The Proof Complexity of Linear Algebra - LICS 2002

410 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
410
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

The Proof Complexity of Linear Algebra - LICS 2002

  1. 1. Ì ÈÖÓÓ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ä Ò ÖÐ ÖÅ Ð ËÓÐØÝ× Ò ËØ Ô Ò ÓÓÂÙÐÝ ¾¼¼¾½
  2. 2. Ï Ø × Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÖÓÚ Ò ØÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ò ÔÐ × Ó Ð Ò Ö Ð ÖÓÖ Ü ÑÔЯ Á Á¯ Ì ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸Ô ´ µ ¼¯ Ì ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø ÖÑ Ò Òظش µ Ø´ µ Ø´ µ¾
  3. 3. Á ÁÈÖÓÔÓ× Ý ÓÓ × Ò Ø ÓÖ× Ô Ö Ø Ò Ö Ò ÜØ Ò Ö ºÁØ ØÙÖÒ× ÓÙØ ØÓ Ô¹ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ö ´ÓÚ Ö¬Ü ¬ Ð ×Ù × Ô ÓÖ É µ ØÓ¯ ´ Á Áµ¯ Á ´ ¼ ¼µ¯ Á Á¯ Á Ø Ø Á¿
  4. 4. Á Á Ò ÔÖÓÚ Ò Ò ÔÓÐÝ× ÞÜØ Ò Ö ¸ Ù× Ù×× ÒÐ Ñ Ò Ø ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ò ÓÖÖ Ø Ò ÔÓÐÝ× ÞÜØ Ò Ö ºÓÖÖ Ø Ñ Ò× ÒÝ Ñ ØÖ Ü ÒÓÒÚ ÖØ ØÓ ÖÓÛ¹ ÐÓÒ ÓÖÑ Û Ø× ÕÙ Ò Ó Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÖÓÛ ÓÔ Ö Ø ÓÒ׺Í× Ò Ø × ÓÒ Ø ÓÒ Ó ÓÖÖ ØÒ ×׸ Û Ò× ÓÛ Ø Ø Á¸ Ø Ò Ø Ö Ü ×Ø× Ð ØÒÚ Ö× Ó º Ë Ò Ø Ò ÔÖÓÚ Ò ÒÔÓÐÝ× Þ Ö Ø Ø Á ´  Áµ ¼¸Û Ö ÓÒ ºÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Ø × Ñ× Ø ØÁ Á ÒÒÓØ ÔÖÓÚ Ò Û ØÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×º
  5. 5. Ù×× Ò Ð Ñ Ò Ø ÓÒ × Û ÐÐ ×ØÙÔÓÐÝØ Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Û Ó× ÓÖÖ ØÒ ×× Ò× ÓÛÒ × ÐÝ Ò ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö ºÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × Ñ× ØÓ Ò Ö ÒØÐÝ × ÕÙ ÒØ ÐºÌ Ö Ö ×Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖÓÑÔÙØ Ò Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ´ ÒÒ Ø ÒÚ Ö× µ Ó Ñ ØÖ ×¯ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ¯ ×ØÓÚ³× Ð ÓÖ Ø Ñ¯ × Ò Ý³× Ð ÓÖ Ø Ñ ´ ÓÖ ¬ Ð × Ó Ö ¼µÐÐ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò ÓÖÑ Ð Þ Û ØÆ ¾ ÖÙ Ø× ´ ÖÙ Ø× Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð × Þ ¸ ÒÔØ Ç´ÐÓ ¾µ¸ Ò Ø × Þ Ó Ñ ØÖ ×µº
  6. 6. Ï ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Ùׯ ÁØ Ó × ÒÓØ Ù× Ú × ÓÒ׸ ×Ó Ø × ¬ ÐÒ Ô Ò ÒØ ´×Ó Ø ÛÓÖ × ÓÚ ÖÓÑÑÙØ Ø Ú Ö Ò ×µº¯ ÁØ × ×Ý ØÓ ÓÖÑ Ð Þ ¸ × Ò Ø ÓÒÐÝÖ ÕÙ Ö × Ñ ØÖ Ü ÔÓÛ Ö Ò × ÔÖ Ñ Ø ÚÓÔ Ö Ø ÓÒº Ì × × Ò Ú ÒØ Ù×Û Û ÒØ ØÓ × Ò ÐÓ Ð Ø ÓÖ × ÓÖÔÖÓÚ Ò Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×ºÉÙ ×Ø ÓÒ Ò Û ÔÖÓÚ ÓÖÖ ØÒ ××ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ Ù× ÒÆ ¾ ÓÒ ÔØ× ÓÒÐݸ Ù×Ø × Û Û Ö Ð ØÓÔÖÓÚ ÓÖÖ ØÒ ×× ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ù×× ÒÐ Ñ Ò Ø ÓÒ Ù× Ò ÔÓÐÝØ Ñ ÓÒ ÔØ× ÓÒÐÝ
  7. 7. Ï Ø ÛÓÙÐ Ø × Ö Ð ÓÖÖ ØÒ ××ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÖ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø ÑÖ ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ × ØÓ Æ ÒØ× Ó Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÓ Ñ ØÖ Ü¸ Ù× Ò Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ ÙØ׺ÌÛÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ ÖØ × Ö Ð Ø ØÓ Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¸ Ö¯ Ì ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸Ô ´ µ ¼¸¯ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø ÖÑ Ò Òظش µ Ø´ µ Ø´ µ´Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ó Æ ÒØ Ó Ø Ö ÔÓÐÝÓ Ò Ò ¢Ò Ñ ØÖ Ü × ´ ½µÒ Ø´ µµº
  8. 8. ÁÒ Ø¸ Á Á ÓÐÐÓÛ× ´ Ò ÔÓÐÝ× ÞÆ ¾¹ Ö µ ÖÓÑ Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØݸ Ò ÒÐÐ Ø ÓØ Ö Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×¸ ÔÖ ×ÙÑ ÐÝÖ ÓÖ Ö ¸ Ð×Ó ÓÐÐÓÛ ´ Ò ÔÓÐÝ× ÞÆ ¾¹ Ö µ ÖÓÑ Ø ÑºËÓ Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ ×Ò Û ÔÖÓÚ Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ ÑÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÒÔÓÐÝ× Þ Æ ¾¹ ÖÌÓ ×ØÙ Ý Ø × ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ò ØÓ × Û Ø ØÝÔÓ Ö ×ÓÒ Ò × Ò ×× ÖÝ ØÓ ÓÖÑ Ð Þ ØÙÒ Ú Ö× Ð Ø ÓÖ Ñ× Ó Ð Ò Ö Ð Ö ¸ ÛÚ ÐÓÔ Ø Ö ÐÓ Ð Ø ÓÖ ×Ä Ä È Ä ÈÓ ÒÖ × Ò ×ØÖ Ò Ø º
  9. 9. Ä Ò Ö Ð Ö ´Ä µÄ × ÕÙ ÒØ ¬ Ö¹ Ö Ø ÓÖݸ Û Ø Ø Ö×ÓÖØ× Ò ×¸ ¬ Ð Ð Ñ ÒØ׸ Ñ ØÖ ×ºÁØ ÓÒØ Òׯ Ø Ù×Ù Ð Ü ÓÑ× Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÖ Ò ×´Æ µ¸ Ò Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ò ×¯ Ø Ù×Ù Ð ¬ Ð Ü ÓÑׯ Û Ý Ó ÓÒ×ØÖÙØ Ò Ò Û Ñ ØÖ × ´Ù× Ò×ÓÑ ÖÙ Ñ ÒØ ÖÝ ¹ ÐÙÐÙ×µºÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Ú Ò Ò ¢Ò Ñ ØÖ × ¸Û ÓÒ×ØÖÙØ Ø Ò Û Ñ ØÖ Ü · ×Ò Ò · º
  10. 10. ÐÐ Ø Ù×Ù Ð Ö Ò ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Ñ ØÖ × ÒÔÖÓÚ Ò Ò Ä º ÓÖ Ü ÑÔд µ ´ µ· ·ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø × × ÖÐÝ Û Ø ÓÖÝ ÐÐØ ÓÖ Ñ× Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ Ñ Ð × ÓØ ÙØÓÐÓ ×¸ Û Ø ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÐÝ× Þ ÖÔÖÓÓ ×ºÌ ÙÒ ÖÐÝ Ò ¬ Ð ´ Ô ÓÖ É µ × Ô Ö Ñ Ø ÖÒ Ø ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ¸ Ú Ò Ø ÓÙ Ø Ø ÓÖ ×Ä ¸ Ä È¸ Ò Ä È¸ Ö ¬ Ð Ò Ô Ò ÒغÐ×Ó¸ Ä ÔÖÓÚ × Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ó Ø Ñ ØÖ ÜÒØ Ø × Ø Ø Û ÔÖÓÔÓ× × Ò Ø × ÓÖ× Ô Ö Ø Ò Ö Ò ÜØ Ò Ö ºÇÈ Æ ÈÊÇ Ä Å Á× Á Á´ Ò Ò Ø ÓØ Ö ÒØ Ø ×µ Ò Ô Ò ÒØÓ Ä½¼
  11. 11. Ä Ò Ö Ð Ö Û Ø Ñ ØÖ Ü ÔÓÛ Ö×´Ä ÈµÏ ÜØ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ä ØÓ Ä È Ý ÒÒ Û ÙÒØ ÓÒ ×ÝÑ Óи ȸ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò¬Ò Ò Ü ÓÑ×È´ ¼µ ÁÈ´ Ò · ½µ È´ Òµ £Ï Ò ÓÑÔÙØ Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ü ÔÖÓ ÙØÛ Ø ÔÓÛ Ö Ò ¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Û Ò ÓÑÔÙØ× ÓÐÐÓÛ×ABCABC3Ë Ò Û Ò ÓÑÔÙØ Ø Ò¹Ø ÔÓÛ Ö ÓÑ ØÖ Ü Ý Ö Ô Ø ×ÕÙ Ö Ò Ò ÐÓ Ò Ñ ÒÝ×Ø Ô׸ Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ø Û Ò ÓÑÔÙØ Ø Ö ØÑ ØÖ Ü ÔÖÓ ÙØ× Û Ø Æ ¾ ÖÙ Ø׺½½
  12. 12. ÁÒ Ä È Û Ò ÜÔÖ ×× Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø ÑºÖ ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ × Ø ÖÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ò Ø ÖÑ× Ó Ø ÖÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Åºa 11MRSÏ Ø ÓÒÒ Ø× Ø Ö ÔÓÐÝ Ó ØÓ Ø ÖÔÓÐÝ Ó Å × Ë ÑÙ Ð×ÓÒ³× ÒØ ØÝÔ ´Üµ ´Ü   ½½µÔŴܵ  Ê £ ´ÜÁ  Åµ £Ë½¾
  13. 13. Ë Ò ´ÜÁ  Åµ Ò ÜÔÖ ×× Ò Ø ÖÑ×Ó Ø Ó Æ ÒØ× Ó ÔŸ Ò Ù× Ò ØÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ¸ Û Ò Ö ×Ø ØË ÑÙ Ð×ÓÒ³× ÒØ ØÝ × Ñ ØÖ Ü ÒØ ØݺÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ × ¿ ¢¿ Ñ ØÖ Ü¸ Ø ÒÔ¼½ ¼ ¼  ½½ ½ ¼ ÊË   ½½ ½ ÊÅË  ÊË   ½½½ÔÅÛ Ö Ô Ò ÔÅ Ö ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖ×ÓÒØ Ò Ò Ø Ó Æ ÒØ× Ó Ø Ö ÔÓÐÝ×Ó Ò Å¸ Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ½¿
  14. 14. Ì Ù× Ô ½ÔŸ Û Ö ½ × ÌÓ ÔÐ ØÞÐÓÛ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ö Ñ ØÖ Ü¸ Ò Ô ÔÅ Ö Ø Ö ÔÓÐÝ× Ó Å¸ Ö ×Ô Ø Ú ÐÝºÏ Ò Ö Ô Ø Ø × ÔÖÓ ÙÖ ØÓ ÓÑÔÙØÔŸ Ý ¬Ò Ò ÔÅ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø Ö ÔÓÐÝÓ Å ½ ½℄º ÓÒØ ÒÙ Ò Ø × Û Ý Û ØÔ ½ ¾ ¡¡¡ ÒÛ Ö × ¬Ò Ò Ø ÖÑ× Ó Å Ê Ëa RS Mjj jj j½
  15. 15. Ì Ù׸ Û Ò ÓÑÔÙØ Ø Ó Æ ÒØ× Ó Ø Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ñ ØÖ Ü Ò Ä È¸Û Ø Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñº ÙÖØ ÖÑÓÖÌÀ ÇÊ Å Ä È ÔÖÓÚ × Ø ÕÙ Ú Ð Ò ÓØ ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖ Ò ÔÐ ×ßÌ ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ ÑºßÌ Ü ÓÑ Ø ¬Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ´ ÐØ ÖÒ Ø Ò ¸ ÑÙÐØ Ð Ò Ö¸ Ò ½ ÓÒ ÁµºßÌ Ó ØÓÖ ÜÔ Ò× ÓÒ ÓÖÑÙÐ ºÒ Ä È Ð×Ó ÔÖÓÚ × Ø Ø Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒÌ ÓÖ Ñ ÓÐÐÓÛ× ÖÓÑ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ ÓØ Ø ÖÑ Ò ÒغÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Á Á ´ Ò ØÓØ Ö Ñ ØÖ Ü ÒØ Ø ×µ ÓÐÐÓÛ× Ò Ä È ÖÓÑÒÝ Ó Ø ÓÚ ÔÖ Ò ÔР׺ÇÈ Æ ÈÊÇ Ä Å Ò ÒÝ Ó Ø ×ÔÖ Ò ÔÐ × ÔÖÓÚ Ò Ò Ä È½
  16. 16. Ï ÓÙØÐ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ü ÓÑ Ø ¬Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÖÓÑ ØÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ ÑºßÁØ × ×Ý ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø´ÁÒµ ½´ Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ò¸ ÒÓØ Ò Ø Ø Ø ÔÖ Ò Ô Ð×Ù Ñ ØÖ Ü Ó ÁÒ × ÁÒ ½µºßÁØ × ×Ý ØÓ × ÓÛ ÑÙÐØÐ Ð Ò Ö ØÝ Ò Ø ¬Ö×ØÖÓÛ¸ Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ö ÓÛ ØÞ³× Ð ÓÖ Ø Ñº ÌÓ× ÓÛ ÑÙÐØ Ð Ò Ö ØÝ Ò ÐÐ ÖÓÛ׸ Û ÒÐØ ÖÒ Ø ÓÒºß ÐØ ÖÒ Ø ÓÒ × Ø ÆÙÐØ Ô Öغ Ì ÔÖÓÓÓ ÐØ ÖÒ Ø ÓÒ × Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ×´ µ Ä Ø Å Ø ¹Ø ÔÖ Ò Ô Ð ×Ù Ñ ØÖ Ü Ó´×Ó Å½ ½ ½℄¸ Ò Å ·½ Å ½ ½℄µºË ÓÛ ´ Ò Ä Èµ Ø Ø Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ ÓÐ ×ÓÖ Å ¸ Ø ÒÒ Á ´ ·½µ Á ´ ·½µ Ú Ø × Ñ Ö ÔÓÐݺ½
  17. 17. 00000000000000000011111111111111111100000000000000000000000000011111111111111111111111111100000000000000000000111111111111111111110000000000000000000011111111111111111111000000000000000000111111111111111111000000000000000000000000000111111111111111111111111111M i+1i-1Mrow irow i+1column icolumn i+1´ µ Í× Ò Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ × Ú Ö Ð Ø Ñ ×¸× ÓÛ Ø ØÒ Á ÁÚ Ø × Ñ Ö ÔÓÐݺ´ µ Ë ÓÛ¸ Ù× Ò Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ ÓÒ Å¾¸× ÓÛ Ø ØØ´ µ   Ø´Á½¾ µ´ Úµ ÓÑ Ò ´ µ Ò ´ µ ØÓ × ÓÛ Ø ØØ´ µ   Ø´Á µ½
  18. 18. Ì Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ× Ð ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×ºÌ Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä È Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓ× Ð ÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× Þ Ö ÔÖÓÓ ×¸ º º¸ ÒØÓÆ ¾¹ Ö ÔÖÓÓ ×ºÌ Ù׸ Ø ÕÙ Ú Ð Ò Ó Ø ÔÖ Ò ÔÐ ×Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ×Ð Ò × ÓÛÒÛ Ø ÔÓÐÝ× Þ Æ ¾¹ Ö ÔÖÓÓ ×º½
  19. 19. Ä ÈÌ × × Ä È Û Ö Û ÐÐÓÛ Ò ÙØ ÓÒ ÓÒÓÖÑÙÐ × Ó Ø ØÝÔ ´ Òµ«¸ Û Ö « ×ÒÓ ÕÙ ÒØ ¬ Ö׸ Ò × Ú Ö Ð Ó ØÝÔÑ ØÖ Ü Ó × Þ Ø ÑÓ×Ø Ò ¢ÒºÌ × ×ØÖ Ò Ø Ò Ò Ó Ò ÙØ ÓÒ × Û Ø ÐÐÓÛ×Ù× ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ ÑºÌ Ø ÓÖ Ñ× Ó Ä È Ò ØÖ Ò×Ð Ø ØÓÙÒ ÓÖÑ ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö ÔÖÓÓ ×ºÌ Ö ÓÖ ¸ ÓÙÖ ÔÖÓÓ Ó Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒÌ ÓÖ Ñ × × Ð ÔÖÓÓ Ò Ø¸ × Ö ×Û ÒÓÛ¸ Ø × × Ø ¬Ö×Ø × Ð ÔÖÓÓ Ó Ø ×ÔÖ Ò ÔÐ ºÐÐ ÔÖ Ú ÓÙ× ÔÖÓÓ × Ó Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒÌ ÓÖ Ñ Ö Ð ÓÒ Ø Ä Ö Ò ÜÔ Ò× ÓÒ ÓØ Ø ÖÑ Ò Òظ Û ÓÖ Ñ ØÖ Ü Ó × Þ Ò× Ò Ø ÖÑ׸ Ò Ò Ø × Ú ÖÝ Ò × Ð º½
  20. 20. Ì Ò Ø Ä È ÔÖÓÓ Ó Ø ¹ÀÌ ÓÖ Ñ × Ø ÓÐÐÓÛ ÒÁ Ô ´ µ ¼¸ Ø Ø ×¸ Ø ¹À Ø ÓÖ Ñ Ð×ÓÖ ¸ Ø Ò Û Ò ¬Ò Ò ÔÓÐÝØ Ñ×Ù ¹Ñ ØÖ Ü Ó ÓÖ Û Ô ´ µ ¼¸ º º¸ÓÖ Û Ø ¹À Ø ÓÖ Ñ Ð× ÐÖ ÝºË Ò Ø ¹À Ì ÓÖ Ñ Ó × ÒÓØ Ð ÓÖ ½ ¢½Ñ ØÖ ×¸ Ø Ö Ø ÑÓ×Ø Ò ´× Þ Ó µ ×Ø Ô×Û Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒºÌ × Ò ÜÔÖ ×× Û Ø ÙÒ Ú Ö× ÐÕÙ ÒØ ¬ Ö× ÓÚ Ö Ú Ö Ð × Ó ØÝÔ Ñ ØÖ ÜØ ¹À Ø ÓÖ Ñ ÓÐ × ÓÖ ÐÐ Ñ ØÖ ××Ñ ÐÐ Ö Ø Ò ¸ Ø Ò Ø Ð×Ó ÓÐ × ÓÖ º¾¼
  21. 21. ËÙÑÑ ÖÝ Ó ÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð ÌÖ Ò×Ð Ø ÓÒ×Ì ÓÖÝÈÖÓÔÓ× Ø ÓÒ Ð ÈÖÓÓ ËÝ×Ø Ñ´ Ò ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒÓÑÔÐ Ü ØÝ Ð ××µ¬ Ð Ô ¬ Ð ÉÄÔÓÐÝ× ÞÖ Û ØÅÇ Ô Ø ×´ ¼ Ô℄µÔÓÐÝ× Þ Ö´Æ ½µÄ ÈÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× Þ Ö´ Ì Æ ¾µÄ È ÔÓÐÝ× Þ ÜØ Ò Ö´Èµ¾½
  22. 22. ÇÔ Ò ÈÖÓ Ð Ñׯ Á× Á Á Ò Ô Ò ÒØ Ó Ä¯ Ò Ø ÝРݹÀ Ñ ÐØÓÒ Ì ÓÖ Ñ Ò »ÓÖØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ× ÓÛÒ Ò Ä È¯ Ò Á Á × ÓÛÒ Ò Ä È¯ ÅÓÖ Ò Ö ÐÐݸ Ò ÙÒ Ú Ö× Ð Ñ ØÖ ÜÒØ Ø × × ÓÛÒ Û Ø ÕÙ × ¹ÔÓÐÝ× ÞÖ ÔÖÓÓ ×¾¾

×