Sistemas Difusos                                      Tema 2

    Tema 2.- Introducción a la Lógica
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Objetivos:


  - Comprender el conjunto de conjunto difuso...
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1.- Introducción: de los conjuntos clásicos a los
conjuntos ...
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1.- Introducción.
 Sistemas verdadero / falso frente a sistema...
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1.- Introducción.
Conjuntos clásicos

     X: Universo de ...
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2.- Conjuntos difusos.
2.1.- Definición:

Función carac...
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2.2.- Tipos de funciones de pertenencia.

  • Funciones triang...
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2.2.- Tipos de funciones de pertenencia.

  • Funciones gaussianas:
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2.3.- Conjuntos Difusos: Resumen.

Aspectos importantes de los c...
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3.- Relaciones Difusas.
3.1.- De las Relaciones Clásicas a las...
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3.- Relaciones Difusas.
3.2.- Definición.
Una ...
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 3.- Relaciones Difusas.
 3.3. Ejemplo de relación difus...
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4.- Propiedades de los Conjuntos Difusos.
  • Soporte...
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5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.
Extienden las op...
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5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.

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5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.

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Complemento difuso:



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6.- De las reglas difusas a las relaciones
difusas.

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1. Introducción: de los conjuntos clásicos a
los conjuntos difusos.
2. Conjuntos difusos.
1. Definición.
2. Tipos de funciones de pertenencia.
3. Resumen.
3. Relaciones difusas.
1. De las relaciones clásicas a las difusas.
2. Definición.
4. Propiedades de los conjuntos difusos.
5. Operaciones con conjuntos difusos.
6. De las reglas difusas a las relaciones
difusas.

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  1. 1. Sistemas Difusos Tema 2 Tema 2.- Introducción a la Lógica Difusa. 1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos. 2. Conjuntos difusos. 1. Definición. 2. Tipos de funciones de pertenencia. 3. Resumen. 3. Relaciones difusas. 1. De las relaciones clásicas a las difusas. 2. Definición. 4. Propiedades de los conjuntos difusos. 5. Operaciones con conjuntos difusos. 6. De las reglas difusas a las relaciones difusas. –1–
  2. 2. Sistemas Difusos Tema 2 Objetivos: - Comprender el conjunto de conjunto difuso, relación difusa y propiedades básicas asociadas: núcleo, soporte, alfa-corte, normalidad, convexidad y altura. - Comprender el significado de las funciones de pertenencia y cómo determinar el tipo de función de pertenencia en base al tipo de descripción difusa asociada. - Conocer y saber utilizar las operaciones teóricas sobre conjuntos difusos: complemento, intersección y unión, y propiedades básicas de las mismas. –2–
  3. 3. Sistemas Difusos Tema 2 1.- Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos. ¿Por qué es útil la Lógica Difusa en control? • Muchos aspectos del diseño de un sistema de control presentan incertidumbre: o Control de aparcado de un coche. o Control de un ascensor que minimice el tiempo de espera. o Control de un metro. o Control del frenado de un coche. o Control de temperatura y grado de humedad. o Compensación de vibraciones en una cámara. • Características comunes: o Procesos complejos y dinámicos. o Algunos se caracterizan fácilmente de forma lingüística. –3–
  4. 4. Sistemas Difusos Tema 2 1.- Introducción. Sistemas verdadero / falso frente a sistemas graduales • Incertidumbre: o Con información incompleta. o Por falta de certeza. o Por ambigüedad. • Lógica Difusa (“Fuzzy logic”) (Zadeh, 1965) Fue diseñada para representar y razonar sobre conocimiento expresado de forma lingüística o verbal. Conocimientos “vagos”, “borrosos” –4–
  5. 5. Sistemas Difusos Tema 2 1.- Introducción. Conjuntos clásicos X: Universo de discurso A: Un conjunto definido en ese universo de discurso Formas de definir el conjunto A: • Enumerando elementos. • Especificando una propiedad. • Definiendo la función característica, µ S : X → {0,1} Ejemplo: Conjunto de números reales en el intervalo [0,10] comprendidos entre 5 y 8. A = [5,8], X = [0,10] 0, 0 ≤ x < 5  1A ( x) = 1, 5 ≤ x ≤ 8 0, 8 < x ≤ 10  –5–
  6. 6. Sistemas Difusos Tema 2 2.- Conjuntos difusos. 2.1.- Definición: Función característica Conjunto nítido (clásico, “crisp”), µ S : X → {0,1} Función de pertenencia Conjunto difuso, µ A : X → [0,1] Para cada elemento x, µ A (x) es el grado de pertenencia al conjunto difuso A Ejemplo: Conjunto de gente joven. B = {gente joven} ⇒ B = [0, 20]  1, 0 ≤ x ≤ 20  30 − x µ B ( x) =  , 20 ≤ x ≤ 30  10  0, 30 ≤ x ≤ 100 Ejemplos: • Conjunto de coches de fabricación española. • Conjunto de números naturales cercanos a 6. • Conjunto de personas mayores. • Conjunto de números cercanos a cero. –6–
  7. 7. Sistemas Difusos Tema 2 2.2.- Tipos de funciones de pertenencia. • Funciones triangulares:  0, x < a x − a  , a≤ x≤b b − a f ( x; a, b, c ) =  c−x  , b≤ x≤c a b c  c −b   0, x > c • Funciones trapezoidales: a b c d  0, x < a x−a  , a≤x≤b b − a f ( x; a, b, c) =  1, b ≤ x ≤ c  d−x c≤x≤d  , −  d 0,c x>d  –7–
  8. 8. Sistemas Difusos Tema 2 2.2.- Tipos de funciones de pertenencia. • Funciones gaussianas: • Otras: campana, S, Z, etc. • Funciones descritas mediante polígonos: o Generalizan cualquier otro tipo de representación. o Nivel de aproximación ajustable. –8–
  9. 9. Sistemas Difusos Tema 2 2.3.- Conjuntos Difusos: Resumen. Aspectos importantes de los conjuntos difusos: • Representan propiedades difusas pero una vez definida la función de pertenencia, nada es difuso. • La representación de un conjunto difuso depende del concepto a representar y del contexto en el que se va a utilizar. • ¿Cómo determinar las funciones de pertenencia? o A través de conocimiento experto. o A través de conjuntos de datos y procesos de aprendizaje. • Se pueden utilizar distintas funciones de pertenencia para caracterizar la misma descripción. –9–
  10. 10. Sistemas Difusos Tema 2 3.- Relaciones Difusas. 3.1.- De las Relaciones Clásicas a las Difusas. • Las relaciones determinan interacciones entre conjuntos y se especifican de igual forma que los conjuntos nítidos. • Una relación (clásica) se puede considerar como un conjunto de tuplas que cumplen una determinada condición. Por ejemplo: La relación binaria “menor o igual”: R≤ = {(m, n) tal que m ∈ A, n ∈ B y m ≤ n} • Se pueden describir mediante funciones características: 1, si m ≤ n f ≤ (m , n) : N × N → {0,1} f ≤ (m, n) =  0, en otro caso – 10 –
  11. 11. Sistemas Difusos Tema 2 3.- Relaciones Difusas. 3.2.- Definición. Una relación difusa que relaciona dos conjuntos difusos A y B (cada uno de ellos incluido en su universo de discurso U y V respectivamente) es un subconjunto difuso del producto cartesiano U × V, caracterizado: • Por una enumeración:  α /( x, y ), α ∈ [0,1], ( x, y) ∈ U × V tal que  R=   ( x, y ) cumple la condición P en grado α  • O por su función de pertenencia o Caso continuo, R = ∫U *V µ R (u , v) /(u , v) o Caso discreto, R = ∑ U *V µ R ( x, y ) /( x, y) – 11 –
  12. 12. Sistemas Difusos Tema 2 3.- Relaciones Difusas. 3.3. Ejemplo de relación difusa. R = aproximada mente igual U = {1, 2, 3} R : U ×U → [0,1] R = 1 /(1,1) + 1 /(2,2) + 1 /(3,3) + 0.8 /(1,2) + 0 .8 /(2,3) + 0.8 /(2,1) + 0 .8 /(3, 2) 0.3 /(1,3) + 0.3 /(3,1) R y 1 2 3 1 x= y  1 1 0,8 0,3 µ R ( x, y) = 0,8 | x − y |= 1 X 2 0,8 1 0,8  0,3 | x − y |= 2  3 0,3 0,8 1 – 12 –
  13. 13. Sistemas Difusos Tema 2 4.- Propiedades de los Conjuntos Difusos. • Soporte: Es el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es distinto de cero, Sop( A) = {x µ A ( x) > 0, x ∈ X } • Altura: Es el grado de pertenencia más grande de los elementos del conjunto, Altura( A) = max{h h = µ A ( x), x ∈ X } • Núcleo: Es el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es igual a 1, Núcleo ( A) = {x ∈ X / µ A ( x) = 1} • Conjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso cuya altura es igual a 1, Altura( A) = 1 • Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un conjunto difuso creciente, decreciente o con forma de campana, ∀x, y ∈ X , ∀λ ∈ [0,1]; µ A (λ ⋅ x + (1 − λ) ⋅ y) ≥ min(µ A ( x), µ A ( y)) Convexo No Convexo – 13 –
  14. 14. Sistemas Difusos Tema 2 5.- Operaciones con Conjuntos Difusos. Extienden las operaciones con conjuntos clásicos: • Igualdad, A = B ⇔ µ A ( x ) = µ B ( x) ∀x ∈ X • Inclusión, A ⊆ B ⇔ µ A ( x) ≤ µ B ( x) ∀x ∈ X • Unión, µ A∪ B (x ) = max{µ A ( x ), µ B ( x)} • Intersección, µ A∩ B ( x ) = min{µ A ( x), µ B ( x)} • Complemento, µ A ( x) = 1 − µ A ( x) • Alfa-corte, Aα = {x µ A ( x) = α , x ∈ X } Existen generalizaciones de estas operaciones, ya que tanto las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos como sus operaciones dependen del contexto. • T-normas. • T-conormas. – 14 –
  15. 15. Sistemas Difusos Tema 2 5.- Operaciones con Conjuntos Difusos. T-norma: Generaliza el concepto de intersección, ⊗ T : [0,1] × [0,1] → [0,1] µ A∩ B ( x ) = T [ µ A ( x ), µ B ( x)] • Conmutativa: T(a,b) = T(b,a) • Asociativa: T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c) • Monotonía: T(a,b)≥T(c,d), si a≥c y b≥d • Condiciones frontera: T(a,1) = a Ejemplos de t-normas: • Intersección estándar: T(a,b) = min (a,b) • Producto algebraico: T(a,b) = a · b • Diferencia acotada: T(a,b) = max (0, a+b-1) • Intersección drástica: T(a,b) = a, si b=1 = b, si a=1 = 0, e.o.c. – 15 –
  16. 16. Sistemas Difusos Tema 2 5.- Operaciones con Conjuntos Difusos. T-conorma: Generaliza el concepto de unión, ⊕ S : [ 0,1] × [ 0,1] → [ 0,1] µ A ∪B ( x) = S [µ A ( x ), µ B ( x )] • Conmutativa: S(a,b) = S(b,a) • Asociativa: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c) • Monotonía: S(a,b)≥S(c,d), si a≥c y b≥d • Condiciones frontera: S(a,0) = a Ejemplos de t-conormas: • Unión estándar: S(a,b) = max(a,b) • Suma algebraica: S(a,b) = a+b-a·b • Suma acotada: S(a,b) = min (1, a+b) • Unión drástica: S(a,b) = a, si b=0 = b, si a=0 = 1, e.o.c. – 16 –
  17. 17. Sistemas Difusos Tema 2 5.- Operaciones con Conjuntos Difusos. Complemento difuso: C : [0,1] → [ 0,1] µ A ( x) = C [ µ A ( x)] • C(0) = 1, C(1)=0 • Si a≤ b, C(a)≥C(b) • C(C(a))=a Definición de Sugeno: 1− a C λ (a ) = , λ ∈ (−1, ∞) 1+ λ ⋅a – 17 –
  18. 18. Sistemas Difusos Tema 2 6.- De las reglas difusas a las relaciones difusas. • La regla difusa de la forma SI X es A y Y es B ENTONCES Z es C nos indica una dependencia del conjunto difuso de salida C respecto a los conjuntos difusos A y B • Por tanto, esta dependencia la podemos representar mediante una relación difusa R=∫ min(µ A ( x ), µ B ( y ), µ C ( z )) /( x, y , z ) U ×V ×W (se ha considerado la t-norma mínimo como operador de conjunción e implicación). – 18 –

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