PUNTO, RECTA Y PLANO

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PUNTO, RECTA Y PLANO

  1. 1. Elementos abatidos: se nombrarán con la correspondiente letra mayúscula entre paréntesis; punto (A) ; recta (R) ; trazas del plano (P) o (P´) . Especificaciones para Selectividad. NOMENCLATURA Punto: se usarán preferentemente las vocales y, en su defecto, los números naturales. Para nombrar el punto en el espacio se emplearán las mayúsculas, A . La proyección horizontal se nombrará con las minúsculas, a . La proyección vertical con el apóstrofe (prima), a´ . El perfil o tercera vista se definirá con el doble apóstrofe (segunda), a´´ . Recta: Se usarán preferentemente las consonantes. Para nombrar la recta en el espacio se emplearán las mayúsculas, R . La proyección horizontal se nombrará con las minúsculas, r . La proyección vertical con el apóstrofe (prima), r´ . El perfil o tercera vista se diferenciará con el doble apóstrofe (segunda), r´´ . Plano: Se usarán preferentemente las consonantes. Para nombrar un plano en el espacio se utilizarán las mayúsculas, P . La traza horizontal se nombrará con la mayúscula, P . La traza vertical se diferenciará con el apóstrofe (prima), P´ . En los cambios de planos, y por consiguiente en terceras vistas se usará el doble apóstrofe (segunda), P´´ . Sistema Diédrico
  2. 2. La geometría descriptiva es la ciencia, o el método matemático, que tiene por objeto la representación, sobre un plano (el plano del dibujo) las figuras o cuerpos del espacio, resolviendo los problemas de las tres dimensiones, mediante el empleo de la Geometría Plana . Para conseguir la relación entre las formas de tres dimensiones y las de dos recurrimos a las proyecciones. Geometría Descriptiva Proyección central o cónica Uno Representativo Perspectiva cónica Proyección cilíndrica oblicua Uno Representativo Perspectiva caballera Proyección cilíndrica ortogonal Uno Representativo Perspectiva axonométrica Proyección cilíndrica ortogonal Uno De medida Planos acotados Proyección cilíndrica ortogonal Dos De medida Diédrico Sistema de proyección Planos de proyección Tipo Sistema
  3. 3. ELEMENTOS. I Cuadrante o Diedro II Cuadrante o Diedro III Cuadrante o Diedro IV Cuadrante o Diedro PH a PH p PV s PV i 1 Bisector 2 Bisector LT Sistema Diédrico
  4. 4. REPRESENTACIÓN DEL PUNTO. En el sistema diedrico un punto queda totalmente definido cuando se conocen sus dos proyecciones., puntos también, que son los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto a los planos de proyección. Se llama cota u ordenada de un punto la distancia que hay entre el punto y el PH COTA. ALEJAMIENTO. Alejamiento es la distancia del punto al PV. Cota Alejamiento Cota Alejamiento Alzado Planta Planta Alzado
  5. 5. ALFABETO DEL PUNTO Las diversas posiciones que puede adoptar y punto en el espacio, así como las proyecciones que le corresponden en cada caso, reciben el nombre de alfabeto del punto.
  6. 6. Puntos situados en los planos de proyección.
  7. 7. Puntos situados en los planos bisectores. Los puntos situados en los bisectores tienen igual cota que alejamiento.
  8. 8. PROYECCIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO DE PERFIL. Cuando necesitamos más información sobre el objeto que queremos representar usamos la vista del perfil Perfil A a’ a’’ a a’’ PV. Alzado PP. Perfil Izquierdo PH. Planta. a’ a a’’ LT
  9. 9. REPRESENTACIÓN DEL PUNTO POR COORDENADAS (X, Y, Z) A (3 , 2 , 3 ), B (0, -3, 4), C (-3, 0, -2), D (5, 1, 0). 0 a’ a b b’ c c’ d’ d ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
  10. 10. Ejercicio del cuadernillo I. Representación del punto.
  11. 11. LA RECTA . Posiciones particulares de la recta respecto de un plano: paralela, perpendicular y oblicua. La proyección de una recta sobre un plano es otra recta obtenida por las proyecciones de todos los puntos de aquella. No es necesario obtener las proyecciones de todos los puntos de una recta, ya que es suficiente con dos de ellos. Las trazas de una recta son sus puntos de intersección con los planos de proyección. Una recta puede tener dos trazas que llamamos: H (h h’) en el plano horizontal y V (v v’) en el plano vertical. a’ a b b’ A v’ v a’ a b b’ h’ h r’ r
  12. 12. TRAZAS EN LOS BISECTORES . B1 (b1, b1’) B2 (b2, b2’) B1 (b1, b1’). La traza con el primer bisector se halla buscando el punto de la recta que tiene igual cota que alejamiento y que está en el primer o tercer cuadrante. B2 (b2, b2’). La traza con el segundo bisector se encuentra donde las proyecciones r y r’ se cortan. r b1’ b1 r’ b2 b2’ v v’ B1 b1 b1’ r r’ h h’ R B1 (b1, b1’) B2 (b2, b2’) B1 (b1, b1’)
  13. 13. R r r’ v v’ h h’ b2 b2’ B2 r’ r b2=b2’ h’ h v’ v B2 (b2, b2’) TRAZA CON EL SEGUNDO BISECTOR
  14. 14. RECTAS QUE SE CORTAN Y RECTAS QUE SE CRUZAN. La intersección de dos rectas es un punto que pertenece a ambas rectas. s’ r’ r r’ s’ a’ a s s r a’ a
  15. 15. ALFABETO DE LA RECTA. RECTAS PARALELAS A LT (17 posiciones). Las rectas paralelas a LT tienen sus proyecciones r y r’ paralelas a LT. Al ser paralelas a ambos planos de proyección, obtenemos verdadera magnitud en sus proyecciones y no tienen trazas. Su proyección en el plano de perfil es un punto.
  16. 16. PARALELAS AL PLANO H . RECTA HORIZONTAL (Rectas A, B, C). (3 posiciones ). a v’ v a’ b2=b2’ b1’ b1 RECTAS PARALELAS A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN. Las rectas horizontales tienen su proyección vertical paralela a LT y su proyección horizontal formando un ángulo con LT. Al ser paralelas al plano H tenemos VM en su proyección horizontal. A a a’ v’ v
  17. 17. PARALELAS AL PLANO H . RECTA HORIZONTAL (Rectas A, B, C). (3 posiciones ). B,b b’ v, v’ v, v’ b’ b
  18. 18. c c’ v v’ b2=b2’ b1’ b1 b1’ b1 PARALELAS AL PLANO H . RECTA HORIZONTAL (Rectas A, B, C). (3 posiciones ). C c’ c v’ v
  19. 19. PARALELAS AL PLANO V RECTA FRONTAL (Rectas D, E, F) ( 3 posiciones). RECTAS PARALELAS A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN. Las rectas frontales tienen todos sus puntos a igual distancia del plano vertical, por lo tanto, su proyección horizontal es paralela a LT y su proyección vertical forma un ángulo con LT. Al ser paralela a PV tenemos VM en el alzado. D d’ d h h’ d’ d h h’ b2=b2’ b1’ b1
  20. 20. PARALELAS AL PLANO V RECTA FRONTAL (Rectas D, E, F) (3 posiciones). E=e’ e h’ h e’ e h’ h
  21. 21. f h h’ F f’ h’ h f f’ b2=b2’ b1’ b1 PARALELAS AL PLANO V RECTA FRONTAL (Rectas D, E, F) (3 posiciones).
  22. 22. RECTAS PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN. a’ a= h, h’ b2=b2’ b1’ b1 Rectas perpendiculares al plano H RECTA VERTICAL (3posiciones) Las rectas verticales son perpendiculares al plano H y paralelas al plano V, por lo tanto, su proyección horizontal es un punto y la vertical una recta perpendicular a LT. Tenemos VM en su proyección vertical. A a= h a’ h’
  23. 23. Rectas perpendiculares al plano H RECTA VERTICAL (3posiciones) b= h=h’ b’ b’ b= h=h’
  24. 24. h’ c’ c= h, b2=b2’ b1’ b1 Rectas perpendiculares al plano H RECTA VERTICAL (3posiciones) c= h c’ C
  25. 25. Recta perpendicular al plano V RECTA DE PUNTA ( 3 posiciones) d’= v’ d v RECTAS PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN. Las rectas de punta son perpendiculares al PV y paralelas al PH, por lo tanto, su proyección vertical será un punto y su proyección horizontal una recta perpendicular a LT, donde además tendremos VM. D d’= v’ d v
  26. 26. Recta perpendicular al plano V RECTA DE PUNTA ( 3 posiciones) e’= v’ v e’= v’ v E=e
  27. 27. f’= v’ f F v f’= v’ f Recta perpendicular al plano V RECTA DE PUNTA ( 3 posiciones)
  28. 28. RECTAS DE PERFIL Las rectas de perfil son paralelas al plano de perfil, por lo tanto, sus proyecciones son rectas perpendiculares a LT y tenemos verdadera magnitud en su proyección en el plano de perfil. Rectas de perfil que no cortan a LT Las rectas de perfil que no cortan a LT tienen dos trazas. Los ángulos que forma la recta con el PH y con el PV se observa en el plano de perfil. a a’ A h’= v h v’ v’’ h’’ a’’ h’=v h v’ v’’ h’’ a a’ a’’
  29. 29. b b’ B h’=v v’ v’ h h’=v h b’ b h’’ v’’ b’’ b’’ v’’ h’’ Rectas de perfil que no cortan a LT
  30. 30. Rectas de perfil que cortan a LT A a’ v=v’=h=h’ a’’ M m m’ m’’ a RECTAS DE PERFIL Las rectas de perfil que cortan a LT tienen una sola traza en LT. En este tipo de rectas es necesario dibujar su perfil para definir la recta. a v=v’=h=h’ a’ m’ m m’’ a’’
  31. 31. v=v’=h=h’ b b’ B b’’ m’ m m’’ M b=b’ b’’ v=v’=h=h’ m’ m m’’ Rectas de perfil que cortan a LT
  32. 32. El plano se representa por medio de sus trazas que son las rectas de intersección de éste con cada uno de los planos de proyección. EL PLANO . REPRESENTACIÓN DEL PLANO. Plano oblicuo . El plano oblicuo es oblicuo a los planos de proyección, por lo tanto, sus trazas se representan oblicuas a LT. P P’ P P’ : es una recta frontal contenida en PV. P : es una recta horizontal contenida en PH. P P’ f’ f = r’ r
  33. 33. MODO DE REPRESENTAR UNA RECTA EN UN PLANO DADO POR SUS TRAZAS. V+H= R h+v= r v’+ h’=r’ Para que una recta pertenezca a un plano las trazas de la recta deben pertenecer a las trazas del plano del mismo signo. P’ P r’ r R H=h V=v’ v h’ P’ P r’ r v v’ h h’
  34. 34. Para que un punto este contenido en un plano, ha de estar en una de las rectas que pertenezcan al plano. REPRESENTAR UN PUNTO CONTENIDO EN UN PLANO. P’ P r’ r R H=h V=v’ v h’ A P’ P r’ r v v’ h h’ a’ a
  35. 35. <ul><li>Un plano puede determinarse o definirse de las siguientes formas: </li></ul><ul><li>Por dos rectas que se cortan. </li></ul><ul><li>Por un punto y una recta que no se pertenezcan. </li></ul><ul><li>Por tres puntos no alineados. </li></ul><ul><li>Por dos rectas paralelas. </li></ul><ul><li>Por las rectas de máxima pendiente y de máxima inclinación del plano . </li></ul><ul><li>En cualquiera de estos casos pueden </li></ul><ul><li>obtenerse las trazas del plano a </li></ul><ul><li>partir de las trazas de las rectas </li></ul><ul><li>contenidas en el mismo. </li></ul>1. Por dos rectas que se cortan. DETERMINACIÓN DE UN PLANO. h h v’ v’ S s s’ r r’ R
  36. 36. 1. Por dos rectas que se cortan. Datos. Solución. r r’ s s’ m’ m h h’ v v’ r r’ s s’ m’ m h h’ v v’ h v’ h’ v P’ P 1) 2) 3) r r’ s s’ m’ m r r’ s s’ m’ m h h’ v v’ h v’ h’ v
  37. 37. 2. Por un punto y una recta que no se pertenezcan. s s’ m’ m r a’ a m’ m r a’ a r’ r’ s s’ m’ m r a’ a r’ v’ v h h’ h h’ v’ v P’ P Datos. Solución. 1) 2) 3) r r’ a’ a
  38. 38. 3. Por tres puntos no alineados. Datos. a’ a b b’ c c’ a’ a b b’ c c’ a’ a b b’ c c’ h v’ v’ h P’ P s s’ r r’ s’ s Solución. 1) 2) 3) a’ a b b’ c c’
  39. 39. 4. Por dos rectas paralelas. Datos. s’ s r r’ h v’ v’ h s’ s r r’ h v’ v’ h P P’ Solución. 1) 2) s’ s r r’
  40. 40. 5. Por las rectas de máxima pendiente y de máxima inclinación del plano r’ Datos. m. p. r r’ h v’ r r’ v’ P 90º h r r’ v’ P 90º h P’ m. i. r r’ h v’ r r’ h v’ P’ 90º r r’ h v’ P’ 90º P r
  41. 41. <ul><li>Recta horizontal de un plano. </li></ul><ul><li>Recta frontal de un plano. </li></ul><ul><li>Línea de máxima pendiente. </li></ul><ul><li>Línea de máxima inclinación. </li></ul>P P’ v’ v F f’ f h h’ r r’ <ul><li>Recta horizontal de un plano. </li></ul><ul><li>Recta frontal de un plano. </li></ul>h h’ RECTAS PARTICULARES DEL PLANO. v’ v P P’ r r’ P P’ f’ f
  42. 42. <ul><li>Línea de máxima pendiente. </li></ul>Se denomina línea de máxima pendiente de un plano a la recta contenida en el mismo que forma el mayor ángulo posible con el plano horizontal de proyección.
  43. 43. <ul><li>Línea de máxima inclinación. </li></ul>Línea de máxima inclinación de un plano es aquella recta contenida en el mismo que forma el mayor ángulo posible con el plano vertical de proyección.
  44. 44. <ul><li>PLANO OBLICUO. </li></ul><ul><li>PLANOS PARALELOS A LOS DE PROYECCIÓN (6 posiciones). </li></ul><ul><ul><li>Planos paralelos al PH.(3 posiciones) </li></ul></ul><ul><ul><li>Planos paralelos al PV. (3 posiciones) </li></ul></ul><ul><li>PLANO DE PERFIL. </li></ul><ul><li>PLANOS PARALELOS A LT.(4 posiciones) </li></ul><ul><li>PLANOS QUE PASAN POR LT( Planos P y Q, 2 posiciones) </li></ul><ul><li>PLANOS PERPENDICULARES A LOS DE PROYECCIÓN. </li></ul><ul><ul><li>Plano proyectante al horizontal. </li></ul></ul><ul><ul><li>Plano proyectante al vertical. </li></ul></ul>TIPOS DE PLANOS * * * * * *
  45. 45. Planos paralelos al PH.(3 posiciones) Las planos paralelos al PH tienen una sola traza paralela a LT. P’ Q’ LT // al PH Superior LT // al PH Inferior PH // al PH Superior // al PH Inferior P’ Q’
  46. 46. En los planos paralelos al PH tenemos verdadera magnitud de las figuras contenidas en los mismos, en sus proyecciones horizontales. Las proyecciones verticales siempre están en la traza del plano. P’ a a’ b b’ c’ c LT LT a a’ b=b’ c’ c Q’ a a’ b b’ c’ c LT PH // al PH Superior // al PH Inferior P’ Q’ Figura contenida en Q. Figura contenida en PH. Figura contenida en P.
  47. 47. Planos paralelos al PV. (3 posiciones) PV // al PV Anterior // al PV Posterior P LT // al PV Anterior Q LT // al PV Posterior P Q
  48. 48. PV // al PV Anterior // al PV Posterior P Q Q a a’ b’ c’ c LT LT a a’ b=b’ c’ c P a a’ b b’ c’ c LT b En los planos paralelos al PV tenemos verdadera magnitud de las figuras contenidas en los mismos, en sus proyecciones verticales. Las proyecciones horizontales siempre están en la traza del plano. Figura contenida en P. Figura contenida en PV. Figura contenida en Q.
  49. 49. PLANO DE PERFIL . El plano de perfil es perpendicular a los planos de proyección, por lo tanto, sus trazas se dibujan como rectas perpendiculares a LT. En este plano obtenemos la verdadera magnitud de las figuras en la vista de perfil. Las proyecciones horizontales y verticales de las figuras contenidas en estos planos quedan confundidas en sus respectivas trazas P’ P A P’ P a’ a b b’=b’’ c c’ c’’ a’’
  50. 50. PLANOS PARALELOS A LT Q’ P P’ P’’ Q Los planos paralelos a LT tienen dos trazas que son paralelas a LT. P P’ Q
  51. 51. Figuras contenidas en planos paralelos a LT P P’ P’’ P’’ P P’ a a’ b’ c’ c b c’’ b’’ a’’ Para que una figura esté contenida en un plano paralelo a LT las proyecciones segundas de sus vértices deben estar en la traza P’’ del plano. Los planos paralelos a LT no son paralelos a los de proyección, por lo tanto, no tenemos VM en las figuras que contienen
  52. 52. PLANOS QUE CONTIENEN A LT. (2 posiciones) Ambos planos tendrán sus trazas confundidas con LT. El ángulo que forma este plano con los de proyección se conoce al representar la tercera traza del plano Se define por un punto M ( m m’) P=P’ Q=Q’ P m’ m m’’ P’ P’’
  53. 53. Figura que pertenece a un plano que contiene a LT Los planos que contienen a LT no son paralelos a ninguno de los de proyección, por lo tanto, no tenemos VM en ninguna de sus proyecciones. Son planos perpendiculares al plano de perfil y por lo tanto, veremos el ángulo que forma con PH y PV en VM. b P=P’ a’’ a b’’ C=c c’’ A B P’’ b b’’ b’ a’’ a a’ c’’ c=c’
  54. 54. Planos perpendiculares a los de proyección. Planos proyectantes. Plano proyectante al horizontal . Plano Puerta. Los planos proyectantes son perpendiculares a uno de los planos de proyección y oblicuo al otro. Al no ser paralelos a los de proyección no tenemos verdadera magnitud en las figuras que contienen El plano puerta tienen la traza P’ perpendicular al PH y P formando un ángulo con el PV, que se encuentra en VM. Las proyecciones de las figuras contenidas en este plano tienen sus proyecciones horizontales en la traza P. P’ P a’ a b b’ c c’ P P’
  55. 55. Plano proyectante al vertical . Los planos proyectantes al PV tienen su traza P perpendicular a LT y P’ oblicua a LT. Al no ser paralelos a ningún plano de proyección no tenemos verdadera magnitud de las figuras que contiene. Las proyecciones verticales de cualquier figura contenida en este plano deben estar en la traza P’ del plano P’ P P’ P a’ a b b’ c c’

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