Sistemas Difusos                               Tema 3

     Tema 3.- Variables Lingüísticas,
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Objetivos:



  - Comprender el concepto de variable lingü...
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1.- Variables lingüísticas.
1.1. Definición.

Son ...
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               1.1. Definición.

             ...
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1.2. Modificadores lingüísticos.

Son operadores unarios que s...
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1.2. Modificadores lingüísticos.

  • Si h(a) < a, el modificad...
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1.3.- Consideraciones generales.

  • Con el uso de modif...
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2.- Variables difusas.

  • Concepto análogo al de variable ...
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3.- Reglas difusas. Operadores de implicación.
Interpretaci...
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Proposiciones difusas condicionales.

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4.- Razonamiento en lógica clásica. Reglas de
inferencia ...
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5.- Principios básicos de razonamiento en
lógica difusa....
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5.2.- Regla composicional de inferencia.
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Tema 3 Variables LingüíSticas, Variables Difusas Y Reglas Difusas. Razonamiento Aproximado

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1. Variables lingüísticas.
1. Definición.
2. Modificadores lingüísticos.
3. Consideraciones generales.
2. Variables difusas.
3. Reglas difusas. Operadores de implicación.
Interpretación.
4. Razonamiento en lógica clásica. Reglas de
inferencia básicas.
5. Principios básicos de razonamiento en
lógica difusa.
1. Modus ponens generalizado.
2. Regla Composicional de inferencia.

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Tema 3 Variables LingüíSticas, Variables Difusas Y Reglas Difusas. Razonamiento Aproximado

  1. 1. Sistemas Difusos Tema 3 Tema 3.- Variables Lingüísticas, Variables Difusas y Reglas Difusas. Razonamiento Aproximado. 1. Variables lingüísticas. 1. Definición. 2. Modificadores lingüísticos. 3. Consideraciones generales. 2. Variables difusas. 3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. 4. Razonamiento en lógica clásica. Reglas de inferencia básicas. 5. Principios básicos de razonamiento en lógica difusa. 1. Modus ponens generalizado. 2. Regla Composicional de inferencia. –1–
  2. 2. Sistemas Difusos Tema 3 Objetivos: - Comprender el concepto de variable lingüística, modificadores lingüísticos, variable difusa y su uso para manejar conceptos expresados lingüísticamente. - Conocer el concepto de regla difusa, distintas interpretaciones de la misma, junto con sus propiedades y fórmulas de cálculo. - Repasar las reglas de inferencia básicas y comprender su generalización a proposiciones difusas. - Entender la reglas composicional de inferencia y su aplicación. - Determinar las funciones de pertenencia resultantes de diferentes reglas de implicación y tipos habituales de premisas –2–
  3. 3. Sistemas Difusos Tema 3 1.- Variables lingüísticas. 1.1. Definición. Son variables cuyos valores se representan mediante términos lingüísticos. El significado de estos términos lingüísticos se determina mediante conjuntos difusos. MB B M A MA Edad MB B M A MA - Proporcionan una transición gradual de estados. - Tienen capacidad para expresar y trabajar con observaciones y medidas de incertidumbre. - Por capturar medidas de incertidumbre son más ajustadas a la realidad que las variables nítidas. Albert Einstein (1921): “Tan cerca como se refieran las leyes matemáticas a la realidad no son ciertas, y tan lejos como sean ciertas no se refieren a la realidad”. –3–
  4. 4. Sistemas Difusos Tema 3 1.1. Definición. Una variable lingüística se caracteriza mediante (v, T, X, g, m) - v es el nombre de la variable. - T es el conjunto de términos lingüísticos de v. - X es el universo de discurso de la variable v. - g es una regla sintáctica para generar términos lingüísticos, y - m es una regla semántica que asigna a cada término lingüístico t su significado m(t), que es un conjunto difuso en X. Ejemplo: Rendimiento Variable lingüística Lingüísticos Términos Muy bajo Bajo Medio A lto Muy alto Regla semántica Restricciones Difusas v Variable Base –4–
  5. 5. Sistemas Difusos Tema 3 1.2. Modificadores lingüísticos. Son operadores unarios que se aplican a conjuntos difusos. Un modificador lingüístico es un operación unaria h: [0,1] → [0,1] Ejemplos: “Muy”, “más o menos”, “bastante”, “extremadamente”, etc. • No son aplicables a conjuntos nítidos. Definiciones comunes de algunos modificadores lingüísticos: • “Muy”: h(a) = a , a ∈ [0,1] 2 • “Más o menos”: h ( a) = a , a ∈ [ 0,1] –5–
  6. 6. Sistemas Difusos Tema 3 1.2. Modificadores lingüísticos. • Si h(a) < a, el modificador h se denomina modificador fuerte. • Si h(a) > a, el modificador h se denomina modificador débil. • hα (a ) = a α , α ∈ ℜ+ , a ∈ [0,1] o Si α< 1, el modificador es débil. o Si α> 1, el modificador es fuerte. Propiedades de los modificadores: 1. h(0) = 0 y h(1) = 1. 2. h es una función continua. 3. Si h es fuerte, h-1 es débil. 4. Dado otro modificador g, cualquier composición de h con g y viceversa, es un modificador. –6–
  7. 7. Sistemas Difusos Tema 3 1.3.- Consideraciones generales. • Con el uso de modificadores lingüísticos se debe evitar la ambigüedad. • Los modificadores lingüísticos y los conectivos permiten obtener un amplio conjunto de términos compuestos que amplían la potencia descriptiva de la variable lingüística. • Si el nº de términos de una variable aumenta indefinidamente se llegará a la indistinguibilidad semántica de alguno de ellos. • Granularidad (Zadeh): Nivel de distinción entre los distintos niveles de incertidumbre contenida en las variables lingüísticas de forma que se pueda representar correctamente la distinción que desea el usuario. –7–
  8. 8. Sistemas Difusos Tema 3 2.- Variables difusas. • Concepto análogo al de variable lingüística. • Toman como valores conjuntos difusos aunque éstos no tienen asociada una descripción lingüística. • Útiles en situaciones en las que sea más importante la precisión que la descripción lingüística. • Se caracterizan mediante (U, X, R(U,x)): o U es el nombre de la variable. o X es el universo de discurso. o x es un nombre genérico para los elementos de X. o R(U, x) es un conjunto difuso en X que representa una restricción en los valores de X impuesta por x. –8–
  9. 9. Sistemas Difusos Tema 3 3.- Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. El conocimiento humano se expresa en términos de reglas difusas SI_ENTONCES SI <proposición difusa> ENTONCES <proposición difusa> Tipos de proposiciones difusas: • Atómicas: x es A, donde x es una variable lingüística y A es un valor lingüístico. • Compuestas: Composición de proposiciones difusas atómicas con las conectivas “y”, “o” o “no”, representando intersección, unión y complemento difuso, respectivamente. Ejemplos: El error es Negativo-Grande ⇒ La interpretación o significado de una proposición difusa atómica se define mediante la función de pertenencia del conjunto difuso Negativo-Grande. ⇒ El grado de pertenencia de un error concreto al conjunto difuso Negativo-Grande determinará el grado con que se verifica la proposición difusa. –9–
  10. 10. Sistemas Difusos Tema 3 3.- Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación. Ejemplos de proposiciones difusas compuestas: X es A o X no es B X es A y X es B X no es A y X no es B (X es A y X no es B) o X es C X es A y Y es D • En una proposición difusa compuesta pueden estar implicadas variables distintas. • Las proposiciones difusas compuestas se pueden considerar relaciones difusas. • ¿Cómo determinamos la interpretación de estas relaciones difusas? ¿Cómo determinamos la función de pertenencia? o Para las conectivas “y”, se deben utilizar intersecciones difusas: X es A y Y es B, µ A∩B ( x, y) = T [ µ A ( x), µB ( y )] o Para las conectivas “o”, se deben utilizar uniones difusas: X es A o Y es B, µ A∪ B ( x , y ) = S [ µ A ( x), µ B ( y )] o Para las conectivas “no”, se deben utilizar complementos difusos. – 10 –
  11. 11. Sistemas Difusos Tema 3 Proposiciones difusas condicionales. (Reglas Difusas) Ejemplo: SI el error es Negativo-Grande ENTONCES U es Negativo-Pequeño • El significado se representa mediante una relación difusa entre el error y la variable de salida U. • La función de pertenencia de esta relación difusa se determina mediante un operador de implicación difuso Algunos operadores de implicación difusos: • Larsen, µ R ( x, y ) = µ A ( x) ⋅ µ B ( y ) • Mamdani, µ R ( x, y) = min{µ A ( x), µ B ( y)} • Dienes-Rescher, µ R ( x, y ) = max{ − µ A ( x), µ B ( y)} 1 • Lukasiewicz, µ R ( x, y) = min{ , 1 − µ A (x) + µ B ( y)} 1 • Zadeh, µ R ( x, y) = max{min{µ A ( x), µ B ( y)}, 1 − µ A ( x)}  1, si µ A ( x ) ≤ µ B ( y ) µ (x, y) =  • Gödel, R  µ B ( y ), e.o.c. ¡Error! – 11 –
  12. 12. Sistemas Difusos Tema 3 4.- Razonamiento en lógica clásica. Reglas de inferencia básicas. Las reglas de inferencia permiten obtener valores de verdad a partir de valores de verdad probados. • Modus ponens: SI p ENTONCES q SI x es A ENTONCES y es B p ; x es A q y es B • Modus tollens: No q y no es B SI p ENTONCES q ; SI x es A ENTONCES y es B No p x no es A • Silogismo hipotético: SI p ENTONCES q SI x es A ENTONCES y es B SI q ENTONCES z ; SI y es B ENTONCES z es C SI p ENTONCES z SI x es A ENTONCES z es C – 12 –
  13. 13. Sistemas Difusos Tema 3 5.- Principios básicos de razonamiento en lógica difusa. Razonamiento aproximado: Obtención de conclusiones difusas a partir de proposiciones difusas utilizando la teoría de conjuntos difusos como principal herramienta. 5.1.- Modus ponens generalizado. • Modus ponens generalizado: SI x es A ENTONCES y es B x es A’ y es B’ Se pueden seguir diversos criterios: x es A’ y es B’ Criterio 1 x es A y es B Criterio 2 x es muy A y es muy B Criterio 3 x es muy A y es B Criterio 4 x es más o menos A y es más o menos B Criterio 5 x es más o menos A y es B Criterio 6 x no es A y es desconocido Criterio 7 x no es A y no es B – 13 –
  14. 14. Sistemas Difusos Tema 3 5.2.- Regla composicional de inferencia. ¿Cómo obtener el conjunto difuso B’? • Regla Composicional de Inferencia: Permite traducir el “modus ponens” de la lógica clásica a la lógica difusa: SI x es pequeño ENTONCES y es grande x es muy pequeño El significado de la primera proposición se podría definir como una relación difusa R: B ' = A' R ⇒ µ B ' ( y ) = max[ T ( µ A ' ( x ), µ R ( x, y))] – 14 –

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