Vectores(colegio)

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Vectores(colegio)

  1. 1. VECTORESPor: Marcos Guerrero. Ing. Marcos Guerrero 1
  2. 2. CANTIDADES FÍSICAS. ¿Qué es una cantidad Física? Es aquella que está definida por un número que la mide y una unidad de medición. ¿Cuántos tipos de cantidades Físicas existen? Cantidad escalares (o escalares)Existen dos tipos decantidades físicas Cantidades vectoriales ( o vectores) Ing. Marcos Guerrero 2
  3. 3. CANTIDADES ESCALARES. ¿Qué es una cantidad escalar?:Es una cantidad física que posee un número que las mide y una unidad de medición. número + unidad mide medición Ejemplos: La masa 20 kg La distancia 45 m El volumen 15 m3 El tiempo 2 s La rapidez 30 m.s-1 Ing. Marcos Guerrero 3
  4. 4. CANTIDADES VECTORIALES. ¿Qué es una cantidad vectorial?:Es una cantidad física que a más de tener un número que las mide y unaunidad de medición, posee dirección. número + unidad + dirección Ejemplos: magnitud o módulo o normaEl desplazamiento 6m, en el eje x (+)La velocidad 25m.s-1, SurLa aceleración 5m.s-2, 180°Fuerza 6,0N, NoresteCampo eléctrico 200 N.C-1, 45.0° SE Ing. Marcos Guerrero 4
  5. 5. PREGUNTAS CONCEPTUALES.¿Cuál es la diferencia entre una cantidadescalar y una cantidad vectorial?: Ing. Marcos Guerrero 5
  6. 6. Indique, ¿cuál de las siguientes alternativas no es unacantidad vectorial?A. VelocidadB. DesplazamientoC. PosiciónD. RapidezE. Pienso que existen más de uno que no son cantidades vectoriales. Ing. Marcos Guerrero 6
  7. 7. Indique, ¿cuál de las siguientes alternatrivas es una cantidadvectorial?A. MasaB. TemperaturaC. AceleraciónD. TiempoE. Pienso que mas de uno es una cantidad vectorial Ing. Marcos Guerrero 7
  8. 8. ¿Cuáles de los siguientes alternativas tiene solo cantidadesvectoriales?A. Fuerza, volumen, altura, velocidad, edad.B. Densidad, aceleración, crecimiento de una persona.C. Temperatura, luz, campo eléctrico, sonido.D. Las manecillas del reloj, área, distancia recorrida.E. Al menos una de las alternativas anteriores contiene por lo menos una cantidad vectorial. Ing. Marcos Guerrero 8
  9. 9. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTORMagnitud o módulo o norma(tamaño del vector según la cantidad física) • Flecha Dirección • Ángulo  Línea de referencia( se la utiliza para Punto de aplicación medir un ángulo) (donde nace el vector) Ing. Marcos Guerrero 9
  10. 10. Adicionalmente, todo vector posee una línea imaginaria llamada línea de acción.¿Qué está permitido hacer con el vector con respecto a la líneade acción? Ing. Marcos Guerrero 10
  11. 11. RESPUESTA:Todo vector se lo puede mover sobre la línea de acción o paralela a la línea deacción y no se altera su magnitud y dirección Ing. Marcos Guerrero 11
  12. 12. SIMBOLOGÍA. Vector. Otra nomenclatura de vector   B a A  ABMagnitud, módulo o norma. A   a A La magnitud de un vector es SIEMPRE MAYOR O IGUAL A a A CERO NUNCA NEGATIVA. Ing. Marcos Guerrero 12
  13. 13. Existen 3 maneras de representar un vector: Representación de un vector en coordenadas polares   F  5N  30O o b  20m  60oRepresentación de un vector en coordenadas rectangulares (también llamadocoordenadas cartesianas) (3m,5m)Representación de un vector en coordenadas cardinales 5m40o NE Ing. Marcos Guerrero 13
  14. 14. Explique ¿cómo se determina por lo general la direcciónde un vector cuando se trabaja en coordenadas polares? El eje x(+) es la línea de referencia. El ángulo se lo puede leer a favor del movimiento de las manecillas del reloj (ángulo negativo) y en contra del movimiento de las manecillas del reloj (ángulo positivo). Ing. Marcos Guerrero 14
  15. 15. PREGUNTAS CONCEPTUALES. Ing. Marcos Guerrero 15
  16. 16. ORIENTACIÓN VECTORIAL EN2 DIMENSIONES. Ing. Marcos Guerrero 16
  17. 17. Plano de orientación vectorial. N NO=O del N NE=E del N N del O N del E O E S del O S del E SO=O del S SE=E del S S Ing. Marcos Guerrero 17
  18. 18. Explique ¿cómo se determina la dirección de un vectorcuando se trabaja con coordenadas cardinales? La línea de referencia se la puede tomar ya sea con respecto al eje vertical o con respecto al eje horizontal Ing. Marcos Guerrero 18
  19. 19. USANDO ESCALAS PARA DIBUJAR UN VECTOR.Para dibujar un vector necesita una regla y un graduador. Ing. Marcos Guerrero 19
  20. 20. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. Vector = escalar x vector    a b  kaPrimero suponemos que k es un número sin unidades para poder compararlos vectores  y  . b a Con respecto a k puede haber 7 casos: k  1 k 0 k 1 k  1  1  k  0 0  k  1 k 1 k -1 0 1 Ing. Marcos Guerrero 20
  21. 21. CASO 1: k  1   Si tomamos k=-2, entonces b  2a .  a  bConclusión:   b a  Los vectores a y b tienen direcciones opuestas (contrarias). Ing. Marcos Guerrero 21
  22. 22. CASO 2:  k  1  Si tomamos k=-1, entonces b  a .   a bConclusión:   b a  Los vectores a y b tienen direcciones opuestas.Vector negativo.Un vector es negativo si tiene la misma magnitud ydirección a opuesta a otro vector. Ing. Marcos Guerrero 22
  23. 23. CASO 3: 1  k  0 1 ; entonces  1 Si tomamos k   b  a. 2 2  a  bConclusión:   b a  Los vectores a y b tienen direcciones opuestas. Ing. Marcos Guerrero 23
  24. 24. CASO 4: k  0  Si tomamos k=0, entonces b 0 .  a  bConclusión:   b aVector cero o vector nulo.Un vector que tiene una magnitud de cero e infinita direcciones.Se lo representa con un punto, en donde se encuentra su punto deaplicación y la flecha. Ing. Marcos Guerrero 24
  25. 25. CASO 5: 0  k  1 1 ; entonces  1 Si tomamos k  b a . 2 2  a  bConclusión:   b a  Los vectores a y b tienen la misma dirección. Ing. Marcos Guerrero 25
  26. 26. CASO 6: k  1   Si tomamos k  1 ; entonces b a .   a bConclusión:   b a  Los vectores a y b tienen la misma dirección. Vectores iguales. Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Ing. Marcos Guerrero 26
  27. 27. CASO 7: k  1   Si tomamos k  2 ; entonces b  2a .  a  bConclusión:   b a  Los vectores a y b tienen la misma dirección. Animación Ing. Marcos Guerrero 27
  28. 28. CONCLUSIÓN.   Cuando el escalar es negativo los vectores ay b   tienen direcciones opuestas. En cambio, cuando el escalar es positivo los vectores a y b tienen la misma dirección ¿Qué ocurre si el escalar k tiene   unidades, se podrá comparar las magnitudes de los vectores a y b ? No se pueden comparar porque ambos vectores son diferentes cantidades físicas.   Ambos vectores tienen laEjemplo: W  mg misma dirección pero representan cantidades físicas diferentes. Peso (N) Masa (kg) Aceleración de la gravedad (m/s2) Ing. Marcos Guerrero 28
  29. 29. OPERACIONES ENTRE VECTORES.Suma y resta entre vectores:los vectores deben ser de lamisma cantidad física. Producto punto o producto escalar: escalar  vector  vectorMultiplicación: losvectores pueden serde igual o dediferentes cantidadesfísicas. Producto cruz o producto vectorial: vector  vector  vector Ing. Marcos Guerrero 29
  30. 30. SUMA Y RESTA ENTREVECTORES Ing. Marcos Guerrero 30
  31. 31. MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓNDE PROBLEMAS EN LOS QUE SEINVOLUCRA LA SUMA Y RESTAENTRE VECTORES. Ing. Marcos Guerrero 31
  32. 32. Método del paralelogramo. Métodos gráficos Método del triángulo. Método del polígono cerrado. Método del paralelogramo. Pitágoras y funciones trigonométricas básicas.Métodos analíticos Ley seno y ley del coseno. Método de las componentes. 32 Ing. Marcos Guerrero
  33. 33. MÉTODOS GRÁFICOS. Ing. Marcos Guerrero 33
  34. 34. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.Se lo utiliza cuando se tiene suma o resta entre 2 vectores.El método para suma de 2 vectores consiste en:•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.•Trazar paralelas a los 2 vectores formando un paralelogramo.•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en launión de los 2 vectores y termina en la intersección de las 2paralelas . Ing. Marcos Guerrero 34
  35. 35.  Ejercicio 1: Sean los vectores A y Bque se muestran a continuación en la siguiente gráfica. Dibujar el vector resultante.  A  BSolución: Cuando se pide la resultante de 2 o más vectores, se asume que es la suma de todos los vectores que están en el gráfico. Ing. Marcos Guerrero 35
  36. 36.    R  A B  A  B  Ejercicio 2: Sean los vectores A y B del ejercicio 1. Dibujar el    vector R  A  B .Solución:    Primero disfrazamos la resta de suma, es decir  R  A  (  B). Segundo graficamos el vector  B .   B B Ing. Marcos Guerrero 36
  37. 37.    R  A  (  B)  A  B  Ejercicio 3: Sean losvectores A y B  del ejercicio 1. Dibujar elSolución: vector R  B  A.    Primero disfrazamos la resta de suma, es decir R  B  ( A) .  Segundo graficamos el vector  A.   A A Ing. Marcos Guerrero 37
  38. 38.  B  A    R  B A Comparando los gráficos de los ejercicios 2 y 3 podemos decir que la resta de vectores no es conmutativa.  Conclusión:   B    R  A  (  B)   A B  B  A A A        R  B A A B  B  A  B     Propiedad anticonmutativa de la resta: A  B  B  A . Ing. Marcos Guerrero 38
  39. 39. PREGUNTAS CONCEPTUALES.¿Se podría utilizar el método del paralelogramo cuando se tiene 3 omás vectores? Ing. Marcos Guerrero 39
  40. 40. Ing. Marcos Guerrero 40
  41. 41. MÉTODO DEL TRIÁNGULO.Se lo utiliza cuando se tiene resta entre 2 vectores.El método consiste en:•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en laflecha del segundo vector de la operación y termina en laflecha del primer vector de la operación. Ing. Marcos Guerrero 41
  42. 42.   Ejercicio 1: Sean los vectores A y B que semuestran a   continuación. Dibujar el vector R  A  B .  A  B Solución:       R  A B  R  A B A  BPrimer vector de la Segundo vector deoperación la operación Ing. Marcos Guerrero 42
  43. 43.   Ejercicio 2: Sean los vectoresA y B que semuestran a   continuación. Dibujar el vector R  B  A .  A  B Solución:       R  B A  R  B A A  BPrimer vector de la Segundo vector deoperación la operación Ing. Marcos Guerrero 43
  44. 44. Comparando los gráficos de los ejercicios 1 y 2 podemos decir que la resta de vectores no es conmutativa.     R  A B     R  B A A  A B  B Comparando con el método del paralelogramo.    BR  A  (  B)   A A    R  B A  B Ing. Marcos Guerrero 44
  45. 45. PREGUNTAS CONCEPTUALES. Ing. Marcos Guerrero 45
  46. 46. Ing. Marcos Guerrero 46
  47. 47. MÉTODO DEL POLÍGONO CERRADO.Se lo utiliza cuando se tiene 2 o más vectores.Se lo utiliza en las operaciones de suma y resta entre vectores.El método consiste en: •Colocar el primero vector de la operación. •Colocar el segundo vector de la operación de tal manera que su punto de aplicación coincida con la flecha del primer vector de la operación. •Colocar el tercer vector de la operación de tal manera que su punto de aplicación coincida con la flecha del segundo vector de la operación y así sucesivamente……….. •El vector resultante se inicia en el punto de aplicación del primer vector y termina en la flecha Animación. del último vector de la operación. Ing. Marcos Guerrero 47
  48. 48. Animación.Conclusión:    Propiedad conmutativa de la suma de vectores: A  B  B  A Ing. Marcos Guerrero 48
  49. 49. Animación. Conclusión:      Propiedad asociativa de la suma de vectores: ( A  B)  C  A  ( B  C )Propiedad distributiva de la suma y resta de vectores:     m( A  B)  mA  mB Ing. Marcos Guerrero 49
  50. 50. PREGUNTAS CONCEPTUALES.¿Pueden 2 vectores de diferente magnitud sumar cero? A. Si. B. No.¿Pueden 3 vectores de igual magnitud sumar cero? A. Si. B. No.
  51. 51. Ing. Marcos Guerrero 51
  52. 52. Ing. Marcos Guerrero 52
  53. 53.   Tres vectores A , B, and C son mostrados a continuación.    ¿Cuál alternativa representa mejor el vector S  A  B  C B A C A) B) Blue C) Green Pink D) Yellow Purple: None of these! E) Ninguna es correcta
  54. 54. Ing. Marcos Guerrero 54
  55. 55. Para cada una de las siguientes afirmaciones indique V si esverdadero o F si es falso y justifique su respuesta en caso deser falso. 1. La magnitud de un vector puede ser positiva, negativa o cero. 2. El mínimo número de vectores de igual magnitud para que su resultante sea cero es 3. 3. La magnitud de la suma de los 2 vectores es igual a la magnitud de la resta de los 2 vectores siempre que los 2 vectores sean perpendiculares entre sí. . Ing. Marcos Guerrero 55
  56. 56. 4. Las cantidades escalares pueden ser positivas, negativas ocero.5. Son ejemplos de cantidades vectoriales el desplazamiento yla velocidad.6. Son ejemplos de cantidades escalares la temperatura y lapresión.7. Si la ecuación escalar de 2 vectores es C=A+B y su   ecuación vectorial es A  B  C ,entonces el ángulo entre  los vectores A y B es 00. Ing. Marcos Guerrero 56
  57. 57. MÉTODOS ANALÍTICOS. Ing. Marcos Guerrero 57
  58. 58. MÉTODO DELPARALELOGRAMO. Se lo puede utilizar entre 2 vectores. Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.    Sean los vectores A y Bque se muestran a continuación, y θ el ángulo que forma el vector A con una línea de referencia. A  B Ing. Marcos Guerrero 58
  59. 59. Primero grafiquemos el vector resultante.     A R  A B    B  Observemos que θ es el ángulo entre los vectores  A  y B,además Φ es el ángulo entre los vectores R y B . Ing. Marcos Guerrero 59
  60. 60.  Si suponemos que conocemos la magnitud de los vectores Ay B ,como también el ángulo  entre ellos, entonces podemos determinar  la magnitud del vector resultante R y el ángulo   entre los vectores Ry B mediante las ecuaciones: R  A  B  2 ABCos  2 2 2 ASen  Tan  B  ACos Ing. Marcos Guerrero 60
  61. 61. EJERCICIO. Ing. Marcos Guerrero 61
  62. 62. Ing. Marcos Guerrero 62
  63. 63. Ing. Marcos Guerrero 63
  64. 64. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASFUNDAMENTALES Y PITÁGORAS.Las funciones trigonométricas básicas se las aplica en ángulos agudosque se encuentran en el interior de un triángulo rectángulo.Las 3 más importantes son: opuesto Sen  hipotenusa adyacente Cos  hipotenusa opuesto Tan  adyacente Ing. Marcos Guerrero 64
  65. 65.  c Sen  a Sen  ba c c  Cos  b Cos  a b c c Tan  b y  son ángulos agudos Tan  a b a TEOREMA DE PITÁGORAS. “La hipotenusa al cuadrado esigual a la suma del cuadrado de c 2  a 2  b2 los catetos”. Ing. Marcos Guerrero 65
  66. 66. Ing. Marcos Guerrero 66
  67. 67. ¿Cómo utilizar las funciones trigonométricas básicas y el teorema de Pitágoras en vectores? Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.  B      R  A B  A A BA    R  A B   B C      R  A  B  CGuerrero Ing. Marcos 0 67
  68. 68. EJERCICIO. Ing. Marcos Guerrero 68
  69. 69. Ing. Marcos Guerrero 69
  70. 70. LEY DEL COSENO.La ley deL Coseno permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero pararesolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado quequieres conocer. La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemasde triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de90°. Ing. Marcos Guerrero 70
  71. 71. La ley del Coseno dice así: “En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman” B  A  Suponiendo que se conoce los Clados A y B, así como también el ángulo  ,entonces para determinar el lado C con la ecuación: C  A  B  2 ABCos  2 2 2 Ing. Marcos Guerrero 71
  72. 72. B  A   CSuponiendo que se conoce los lados B y C, así como también el ángulo  ,entonces para determinar el lado A con la ecuación: A  B  C  2BCCos 2 2 2 Ing. Marcos Guerrero 72
  73. 73. B  A   CSuponiendo que se conoce los lados A y C, así como también el ángulo  ,entonces para determinar el lado B con la ecuación: B  A  C  2 ACCos 2 2 2 Ing. Marcos Guerrero 73
  74. 74. ¿Cómo utilizar la ley del coseno en vectores? Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.  B      R  A BA  A A B    R  A B   B   C   R  A B C  0 Ing. Marcos Guerrero 74
  75. 75. EJERCICIO. Ing. Marcos Guerrero 75
  76. 76. LEY DEL SENO.La ley del Seno es una relación de 3 igualdades que siempre se cumplenentre los lados y sus ángulos opuestos en un triángulo cualquiera, y que esútil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente lostriángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto ode 90°. Ing. Marcos Guerrero 76
  77. 77. La ley de los Senos dice así: “En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”. B  A   C A B C  Sen Sen Sen Ing. Marcos Guerrero 77
  78. 78. B  A   CSuponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo  ,entonces para determinar el ángulo  con la ecuación: A B  Sen Sen Ing. Marcos Guerrero 78
  79. 79. ¿Cómo utilizar la ley del seno en vectores? Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.  B      R  A BA  A A B    R  A B   B   C   R  A B C  0 Ing. Marcos Guerrero 79
  80. 80. EJERCICIO. Ing. Marcos Guerrero 80
  81. 81. MÉTODO DE LASCOMPONENTES. Ing. Marcos Guerrero 81
  82. 82. DIBUJANDO LAS COMPONENTES DE UN VECTOR. Imaginemos que tenemos un vector  en el primer cuadrante. a Y  Del gráfico podemos  a observar que: ay    a  ax  a y 0  X   ax a x y a y son llamados  componentes ortogonales del vector a  o proyecciones del vector a a lo largo de los ejes x e y respectivamente.Animación Ing. Marcos Guerrero 82
  83. 83. Imaginemos que tenemos un vector  en el segundo acuadrante. Y  a  ay 0 X ax Ing. Marcos Guerrero 83
  84. 84. Imaginemos que tenemos un vector  en el tercer cuadrante. a Y  ax 0  X ay  a Ing. Marcos Guerrero 84
  85. 85. Imaginemos que tenemos un vector  en el cuarto cuadrante. a Y  0 ax  X ay  a Ing. Marcos Guerrero 85
  86. 86.  Imaginemos que tenemos un vector a en el eje x(+). Y   0 a  ax X  Como el vector a se encuentra en el eje x la componente del   .vector a en el eje y es a  0 y Ing. Marcos Guerrero 86
  87. 87. Imaginemos que tenemos un vector a en el eje y(-). Y 0 X   a  ay  Como el vector a se encuentra en el eje y la componente del   .vector a en el eje x es ax  0 Ing. Marcos Guerrero 87
  88. 88. MAGNITUDES DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR.Para determinar las magnitudes de las componentes de un vector a lolargo de los ejes x e y respectivamente, se necesita la magnitud del vectory el ángulo que forma el vector con el eje horizontal o vertical. Imaginemos que tenemos el ángulo θ y la magnitud del vector  a Y   a Utilizando las funciones ay trigonométricas Coseno y Seno para el ángulo θ tenemos:  ax Cos   ax  aCos 0  X ax a ay Sen   a y  aSen a Ing. Marcos Guerrero 88
  89. 89. Ahora imaginemos que tenemos el ángulo  y la magnitud delvector a Y Utilizando las funciones  trigonométricas Coseno y Seno  a para el ángulo  tenemos: ay ay  Cos  a  a y  aCos ax 0  X Sen   ax  aSen ax a Ing. Marcos Guerrero 89
  90. 90. SIGNO DE LASCOMPONENTES DE UNVECTOR. Y Cuadrante II  Cuadrante I  ax  () ax  ()   a y  () a y  () X Cuadrante III 0  Cuadrante IV  ax  () ax  ()   a y  () a y  () Ing. Marcos Guerrero 90
  91. 91. MAGNITUD DE UN VECTOR.  Imaginemos que conocemos las componentes a x y a y  delvector a . Y  Podemos utilizar el teorema de  a  Pitágoras para determinar la ay magnitud del vectora , entonces tenemos:  X a  ax  a y 2 2 0 ax Ing. Marcos Guerrero 91
  92. 92. DIRECCIÓN DE UN VECTOR.Recordemos que la dirección de un vector se lo mide con respecto al ejex(+). Si la dirección se la mide a favor del movimiento de las manecillasdel reloj el ángulo es negativo, pero si la dirección se la mide en contradel movimiento de las manecillas del reloj el ángulo es positivo. Ing. Marcos Guerrero 92
  93. 93.  y Para determinar la dirección de un vector, imaginemos que conocemos las componentes a x a y del vector a . Y Utilizando la siguiente función  trigonométrica tenemos:  a ay ay Tan  θ ax 0  X ax Cada vez que se utilice esta ecuación debemos tener presente que el ángulo θ es el que forma el vector con el eje horizontal. Ing. Marcos Guerrero 93
  94. 94. Ing. Marcos Guerrero 94
  95. 95. Imaginemos que tenemos un vector  en el primer cuadrante. a Y  a(-) (+) X 0 Ing. Marcos Guerrero 95
  96. 96. Imaginemos que tenemos un vector  en el segundo acuadrante. Y  a (+) X 0 (-) Ing. Marcos Guerrero 96
  97. 97. Imaginemos que tenemos un vector  en el tercer cuadrante. a Y (+) 0 X (-)  a Ing. Marcos Guerrero 97
  98. 98. Imaginemos que tenemos un vector  en el cuarto cuadrante. a Y (+) 0 X (-)  a Ing. Marcos Guerrero 98
  99. 99. MÉTODO DE LAS COMPONENTES.Se lo puede utilizar cuando se tiene 2 o más vectores.Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entrevectores. El método consiste en: •Colocar los vectores de tal manera que sus puntos de aplicación coincidan con el origen de coordenadas. •Dibujar las componentes de cada vector, trazando paralelas a los ejes X y Y respectivamente •Determinar las magnitudes de las componentes de cada vector utilizando las funciones trigonométricas básicas seno y coseno. •Colocar el signo de las componentes de cada vector según el cuadrante respectivo en el que se encuentre el mismo. Ing. Marcos Guerrero 99
  100. 100. •Determinar las componentes del vector resultante.•Dibujar el vector resultante en el cuadrante respectivo.•Determinar la magnitud del vector resultante con ayuda del teorema dePitágoras.•Determinar la dirección del vector resultante, para esto se puede utilizarla función trigonométrica como herramienta adicional. Ing. Marcos Guerrero 100
  101. 101. Dos vectores A y B se muestran a continuación. Considere el vector C = A+B. ¿Cuál es la componente del vector C en y? (cada lado del cuadrado vale 1 u)A) 3 yB) 2 xC) -2 AD) -4E) Ninguno de ellos es la respuesta. B Ing. Marcos Guerrero 101
  102. 102. REPASO DE VECTORES103 Marcos Guerrero
  103. 103. 104 Marcos Guerrero
  104. 104. 105 Marcos Guerrero
  105. 105. 106 Marcos Guerrero
  106. 106. SISTEMAS DE COORDENADAS ESPACIALES. x z y z y xy x z Sistema de coordenadas espaciales que contiene: •3 ejes que son perpendiculares entre sí x, y, z. •3 planos x-y, x-z, y-z. •8 octantes : X(+), y(+),z(+). X(+), y(+),z(-). X(+), y(-),z(+). X(-), y(+),z(+). X(-), y(-),z(+). 107 X(-), y(+),z(-). X(+), y(-),z(-). Marcos Guerrero X(-), y(-),z(-).
  107. 107. UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS ESPACIALES. (x,y,z) Triada ordenada z Cuando el punto de coordenadas está: • En el origen, las 3 coordenadas valen cero. (0,0,c) (0,b,c) • En el eje, 2 coordenadas valen cero. (a,b,c) c (a,0,c) • En el plano, una (0,b,0) y coordenada vale cero. (0,0,0) • En el espacio, las 3 a coordenadas son diferente (a,0,0) b (a,b,0) de cero.x 108 Marcos Guerrero
  108. 108. VECTORES EN EL ESPACIO. z z  a  az  a  ay   y ax y ax az  ay     x a  ax  a y  azx    ˆax , a y , az  son llamados componentes a  axi  a y ˆ  az k ˆ jortogonales vector del a o proyecciones Representación de un vector utilizandodel vector a a lo largo de los ejes x,y,z vectores unitariosrespectivamente.Observar que la proyección del vector en el plano XZ son las componentes del vector en losejes x y z respectivamente 109 Marcos Guerrero
  109. 109. REPRESENTACIÓN DE UN VECTORUTILIZANDO VECTORES UNITARIOS(VECTORES BASES).¿Qué es un vector base?Es un vector unitario que posee dirección y cuya magnitud es igual a launidad. Se localizan en los ejes x, y e z tal como se muestra en la figura 110 Marcos Guerrero
  110. 110. ¿Para qué se utiliza los vectores base? Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector 111 Marcos Guerrero
  111. 111. ¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje? Si el vector se encuentra en un plano sólo tiene dos componentes y si se encuentra en un eje sólo tiene una componente. z z Marcos Guerrero  a  y y az    ax a  ax    a  ax  azx x 112
  112. 112. MAGNITUD DE UN VECTOR EN ELESPACIO.  aConociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar que sumagnitud viene dada por la expresión: a ax  a y  az 2 2 2 113 Marcos Guerrero
  113. 113. DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO. z  α es el ángulo que forma el vector a con el eje x(+)   β es el ángulo que forma el vector a con el eje y(+)  az a con el eje z(+) γ es el ángulo que forma el vector  γ a  β ay y  α axx α,β,γ se llaman ángulos directores y son los ángulos que determinan la dirección de un vector en el espacio. 114 Marcos Guerrero
  114. 114.  ¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector a con los ejes negativos?  1800-α es el ángulo que forma el vector a con el eje x(-)  1800 -βes el ángulo que forma el vector a con el eje y(-)   1800 -γes el ángulo que forma el vector a con el eje z(-) a α 1800 -αx(+) x(-) 115 Marcos Guerrero
  115. 115. z ¿Cómo se determinan los ángulos directores? Con ayuda de los cosenos directores.   a az   ay a a a ax y α β γ ax ay az x a ay azCos  x Cos  Cos  a a a  a Conociendo las ángulos directores del vector , demostrar que los 3 ángulos directores están relacionados por la expresión: Cos 2  Cos 2   Cos 2  1 116 Marcos Guerrero
  116. 116. GRAFICANDO UN VECTOR EN ELESPACIO. ˆ ˆ a  3i  2 j  4k (m) Graficar el vector y  a x z 117 Marcos Guerrero
  117. 117. 118 Marcos Guerrero
  118. 118. 119 Marcos Guerrero
  119. 119. 120 Marcos Guerrero
  120. 120.  VECTOR UNITARIO ( )  Definición: Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad.  z  a a  a    a : vector unitario del vector a   a a Todo vector posee su vector unitario.   Los vectores a y a tienen la y misma dirección.  El vector  a es adimensional.x 121 Marcos Guerrero
  121. 121.  ˆ a  axi  a y ˆ  az k ˆ j a ax  a y  az 2 2 2  ˆ j ˆ axi  a y ˆ  az k a  a  ax ˆ a y ˆ az ˆ En función de las componentes y a  i  j k la magnitud a a a ˆa  Cosi  Cosˆ  Cosk ˆ j En función de los cosenos directores 122 Marcos Guerrero
  122. 122. Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales direcciones. ¿Tienen el mismo vector unitario? Explique su respuesta.Ambos tienen el mismo vector unitario.   V F Ambos vectores unitarios tienen la misma magnitud y la misma dirección.    V  V   F  1 F 123 Marcos Guerrero
  123. 123. MULTIPLICACIÓN ENTREVECTORES.oPueden ser de igual o de diferentes unidades. oExisten dos tipos: •Producto punto o producto escalar. escalar  vector  vector   W  F s •Producto cruz o producto vectorial. vector  vector  vector      r F124 Marcos Guerrero
  124. 124. PRODUCTO PUNTO. También llamado producto escalar.Definición:     A  B  A B Cos Viene dado en unidades cuadradas sólo si los vectores que se multiplican tienen unidades u.   es el ángulo entre los vectores A y B . Animación. 125 Marcos Guerrero
  125. 125. PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO.    Propiedad Conmutativa: A B  B  A       Propiedad Distributiva: A  (B  C)  A  B  A  C      Propiedad de m( A  B)  (mA)  B  A  (mB)Homogenidad: donde m es un escalar   2  Propiedad de Positividad: A  A  A siA  0 126 Marcos Guerrero
  126. 126. PRODUCTO PUNTO ENTRE VECTORES UNITARIOS iˆ, ˆ, kˆ j . Producto punto entre vectores unitarios iguales . Utilizando la definición de producto punto tenemos:ˆ ˆ ˆˆi  i  i i Cos 00 ˆ  ˆ 1 j j ˆ ˆ k k 1ˆ ˆi i 1 El producto punto entre dos vectores unitarios iguales siempre es igual a 1. En general, el producto punto entre dos vectores unitarios paralelos y de la misma dirección siempre es igual a 1. 127 Marcos Guerrero
  127. 127. Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares. Utilizando la definición de producto punto tenemos:i  ˆ  i ˆ Cos900ˆ j ˆ j j ˆ ˆk  0 ˆ ˆ k i  0i ˆ0ˆ j El producto punto entre dos vectores unitarios perpendiculares siempre es igual a 0. 128 Marcos Guerrero
  128. 128. PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS VECTORES.   Sean los vectores A y B : ˆ j ˆ A  AX i  AY ˆ  AZ k  ˆ j ˆ B  BX i  BY ˆ  BZ k  demostrar que: A  B  AX BX  AY BY  AZ BZ 129 Marcos Guerrero
  129. 129.   A  B  AX BX  AY BY  AZ BZPara utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes. 130 Marcos Guerrero
  130. 130. APLICACIONES DEL PRODUCTO PUNTO. Se lo puede utilizar para: •Determinar el ángulo entre dos vectores. •Determinar proyecciones escalares y vectoriales de un vector sobre otro vector.ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UTILIZANDO ELPRODUCTO PUNTO. Recordemos que para determinar el ángulo entre dos vectores deben estar unidos por un mismo punto de aplicación. 131 Marcos Guerrero
  131. 131. Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar laecuación:    A B    Cos 1      AB      132 Marcos Guerrero
  132. 132. PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO VECTOR. Proyección escalar de un vector sobre otro vector.   Imaginemos que tenemos dos vectores A y B unidos por un mismo punto de aplicación.  AVamos a determinar laproyección escalar del  vector A sobre el vector B que se lo denota como AB .  B AB 133 Marcos Guerrero
  133. 133. Del gráfico anterior tenemos:  AB  A CosSi comparamos con la definición de producto punto:     A  B  A B CosLa ecuación anterior la podemos expresar como:    A  B  B AB   A BDespejando AB : AB   B 134 Marcos Guerrero
  134. 134. Proyección vectorial de un vector sobre otro vector.Del gráfico anterior tenemos: Dibujemosel vector unitario  del vector B (  ).  B A  Donde:   B  B BB    Ahora dibujemos la B  AB AB proyección vectorial del vector A  sobre el vector B y lo  denotamos AB . 135 Marcos Guerrero
  135. 135. Del gráfico, podemos observar que:   AB  AB  B 136 Marcos Guerrero
  136. 136. PRODUCTO CRUZ. También llamado producto vectorial.Definición:     Magnitud A  B  A B Sen Viene dado en unidades cuadradas sólo si los vectores que se multiplican tienen unidades u.   es el ángulo entre los vectores A yB . 137 Marcos Guerrero
  137. 137.   ¿Cómo se determina la dirección del vector A B ?Con la regla de la mano derecha:“Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operación,luego rotar y cerrar los dedos hacia el segundo vector de la operación(la menorrotación), al levantar el pulgar este dará la dirección del vector resultante” El producto vectorial sólo AC existe en el espacio  tridimensional.BC Animación. Animación. 138 Marcos Guerrero
  138. 138.  ¿Cómo se determina la dirección del vector B A ?   A  C   B  C Animación.139 Marcos Guerrero
  139. 139. PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRUZ.    Propiedad anti-conmutativa A  B  B  A       Propiedad distributiva A  (B  C)  A  B  A  C      Propiedad homogenidad  ( A  B)  (A)  B  A  (B)  : escalar      A  B  0 si A // B 140 Marcos Guerrero
  140. 140. PRODUCTO CRUZ ENTRE VECTORES UNITARIOS iˆ, ˆ, kˆ j . Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares. ˆ j ˆ j ˆ j ˆ iˆk ˆ ˆ  i  k j ˆ   ˆ ˆ j k i  ˆ ˆ ˆ i k   ˆ j iˆ iˆ j ˆ ˆ ˆk  i ˆ j k  ˆ  i ˆˆk ˆ k 141 Marcos Guerrero
  141. 141. Producto cruz entre vectores unitarios iguales.  ˆ ˆ i i  0 El producto vectorial de dos  vectores unitarios iguales es el ˆ ˆ  0 j j  vector nulo. ˆk  0 k ˆ 142 Marcos Guerrero
  142. 142. PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS VECTORES.   Sean los vectores A y B : ˆ j ˆ A  AX i  AY ˆ  AZ k  ˆ j ˆ B  BX i  BY ˆ  BZ k ˆ i ˆ j kˆ fila    C  A  B  AX AY AZ BX BY BZ columna 143 Marcos Guerrero
  143. 143. ˆ i ˆ j ˆ k   AY AZ A AZ A AY ˆC  A  B  AX AY AZ  iˆ X ˆ X j k BY BZ BX BZ BX BY BX BY BZ  ˆ j ˆ C  C11i  C12 ˆ  C13k donde: C11  AY BZ  AZ BY C12  AX BZ  AZ BX C13  AX BY  AY BX 144 Marcos Guerrero
  144. 144. ¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado por los   vectores y A? B  Base  A  B Altura Altura Sen   B   Base A Altura  B Sen Area  Base  Altura   Area  A B Sen 145 Marcos Guerrero
  145. 145. Si la comparamos con la ecuación:      C  A  B  A B Sen  Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores A y B viene dada por la magnitud del vector C .    Area  C  A  B 146 Marcos Guerrero
  146. 146. ¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los    vectores A , B y A  B ?    B A B   A    Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores A, B y A  B viene dada por la mitad de la magnitud del vector C .    C A B Area   2 2 147 Marcos Guerrero
  147. 147. APLICACIONES DEL PRODUCTO CRUZ.Se lo puede utilizar para:•Determinar un vector perpendicular al plano formado por dosvectores.•Determinar el área del paralelogramo formado por dosvectores.•Determinar el área del triángulo formado por tres vectores. 148 Marcos Guerrero
  148. 148. TRIPLE PRODUCTO ENTRE VECTORES .  C  A B Vamos a determinar el producto   cruz entre los vectores A y B     ( C  A  B ). DC D B Vamos a determinar la  proyección escalar del vector D   sobre el vector C ( DC). A 149 Marcos Guerrero
  149. 149. Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector D sobre el vector C es la altura del paralelepípedo.   D C h  DC   C h     D  A B    A B  Donde A  B es el área de la base del paralelepípedo. 150 Marcos Guerrero
  150. 150. Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de labase del paralelepípedo obtenemos el volumen del paralelepípedo,entonces tenemos que:      Volumen  h A  B  D  A  B      Volumen  D  A  B 151 Marcos Guerrero

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