Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

The Proof Complexity of Linear Algebra - LICS 2002

626 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

The Proof Complexity of Linear Algebra - LICS 2002

  1. 1. Ì ÈÖÓÓ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ä Ò ÖÐ ÖÅ Ð ËÓÐØÝ× Ò ËØ Ô Ò ÓÓÂÙÐÝ ¾¼¼¾½
  2. 2. Ï Ø × Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÖÓÚ Ò ØÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ò ÔÐ × Ó Ð Ò Ö Ð ÖÓÖ Ü ÑÔЯ Á Á¯ Ì ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸Ô ´ µ ¼¯ Ì ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø ÖÑ Ò Òظش µ Ø´ µ Ø´ µ¾
  3. 3. Á ÁÈÖÓÔÓ× Ý ÓÓ × Ò Ø ÓÖ× Ô Ö Ø Ò Ö Ò ÜØ Ò Ö ºÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ ØÓ Ô¹ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö ´ÓÚ Ö¬Ü ¬ Ð ×Ù × Ô ÓÖ É µ ØÓ¯ ´ Á Áµ¯ Á ´ ¼ ¼µ¯ Á Á¯ Á Ø Ø Á¿
  4. 4. Á Á Ò ÔÖÓÚ Ò Ò ÔÓÐÝ× ÞÜØ Ò Ö ¸ Ù× Ù×× ÒÐ Ñ Ò Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ò ÓÖÖ Ø Ò ÔÓÐÝ× ÞÜØ Ò Ö ºÓÖÖ Ø Ñ Ò× ÒÝ Ñ ØÖ Ü ÒÓÒÚ ÖØ ØÓ ÖÓÛ¹ ÐÓÒ ÓÖÑ Û Ø× ÕÙ Ò Ó Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÖÓÛ ÓÔ Ö Ø ÓÒ׺Í× Ò Ø × ÓÒ Ø ÓÒ Ó ÓÖÖ ØÒ ×׸ Û Ò× ÓÛ Ø Ø Á¸ Ø Ò Ø Ö Ü ×Ø× Ð ØÒÚ Ö× Ó º Ë Ò Ø Ò ÔÖÓÚ Ò ÒÔÓÐÝ× Þ Ö Ø Ø Á ´  Áµ ¼¸Û Ö ÓÒ ºÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Ø × Ñ× Ø ØÁ Á ÒÒÓØ ÔÖÓÚ Ò Û ØÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×º
  5. 5. Ù×× Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÒ × Û ÐÐ ×ØÙÔÓÐÝØ Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Û Ó× ÓÖÖ ØÒ ×× Ò× ÓÛÒ × ÐÝ Ò ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö ºÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × Ñ× ØÓ Ò Ö ÒØÐÝ × ÕÙ ÒØ ÐºÌ Ö Ö ×Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖÓÑÔÙØ Ò Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ´ ÒÒ Ø ÒÚ Ö× µ Ó Ñ ØÖ ×¯ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ¯ ×ØÓÚ³× Ð ÓÖ Ø Ñ¯ × Ò Ý³× Ð ÓÖ Ø Ñ ´ ÓÖ ¬ Ð × Ó Ö ¼µÐÐ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò ÓÖÑ Ð Þ Û ØÆ ¾ ÖÙ Ø× ´ ÖÙ Ø× Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð × Þ ¸ ÒÔØ Ç´ÐÓ ¾µ¸ Ò Ø × Þ Ó Ñ ØÖ ×µº
  6. 6. Ï ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Ùׯ ÁØ Ó × ÒÓØ Ù× Ú × ÓÒ׸ ×Ó Ø × ¬ ÐÒ Ô Ò ÒØ ´×Ó Ø ÛÓÖ × ÓÚ ÖÓÑÑÙØ Ø Ú Ö Ò ×µº¯ ÁØ × ×Ý ØÓ ÓÖÑ Ð Þ ¸ × Ò Ø ÓÒÐÝÖ ÕÙ Ö × Ñ ØÖ Ü ÔÓÛ Ö Ò × ÔÖ Ñ Ø ÚÓÔ Ö Ø ÓÒº Ì × × Ò Ú ÒØ Ù×Û Û ÒØ ØÓ × Ò ÐÓ Ð Ø ÓÖ × ÓÖÔÖÓÚ Ò Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×ºÉÙ ×Ø ÓÒ Ò Û ÔÖÓÚ ÓÖÖ ØÒ ××ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ Ù× ÒÆ ¾ ÓÒ ÔØ× ÓÒÐݸ Ù×Ø × Û Û Ö Ð ØÓÔÖÓÚ ÓÖÖ ØÒ ×× ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ù×× ÒÐ Ñ Ò Ø ÓÒ Ù× Ò ÔÓÐÝØ Ñ ÓÒ ÔØ× ÓÒÐÝ
  7. 7. Ï Ø ÛÓÙÐ Ø × Ö Ð ÓÖÖ ØÒ ××ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø ÑÖ ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ × ØÓ Æ ÒØ× Ó Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÓ Ñ ØÖ Ü¸ Ù× Ò Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ ÙØ׺ÌÛÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ ÖØ × Ö Ð Ø ØÓ Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¸ Ö¯ Ì ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸Ô ´ µ ¼¸¯ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø ÖÑ Ò Òظش µ Ø´ µ Ø´ µ´Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ó Æ ÒØ Ó Ø Ö ÔÓÐÝÓ Ò Ò ¢Ò Ñ ØÖ Ü × ´ ½µÒ Ø´ µµº
  8. 8. ÁÒ Ø¸ Á Á ÓÐÐÓÛ× ´ Ò ÔÓÐÝ× ÞÆ ¾¹ Ö µ ÖÓÑ Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØݸ Ò ÒÐÐ Ø ÓØ Ö Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×¸ ÔÖ ×ÙÑ ÐÝÖ ÓÖ Ö ¸ Ð×Ó ÓÐÐÓÛ ´ Ò ÔÓÐÝ× ÞÆ ¾¹ Ö µ ÖÓÑ Ø ÑºËÓ Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ ×Ò Û ÔÖÓÚ Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ ÑÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÒÔÓÐÝ× Þ Æ ¾¹ ÖÌÓ ×ØÙ Ý Ø × ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ò ØÓ × Û Ø ØÝÔÓ Ö ×ÓÒ Ò × Ò ×× ÖÝ ØÓ ÓÖÑ Ð Þ ØÙÒ Ú Ö× Ð Ø ÓÖ Ñ× Ó Ð Ò Ö Ð Ö ¸ ÛÚ ÐÓÔ Ø Ö ÐÓ Ð Ø ÓÖ ×Ä Ä È Ä ÈÓ ÒÖ × Ò ×ØÖ Ò Ø º
  9. 9. Ä Ò Ö Ð Ö ´Ä µÄ × ÕÙ ÒØ ¬ Ö¹ Ö Ø ÓÖݸ Û Ø Ø Ö×ÓÖØ× Ò ×¸ ¬ Ð Ð Ñ ÒØ׸ Ñ ØÖ ×ºÁØ ÓÒØ Òׯ Ø Ù×Ù Ð Ü ÓÑ× Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÖ Ò ×´Æ µ¸ Ò Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ò ×¯ Ø Ù×Ù Ð ¬ Ð Ü ÓÑׯ Û Ý Ó ÓÒ×ØÖÙØ Ò Ò Û Ñ ØÖ × ´Ù× Ò×ÓÑ ÖÙ Ñ ÒØ ÖÝ ¹ ÐÙÐÙ×µºÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ú Ò Ò ¢Ò Ñ ØÖ × ¸Û ÓÒ×ØÖÙØ Ø Ò Û Ñ ØÖ Ü · ×Ò Ò · º
  10. 10. ÐÐ Ø Ù×Ù Ð Ö Ò ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Ñ ØÖ × ÒÔÖÓÚ Ò Ò Ä º ÓÖ Ü ÑÔд µ ´ µ· ·ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × × ÖÐÝ Û Ø ÓÖÝ ÐÐØ ÓÖ Ñ× Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ Ñ Ð × ÓØ ÙØÓÐÓ ×¸ Û Ø ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÐÝ× Þ ÖÔÖÓÓ ×ºÌ ÙÒ ÖÐÝ Ò ¬ Ð ´ Ô ÓÖ É µ × Ô Ö Ñ Ø ÖÒ Ø ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ¸ Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ø ÓÖ ×Ä ¸ Ä È¸ Ò Ä È¸ Ö ¬ Ð Ò Ô Ò ÒغÐ×Ó¸ Ä ÔÖÓÚ × Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ó Ø Ñ ØÖ ÜÒØ Ø × Ø Ø Û ÔÖÓÔÓ× × Ò Ø × ÓÖ× Ô Ö Ø Ò Ö Ò ÜØ Ò Ö ºÇÈ Æ ÈÊÇ Ä Å Á× Á Á´ Ò Ò Ø ÓØ Ö ÒØ Ø ×µ Ò Ô Ò ÒØÓ Ä½¼
  11. 11. Ä Ò Ö Ð Ö Û Ø Ñ ØÖ Ü ÔÓÛ Ö×´Ä ÈµÏ ÜØ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ä ØÓ Ä È Ý ÒÒ Û ÙÒØ ÓÒ ×ÝÑ Óи ȸ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò¬Ò Ò Ü ÓÑ×È´ ¼µ ÁÈ´ Ò · ½µ È´ Òµ £Ï Ò ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ ÙØÛ Ø ÔÓÛ Ö Ò ¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Û Ò ÓÑÔÙØ× ÓÐÐÓÛ×ABCABC3Ë Ò Û Ò ÓÑÔÙØ Ø Ò¹Ø ÔÓÛ Ö ÓÑ ØÖ Ü Ý Ö Ô Ø ×ÕÙ Ö Ò Ò ÐÓ Ò Ñ ÒÝ×Ø Ô׸ Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ø Û Ò ÓÑÔÙØ Ø Ö ØÑ ØÖ Ü ÔÖÓ ÙØ× Û Ø Æ ¾ ÖÙ Ø׺½½
  12. 12. ÁÒ Ä È Û Ò ÜÔÖ ×× Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø ÑºÖ ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ × Ø ÖÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ò Ø ÖÑ× Ó Ø ÖÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Åºa 11MRSÏ Ø ÓÒÒ Ø× Ø Ö ÔÓÐÝ Ó ØÓ Ø ÖÔÓÐÝ Ó Å × Ë ÑÙ Ð×ÓÒ³× ÒØ ØÝÔ ´Üµ ´Ü   ½½µÔŴܵ  Ê £ ´ÜÁ  Åµ £Ë½¾
  13. 13. Ë Ò ´ÜÁ  Åµ Ò ÜÔÖ ×× Ò Ø ÖÑ×Ó Ø Ó Æ ÒØ× Ó ÔŸ Ò Ù× Ò ØÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸ Û Ò Ö ×Ø ØË ÑÙ Ð×ÓÒ³× ÒØ ØÝ × Ñ ØÖ Ü ÒØ ØݺÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ × ¿ ¢¿ Ñ ØÖ Ü¸ Ø ÒÔ¼½ ¼ ¼  ½½ ½ ¼ ÊË   ½½ ½ ÊÅË  ÊË   ½½½ÔÅÛ Ö Ô Ò ÔÅ Ö ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖ×ÓÒØ Ò Ò Ø Ó Æ ÒØ× Ó Ø Ö ÔÓÐÝ×Ó Ò Å¸ Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ½¿
  14. 14. Ì Ù× Ô ½ÔŸ Û Ö ½ × ÌÓ ÔÐ ØÞÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü¸ Ò Ô ÔÅ Ö Ø Ö ÔÓÐÝ× Ó Å¸ Ö ×Ô Ø Ú ÐÝºÏ Ò Ö Ô Ø Ø × ÔÖÓ ÙÖ ØÓ ÓÑÔÙØÔŸ Ý ¬Ò Ò ÔÅ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø Ö ÔÓÐÝÓ Å ½ ½℄º ÓÒØ ÒÙ Ò Ø × Û Ý Û ØÔ ½ ¾ ¡¡¡ ÒÛ Ö × ¬Ò Ò Ø ÖÑ× Ó Å Ê Ëa RS Mjj jj j½
  15. 15. Ì Ù׸ Û Ò ÓÑÔÙØ Ø Ó Æ ÒØ× Ó Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ñ ØÖ Ü Ò Ä È¸Û Ø Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñº ÙÖØ ÖÑÓÖÌÀ ÇÊ Å Ä È ÔÖÓÚ × Ø ÕÙ Ú Ð Ò ÓØ ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖ Ò ÔÐ ×ßÌ ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ ÑºßÌ Ü ÓÑ Ø ¬Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ´ ÐØ ÖÒ Ø Ò ¸ ÑÙÐØ Ð Ò Ö¸ Ò ½ ÓÒ ÁµºßÌ Ó ØÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ ÓÖÑÙÐ ºÒ Ä È Ð×Ó ÔÖÓÚ × Ø Ø Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒÌ ÓÖ Ñ ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ ÓØ Ø ÖÑ Ò ÒغÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Á Á ´ Ò ØÓØ Ö Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×µ ÓÐÐÓÛ× Ò Ä È ÖÓÑÒÝ Ó Ø ÓÚ ÔÖ Ò ÔР׺ÇÈ Æ ÈÊÇ Ä Å Ò ÒÝ Ó Ø ×ÔÖ Ò ÔÐ × ÔÖÓÚ Ò Ò Ä È½
  16. 16. Ï ÓÙØÐ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ü ÓÑ Ø ¬Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÖÓÑ ØÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ ÑºßÁØ × ×Ý ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø´ÁÒµ ½´ Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ò¸ ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ð×Ù Ñ ØÖ Ü Ó ÁÒ × ÁÒ ½µºßÁØ × ×Ý ØÓ × ÓÛ ÑÙÐØÐ Ð Ò Ö ØÝ Ò Ø ¬Ö×ØÖÓÛ¸ Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñº ÌÓ× ÓÛ ÑÙÐØ Ð Ò Ö ØÝ Ò ÐÐ ÖÓÛ׸ Û ÒÐØ ÖÒ Ø ÓÒºß ÐØ ÖÒ Ø ÓÒ × Ø ÆÙÐØ Ô Öغ Ì ÔÖÓÓÓ ÐØ ÖÒ Ø ÓÒ × Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ×´ µ Ä Ø Å Ø ¹Ø ÔÖ Ò Ô Ð ×Ù Ñ ØÖ Ü Ó´×Ó Å½ ½ ½℄¸ Ò Å ·½ Å ½ ½℄µºË ÓÛ ´ Ò Ä Èµ Ø Ø Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ ÓÐ ×ÓÖ Å ¸ Ø ÒÒ Á ´ ·½µ Á ´ ·½µ Ú Ø × Ñ Ö ÔÓÐݺ½
  17. 17. 00000000000000000011111111111111111100000000000000000000000000011111111111111111111111111100000000000000000000111111111111111111110000000000000000000011111111111111111111000000000000000000111111111111111111000000000000000000000000000111111111111111111111111111M i+1i-1Mrow irow i+1column icolumn i+1´ µ Í× Ò Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ × Ú Ö Ð Ø Ñ ×¸× ÓÛ Ø ØÒ Á ÁÚ Ø × Ñ Ö ÔÓÐݺ´ µ Ë ÓÛ¸ Ù× Ò Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ ÓÒ Å¾¸× ÓÛ Ø ØØ´ µ   Ø´Á½¾ µ´ Úµ ÓÑ Ò ´ µ Ò ´ µ ØÓ × ÓÛ Ø ØØ´ µ   Ø´Á µ½
  18. 18. Ì Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ× Ð ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×ºÌ Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä È Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ× Ð ÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×¸ º º¸ ÒØÓÆ ¾¹ Ö ÔÖÓÓ ×ºÌ Ù׸ Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ó Ø ÔÖ Ò ÔÐ ×Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ×Ð Ò × ÓÛÒÛ Ø ÔÓÐÝ× Þ Æ ¾¹ Ö ÔÖÓÓ ×º½
  19. 19. Ä ÈÌ × × Ä È Û Ö Û ÐÐÓÛ Ò ÙØ ÓÒ ÓÒÓÖÑÙÐ × Ó Ø ØÝÔ ´ Òµ«¸ Û Ö « ×ÒÓ ÕÙ ÒØ ¬ Ö׸ Ò × Ú Ö Ð Ó ØÝÔÑ ØÖ Ü Ó × Þ Ø ÑÓ×Ø Ò ¢ÒºÌ × ×ØÖ Ò Ø Ò Ò Ó Ò ÙØ ÓÒ × Û Ø ÐÐÓÛ×Ù× ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ ÑºÌ Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä È Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓÙÒ ÓÖÑ ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö ÔÖÓÓ ×ºÌ Ö ÓÖ ¸ ÓÙÖ ÔÖÓÓ Ó Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒÌ ÓÖ Ñ × × Ð ÔÖÓÓ Ò Ø¸ × Ö ×Û ÒÓÛ¸ Ø × × Ø ¬Ö×Ø × Ð ÔÖÓÓ Ó Ø ×ÔÖ Ò ÔÐ ºÐÐ ÔÖ Ú ÓÙ× ÔÖÓÓ × Ó Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒÌ ÓÖ Ñ Ö Ð ÓÒ Ø Ä Ö Ò ÜÔ Ò× ÓÒ ÓØ Ø ÖÑ Ò Òظ Û ÓÖ Ñ ØÖ Ü Ó × Þ Ò× Ò Ø ÖÑ׸ Ò Ò Ø × Ú ÖÝ Ò × Ð º½
  20. 20. Ì Ò Ø Ä È ÔÖÓÓ Ó Ø ¹ÀÌ ÓÖ Ñ × Ø ÓÐÐÓÛ ÒÁ Ô ´ µ ¼¸ Ø Ø ×¸ Ø ¹À Ø ÓÖ Ñ Ð×ÓÖ ¸ Ø Ò Û Ò ¬Ò Ò ÔÓÐÝØ Ñ×Ù ¹Ñ ØÖ Ü Ó ÓÖ Û Ô ´ µ ¼¸ º º¸ÓÖ Û Ø ¹À Ø ÓÖ Ñ Ð× ÐÖ ÝºË Ò Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ Ó × ÒÓØ Ð ÓÖ ½ ¢½Ñ ØÖ ×¸ Ø Ö Ø ÑÓ×Ø Ò ´× Þ Ó µ ×Ø Ô×Û Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒºÌ × Ò ÜÔÖ ×× Û Ø ÙÒ Ú Ö× ÐÕÙ ÒØ ¬ Ö× ÓÚ Ö Ú Ö Ð × Ó ØÝÔ Ñ ØÖ ÜØ ¹À Ø ÓÖ Ñ ÓÐ × ÓÖ ÐÐ Ñ ØÖ ××Ñ ÐÐ Ö Ø Ò ¸ Ø Ò Ø Ð×Ó ÓÐ × ÓÖ º¾¼
  21. 21. ËÙÑÑ ÖÝ Ó ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð ÌÖ Ò×Ð Ø ÓÒ×Ì ÓÖÝÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð ÈÖÓÓ ËÝ×Ø Ñ´ Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒÓÑÔÐ Ü ØÝ Ð ××µ¬ Ð Ô ¬ Ð ÉÄÔÓÐÝ× ÞÖ Û ØÅÇ Ô Ø ×´ ¼ Ô℄µÔÓÐÝ× Þ Ö´Æ ½µÄ ÈÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× Þ Ö´ Ì Æ ¾µÄ È ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö´Èµ¾½
  22. 22. ÇÔ Ò ÈÖÓ Ð Ñׯ Á× Á Á Ò Ô Ò ÒØ Ó Ä¯ Ò Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ Ò »ÓÖØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ× ÓÛÒ Ò Ä È¯ Ò Á Á × ÓÛÒ Ò Ä È¯ ÅÓÖ Ò Ö ÐÐݸ Ò ÙÒ Ú Ö× Ð Ñ ØÖ ÜÒØ Ø × × ÓÛÒ Û Ø ÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× ÞÖ ÔÖÓÓ ×¾¾

×