CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DE LÓGICA DIFUSA 2

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2.2.1 Conjunto Clásicos.
2.2.2 Conjuntos Difusos.
2.2.3 Operaciones de conjuntos difusos.
2.2.4 Propiedades de conjuntos difusos.

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CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DE LÓGICA DIFUSA 2

  1. 1. UNIDAD 2 CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS DE LÓGICA DIFUSA.
  2. 2. Conceptos y Fundamentos de Lógica Difusa. 2.2 Conjuntos Difusos, Operadores y Propiedades de Conjuntos Difusos
  3. 3. 2.2 Conjuntos Difusos, Operadores y Propiedades de Conjuntos Difusos 2.2.1 Conjunto Clásicos. 2.2.2 Conjuntos Difusos. 2.2.3 Operaciones de conjuntos difusos. 2.2.4 Propiedades de conjuntos difusos.
  4. 4. 2.2.1 Conjunto Clásicos. <ul><li>Un conjunto se puede definir de dos formas distintas: (1) al enumerar sus elementos, o (2) al describir las propiedades comunes de sus elementos. </li></ul><ul><li>La segunda es mas utilizada que la primera por tres razones: (a) Es más consistente que la primera; (b) Expresa explícitamente el significado de un conjunto; (c) Puede ser utilizada para reconocer nuevos elementos de un conjunto cuando las propiedades de los elementos cambian o cuando las propiedades que los definen cambian. </li></ul>
  5. 5. Operaciones en conjuntos Clásicos <ul><li>Las tres operaciones básicas en conjuntos clásicos son: unión, intersección, y complemento </li></ul>
  6. 6. Propiedades de las operaciones básicas en clásicos <ul><li>Las propiedades más apropiadas para definir a los conjuntos clásicos y al mismo tiempo mostrar sus similitudes con los conjuntos difusos son las siguientes: </li></ul><ul><li>Ley Conmutativa </li></ul>
  7. 7. Propiedades de los conjuntos clásicos <ul><li>Ley Asociativa </li></ul><ul><li>Ley Distributiva </li></ul>
  8. 8. Propiedades de los conjuntos clásicos <ul><li>Idempotencia </li></ul><ul><li>(Ley de tautología) </li></ul><ul><li>Identidad </li></ul><ul><li> = A </li></ul><ul><li>X = A </li></ul><ul><li> =  </li></ul><ul><li>X = X </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  9. 9. Propiedades de los conjuntos clásicos <ul><li>Transitividad , si </li></ul><ul><li>Involución ó ley de doble complementación: </li></ul>
  10. 10. Propiedades especiales en la operación de conjuntos <ul><li>Las leyes de De-Morgan : </li></ul><ul><li>Las leyes del medio excluido . </li></ul><ul><li>Existen dos leyes del medio excluido estas son: </li></ul><ul><li>La ley del tercero excluido </li></ul><ul><li>(La ley del medio excluido) </li></ul><ul><li>La ley de contradicción  </li></ul>
  11. 11. <ul><li>TODAS LAS PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CLÁSICOS LAS CUMPLEN LOS CONJUNTOS DIFUSOS, SALVO LAS LEYES DE CONTRADICCIÓN Y DEL TERCERO EXCLUIDO. </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>U n conjunto clásico se convertirá en difuso, justamente cuando se comiencen a violar dichas leyes. </li></ul>
  12. 12. 2.2.2 Conjuntos Difusos <ul><li>2.2.2.1 Tipos de funciones de membresía </li></ul><ul><li>Existen varios tipos de funciones de membresía, las más utilizadas en la practica son: triangular, trapezoidal, forma de campana, Gaussiana y función sigmoidal. </li></ul>
  13. 13. Función de Membresía Triangular <ul><li>Se especifica mediante tres parámetros { a,b,c }: </li></ul>
  14. 14. Función de Membresía Trapezoidal <ul><li>Se especifica mediante cuatro parámetros { a,b,c,d }: </li></ul>
  15. 15. Función de Membresía Gaussiana <ul><li>Se especifica mediante dos parámetros { m, σ }, denotan el centro y el ancho de la función, respectivamente: </li></ul>
  16. 16. Función de Membresía Forma de Campana <ul><li>Se especifica mediante tres parámetros { a,b,c }: </li></ul>
  17. 17. Cuatro tipos de funciones
  18. 18. Función de Membresía Sigmoidal <ul><li>Esta función aproxima una función escalón (positivo infinito). </li></ul>a a c  1 0.5
  19. 19. Función de Membresía S Esta función es una función de membresía suave con dos parámetros: a y b . El valor de membresía será 0 para los puntos por debajo de a , 1 para puntos arriba de b , y 0.5 para los puntos intermedios entre a y b. a b (a+b)/2c  1 0.5
  20. 20. Función de Membresía Π 1 y Π 2 <ul><li>La primera función se define con dos parámetros: a y b. La función tiene un valor de membresía de 1 en el punto a, un valor de membresía de 0.5 en a-b y a+b , respectivamente. A diferencia de una función S, la función Π decrece hacia cero asintótica mente si se mueven sus valores desde el punto a. </li></ul>
  21. 21. <ul><li>La otra función Π 2 , tiene cuatro parámetros y esta dada por: </li></ul>
  22. 22. Función de Membresía Π 1 y Π 2 a-b a a+b lp-lw lp rp rp+rw lw rw
  23. 23. Hedges <ul><li>Un hedge es un modificador de un conjunto difuso . Al modificar el significado del conjunto original se crea un conjunto difuso compuesto. Los modificadores más comúnmente utilizados son: “Muy” y “Mas o menos” (Very; More or Less): </li></ul>
  24. 24. 2.2.3 Operaciones de conjuntos difusos <ul><li>Vacuidad : Un conjunto difuso esta vacío si todos los candidatos tienen MEMBRESÍA 0 (VACÍO), por ejemplo: “El conjunto de océanos que comienzan con X” </li></ul><ul><li>Complemento : El complemento de un conjunto difuso es la cantidad que la membresía necesita para alcanzar 1. </li></ul>
  25. 25. <ul><li>Contenimiento : en conjuntos difusos cada elemento debe pertenecer más al subconjunto que al conjunto más grande. </li></ul><ul><ul><li>Sea U un conjunto no difuso y M = [0,1], su conjunto asociado de membresía. </li></ul></ul>Operaciones Básicas Difusas
  26. 26. <ul><ul><li>Se dice que un conjunto difuso A  U, está incluido en otro conjunto difuso B  U, sí: </li></ul></ul>
  27. 27. <ul><li>Igualdad difusa : Sea U un conjunto no difuso y M = [0,1], su conjunto asociado de membresía. Se dice que dos conjuntos difusos A  U y B  U, son iguales sí y solamente sí: </li></ul>Operaciones Básicas Difusas
  28. 28. Operaciones Especiales Realizadas a Los Conjuntos Difusos. <ul><li>Escalamiento difuso .- Si  es un número real no negativo y A representa un conjunto difuso, entonces se define el escalamiento difuso como: </li></ul><ul><li> A = </li></ul>
  29. 29. <ul><li>Esta operación, sirve para poder escalar un conjunto difuso, y se utiliza en algunos métodos de inferencia (producto-suma algebraica) para realizar los truncamientos de los conjuntos difusos de salida a partir de un nivel  y en algunos métodos de defusificación para sustituir a las operaciones de multiplicación. </li></ul>
  30. 30. Intersección y Unión en Conjuntos Difusos <ul><li>Se sabe que existen varias maneras de realizar las operaciones de conjunción y disyunción difusas. </li></ul><ul><li>Además de utilizar la conjunción difusas min, la disyunción difusa max, se puede utilizar otra pareja de operadores para la conjunción y disyunción difusas: el producto y la suma algebraicos, respectivamente. Y existe un número infinito de otras opciones. </li></ul>
  31. 31. <ul><li>El conjunto de candidatos de operadores de conjunción difusa, conocido como norma triangular o norma-t se define por una serie de axiomas. Asimismo, el conjunto de operadores de disyunción difusas, llamados conormas triangulares, conormas-t , o normas-s esta definido por un conjunto de axiomas dual. Se definirán las normas-t y conormas-t utilizando los axiomas siguientes: </li></ul>
  32. 32. Operadores Tipo Normas-t <ul><li>Las normas-t se utilizan para calcular los valores de membresía de la intersección de dos o más conjuntos difusos. </li></ul><ul><li>Los operadores que son clasificados dentro de las normas-t deben satisfacer ciertas condiciones, y no necesariamente cumplir todas las propiedades mencionadas para las operaciones básicas de los conjuntos difusos, </li></ul>
  33. 33. <ul><li>las cuales fueron establecidas considerando a los operadores min, max y complemento difuso, como operadores representativos de la conjunción, disyunción y negación difusa, respectivamente. </li></ul><ul><li>Toda norma-t debe satisfacer las siguientes condiciones: </li></ul>
  34. 34. <ul><li>Las normas-t, definen una clase general de operadores para los conjuntos difusos. </li></ul>
  35. 35. Definición 1 <ul><li>Un operador norma-t, denotado como t(x,y) es una función proyectada desde [0,1]x[0,1] a [0,1] que satisface las siguientes condiciones para cualquier w, x, y, z,  [0,1]: </li></ul><ul><li>(0,0)=0, t(x,1)= x </li></ul><ul><li>2. t(x,y) ≤ t(z,w) if x≤z and y≤w (monotonicity) </li></ul><ul><li>3. t(x,y)= t(y,x) (commutativity) </li></ul><ul><li>4. t(x, t(y,z))= t(t(x,y),z) (associativity) </li></ul>
  36. 36. <ul><li>Los operadores pertenecientes a esta clase de normas son, en particular, asociativos y por lo tanto es posible calcular los valores de membresía para la intersección de más de dos conjuntos difusos mediante la aplicación recursiva de algún operador de norma-t. </li></ul>
  37. 37. Operadores Tipo Conormas-t <ul><li>Los operadores que corresponden a esta clase de normas, representan una clase de operadores generales para realizar la unión difusa de dos o más conjuntos, como el operador max. </li></ul><ul><li>Las conormas-t o normas-s, al igual que las normas-t, son funciones asociativas, conmutativas y monótonas. </li></ul>
  38. 38. <ul><li>Las propiedades que estas satisfacen están formuladas bajo las siguientes condiciones: </li></ul>
  39. 39. Definición 2 <ul><li>Un operador norma-t, denotado como s(x,y) es una función proyectada desde [0,1]x[0,1] a [0,1] que satisface las siguientes condiciones para cualquier w, x, y, z,  [0,1]: </li></ul><ul><li>(1,1)=1, t(x,0)= x </li></ul><ul><li>2. s(x,y) ≤ s(z,w) if x≤z and y≤w (monotonicity) </li></ul><ul><li>3. s(x,y)= s(y,x) (commutativity) </li></ul><ul><li>4. s(x, s(y,z))= s(s(x,y),z) (associativity) </li></ul>
  40. 40. <ul><li>Las normas-t y las conormas-t se relacionan en un sentido de dualidad lógica, es decir: </li></ul>De tal manera que cualquier norma-t puede ser generada a partir de una conorma-t mediante la utilización de esta transformación.
  41. 41. <ul><li>También, las leyes de De Morgan pueden ser aplicadas a las normas-t y conormas-t por medio de la utilización de algún operador adecuado para la complementación, como: </li></ul>
  42. 42. <ul><li>De esta manera las leyes de De Morgan para los conjuntos difusos, pueden quedar expresadas como: </li></ul>
  43. 43. Lista De Parejas De Operadores Normas-t Y Conormas-t <ul><li>Se presenta una serie de operadores clasificados como operadores no paramétricos y que representan a una familia de operadores duales que se utilizan con frecuencia en los sistemas difusos orientados hacia control, inteligencia, automatización, e información. </li></ul>
  44. 44. Producto Y Suma Drástica
  45. 45. Producto Y Suma Acotada
  46. 46. Producto Y Suma Einsteana
  47. 47. Producto Y Suma Algebraica
  48. 48. Producto Y Suma de Hamacher
  49. 49. Operador Mínimo Y Máximo
  50. 50. <ul><li>Los operadores producto - suma acotada , producto - suma algebraica y los operadores mínimo - máximo , son los operadores más utilizados dentro de las aplicaciones de la lógica difusa en el área de control, considerando su viabilidad de implementación en los sistemas basados en microcontroladores digitales. </li></ul>
  51. 51. <ul><li>Una propiedad importante de las normas-t es que todas las normas-t están limitadas por arriba por el min y limitadas por abajo por el producto drástico. </li></ul><ul><li>Similarmente todas las conormas-t están limitadas por arriba por la suma drástica y limitadas por abajo por el max. </li></ul>
  52. 52. Teoremas 1 y 2 <ul><li>1. Todos los operadores norma-t, denotado por t, son limitados por el producto drástico t 1 y por arriba por el min: </li></ul><ul><li>t 1 (x,y)≤t(x,y)≤min(x,y) </li></ul><ul><li>2. Todos los operadores conorma-t, denotado por s, son limitados por el suma drástico s 1 y por arriba por el max: </li></ul><ul><li>max(x,y)≤s(x,y)≤s 1 (x,y) </li></ul>
  53. 53. 2.2.4 Propiedades de los conjuntos difusos <ul><li>Los conjuntos difusos observan las propiedades básicas de los conjuntos clásicos, excepto las leyes del medio excluido. </li></ul><ul><li>Considerando tres conjuntos difusos A, B y C, los cuales tienen como conjunto referencial al conjunto U: </li></ul>
  54. 54. Propiedades de los conjuntos difusos <ul><li>Para que el conjunto A sea propiamente difuso se debe de cumplir que: </li></ul><ul><li>Ley de contradicción A  ¬A   (0 0 .5 .3 .2) </li></ul><ul><li>Ley del Tercero excluido </li></ul><ul><li>A  ¬A  U (1 1 .5 .7 .8) </li></ul>
  55. 55. Representación de las leyes del medio excluido en conjuntos difusos  1 X Tercero excluido
  56. 56. <ul><li>La ley de contradicción </li></ul> 1 X
  57. 57. Propiedades Especiales <ul><li>Cortes-  .- Cuando se requiere indicar a un elemento u de A , que típicamente pertenezca a él, se puede condicionar que su valor de membresía sea mayor que cierto umbral establecido   (0,1]. Esto define un conjunto difuso de nivel-  que se representa como: </li></ul>
  58. 58. <ul><li>También se define el corte-  estricto como: </li></ul><ul><li>La función de membresía de un conjunto difuso A , puede ser expresada en términos de las funciones características de sus cortes-  (teorema de la descomposición), de acuerdo a la fórmula: </li></ul>
  59. 59. <ul><li>Dado un conjunto difuso cualquiera, se pueden discriminar algunos de sus elementos menos significativos mediante el uso de los cortes-  . El nivel de recorte o de interés queda determinado según el contexto donde se aplique. </li></ul>
  60. 60. Elementos particulares dentro de los conjuntos difusos <ul><li>Soporte .- El soporte de un conjunto difuso A, es el conjunto de los puntos para los cuales: </li></ul><ul><li>Según la siguiente Tabla l a expresión que define al soporte finito de l conjunto joven es: </li></ul><ul><li>sop (joven) = {5, 10, 20, 30, 40} </li></ul>
  61. 61. Conjuntos Difusos Como Elementos Del Conjunto Potencial .4 .2 1 0 40 .2 .5 1 0 30 .1 .8 .8 0 20 0 1 0 0 10 0 1 0 0 5 Viejo Joven Adulto Infante Elementos (edades)
  62. 62. <ul><li>Considerando que x i es un elemento del soporte del conjunto difuso A y que  i es su grado de membresía en A . </li></ul><ul><li>A =  1 / x 1 +  2 / x 2 +....+  n / x n. </li></ul><ul><li>Donde. </li></ul><ul><li>/ Se emplea para unir los elementos del soporte con sus grados de membresía en A, y. </li></ul><ul><li>+ Indica que los pares de elementos y grados de membresía listados forman colectivamente la definición del conjunto A , en vez de cualquier tipo de suma algebraica. </li></ul>
  63. 63. Cardinalidad de conjuntos difusos <ul><li>La cardinalidad de un conjunto es el número total de elementos en el conjunto. </li></ul><ul><li>La cardinalidad de conjuntos difusos se utiliza para responder preguntas como por ejemplo: ¿Cuántas personas son realmente viejas en un universo Edad?. </li></ul><ul><li>Por lo tanto, la cardinalidad juega un papel importante en los sistemas de información y en las bases de datos difusas. </li></ul>
  64. 64. <ul><li>La cardinalidad escalar de un conjunto difuso A definido sobre un conjunto universal finito X, es la suma de los grados de membresía de todos los elementos de X en A . </li></ul><ul><li>Por ejemplo. </li></ul><ul><li>P ara el conjunto viejo se tiene : </li></ul>
  65. 65. <ul><li>También, La cardinalidad de un conjunto difuso es utilizada al definir otras propiedades, por lo que sirve como un “factor de normalización”. </li></ul><ul><li>De hecho el denominador (factor de normalización) de la ecuación que define al método de defusificación por “centroide” es la cardinalidad del conjunto difuso al ser defusificado. </li></ul>
  66. 66. Elementos particulares dentro de los conjuntos difusos <ul><li>Altura. - La altura de un conjunto difuso es el grado de membresía más alto alcanzado por cualquier elemento en el conjunto. Es decir, el elemento que posee el mayor grado de pertenencia. Se dice que A es normal si su altura es 1, de otra forma es subnormal. </li></ul>
  67. 67. Elementos particulares dentro de los conjuntos difusos <ul><li>Punto de cruce .- Un punto de cruce de A , es aquel punto u en U cuyo grado de membresía en A vale  A (u) = 0.5 (idealmente). </li></ul><ul><li>Impulso difuso .- Un conjunto difuso cuyo soporte está constituido por un único elemento u o , con  A (u o ) = 1; es referido como un impulso difuso. </li></ul>
  68. 68. Elementos particulares dentro de los conjuntos difusos <ul><li>Un corte -  de un conjunto difuso es un conjunto certero A  , el cual contiene todos los elementos del conjunto universal X que tienen un grado de membresía en A mayor que o igual al valor especificado de  : </li></ul>
  69. 69. <ul><li>Por ejemplo, en el conjunto difuso &quot;joven&quot; y tomando en cuenta que  =0.5, se tendrá la expresión: </li></ul><ul><li>Al conjunto de todos los niveles   (0,1  que representan distintos cortes-  de un conjunto difuso dado A se le denomina conjunto nivel de A . </li></ul>
  70. 70. <ul><li>En un conjunto difuso cualquiera, se pueden discriminar algunos de sus elementos menos significativos mediante el uso de los cortes-  . El nivel de recorte o de interés queda determinado según el contexto donde se aplique. </li></ul>
  71. 71. Principio de Identidad Resolución <ul><li>Basado en la notación de cortes α , un conjunto difuso puede ser descompuesto en múltiples conjuntos crip (conjuntos nivel- α ) utilizando diferentes valores α . Intuitivamente, cada nivel- α especifica una rebanada de la función de membresía. </li></ul><ul><li>Por lo tanto, se puede reconstruir una función de membresía original al “apilar” dichas rebanadas en orden. </li></ul>
  72. 72. <ul><li>El fundamento para reconstruir una función de membresía de sus cortes- α es el principio de identidad resolución de la teoría de conjuntos difusos. </li></ul><ul><li>Si A es un conjunto difuso discreto. Se pueden ordenar los valores de membresía no iguales a cero de los elementos en el conjunto soporte en una lista de orden ascendente (sin duplicar): ( α 0 , α 1 , …, α n ). </li></ul>
  73. 73. <ul><li>El principio de identidad resolución en la teoría de conjuntos difusos establece que </li></ul><ul><li>A = α 0 x A α 0 + α 1 x A α 1 + … + α n x A α n </li></ul><ul><li>Donde + representa al operador de disyunción difusa y, </li></ul><ul><li>α i x A α i representa un conjunto difuso tal como el que se muestra a continuación: </li></ul>
  74. 74. <ul><li>En otras palabras, el conjunto difuso original A puede ser visto como la unión de todos esos conjuntos difusos construidos de un α i en la lista ( α 0 , α 1 , …, α n ) tal que: (1) su soporte es el corte nivel α i de A, y (2) su función de membresía es plana en el valor alfa α i . La forma de la función de membresía α i x A α i por lo tanto es rectangular con una altura de α i como se ilustra en la siguiente figura: </li></ul>
  75. 75. Identidad Resolución de un Conjunto Difuso A 0.2 x A 0.2 A 0.1 A 0.2
  76. 76. <ul><li>Convexidad .- Una característica muy importante que deben de poseer los conjuntos difusos en las aplicaciones de la lógica difusa es la propiedad de convexidad. </li></ul><ul><li>Un conjunto difuso es convexo si y sólo si cada uno de sus cortes-  son conjuntos convexos. Por lo anterior se puede decir que un conjunto difuso A es convexo sí y sólo sí: </li></ul>
  77. 77. <ul><li>Esta condición establece que el valor de membresía de cualquier elemento dado en el intervalo [ u 1 , u 2 ] no debería ser menor que el valor de membresía de cualquiera de los puntos entremos. </li></ul><ul><li>Intuitivamente, un conjunto difuso es convexo si su función de membresía no tiene un “valle”. </li></ul>
  78. 78. <ul><li>Si λ =0.3; u 1 =3; y u 2 =7 entonces: </li></ul><ul><li>µ A [5.8]≥min[µ A (3), µ A (7)] </li></ul>u u µ A (u) 1 µ A (u) 1 u 1 =3 5.8 u 2 =7 µ A [ λ u 1 +(1- λ )u 2 ] µ A (u 1 ) µ A (u 2 ) a Ejemplo:
  79. 79. <ul><li>Se puede demostrar que si A y B son conjuntos convexos también lo es A  B . </li></ul><ul><li>Un conjunto difuso se puede llamar &quot;número difuso&quot; si es convexo y si al menos uno de sus elementos posee un grado de membresía total, es decir, si es normal . </li></ul>
  80. 80. 2.2.5 Interpretación Geométrica de Conjuntos Difusos <ul><li>Bart Kosko desarrollo una interpretación geométrica completa de un conjunto difuso en la cual un conjunto difuso es un punto en un espacio * . Por ejemplo: Si se considera un universo de discurso U con dos elementos u 1 y u 2 , U = {u 1 , u 2 } , y si A es un conjunto difuso en U con las siguientes funciones de membresía: </li></ul><ul><ul><li> A (u 1 ) = a </li></ul></ul><ul><ul><li> B (u 2 ) = b </li></ul></ul><ul><li>Donde a y b están en [0, 1]. Como se muestra en la siguiente figura: </li></ul>* L. A. Zadeh fue el primero en introducir el concepto de que un conjunto fifuso puede ser visto comom un punto en un hipercubo
  81. 81. Dos vistas de un conjunto difuso (a) Vista normal de su función de membresía, y (b) una forma alternativa basada en una Interpretación Geométrica del conjunto difuso. <ul><li>Una forma alternativa de visualización de una función de membresía es considerar un cuadrado unidad de dos dimensiones, en el cual los ejes horizontal y vertical correspondan a los valores de membresía posibles de u 1 y u 2 , respectivamente. Un sub-conjunto difuso de U corresponde a un punto en el cuadrado. En la figura (b) anterior, el conjunto difuso A esta representado por el punto (a,b) . </li></ul>0 u 1 u 2  1 b a (a)  (u 2 ) 1 b (1, 1) 0 a 1  (u 1 ) (b) (a,b)
  82. 82. <ul><li>Observaciones de la interpretación geométrica de un conjunto difuso: </li></ul><ul><ul><li>A un conjunto clásico sería interpretado como un vértice en el cuadrado. Por ejemplo, los vértices de la figura (b) anterior; [(0,0), (0,1), (1,0), y (1,1)]. </li></ul></ul><ul><ul><li>Un conjunto difuso normal corresponde a un punto en la frontera del cuadrado. </li></ul></ul><ul><ul><li>Un conjunto difuso subnormal corresponde a un punto al interior del cuadrado. </li></ul></ul><ul><ul><li>La cardinalidad de un conjunto difuso A es la distancia de Hamming entre el punto A y el origen del cubo. La distancia de Hamming entre dos vectores x= (x 1 , …, x n ) y y= (y 1 , …, y n ) es: </li></ul></ul>
  83. 83. Esta representación geométrica puede ser extendida a cualquier universo de discurso finito U . Un conjunto difuso en dicho universo corresponde a un punto en un hipercubo N -dimensional, donde N es el número de elementos en U .
  84. 84. 2.2.6 Teoría de la posibilidad <ul><li>Aun que la idea de distribución de posibilidad es paralela a la distribución de probabilidad en matemáticas convencionales, realmente no existe una diferencia significativa. En particular, la distribución de posibilidad no necesita satisfacer la propiedad aditiva del axioma de probabilidad. </li></ul>
  85. 85. <ul><li>Mientras una distribución de probabilidad establece la probabilidad de que una variable dada tome un cierto valor, una distribución de posibilidad establece el valor posible de la variable o la posibilidad de que la variable tome un cierto valor. </li></ul><ul><li>Una distribución de posibilidad, π , relaciona el soporte de un conjunto dado con el intervalo </li></ul><ul><li>[0, 1]. </li></ul>
  86. 86. <ul><li>Se puede ver a una distribución de posibilidad como un mecanismo para interpretar una declaración que involucra conjuntos difusos. </li></ul><ul><li>La declaración, “La Temperatura es Alta”, donde Alta se define como, µ Alta : T->[0,1], se ilustra como una distribución de posibilidad, de la siguiente forma: π (T)= µ Alta (T). </li></ul>
  87. 87. <ul><li>Declaraciones complejas involucran más de un conjunto difuso trasladado a una distribución de posibilidad, de hecho es precisamente como interpretamos las declaraciones lingüísticas, dando a priori un proceso de inferencia. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: La declaración, “La Temperatura es Alta pero no demaciada Alta ”, interpretada como una distribusión de posibilidad en termino de conjunción de los terminos Alta y NO MUY Alta, se expresa de la siguiente forma: </li></ul><ul><li>π (T) = min( µ Alta (T), µ NO MUY Alta (T)). </li></ul><ul><li> = min[µ Alta (T), 1-(µ Alta (T)) 2 ] </li></ul>
  88. 88. <ul><li>Distribución de posibilidad de Alta y NO MUY Alta </li></ul>µ NOT MUY Alta Alta Muy Alta T
  89. 89. Medida de la Posibilidad y Medida de la Necesidad <ul><li>En general, el relacionar (matching) una distribución de posibilidad de una variable x con una condición “x es A” involucra hacer las siguientes dos preguntas relacionadas: </li></ul><ul><li>(1) ¿Dada la distribución de posibilidad de x (denotada por ∏ (x) ), es posible que x este en A? </li></ul><ul><li>(2) ¿Dada la distribución de posibilidad ∏ (x) , es necesaria para que x este en A? </li></ul>
  90. 90. <ul><li>Suponiendo que se conoce lo siguiente: </li></ul><ul><ul><li>La edad de Juan es entre 20 y 25 años . </li></ul></ul><ul><li>Y considerando la siguiente condición: </li></ul><ul><ul><li>Si la edad de una persona excede los 22 años . </li></ul></ul><ul><li>¿Cuál es La distribución de posibilidad de que la edad de Juan cumpla con la condición planteada?. </li></ul><ul><li>En lógica clásica, la respuesta para las preguntas (1) y (2) son o “SI” o “NO” ya que ni la edad de Juan ni la condición acerca de la edad de la persona es difusa. </li></ul>
  91. 91. <ul><li>Sin embargo, en general, la respuesta a cada pregunta es una materia de grado. </li></ul><ul><li>La respuesta a la pregunta (1) es una “posibilidad”, y la respuesta a la pregunta (2) es una “necesidad”. </li></ul><ul><li>Se utilizará a Pos ( A |∏ X ) para denotar la posibilidad de la condición “ X es A ” dada la distribución de posibilidad ∏ X . </li></ul>
  92. 92. <ul><li>Y Nec ( A |∏ X ) para denotar la necesidad de la condición “ X es A ” dada la distribución de posibilidad ∏ X . </li></ul><ul><li>Una ilustración de la Relación entre Necesidad y Posibilidad es: </li></ul>A B1 B2 NOT A
  93. 93. <ul><li>La posibilidad y la necesidad son dos medidas relacionadas. </li></ul><ul><li>Existen varias relaciones entre los valores extremos (0 ó 1) de éstas dos medidas. </li></ul><ul><li>Primero, la total necesidad implica la total posibilidad . Si una variable es necesariamente A , entonces es posiblemente A . Segundo, Ninguna posibilidad implica ninguna necesidad . Tercero, una variable no es posible que sea NOT A si y solo si es necesariamente A . Para ilustrar lo anterior se puede observar el diagrama de Venn de la figura anterior. </li></ul>
  94. 94. <ul><li>Si una variable no tiene la posibilidad de ser “NOT A”, su distribución de posibilidad no debe tener ninguna intersección con “NOT A”. Por lo tanto, debe estar enteramente contenida en A. B1 es un ejemplo de esto, pero B2 no. </li></ul><ul><li>Es posible que una variable sea NOT A si y solo si no es necesariamente A. </li></ul>
  95. 95. Cuatro Relaciones <ul><li>(1a) Nec(A |∏ X ) = 1 -> Pos(A|∏ X ) = 1 </li></ul><ul><li>(1b) Pos(A |∏ X ) = 0 -> Nec(A|∏ X ) = 0 </li></ul><ul><li>(2a) 1-Pos( ¬ A |∏ X ) = 1 ↔ Nec(A|∏ X ) = 1 </li></ul><ul><li>(2b) Pos( ¬ A |∏ X ) = 1 ↔ 1-Nec(A|∏ X ) = 1 </li></ul><ul><li>Las expresiones 2a y 2b interpretan la NOT mediante el operador de negación difusa. Se puede reescribir la expresión 2b como: </li></ul><ul><ul><li>(2b’) 1-Pos( ¬ A |∏ X ) = 0 ↔ Nec(A|∏ X ) = 0 </li></ul></ul>
  96. 96. <ul><li>Si se generalizan las expresiones 1a y 1b se tiene: </li></ul><ul><ul><li>Nec(A |∏ X ) ≤ Pos(A|∏ X ) </li></ul></ul><ul><li>La relación 2a y 2b’ se pueden generalizar a: </li></ul><ul><ul><li>1-Pos( ¬ A |∏ X ) = Nec(A|∏ X ) </li></ul></ul><ul><li>La expresión anterior se puede utilizar para definir una medida de necesidad mediante una medida de posibilidad. </li></ul>
  97. 97. Definición de la medida de posibilidad <ul><li>La medida de posibilidad para una variable X satisface la condición “X es A” dada una distribución de posibilidad ∏ X se define mediante: </li></ul><ul><li>Donde  denota un operador de intersección difusa, y U denota el universo de discurso de la variable X. </li></ul><ul><li>Un operador de intersección difusa utilizado comúnmente para calcular la medida de posibilidad es el operador min: </li></ul>
  98. 98. <ul><li>La medida de posibilidad de A dado ∏ X se define a ser la altura de su intersección. </li></ul>µ A ∏ X 0.5 1 0 2 4 6 8 10
  99. 99. Resumen <ul><li>Se definieron: </li></ul><ul><li>Varios tipos de funciones de membresía. </li></ul><ul><li>La ley de medio excluido y la ley de contradicción de la teoría de conjuntos clásicos no se cumplen en la teoría de conjuntos difusos. </li></ul><ul><li>Hedges son modificadores de conjuntos difusos. </li></ul><ul><li>Se plantearon los axiomas que observan los operadores de conjunción difusa y los operadores de disyunción difusa. </li></ul>
  100. 100. <ul><li>La Cardinalidad de conjuntos difusos. </li></ul><ul><li>La altura, corte alfa, principio de identidad resolución de conjuntos difusos. </li></ul><ul><li>Convexidad de conjuntos difusos y número difuso. </li></ul><ul><li>Una interpretación geométrica de conjuntos difusos. </li></ul><ul><li>Medida de posibilidad y medida de necesidad para determinar que tan bien una distribución de posibilidad de una variable relaciona una condición difusa a una variable. </li></ul>
  101. 101. 2.3 Relaciones Difusas, Graficas Difusas y Aritmética Difusa (principio de extensión) 2.3.1 Relaciones Difusas. 2.3.2 Composición de relaciones difusas.

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