Gravitacion universal

2,519 views

Published on

Published in: Education, Technology
0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,519
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
8
Actions
Shares
0
Downloads
127
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Gravitacion universal

  1. 1. GRAVITACION UNIVERSAL 1 Marcos Guerrero
  2. 2. 2 LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL. “La magnitud de cada una de las fuerzas gravitacionales con que interactúan dos masas puntuales es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa” F m1 y m2 m1m2 2 r son masas gravitacionales. Marcos Guerrero
  3. 3. 3 Principio de la balanza de Cavendish, empleada para determinar el valor de G. G 6.67 10 11 N m 2 / kg2 Marcos Guerrero
  4. 4. 4  F12 G m1m2 r12 2 ˆ r12 De la misma manera:  F21 G m1m2 En general: Forma vectorial de la ley de Gravitacion Universal  F G m1m2 r 2 r212 ˆ r21 ˆ r Marcos Guerrero
  5. 5. 5 Forma escalar de la ley de Gravitación Universal F G m1m2 r2 G es la constante de Gravitación Universal. G 6,67 x10 11 N .m 2 .kg 2 Marcos Guerrero
  6. 6. 6 Marcos Guerrero
  7. 7. 7 Marcos Guerrero
  8. 8. 8 Marcos Guerrero
  9. 9. El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas: m m' m m' r F G 2 ( ur ) siendo ur G 3 F r r r r z Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra situada a cierta distancia, se introduce el concepto de campo de fuerzas m’ r La masa m hace que las propiedades del espacio que la rodea cambien, independientemente que en su proximidad se sitúe otra masa m’ m y El campo gravitatorio La intensidad del campo gravitatorio g en un punto es la fuerza por unidad de masa, calculada en dicho punto g F m' G m r 3 r cuyo módulo es: g G m r 2 g x y se expresa en N/kg en el S.I. La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: F mg
  10. 10. El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias Los campos de fuerzas se representan mediante líneas de campo En el campo gravitatorio, las líneas de campo no parten de ningún punto definido, carecen de fuentes, y acaban en los cuerpos con masa o sumideros m M Representación del campo Características de las líneas de campo Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo
  11. 11. El campo gravitatorio. Movimientos bajo fuerzas gravitatorias La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se obtiene calculando la creada por cada una de ellas y sumando los resultados parciales n gT g1 g2 ... siendo u i gn i 1 G mi 2 . u i ri P ri g3 ri También se puede aplicar al cálculo de la fuerza ejercida sobre cierta masa por la acción de un conjunto discreto de ellas r3 FT m gT i 1 gT m1 g3 r2 m2 Fi Si un cuerpo está sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efecto total resultante es la suma de los efectos individuales de cada fuerza r1 g2 g 1 Principio de superposición n g1 m3
  12. 12. 12 Marcos Guerrero
  13. 13. © David Hoult 2009
  14. 14. M g G 2 r © David Hoult 2009
  15. 15. g 1 r2 © David Hoult 2009
  16. 16. g 1 r2 © David Hoult 2009
  17. 17. © David Hoult 2009
  18. 18. outside the sphere g 1 r2
  19. 19. outside the sphere g 1 r2 © David Hoult 2009
  20. 20. outside the sphere inside the sphere g g 1 r2 r © David Hoult 2009
  21. 21. outside the sphere inside the sphere g g 1 r2 r © David Hoult 2009
  22. 22. © David Hoult 2009
  23. 23. © David Hoult 2009
  24. 24. 25 Marcos Guerrero
  25. 25. 26 Problema Marcos Guerrero
  26. 26. 27 Solución Marcos Guerrero
  27. 27. 28 Problema Marcos Guerrero
  28. 28. 29 Solución Marcos Guerrero
  29. 29. 30 PESO E INGRAVIDEZ. Una cosa es el peso, y otra es la sensación de peso. La fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre la nave y sus tripulantes, el peso, proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantenerlos en movimiento orbital. Al no existir una fuerza de contacto que los sostenga, los astronautas no tienen sensación de peso y se encuentran en un estado de ingravidez, exactamente igual que la que se experimenta en una caída libre (como si se encontraran en el interior de un ascensor que se está cayendo). Marcos Guerrero
  30. 30. 31 En el techo del ascensor se encuentra sostenido un dinamómetro que a su vez sostiene una bolsa de masa m. Además se encuentra una persona en el interior del ascensor. El ascensor se encuentra en reposo o se mueve a velocidad constante hacia arriba o hacia abajo. La lectura del dinamómetro es igual al peso de la bolsa y la persona tiene una sensación de una fuerza igual a su peso. Marcos Guerrero
  31. 31. 32 El ascensor se mueve hacia arriba con una aceleración constante de magnitud igual a la mitad de la aceleración de la gravedad. La lectura del dinamómetro es mayor al peso de la bolsa y la persona tiene una sensación de una fuerza mayor a su peso. Marcos Guerrero
  32. 32. 33 El cable del ascensor se rompe y se mueve hacia abajo con una aceleración constante de magnitud igual a la aceleración de la gravedad. La lectura del dinamómetro es cero y la persona no tiene una sensación de una fuerza (ingravidez). Marcos Guerrero
  33. 33. 34 Problema Marcos Guerrero
  34. 34. 35 Solución Marcos Guerrero
  35. 35. 36 Solución Marcos Guerrero
  36. 36. 37 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL (Ug) Imaginemos que tenemos una masa m que se mueve del punto A al punto B. Marcos Guerrero
  37. 37. La fuerza gravitacional se encargará de mover 38masa m del punto A al punto B. la Recordemos que la magnitud de la fuerza gravitacional entre la Tierra y la masa viene dada por la expresión: Fg GMT m r 2 y g GmT RT 2 De esta expresión podemos observar que la fuerza gravitacional es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a las dos masas. El área bajo la curva nos da el trabajo de la fuerza gravitacional, por lo tanto tenemos: r2 WFg Fr dr r1 Marcos Guerrero
  38. 38. 39 Sustituyendo la componente radial e la fuerza gravitacional, tenemos: r2 dr GmT m GmT m WFg = -GmT m ò 2 = r2 r1 r1 r Imaginemos que tenemos una masa m que se mueve desde el punto A que está en el infinito al punto P, por lo tanto: r2 r1 r 0 Reemplazando en la siguiente ecuación tenemos: WFg GmT m r2 GmT m r1 U GmT m r Por lo tanto: Marcos Guerrero
  39. 39. 40 Entonces podemos decir que la energía potencial gravitacional entre 2 masas es: U GMm r Definición: La energía potencial gravitacional de una masa m, en un punto p en el espacio, se define como el trabajo que realiza la fuerza gravitacional cuando la masa m se traslada desde el infinito hasta ese punto. Marcos Guerrero
  40. 40. 41 GRÁFICO DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL EN FUNCIÓN DE LA DISTANCIA. Marcos Guerrero
  41. 41. 42 CONSIDERACIONES DE ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS. TRAYECTORIAS CIRCULARES. Marcos Guerrero
  42. 42. 43 La energía potencial gravitacional del satélite es: U =- GMm r La energía cinética del satélite es: 1 mV 2 2 EC Recordemos que la rapidez orbital del satélite viene dada por la expresión: V GM r Reemplazando la ecuación de la rapidez orbital en la de energía cinética tenemos: EC 1 GMm 2 r Marcos Guerrero
  43. 43. 44 La energía total del satélite viene dada por la expresión: ETOTAL EC EPg Reemplazando las ecuaciones de energía cinética y energía potencial gravitacional del satélite en la ecuación anterior, tenemos: ETOTAL 1 GMm 2 r Para una distancia fija r las ecuaciones de energía potencial gravitacional, energía cinética y energía total del satélite permanecen constantes. Marcos Guerrero
  44. 44. 45 Mas sobre la fuerza gravitacional y la energia potencial La componente de la fuerza dada en una dirección, es igual al negativo de la derivada U respecto a la coordenada correspondiente. Para movimiento en el eje x: Fx dU dx La fuerza gravitacional tiene componente solo en la dirección radial, así que: Fr dU dr d GmT m ( ) dr r GmT m r2 Si estamos cerca de la superficie terrestre la ecuación de U, se reduce a U=mgy. Wgrav r1 r2 GmT m r1r2 Marcos Guerrero
  45. 45. 46 Mas sobre la fuerza gravitacional y la energia potencial Si el cuerpo se mantiene cerca de la tierra, en el denominador podemos sustituir de la siguiente manera: Wgrav r1 r2 GmT m 2 RT Según la ecuación: g GmT RT 2 Tenemos: Wgrav mg (r1 r2 ) Marcos Guerrero
  46. 46. 47 Marcos Guerrero
  47. 47. 48 GRÁFICO DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL , ENERGÍA CINÉTICA Y ENERGÍA TOTAL EN FUNCIÓN DE LA DISTANCIA. Marcos Guerrero
  48. 48. 49 TRAYECTORIAS ELÍPTICAS. Energía cinética del planeta aumenta conforme se mueve del apogeo al perigeo. Perigeo o perihelio Apogeo o afelio Energía cinética del planeta disminuye conforme se mueve del perigeo al apogeo. La componente tangencial de la fuerza gravitacional es la que produce trabajo sobre el planeta haciendo que su energía cinética cambie. Marcos Guerrero
  49. 49. 50 ¿Por qué la energía cinética del planeta cambia conforma órbita alrededor del sol? Recordemos el teorema del trabajo y la energía cinética, entonces tenemos que: WNETO EC La única fuerza que produce trabajo sobre el planeta es la componente tangencial de la fuerza gravitacional, por lo tanto: WFgTANGENCIAL EC Marcos Guerrero
  50. 50. 51 Marcos Guerrero
  51. 51. Problema 52 Marcos Guerrero
  52. 52. Problema 53 Marcos Guerrero
  53. 53. 54 Solución Marcos Guerrero
  54. 54. 55 Problema Marcos Guerrero
  55. 55. 56 Solución Marcos Guerrero
  56. 56. 57 RAPIDEZ ORBITAL Y PERIODO ORBITAL. Imaginemos que tenemos un satélite y que está orbitando alrededor de la Tierra, tal como se muestra a continuación.  VORBITAL : r: Velocidad orbital del satélite. Radio orbital del satélite.  FG :Fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre el satélite. m : Masa del satélite.  aC : Aceleración centrípeta del satélite. :Radio de la Tierra. RT MT : Masa de la Tierra. Marcos Guerrero
  57. 57. 58 Aplicando la Segunda Ley de la Mecánica de Newton para el satélite, tenemos:  FC  maC La fuerza centrípeta es suministrada por la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre el satélite y recordando la ecuación de la aceleración centrípeta, entonces tenemos que: 2 FG VORBITAL m r Recordando la expresión de la fuerza gravitacional y reemplazando en la ecuación anterior, tenemos: GmM T r2 VORBITAL m r 2 Marcos Guerrero
  58. 58. 59 GM T r 2 VORBITAL De la ecuación anterior, despejemos la rapidez orbital, entonces tenemos: VORBITAL GM T r Podemos observar que la rapidez orbital del satélite es independiente de la masa del satélite, sino que depende de la masa de la Tierra, el radio orbital y la constante de Gravitación Universal. Marcos Guerrero
  59. 59. 60 V VORBITAL : Trayectorias posibles 1, 2 y 3 V VORBITAL : Trayectoria 4 V VORBITAL : Trayectorias posibles 5, 6 y 7 Marcos Guerrero
  60. 60. 61 Recordemos la ecuación de la rapidez orbital en función del periodo orbital y el radio orbital (ecuación del M.C.U.) , entonces tenemos: 2 r T VORBITAL T : Periodo orbital del satélite. Igualando las ecuaciones: 2 r T VORBITAL VORBITAL GM T r Tenemos: 2 r T GM T r Ahora elevemos al cuadrado ambos lados de la ecuación: 2 r T 2 2 GM T r Marcos Guerrero
  61. 61. 62 Entonces tenemos: 2 2 4 r T2 GM T r De la ecuación anterior despejando T, tenemos: T 4 2r 3 GM T Marcos Guerrero
  62. 62. 63 Problema Marcos Guerrero
  63. 63. 64 Solución Marcos Guerrero
  64. 64. 65 Solución Marcos Guerrero
  65. 65. 66 LEYES DE KEPLER. F1 y F2 : puntos focales. f : distancia focal. f : distancia focal. a: semieje mayor. b: semieje menor. e: excentricidad. ¿Qué es la excentricidad? Es un número sin unidades que está entre 0 y 1 incluidos y que determina el tipo de trayectoria. Por ejemplo para una trayectoria circular la excentricidad es igual a 1 Marcos Guerrero
  66. 66. 67 PRIMERA LEY DE KEPLER. También llamado ley de las órbitas. “Todos los planetas se mueven en orbitas elípticas con el Sol en uno de los puntos focales”. Marcos Guerrero
  67. 67. 68 SEGUNDA LEY DE KEPLER. También llamado ley de las áreas. “Una línea trazada desde el Sol a cualquiera de los planetas, barre áreas iguales en intervalos de tiempos iguales”. A1 A2 t1 Marcos Guerrero t2
  68. 68. 69 La rapidez con la que se barre el área, dA/dt, se denomina velocidad de sector: De esta manera, rv sin es la magnitud del producto vectorial r v que es 1/m veces el momento angular del planeta con respecto al Sol. Tenemos, entonces, Finalmente: Marcos Guerrero
  69. 69. 70 TERCERA LEY DE KEPLER. También llamado ley de los períodos. “El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta al Sol”. Si la trayectoria es elíptica la distancia media entre el planeta al Sol es el semieje mayor en cambio si la trayectoria es circular la distancia media entre el planeta y el Sol es el radio orbital. Recordemos que el periodo orbital es: T 4 2r 3 GM S Marcos Guerrero
  70. 70. 71 Despejemos el periodo orbital al cuadrado, entonces tenemos: T2 4 2 3 r GM S De la ecuación anterior podemos concluir que: T2 r3 Marcos Guerrero
  71. 71. 72 ORBITA GEOESTACIONARIA DE UN SATÉLITE ALREDEDOR DE LA TIERRA. Definición: Un satélite tiene una órbita geoestacionaria (geosincrónica) cuando su periodo de rotación es igual al periodo de rotación de la Tierra alrededor de su propio eje. ¿Cuál es el periodo de rotación de la Tierra alrededor de su propio eje? 24 horas Marcos Guerrero
  72. 72. 73 Determine la distancia entre un satélite artificial y el centro de la Tierra para que este tenga una órbita geoestacionaria. Marcos Guerrero
  73. 73. 74 De la ecuación del periodo orbital despejemos r, entonces tenemos: r 3 GM T T 2 4 Marcos Guerrero
  74. 74. 75 Problema Marcos Guerrero
  75. 75. 76 Solución Marcos Guerrero
  76. 76. 77 Problema Marcos Guerrero
  77. 77. 78 Solución Marcos Guerrero
  78. 78. Rapidez de Escape © David Hoult 2009
  79. 79. © David Hoult 2009
  80. 80. © David Hoult 2009
  81. 81. © David Hoult 2009
  82. 82. © David Hoult 2009
  83. 83. EPG = zero © David Hoult 2009
  84. 84. G P E = zero Para encontrar la rapidez minima, ve el cual causara que el cohete escape del campo gravitacional de la tierra, se asume que la energia cinetica del cohete tambien es igual a cero © David Hoult 2009
  85. 85. G P E = zero Para encontrar la rapidez minima, ve el cual causara que el cohete escape del campo gravitacional de la tierra, se asume que la energia cinetica del cohete tambien es igual a cero Conforme el cuerpo se aleja del planeta va perdiendo EC y ganando EPG © David Hoult 2009
  86. 86. G P E = zero Para encontrar la rapidez minima, ve el cual causara que el cohete escape del campo gravitacional de la tierra, se asume que la energia cinetica del cohete tambien es igual a cero Conforme el cuerpo se aleja del planeta va perdiendo EC y ganando EPG KE = - GPE © David Hoult 2009
  87. 87. Si la masa del cohete es m, entonces EPG que posee en la superficie del planeta es: GPE = GMm R © David Hoult 2009
  88. 88. Si la masa del cohete es m, entonces EPG que posee en la superficie del planeta es: GPE = GPE = GMm R GMm r © David Hoult 2009
  89. 89. Si la masa del cohete es m, entonces EPG que posee en la superficie del planeta es: GPE = GPE = GMm R GMm R K E = -½mve2 © David Hoult 2009
  90. 90. -½mve 2 = -GMm R © David Hoult 2009
  91. 91. ve 2GM R Tambien como g = GM/R2 © David Hoult 2009
  92. 92. ve 2GM R Tambien como g = GM/R2 ve 2gR © David Hoult 2009

×