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Graph Theory - Exercises - Chapter 2 - Part II

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Some solved exercises of Graph Theory. The reference book used was: "Grafos - Introdução e Prática".

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Graph Theory - Exercises - Chapter 2 - Part II

  1. 1. Lista de Exercícios - Teoria dos Grafos Exercícios do Capítulo 2 - Questões 10, 11, 16, 19 Michel Alves dos Santos ∗ Março de 2011 Conteúdo Lista de Figuras 1 1 Questão 10 2 1.1 a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Questão 11 2 2.1 a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Questão 16 4 4 Questão 19 4 4.1 a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4.2 b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4.3 c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lista de Figuras 1 Grafo apresentado para décima questão. A primeira figura indica apenas as ligações entre os vértices, a segunda apresenta o grafo complementar. . . . . . . . . . . . . 2 2 Grafo bipartido original, grafo bipartido completo obtido a partir do bipartido ori- ginal e grafo bipartido complementar obtido a partir do grafo bipartido original. . 2 3 Grafos não isomorfos - questão a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Grafos não isomorfos - questão b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 Através do Teorema de Enumeração de Polya, podemos provar que um grafo com 5 vértices e 7 arestas possui 4 grafos não isomorfos. Os números ao lado dos vértices denotam o grau de cada vértice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ∗Bacharelando em Ciência da Computação, Universidade Federal do Estado de Alagoas(UFAL). E-mails: mi- chel.mas@gmail.com, michelalavessantos@hotmail.com. Disciplina: Teoria dos Grafos. Docente Responsável: Leo- nardo Viana Pereira. 1
  2. 2. 6 Grafos não isomorfos obtidos através do software Mathematica. Usando o pacote Combinatorica‘ podemos obter o número de grafos não isomorfos através do co- mando NumberOfGraphs[n,k], onde n representa o número de vértices e k o número de arestas. Através da função ListGraphs[n,k], pertencente ao mesmo pacote, po- demos obter a estrutura de cada grafo. Finalmente, utilizando o comando Show- GraphArray[ListGraphs[n,k]] somos capazes de desenhar todos os grafos simples não isomorfos com n vértices e k arestas. A base para a obtenção da quantidade de grafos não isomorfos origina-se do Teorema de Polya. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 Grafo sf-conexo com caminho em vermelho passando por todos os vértices. . . . . . 4 8 Grafo de 8 e 9 vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Questão 10 1.1 a) Figura 1: Grafo apresentado para décima questão. A primeira figura indica apenas as ligações entre os vértices, a segunda apresenta o grafo complementar. Primeiramente podemos observar que a clique do grafo original deu origem a um conjunto independente em seu respectivo grafo complementar, além disso podemos concluir que o número de ligações para cada vértice no grafo complementar será igual ao número total de vértices menos o antigo número de ligações mais um, ou seja: K(v) = |V | − (d(v) + 1) Onde K(v) é o novo grau do vértice no grafo complementar, |V | é o número de vértices no grafo original e d(v) o grau do vértice no grafo original. 1.2 b) Figura 2: Grafo bipartido original, grafo bipartido completo obtido a partir do bipartido original e grafo bipartido complementar obtido a partir do grafo bipartido original. 2 Questão 11 2.1 a) Dois grafos são isomorfos se e somente se existir uma função bijetiva entre seus conjuntos de vértices, que preserve suas relações de adjacência. Observa-se nos grafos abaixo, que G1 possui um vértice de grau 4 e G2, possui dois vértices de grau 4. Portanto, G1 e G2 não são isomorfos, pois a relação de adjacência não foi preservada. 2
  3. 3. Figura 3: Grafos não isomorfos - questão a). 2.2 b) Figura 4: Grafos não isomorfos - questão b). Para esta questão vale a pena lembrar que através do teorema que relaciona o número de arestas com a soma dos graus dos vértices de um grafo podemos checar se a construção do grafo realmente atende a seguinte propriedade: a soma dos graus de cada vértice deve ser igual ao dobro do número de arestas. Figura 5: Através do Teorema de Enumeração de Polya, podemos provar que um grafo com 5 vértices e 7 arestas possui 4 grafos não isomorfos. Os números ao lado dos vértices denotam o grau de cada vértice. Figura 6: Grafos não isomorfos obtidos através do software Mathematica. Usando o pacote Com- binatorica‘ podemos obter o número de grafos não isomorfos através do comando NumberOf- Graphs[n,k], onde n representa o número de vértices e k o número de arestas. Através da função ListGraphs[n,k], pertencente ao mesmo pacote, podemos obter a estrutura de cada grafo. Final- mente, utilizando o comando ShowGraphArray[ListGraphs[n,k]] somos capazes de desenhar todos os grafos simples não isomorfos com n vértices e k arestas. A base para a obtenção da quantidade de grafos não isomorfos origina-se do Teorema de Polya. 3
  4. 4. 3 Questão 16 A definição de grafo sf-conexo diz que para todo par de vértices u, v, existirá um caminho de u até v e/ou existirá um caminho de v até u. Lembre-se que caminho é um tipo de percurso em grafos orientados onde todos os arcos estão no sentido início do percurso −→ fim do percurso(ou seja, não há voltas/ciclos). Veja o exemplo abaixo: Figura 7: Grafo sf-conexo com caminho em vermelho passando por todos os vértices. 4 Questão 19 4.1 a) Nenhum grafo antirregular com n vértices pode ter mais que n − 1 graus diferentes. 4.2 b) Se uma sequência de graus gerar um único grafo ela será chamada unigráfica. As sequências de graus dos grafos antirregulares são unigráficas. 4.3 c) Figura 8: Grafo de 8 e 9 vértices. 4

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