Origami é dividido em 2 categorias: Mudulares Poliedros Convexos e não convexos Construção feita por modulos Abrange conceitos de Topologia, Grafos, Geometria e outros A principal regra é a Característica de Euler (V − A + F = 2) Não Modulares Construção através de um quadrado Construções Euclidianas Geometria Plana* Abrange conceitos de Grafos, EDO, Probabilidade, Geometria Diferencial e outros Origami Matemático Projetos I
16. 16. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas O Origami é dividido em 2 categorias: Mudulares Poliedros Convexos e não convexos Construção feita por modulos Abrange conceitos de Topologia, Grafos, Geometria e outros A principal regra é a Característica de Euler (V − A + F = 2) Não Modulares Construção através de um quadrado Construções Euclidianas Geometria Plana* Abrange conceitos de Grafos, EDO, Probabilidade, Geometria Diferencial e outros Origami Matemático Projetos I
17. 17. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas O Origami é dividido em 2 categorias: Mudulares Poliedros Convexos e não convexos Construção feita por modulos Abrange conceitos de Topologia, Grafos, Geometria e outros A principal regra é a Característica de Euler (V − A + F = 2) Não Modulares Construção através de um quadrado Construções Euclidianas Geometria Plana* Abrange conceitos de Grafos, EDO, Probabilidade, Geometria Diferencial e outros Origami Matemático Projetos I
18. 18. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas O Origami é dividido em 2 categorias: Mudulares Poliedros Convexos e não convexos Construção feita por modulos Abrange conceitos de Topologia, Grafos, Geometria e outros A principal regra é a Característica de Euler (V − A + F = 2) Não Modulares Construção através de um quadrado Construções Euclidianas Geometria Plana* Abrange conceitos de Grafos, EDO, Probabilidade, Geometria Diferencial e outros Origami Matemático Projetos I
19. 19. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas O Origami é dividido em 2 categorias: Mudulares Poliedros Convexos e não convexos Construção feita por modulos Abrange conceitos de Topologia, Grafos, Geometria e outros A principal regra é a Característica de Euler (V − A + F = 2) Não Modulares Construção através de um quadrado Construções Euclidianas Geometria Plana* Abrange conceitos de Grafos, EDO, Probabilidade, Geometria Diferencial e outros Origami Matemático Projetos I
20. 20. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas O Origami é dividido em 2 categorias: Mudulares Poliedros Convexos e não convexos Construção feita por modulos Abrange conceitos de Topologia, Grafos, Geometria e outros A principal regra é a Característica de Euler (V − A + F = 2) Não Modulares Construção através de um quadrado Construções Euclidianas Geometria Plana* Abrange conceitos de Grafos, EDO, Probabilidade, Geometria Diferencial e outros Origami Matemático Projetos I
21. 21. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas O Origami é dividido em 2 categorias: Mudulares Poliedros Convexos e não convexos Construção feita por modulos Abrange conceitos de Topologia, Grafos, Geometria e outros A principal regra é a Característica de Euler (V − A + F = 2) Não Modulares Construção através de um quadrado Construções Euclidianas Geometria Plana* Abrange conceitos de Grafos, EDO, Probabilidade, Geometria Diferencial e outros Origami Matemático Projetos I
22. 22. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Axiomas Dados 2 pontos P1 e P2, podemos dobrar uma linha que os une Dados 2 pontos P1 e P2, podemos dobrar P1 em P2 Dadas 2 linhas l1 e l2, podemos dobrar l1 em l2 p1 p2 lf p1 p2 lf lf l1 l2 Origami Matemático Projetos I
23. 23. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Axiomas Dados 2 pontos P1 e P2, podemos dobrar uma linha que os une Dados 2 pontos P1 e P2, podemos dobrar P1 em P2 Dadas 2 linhas l1 e l2, podemos dobrar l1 em l2 p1 p2 lf p1 p2 lf lf l1 l2 Origami Matemático Projetos I
24. 24. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Axiomas Dados 2 pontos P1 e P2, podemos dobrar uma linha que os une Dados 2 pontos P1 e P2, podemos dobrar P1 em P2 Dadas 2 linhas l1 e l2, podemos dobrar l1 em l2 p1 p2 lf p1 p2 lf lf l1 l2 Origami Matemático Projetos I
25. 25. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Axiomas Dado um ponto P1 e uma linha l1, podemos dobrar uma linha perpendicular a l1 que passa por P1 Dados 2 pontos P1 e P2 uma linha l1, podemos dobrar P1 em l1 de tal forma que a nova dobra passe por P2 Dados 2 pontos P1 e P2 e 2 linhas l1 e l2, podemos achar a linha que projeta P1 em l1 e projeta P2 em l2 lf p1 l1 p1 l1 lf p2 p1 p2 lf l1 l2 Origami Matemático Projetos I
26. 26. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Axiomas Dado um ponto P1 e uma linha l1, podemos dobrar uma linha perpendicular a l1 que passa por P1 Dados 2 pontos P1 e P2 uma linha l1, podemos dobrar P1 em l1 de tal forma que a nova dobra passe por P2 Dados 2 pontos P1 e P2 e 2 linhas l1 e l2, podemos achar a linha que projeta P1 em l1 e projeta P2 em l2 lf p1 l1 p1 l1 lf p2 p1 p2 lf l1 l2 Origami Matemático Projetos I
27. 27. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Axiomas Dado um ponto P1 e uma linha l1, podemos dobrar uma linha perpendicular a l1 que passa por P1 Dados 2 pontos P1 e P2 uma linha l1, podemos dobrar P1 em l1 de tal forma que a nova dobra passe por P2 Dados 2 pontos P1 e P2 e 2 linhas l1 e l2, podemos achar a linha que projeta P1 em l1 e projeta P2 em l2 lf p1 l1 p1 l1 lf p2 p1 p2 lf l1 l2 Origami Matemático Projetos I
28. 28. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas Construção de retângulo num pedaço de papel qualquer Construção de quadrado Construção de Triângulo Equilátero Origami Matemático Projetos I
29. 29. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas Construção de retângulo num pedaço de papel qualquer Construção de quadrado Construção de Triângulo Equilátero Origami Matemático Projetos I
30. 30. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas Construção de retângulo num pedaço de papel qualquer Construção de quadrado Construção de Triângulo Equilátero Origami Matemático Projetos I
31. 31. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero Mas como contruir um triângulo equilátero a partir de um quadrado? A B C O B' A' C' Origami Matemático Projetos I
32. 32. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero Obtenha um pedaço de papel quadrado Dobre uma reta de apoio na metade do quadrado Leve uma das pontas A ou B do quadrado para a linha de apoio de forma tal que se forme uma diagonal da quina oposta até a linha de apoio Repita o processo para a ponta oposta A B C O B' A' Origami Matemático Projetos I
33. 33. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero Obtenha um pedaço de papel quadrado Dobre uma reta de apoio na metade do quadrado Leve uma das pontas A ou B do quadrado para a linha de apoio de forma tal que se forme uma diagonal da quina oposta até a linha de apoio Repita o processo para a ponta oposta A B C O B' A' Origami Matemático Projetos I
34. 34. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero Obtenha um pedaço de papel quadrado Dobre uma reta de apoio na metade do quadrado Leve uma das pontas A ou B do quadrado para a linha de apoio de forma tal que se forme uma diagonal da quina oposta até a linha de apoio Repita o processo para a ponta oposta A B C O B' A' Origami Matemático Projetos I
35. 35. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero Obtenha um pedaço de papel quadrado Dobre uma reta de apoio na metade do quadrado Leve uma das pontas A ou B do quadrado para a linha de apoio de forma tal que se forme uma diagonal da quina oposta até a linha de apoio Repita o processo para a ponta oposta A B C O B' A' Origami Matemático Projetos I
36. 36. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero Marque o ponto da reta de apoio que liga os 2 lados, que chamaremos de C Dobre uma reta de apoio entre AC e BC Vemos que a projeção de B em AC é B e a projeção de A em BC é C Observe que o Triângulo formado por ABC e A B C são equiláteros A B C O B' A' C' Origami Matemático Projetos I
37. 37. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero Marque o ponto da reta de apoio que liga os 2 lados, que chamaremos de C Dobre uma reta de apoio entre AC e BC Vemos que a projeção de B em AC é B e a projeção de A em BC é C Observe que o Triângulo formado por ABC e A B C são equiláteros A B C O B' A' C' Origami Matemático Projetos I
38. 38. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero Marque o ponto da reta de apoio que liga os 2 lados, que chamaremos de C Dobre uma reta de apoio entre AC e BC Vemos que a projeção de B em AC é B e a projeção de A em BC é C Observe que o Triângulo formado por ABC e A B C são equiláteros A B C O B' A' C' Origami Matemático Projetos I
39. 39. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero Marque o ponto da reta de apoio que liga os 2 lados, que chamaremos de C Dobre uma reta de apoio entre AC e BC Vemos que a projeção de B em AC é B e a projeção de A em BC é C Observe que o Triângulo formado por ABC e A B C são equiláteros A B C O B' A' C' Origami Matemático Projetos I
40. 40. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero Mas como fazer a trissecção de um ângulo agudo no origami? Q C P A' B P' Q' R Origami Matemático Projetos I
41. 41. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Trissecção de Ãngulos Marque o ângulo para a trissecção e este angulo será o PCB Dobre uma reta de apoio qualquer EF paralela a BC Agora dobre BC sobre EF formando a reta de apoio GH Faça uma dobra de forma tal que o ponto B ∈ GH e E ∈ BP D A B D C A B D C E F A B D C E F G H A B D C E F G H P P P P Origami Matemático Projetos I
42. 42. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Trissecção de Ãngulos Marque o ângulo para a trissecção e este angulo será o PCB Dobre uma reta de apoio qualquer EF paralela a BC Agora dobre BC sobre EF formando a reta de apoio GH Faça uma dobra de forma tal que o ponto B ∈ GH e E ∈ BP D A B D C A B D C E F A B D C E F G H A B D C E F G H P P P P Origami Matemático Projetos I
43. 43. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Trissecção de Ãngulos Marque o ângulo para a trissecção e este angulo será o PCB Dobre uma reta de apoio qualquer EF paralela a BC Agora dobre BC sobre EF formando a reta de apoio GH Faça uma dobra de forma tal que o ponto B ∈ GH e E ∈ BP D A B D C A B D C E F A B D C E F G H A B D C E F G H P P P P Origami Matemático Projetos I
44. 44. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Trissecção de Ãngulos Marque o ângulo para a trissecção e este angulo será o PCB Dobre uma reta de apoio qualquer EF paralela a BC Agora dobre BC sobre EF formando a reta de apoio GH Faça uma dobra de forma tal que o ponto B ∈ GH e E ∈ BP D A B D C A B D C E F A B D C E F G H A B D C E F G H P P P P Origami Matemático Projetos I
45. 45. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Trissecção de Ãngulos Dobre ao longo da linha demarcada por G, criando o ponto J Desdobre Estenda a dobra anterior até a quina formando BJ e dobre BC sobre BJ Pronto, agora observe que o ângulo foi trisectado A B D C E F G H A B D C E F G H A B D C E F G H JP P P A B D C E F G H J D/3 D/3 D P /3 Origami Matemático Projetos I
46. 46. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Trissecção de Ãngulos Dobre ao longo da linha demarcada por G, criando o ponto J Desdobre Estenda a dobra anterior até a quina formando BJ e dobre BC sobre BJ Pronto, agora observe que o ângulo foi trisectado A B D C E F G H A B D C E F G H A B D C E F G H JP P P A B D C E F G H J D/3 D/3 D P /3 Origami Matemático Projetos I
47. 47. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Trissecção de Ãngulos Dobre ao longo da linha demarcada por G, criando o ponto J Desdobre Estenda a dobra anterior até a quina formando BJ e dobre BC sobre BJ Pronto, agora observe que o ângulo foi trisectado A B D C E F G H A B D C E F G H A B D C E F G H JP P P A B D C E F G H J D/3 D/3 D P /3 Origami Matemático Projetos I
48. 48. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Trissecção de Ãngulos Dobre ao longo da linha demarcada por G, criando o ponto J Desdobre Estenda a dobra anterior até a quina formando BJ e dobre BC sobre BJ Pronto, agora observe que o ângulo foi trisectado A B D C E F G H A B D C E F G H A B D C E F G H JP P P A B D C E F G H J D/3 D/3 D P /3 Origami Matemático Projetos I
49. 49. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Agradecimentos Grato Pela Atenção! Origami Matemático Projetos I
50. 50. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões Contatos Como me contactar? Augusto Ícaro - icaro.morpheus@gmail.com Origami Matemático Projetos I