Successfully reported this slideshow.
Your SlideShare is downloading. ×

The Proof Complexity of Linear Algebra - LICS 2002

Advertisement

More Related Content

Advertisement
Advertisement

The Proof Complexity of Linear Algebra - LICS 2002

  1. 1. Ì ÈÖÓÓ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ä Ò Ö Ð Ö Å Ð ËÓÐØÝ× Ò ËØ Ô Ò ÓÓ ÂÙÐÝ ¾¼¼¾ ½
  2. 2. Ï Ø × Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÖÓÚ Ò Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ò ÔÐ × Ó Ð Ò Ö Ð Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ ¯ Á Á ¯ Ì ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸ Ô ´ µ ¼ ¯ Ì ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø ÖÑ Ò Òظ Ø´ µ Ø´ µ Ø´ µ ¾
  3. 3. Á Á ÈÖÓÔÓ× Ý ÓÓ × Ò Ø ÓÖ × Ô Ö Ø Ò Ö Ò ÜØ Ò Ö º ÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ ØÓ Ô¹ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö ´ÓÚ Ö ¬Ü ¬ Ð ×Ù × Ô ÓÖ É µ ØÓ ¯ ´ Á Áµ ¯ Á ´ ¼ ¼µ ¯ Á Á ¯ Á Ø Ø Á ¿
  4. 4. Á Á Ò ÔÖÓÚ Ò Ò ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö ¸ Ù× Ù×× Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ò ÓÖÖ Ø Ò ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö º ÓÖÖ Ø Ñ Ò× ÒÝ Ñ ØÖ Ü Ò ÓÒÚ ÖØ ØÓ ÖÓÛ¹ ÐÓÒ ÓÖÑ Û Ø × ÕÙ Ò Ó Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÖÓÛ ÓÔ Ö Ø ÓÒ׺ Í× Ò Ø × ÓÒ Ø ÓÒ Ó ÓÖÖ ØÒ ×׸ Û Ò × ÓÛ Ø Ø Á¸ Ø Ò Ø Ö Ü ×Ø× Ð Ø ÒÚ Ö× Ó º Ë Ò Ø Ò ÔÖÓÚ Ò Ò ÔÓÐÝ× Þ Ö Ø Ø Á ´  Áµ ¼¸ Û Ö ÓÒ º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Ø × Ñ× Ø Ø Á Á ÒÒÓØ ÔÖÓÚ Ò Û Ø ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×º
  5. 5. Ù×× Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÒ × Û ÐÐ ×ØÙ ÔÓÐÝØ Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Û Ó× ÓÖÖ ØÒ ×× Ò × ÓÛÒ × ÐÝ Ò ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö º ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × Ñ× ØÓ Ò Ö ÒØÐÝ × ÕÙ ÒØ Ðº Ì Ö Ö ×Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ´ Ò Ò Ø ÒÚ Ö× µ Ó Ñ ØÖ × ¯ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ ¯ ×ØÓÚ³× Ð ÓÖ Ø Ñ ¯ × Ò Ý³× Ð ÓÖ Ø Ñ ´ ÓÖ ¬ Ð × Ó Ö ¼µ ÐÐ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò ÓÖÑ Ð Þ Û Ø Æ ¾ Ö Ù Ø× ´ Ö Ù Ø× Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð × Þ ¸ Ò ÔØ Ç´ÐÓ ¾µ¸ Ò Ø × Þ Ó Ñ ØÖ ×µº
  6. 6. Ï ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Ù× ¯ ÁØ Ó × ÒÓØ Ù× Ú × ÓÒ׸ ×Ó Ø × ¬ Ð Ò Ô Ò ÒØ ´×Ó Ø ÛÓÖ × ÓÚ Ö ÓÑÑÙØ Ø Ú Ö Ò ×µº ¯ ÁØ × ×Ý ØÓ ÓÖÑ Ð Þ ¸ × Ò Ø ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö × Ñ ØÖ Ü ÔÓÛ Ö Ò × ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÔ Ö Ø ÓÒº Ì × × Ò Ú ÒØ Ù× Û Û ÒØ ØÓ × Ò ÐÓ Ð Ø ÓÖ × ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×º ÉÙ ×Ø ÓÒ Ò Û ÔÖÓÚ ÓÖÖ ØÒ ×× ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ Ù× Ò Æ ¾ ÓÒ ÔØ× ÓÒÐݸ Ù×Ø × Û Û Ö Ð ØÓ ÔÖÓÚ ÓÖÖ ØÒ ×× ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ù×× Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ù× Ò ÔÓÐÝØ Ñ ÓÒ ÔØ× ÓÒÐÝ
  7. 7. Ï Ø ÛÓÙÐ Ø × Ö Ð ÓÖÖ ØÒ ×× ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ × Ø Ó Æ ÒØ× Ó Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ñ ØÖ Ü¸ Ù× Ò Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ Ù Ø׺ ÌÛÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ ÖØ × Ö Ð Ø ØÓ Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¸ Ö ¯ Ì ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸ Ô ´ µ ¼¸ ¯ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø ÖÑ Ò Òظ Ø´ µ Ø´ µ Ø´ µ ´Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ó Æ ÒØ Ó Ø Ö ÔÓÐÝ Ó Ò Ò ¢Ò Ñ ØÖ Ü × ´ ½µÒ Ø´ µµº
  8. 8. ÁÒ Ø¸ Á Á ÓÐÐÓÛ× ´ Ò ÔÓÐÝ× Þ Æ ¾¹ Ö µ ÖÓÑ Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØݸ Ò Ò ÐÐ Ø ÓØ Ö Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×¸ ÔÖ ×ÙÑ ÐÝ Ö ÓÖ Ö ¸ Ð×Ó ÓÐÐÓÛ ´ Ò ÔÓÐÝ× Þ Æ ¾¹ Ö µ ÖÓÑ Ø Ñº ËÓ Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ × Ò Û ÔÖÓÚ Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ Ò Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÔÓÐÝ× Þ Æ ¾¹ Ö ÌÓ ×ØÙ Ý Ø × ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ò ØÓ × Û Ø ØÝÔ Ó Ö ×ÓÒ Ò × Ò ×× ÖÝ ØÓ ÓÖÑ Ð Þ Ø ÙÒ Ú Ö× Ð Ø ÓÖ Ñ× Ó Ð Ò Ö Ð Ö ¸ Û Ú ÐÓÔ Ø Ö ÐÓ Ð Ø ÓÖ × Ä Ä È Ä È Ó Ò Ö × Ò ×ØÖ Ò Ø º
  9. 9. Ä Ò Ö Ð Ö ´Ä µ Ä × ÕÙ ÒØ ¬ Ö¹ Ö Ø ÓÖݸ Û Ø Ø Ö ×ÓÖØ× Ò ×¸ ¬ Ð Ð Ñ ÒØ׸ Ñ ØÖ ×º ÁØ ÓÒØ Ò× ¯ Ø Ù×Ù Ð Ü ÓÑ× Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÖ Ò × ´Æ µ¸ Ò Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ Ò × ¯ Ø Ù×Ù Ð ¬ Ð Ü ÓÑ× ¯ Û Ý Ó ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò Ò Û Ñ ØÖ × ´Ù× Ò ×ÓÑ ÖÙ Ñ ÒØ ÖÝ ¹ Ð ÙÐÙ×µº ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ú Ò Ò ¢Ò Ñ ØÖ × ¸ Û ÓÒ×ØÖÙ Ø Ø Ò Û Ñ ØÖ Ü · × Ò Ò · º
  10. 10. ÐÐ Ø Ù×Ù Ð Ö Ò ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Ñ ØÖ × Ò ÔÖÓÚ Ò Ò Ä º ÓÖ Ü ÑÔÐ ´ µ ´ µ · · ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × × ÖÐÝ Û Ø ÓÖÝ ÐÐ Ø ÓÖ Ñ× Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ Ñ Ð × Ó Ø ÙØÓÐÓ ×¸ Û Ø ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×º Ì ÙÒ ÖÐÝ Ò ¬ Ð ´ Ô ÓÖ É µ × Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ø ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ¸ Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ø ÓÖ × Ä ¸ Ä È¸ Ò Ä È¸ Ö ¬ Ð Ò Ô Ò Òغ Ð×Ó¸ Ä ÔÖÓÚ × Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ó Ø Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø × Ø Ø Û ÔÖÓÔÓ× × Ò Ø × ÓÖ × Ô Ö Ø Ò Ö Ò ÜØ Ò Ö º ÇÈ Æ ÈÊÇ Ä Å Á× Á Á ´ Ò Ò Ø ÓØ Ö ÒØ Ø ×µ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ä ½¼
  11. 11. Ä Ò Ö Ð Ö Û Ø Ñ ØÖ Ü ÔÓÛ Ö× ´Ä ȵ Ï ÜØ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ä ØÓ Ä È Ý Ò Ò Û ÙÒ Ø ÓÒ ×ÝÑ Óи ȸ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ¬Ò Ò Ü ÓÑ× È´ ¼µ Á È´ Ò · ½µ È´ Òµ £ Ï Ò ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ Ù Ø Û Ø ÔÓÛ Ö Ò ¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Û Ò ÓÑÔÙØ × ÓÐÐÓÛ× A B C ABC 3 Ë Ò Û Ò ÓÑÔÙØ Ø Ò¹Ø ÔÓÛ Ö Ó Ñ ØÖ Ü Ý Ö Ô Ø ×ÕÙ Ö Ò Ò ÐÓ Ò Ñ ÒÝ ×Ø Ô׸ Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ø Û Ò ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ Ù Ø× Û Ø Æ ¾ Ö Ù Ø׺ ½½
  12. 12. ÁÒ Ä È Û Ò ÜÔÖ ×× Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñº Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ × Ø Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ò Ø ÖÑ× Ó Ø Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Åº a 11 M R S Ï Ø ÓÒÒ Ø× Ø Ö ÔÓÐÝ Ó ØÓ Ø Ö ÔÓÐÝ Ó Å × Ë ÑÙ Ð×ÓÒ³× ÒØ ØÝ Ô ´Üµ ´Ü   ½½µÔŴܵ  Ê £ ´ÜÁ  Åµ £Ë ½¾
  13. 13. Ë Ò ´ÜÁ  Åµ Ò ÜÔÖ ×× Ò Ø ÖÑ× Ó Ø Ó Æ ÒØ× Ó ÔŸ Ò Ù× Ò Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸ Û Ò Ö ×Ø Ø Ë ÑÙ Ð×ÓÒ³× ÒØ ØÝ × Ñ ØÖ Ü ÒØ Øݺ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ × ¿ ¢¿ Ñ ØÖ Ü¸ Ø Ò Ô ¼ ½ ¼ ¼   ½½ ½ ¼  ÊË   ½½ ½  ÊÅË  ÊË   ½½ ½ ÔÅ Û Ö Ô Ò ÔÅ Ö ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖ× ÓÒØ Ò Ò Ø Ó Æ ÒØ× Ó Ø Ö ÔÓÐÝ× Ó Ò Å¸ Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ ½¿
  14. 14. Ì Ù× Ô ½ÔŸ Û Ö ½ × ÌÓ ÔÐ ØÞ ÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü¸ Ò Ô ÔÅ Ö Ø Ö ÔÓÐÝ× Ó Å¸ Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ Ï Ò Ö Ô Ø Ø × ÔÖÓ ÙÖ ØÓ ÓÑÔÙØ ÔŸ Ý ¬Ò Ò ÔÅ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø Ö ÔÓÐÝ Ó Å ½ ½℄º ÓÒØ ÒÙ Ò Ø × Û Ý Û Ø Ô ½ ¾ ¡¡¡ Ò Û Ö × ¬Ò Ò Ø ÖÑ× Ó Å Ê Ë a R S M jj j j j ½
  15. 15. Ì Ù׸ Û Ò ÓÑÔÙØ Ø Ó Æ ÒØ× Ó Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ñ ØÖ Ü Ò Ä È¸ Û Ø Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñº ÙÖØ ÖÑÓÖ ÌÀ ÇÊ Å Ä È ÔÖÓÚ × Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖ Ò ÔÐ × ßÌ ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñº ßÌ Ü ÓÑ Ø ¬Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ ´ ÐØ ÖÒ Ø Ò ¸ ÑÙÐØ Ð Ò Ö¸ Ò ½ ÓÒ Áµº ßÌ Ó ØÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ ÓÖÑÙÐ º Ò Ä È Ð×Ó ÔÖÓÚ × Ø Ø Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ø ÖÑ Ò Òغ ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Á Á ´ Ò Ø ÓØ Ö Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×µ ÓÐÐÓÛ× Ò Ä È ÖÓÑ ÒÝ Ó Ø ÓÚ ÔÖ Ò ÔР׺ ÇÈ Æ ÈÊÇ Ä Å Ò ÒÝ Ó Ø × ÔÖ Ò ÔÐ × ÔÖÓÚ Ò Ò Ä È ½
  16. 16. Ï ÓÙØÐ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ü ÓÑ Ø ¬Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÖÓÑ Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñº ßÁØ × ×Ý ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø´ÁÒµ ½ ´ Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ Ò¸ ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ð ×Ù Ñ ØÖ Ü Ó ÁÒ × ÁÒ ½µº ßÁØ × ×Ý ØÓ × ÓÛ ÑÙÐØÐ Ð Ò Ö ØÝ Ò Ø ¬Ö×Ø ÖÓÛ¸ Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñº ÌÓ × ÓÛ ÑÙÐØ Ð Ò Ö ØÝ Ò ÐÐ ÖÓÛ׸ Û Ò ÐØ ÖÒ Ø ÓÒº ß ÐØ ÖÒ Ø ÓÒ × Ø Æ ÙÐØ Ô Öغ Ì ÔÖÓÓ Ó ÐØ ÖÒ Ø ÓÒ × Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ× ´ µ Ä Ø Å Ø ¹Ø ÔÖ Ò Ô Ð ×Ù Ñ ØÖ Ü Ó ´×Ó Å½ ½ ½℄¸ Ò Å ·½ Å ½ ½℄µº Ë ÓÛ ´ Ò Ä Èµ Ø Ø Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ ÓÐ × ÓÖ Å ¸ Ø Ò Ò Á ´ ·½µ Á ´ ·½µ Ú Ø × Ñ Ö ÔÓÐݺ ½
  17. 17. 000000000 000000000 111111111 111111111 000000000 000000000000000000 111111111 111111111111111111 0 00 00 0 00 0 00 00 0 00 00 0 0 1 11 11 1 11 1 11 11 1 11 11 1 1 0 00 00 0 00 0 00 00 0 00 00 0 0 1 11 11 1 11 1 11 11 1 11 11 1 1 000000000 000000000 111111111 111111111 000000000 000000000000000000 111111111 111111111111111111 M i+1 i-1M row i row i+1 column i column i+1 ´ µ Í× Ò Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ × Ú Ö Ð Ø Ñ ×¸ × ÓÛ Ø Ø Ò Á Á Ú Ø × Ñ Ö ÔÓÐݺ ´ µ Ë ÓÛ¸ Ù× Ò Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ ÓÒ Å¾¸ × ÓÛ Ø Ø Ø´ µ   Ø´Á½¾ µ ´ Úµ ÓÑ Ò ´ µ Ò ´ µ ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø´ µ   Ø´Á µ ½
  18. 18. Ì Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ × Ð ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×º Ì Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä È Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ × Ð ÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×¸ º º¸ ÒØÓ Æ ¾¹ Ö ÔÖÓÓ ×º Ì Ù׸ Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ó Ø ÔÖ Ò ÔÐ × Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ×Ð Ò × ÓÛÒ Û Ø ÔÓÐÝ× Þ Æ ¾¹ Ö ÔÖÓÓ ×º ½
  19. 19. Ä È Ì × × Ä È Û Ö Û ÐÐÓÛ Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ ÓÖÑÙÐ × Ó Ø ØÝÔ ´ Òµ«¸ Û Ö « × ÒÓ ÕÙ ÒØ ¬ Ö׸ Ò × Ú Ö Ð Ó ØÝÔ Ñ ØÖ Ü Ó × Þ Ø ÑÓ×Ø Ò ¢Òº Ì × ×ØÖ Ò Ø Ò Ò Ó Ò Ù Ø ÓÒ × Û Ø ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñº Ì Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä È Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö ÔÖÓÓ ×º Ì Ö ÓÖ ¸ ÓÙÖ ÔÖÓÓ Ó Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ × × Ð ÔÖÓÓ Ò Ø¸ × Ö × Û ÒÓÛ¸ Ø × × Ø ¬Ö×Ø × Ð ÔÖÓÓ Ó Ø × ÔÖ Ò ÔÐ º ÐÐ ÔÖ Ú ÓÙ× ÔÖÓÓ × Ó Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ Ö Ð ÓÒ Ø Ä Ö Ò ÜÔ Ò× ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò Òظ Û ÓÖ Ñ ØÖ Ü Ó × Þ Ò × Ò Ø ÖÑ׸ Ò Ò Ø × Ú ÖÝ Ò × Ð º ½
  20. 20. Ì Ò Ø Ä È ÔÖÓÓ Ó Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ × Ø ÓÐÐÓÛ Ò Á Ô ´ µ ¼¸ Ø Ø ×¸ Ø ¹À Ø ÓÖ Ñ Ð× ÓÖ ¸ Ø Ò Û Ò ¬Ò Ò ÔÓÐÝØ Ñ ×Ù ¹Ñ ØÖ Ü Ó ÓÖ Û Ô ´ µ ¼¸ º º¸ ÓÖ Û Ø ¹À Ø ÓÖ Ñ Ð× ÐÖ Ýº Ë Ò Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ Ó × ÒÓØ Ð ÓÖ ½ ¢½ Ñ ØÖ ×¸ Ø Ö Ø ÑÓ×Ø Ò ´× Þ Ó µ ×Ø Ô× Û Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ì × Ò ÜÔÖ ×× Û Ø ÙÒ Ú Ö× Ð ÕÙ ÒØ ¬ Ö× ÓÚ Ö Ú Ö Ð × Ó ØÝÔ Ñ ØÖ Ü Ø ¹À Ø ÓÖ Ñ ÓÐ × ÓÖ ÐÐ Ñ ØÖ × ×Ñ ÐÐ Ö Ø Ò ¸ Ø Ò Ø Ð×Ó ÓÐ × ÓÖ º ¾¼
  21. 21. ËÙÑÑ ÖÝ Ó ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð ÌÖ Ò×Ð Ø ÓÒ× Ì ÓÖÝ ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð ÈÖÓÓ ËÝ×Ø Ñ ´ Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ð ××µ ¬ Ð Ô ¬ Ð É Ä ÔÓÐÝ× Þ Ö Û Ø ÅÇ Ô Ø × ´ ¼ Ô℄µ ÔÓÐÝ× Þ Ö ´Æ ½µ Ä È ÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× Þ Ö ´ Ì Æ ¾µ Ä È ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö ´Èµ ¾½
  22. 22. ÇÔ Ò ÈÖÓ Ð Ñ× ¯ Á× Á Á Ò Ô Ò ÒØ Ó Ä ¯ Ò Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ Ò »ÓÖ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ × ÓÛÒ Ò Ä È ¯ Ò Á Á × ÓÛÒ Ò Ä È ¯ ÅÓÖ Ò Ö ÐÐݸ Ò ÙÒ Ú Ö× Ð Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø × × ÓÛÒ Û Ø ÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ × ¾¾

×