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Geometria Analítica

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55457049 geometria-analitica

  1. 1. FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG Geometria Analítica Engenharia Profª. Alessandra S. F. Misiak Cascavel – 2009
  2. 2. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 1. O PLANO CARTESIANO Y ( eixo das ORDENADAS ) Bissetriz dos Bissetriz dos quadrantes quadrantes pares ímpares 2º 1º QUADRANTE QUADRANTE ( -, + ) ( +, + ) x ( eixo das ABSCISSAS ) 4º QUADRANTE 3º QUADRANTE ( +, - ) ( -, - ) A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado ( x, y ) de números reais e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto. Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas. A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares. Observações: I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas. P Є 0x ↔ P = ( x, 0 ) II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas. P Є 0y ↔ P = ( 0, y ) III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice- versa. A Є bi ↔ A = ( a, a) IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice- versa. B Є bp ↔ B = ( b, -b ) EXERCÍCIOS 1. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3) −3 E( , - 5), F(-1, 1) E G(2, -2). 2Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 2
  3. 3. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 2. Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. 3. O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se: a) Qual a ordenada do ponto P? b) Em que quadrante encontra-se o ponto P? c) Qual a distância do ponto P à origem? 02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS B yb dAB yb - ya ya A xb – xa xa xb Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos: d AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 EXERCÍCIOS 4. Calcule a distância entre os pontos dados: a) A (3, 7) e B (1, 4) R: 13 b) E (3, -1) e F (3, 5) R: 6 c) H (-2,-5) e O (0, 0) R: 29 d) M (0, -2) e N ( 5 , -2) R: 5 e) P (3, -3) e Q (-3, 3) R: 72 f) C (-4, 0) e N (0, 3) R: 5 5. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. R: 2 2 6. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles éa) 10 53b) 15 2 16 R: c 7. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:a) 5 20b) 10 25c) 15 R: a 8. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é: Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 3
  4. 4. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAGa) -1 -1 ou 10b) 0 2 ou 12c) 1 ou 13 R: c 9. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?a) (0,5) (6,2)b) (5,0) (-1,0)c) (2,3) R:a 10. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é:a) 5π 17πb) 10π 29πc) 20π R: b 03. PONTO MÉDIO Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos: B yB yM M  x + xB y A + y B  A A M A ,  yA 2 2   xA xM XB M é o ponto que divide o segmento AB ao meio. EXERCÍCIOS 11. Determine o ponto médio do segmento de extremidades: a) A (-1, 6) e B (-5, 4) c) A (-1, 5) e B (5, -2) b) A (1, -7) e B (3, -5) d) A (-4, -2) e B (-2, -4) 12. Calcule os comprimentos das medidas do triângulo cujos vértices são os pontos A (0, 0) e B (4, 2) e C(2, 4). 13. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é: a) (4, 8) d) (1, 2) b) (2, 4) e) (3, 4) c) (8, 16) 14. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu ponto médio, o ponto B vale: a) (1, 6) d) (-2, 2) b) (2, 12) e) (0, 1) c) (-5, 4) Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 4
  5. 5. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 04. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se e somente se: C(xC, yC) xA yA 1 B(xB, yB) xB yB 1 = 0 xC yC 1 A(xA, yA) EXERCÍCIOS 15. Verifique se os pontos A (0, 2) , B (-3, 1) e C (4, 5) estão alinhados. 16. Determine x de maneira que os pontos A (3, 5) , B (1, 3) e C (x, 1) sejam vértices de um triângulo. 17. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é: a) 0 d) 12 b) 10 e) -4 c) 3 18. Os pontos (1, 3), (2, 7) e (4, k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se: a) k = 11 d) k = 14 b) k = 12 e) k = 15 c) k = 13 05. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA O coeficiente angular de uma reta é um número real “a” que representa a sua inclinação (α ). Por definição, temos que: a = tg α São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 5
  6. 6. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos: ∆y yB − y A − med . y a= ou a= ou a= ∆x xB − x A med .x 06. EQUAÇÃO GERAL DA RETA Toda reta no plano possui uma equação de forma: ax + by + c = 0 na qual a, b e c são constantes e a e b não são simultaneamente nulos. Ela é denominada equação geral da reta. Podemos determinar a equação geral da reta de várias formas: ♦ Conhecido dois pontos P ( x1 , y1 ) e P2 ( x2 , y2 ) 1 x y 1 x1 y1 1 = 0 x2 y2 1 ♦ Conhecido um ponto P ( x1 , y1 ) e a declividade a da reta: 1 y − y1 = a ( x − x1 ) y2 − y1 onde a= ou a = tgα x2 − x1 19. Obtenha a equação geral da reta que por P e tem declividade a. a) P(2, 3); a = 2 b) P(-2, 1); a = -2 1 c) P(4, 0); a = − 2 20. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação α .Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 6
  7. 7. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG a) P(2, 8) e α = 45º b) P(-4, 6) e α = 30º c) P(3, -1) e α = 120º 21. Escreva a equação fundamental (geral) da reta que passa pelos pontos a seguir: a) A(1, 1) e B(-2, -2) b) A(3, 1) e B(-5, 4) c)A(2, 3) e B(8, 5) 22. Determine a equação geral da reta: a) x – 2y - 4 = 0 b) 2x + y – 2 = 0 c) 4x – 2y – 4 = 0 d) x–y+2=0 e) x–y+4=0 23. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4) a) 4x + 3y + 1= 0 d) x + y – 4 = 0 b) 3x + 4y + 1= 0 e) x – y – 1 = 0 c) x+y+3=0 07. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA É toda equação do tipo y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular (ou declividade) e “b” é chamado de coeficiente linear. Exemplos:  2 a =2 a = − 3 y = 2 x − 3 2 x + y − 1 = 0 b = −3 1  b=  3  5 a = 5 a = − y = 5 x +1 5 x + 4 y = 0 4 b = 1  b=0  24. Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente: a) 2/3 e 4 d) 2/3 e -4 b) 3/2 e 12 e) -3/2 e 4 c) -2/3 e -12 25. Os pontos A(x, 0) e B(3, y), pertencem a reta de equação x – 3y + 9 = 0. A distância entre eles é: a) 10 d) 4 10 b) 2 e) 10 c) 3 10 26. A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente: a) ½ e -2 b) 2 e -1/2 c) -1/2 e -2 4 d) -2 e -1/2 e) ½ e -1/2 -2Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 7
  8. 8. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 27. Determine a equação reduzida da reta: a) y=x+3 b) y = -x + 3 c) y = 2x+6 3 d) y=x–3 e) y = - 3x + 2 3 08. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS RETAS PARALELAS Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações: (r) y = a1x + b1 (s) y = a2x + b2 Para essas retas, temos as seguintes possibilidades: a1 = a2  ⇔ PARALELAS DISTINTAS b1 ≠ b2  a1 = a2  ⇔ PARALELAS COINCIDENTES EXERCÍCIOS b1 = b2  28. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(1, 2) e é paralela à reta de equação 8x + 2y -1 = 0 29. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, 5) e é paralela à reta de equação x y + =1 2 3 30. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(4, -4) e é paralela à reta de equação x + y–5=0Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 8
  9. 9. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 31. Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(2, -3) e é paralela à reta de equação 5x – 2y +1 = 0 32. Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas. a) 1 d) - 6 b) 2 e) 5 c) -3 33. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0. a) 2x – y + 9 = 0 d) x – 2y + 9 = 0 b) 2x – 3y – 15 = 0 e) 3x – 2y + 15 = 0 c) 3x + 2y – 15 = 0 34. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0. a) y = 2x – 3 d) y = x + 5 b) y = 4x – 10 e) y = - 4x +5 c) y = - x + 15 RETAS PERPENDICULARES Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações: (r) y = a1x + b1 (s) y = a2x + b2 Para essas retas, temos a seguinte possibilidade: 1 a1 = − ⇔ PERPENDICULARES a2 EXERCÍCIOS 35. Determine o ponto de encontro das retas cujas equações são: a) x + 2y – 3 = 0 e x -2y + 7 = 0 b) 2x + y – 1 = 0 e 3x + 2y - 4 = 0 7 2 3 c) y= x− e y = − x+7 3 3 2 36. Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam perpendiculares. a) 1 d) 15 b) 6 e) 5 c) -10 37. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + 3y - 12 = 0. a) y = -2x – 1 d) y = -x + 5 b) y = x + 4 e) y = - x – 12 c) y = 3x + 2 38. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4). a) y = - 2x + 13 b) y = 2x – 13Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 9
  10. 10. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG c) y = x + 1 e) y = x – 4 d) y = 13x + 2 09. PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o sistema formado pelas suas equações. Podemos analisar a posição relativa formada pelas equações das duas retas da seguinte forma: ♦ Sistema possível determinado (um único ponto em comum): retas concorrentes ♦ Sistema possível indeterminado (infinitos pontos em comum): retas coincidentes ♦ Sistema impossível (nenhum ponto em comum): retas paralelas. EXERCÍCIOS 39. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: y = 2x - 6 e s: y = 3x + 2. a) (-8, -22) d) (5, 6) b) (1, 2) e) (-4, 12) c) (4, -10) 40. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: 2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3. a) (-3, 3) d) (1, 2) b) (2, -2) e) (3, 4) c) (5, 22) 41. As retas de equação x – 3y – 2 = 0 e y = x – 2k interceptam-se no ponto (k+1, k-1) determine o valor de k e o ponto de intersecção entre as duas retas, respectivamente. a) 1 e (2, 0) d) 1 e (0, 2) b) 2 e (1, 0) e) 2 e (1, 2) c) 5 e (2, 0) 10. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA A distância entre o ponto e a reta (r) Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte expressão: P(xP, yP) Ax 0 + By 0 + C d d Pr = A2 + B 2 EXERCÍCIOS 42. Nos seguintes casos, calcule a distancia do ponto P à reta r: a) P(0, 3) e 4x + 3y + 1=0 b) P(1, -5) e 3x - 4y - 2 =0 c) P(3, -2) e 2x + y + 6 =0 d) P(6, 4) e y - 2 =0 43. Se a distância do ponto P(0, p) à reta r, de equação 4x + 3y – 2 = 0, e igual a 2 unidades, determine a coordenada p. 44. Sabendo que as retas de equações 4x – 3y + 9 = 0 e 4x – 3y – 6 = 0 são paralelas, determine a distância entre as duas retas.Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 10
  11. 11. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 45. Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0. 11. ÁREA DE UM TRIÂNGULO Consideramos um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) a sua área é dada por: B(xB, yB) C(xC, yC) xA yA 1 1 A= xB yB 1 A(xA, yA) 2 xC yC 1 EXERCÍCIOS 46. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5). a) 16 d) 12 b) 4 e) 8 c) 10 47. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).a) 27 19b) 54 43c) 32 48. Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7). a) 17 d) 6 b) 34 e) 8 c) 10 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 11
  12. 12. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Cônicas 12. CIRCUNFERÊNCIA EQUAÇÃO REDUZIDA Consideremos uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio R, teremos: P(x, y) yC R ( x − xc ) 2 + ( y − y c ) 2 = R 2 xC EXERCÍCIOS 49. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.  (3,5) C C (0, −2) a)  c)  R =2  R=4  C (0,0) C (4, 0) b)  d)  R = 7  R=5 EQUAÇÃO GERAL Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C (2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é: ( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos: Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral Dada à equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência. Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições: • os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; • não deve existir o termo xy. Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0. 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentesProfª Alessandra Stadler Favaro Misiak 12
  13. 13. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio Condições para ser circunferência: 1. A = B ≠ O ( coef. de x2 = coef. y2) Coordenadas do centro:  − coef .x − coef . y  2. C = 0 ( não pode aparecer xy ) C = ;   2 2  3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real ) Raio: R= ( xc ) 2 + ( yc ) 2 − F EXERCÍCIOS 50. Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R igual 4. a) x2 + y2 + 10x + 6y - 18 = 0 b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0 c) x2 + y2 – 6x - 10y + 18 = 0 d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0 e) x2 + y2 + 2x – 8y - 27 = 0 51. Determine quais das equações abaixo representam circunferência: a) x2 + y2 - 8x + 6y + 1= 0 b) x2 + y2 + xy + 4x + 6y - 3 = 0 c) 2x2 + y2 + 4x - 2y + 1 = 0 d) 3x2 + 3y2 -12x – 15y - 6 =0 e) 4x2 - 4y2 =0 f) x2 -10x + 25 + y2 =0 52. Determine o centro e o raio da circunferência x 2 + y 2 −10 x + 4 y − 20 = 0 , respectivamente: a) (-2,5) e 7 d) (3,4) e 1 b) (5,2) e 5 e) (5,-2) e 7 c) (2,2) e 2 53. Calcule a área de um quadrado inscrita na circunferência x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 3 = 0 a) 2u.a. d) 16u.a. b) 4u.a. e) 64u.a. c) 8u.a. 54. Determine o valor de k para que a equação x 2 + y 2 + 4 x − 2 y + k = 0 represente uma circunferência: a) k > 5 b) k < 5Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 13
  14. 14. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG c) k > 10 e) k = 20 d) k < 15 41. Escreva a equação da circunferência de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5x + 12y – 10 = 0 a) x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0 b) x2 + y2 + 12x + 38y - 1 = 0 c) x2 + y2 – 8x + 15y + 1 = 0 d) x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0 e) x2 + y2 + 2x – 11y - 8 = 0 13. POSIÇÕES RELATIVAS PONTO E CIRCUNFERÊNCIA Para uma circunferência de centro C(xc,yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos o seguimento de reta PC com R. Há três casos possíveis: 1º) Se dPC = R, então P pertence à circunferência. 2º) Se dPC > R, então P é externo à circunferência. 3º) Se dPC < R, então P é interno à circunferência. Interno Pertence Externo P P P dPC < R dPC = R dPC > R EXERCÍCIOS: 55. Determine a posição do ponto P(53) em relação a circunferência ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = 9 56. Dados os pontos P e a circunferência λ, determine a posição P em relação a λ. a) P( -1, 2) e λ: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 52 b) P( 2, 2) e λ: x + y2 - 10x + 8y - 1 = 0 2 c) P( 3, 1) e λ: x2 + y2 – 8x - 5 = 0 RET E CIRCUNFERÊNCIA RETA Se substituirmos o valor de uma das variáveis (x ou y) da reta na equação da circunferência, obteremos uma equação do 2º grau (na outra variável). Calculando o discriminante (∆ ) da equação obtida, poderemos ter: 1º) Se ∆ > 0, então a reta será secante à circunferência (2 pontos de interseção). 2º) Se ∆ = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção). 3º) Se ∆ < 0, então a reta é externa à circunferência (não existe ponto de interseção).Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 14
  15. 15. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Tangent Secante Externa e ∆ > ∆ = ∆ < 0 0 0 EXERCÍCIOS 57. Determine a posição relativa da reta x – y + 1 = 0 em relação ao círculo x 2 + y 2 − 4 x −1 = 0 : 58. Dadas a reta r e uma circunferência λ . Determine a posição de r e λ. Se houver pontos em comuns (Tangente ou Secante), determine esses pontos: a) r: 2x – y + 1=0 e λ: x2 + y2 – 2x = 0 b) r: x = y e λ: x2 + y2 + 2x - 4y - 4= 0 DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C2 e raio R2, compararemos o seguimento de reta C1C2 e R1 + R2. Há três possibilidades: 1º) Se dC1C2 = R1 + R2, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção). 2º) Se dC1C2 > R1 + R2, então as circunferências são externas (não existe ponto de interseção). 3º) Se dC1C2 < R1 + R2, então as circunferências são secantes (2 pontos de interseção). Tangentes Secante Externas dC1C2 = R1 + R2 dC1C2 < R1 + R2, dC1C2 > R1 + R2, EXERCÍCIOS 59. Qual a posição relativa entre as circunferências (λ ) x 2 + y 2 − 6 x −10 y + 9 = 0 e (δ ) x 2 + y 2 + 2x − 4 y + 4 = 0 .a) tangenteb) secantec) externasd) coincidentese) n.d.a. 60. Dadas as circunferências λ 1 e λ 2, descubra suas posições relativas e seus pontos em comuns (Se Houver) a) (λ 1) : x + y − 4 x − 8 y − 5 = 0 (λ 2): x + y − 2 x − 6 y + 1 = 0 2 2 2 2 e b) (λ 1) : x + y − 8 x − 4 y + 10 = 0 (λ 2): x + y − 2 x − 10 y + 22 = 0 2 2 2 2 e c) (λ 1) : ( x − 2) + ( y − 1) = 4 (λ 2): ( x − 2) + ( y + 2) = 1 2 2 2 2 e Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 15
  16. 16. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG d) (λ 1) : x + y = 16 (λ 2): x + y + 4 y = 0 2 2 2 2 eProfª Alessandra Stadler Favaro Misiak 16
  17. 17. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Elipse Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos: A figura obtida é uma elipse. Observações: 1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento. 2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos. 3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base. Elementos Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos: • focos : os pontos F1 e F2 • centro: o ponto O, que é o ponto médio de • semi-eixo maior: aProfª Alessandra Stadler Favaro Misiak 17
  18. 18. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG • semi-eixo menor: b • semidistância focal: c • vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 • eixo maior: • eixo menor: • distância focal: Relação fundamental Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: a2 =b2 + c2 Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1. Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência. Equações Vamos considerar os seguintes casos: a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0): Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 18
  19. 19. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condições, a equação da elipse é: Equação da Elipse Fora da origem 1º caso: A1 A2 // eixo x y y B2 • y y •P y k ( x )2 ( y )2 y A1 • • C • • x • A2 x + 2 =1 F1 F2 a2 b k • (x - h)2 (y - k)2 B1 2 + =1 a b2 h x x h x Equação da Elipse Fora da origem x 2º caso: A1 A2 // eixo y (x - h)2 (y - k)2 + =1 b2 a2Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 19
  20. 20. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Exemplo Determine as coordenadas dos focos, das extremidades do eixo maior e do eixo menor e a excentricidade da elipse de equação 4 x + 25 y = 100 2 2 Solução 4 x 2 25 y 2 100 x2 y2 x2 y2 4 x 2 + 25 y 2 = 100 ⇒ + = ⇒ + = 1⇒ 2 + 2 = 1 100 100 100 25 4 5 2 B1 • A1 • • • • A2 F1 F2 • B2 a=5 b=2 a = b + c ⇒ c 2 = a 2 − b2 2 2 2 c 2 = 25 − 4 = 21⇒ c = 21 21 A1 (−5, 0), A2 (5, 0) , B1 (0, −2) , B2 (0, 2), F1 (− 21, 0), F2 ( 21, 0) e = 5 Exemplo 1 Conhecendo os focos F1 (0, − 3) e F2 (0, 3) e a excentricidade e = , determine a equação da elipse. 2 Solução c 1 e= e= → ⇒ a = 2c a 2 c = 3   ⇒a = 2 3  a = 2c  a 2 = b 2 + c 2 ⇒ (2 3) 2 = b 2 + ( 3) 2 ⇒ 12 = b 2 + 3 ⇒ b 2 = 9 x2 y2 x2 y2 + 2 =1⇒ + =1 b2 a 9 12 Exemplo Determinar as coordenadas do centro, as coordenadas dos focos da elipse de equação ( x − 4) 2 + ( y + 3) 2 =1. 25 16 Solução ( x − 4) ( y + 3) ( x − 4) ( y + 3) 2 2 2 2 + = 1⇒ + =1 25 16 52 42 ( x − h) ( y −k) 2 2 2 + =1 a b2Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 20
  21. 21. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG  h=4   k = −3  2  a = 25 ⇒ a = 5  2  b = 16 ⇒ b = 4 a 2 = b 2 + c2 a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 16 + c2 c2 = 9 c =3 C (4, -3) F1 (h + c, k) ⇒ F1 (7, -3) F2 (h – c, k) ⇒ F2 (1, -3) Exemplo 1 Determine uma elipse , cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y , tem centro C (4, −2) , excentricidade e = e 2 eixo menor de medida 6 . Solução y A2 • 4 x B1 • • • B2 −2 C • ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 A1 b2 a2 h=4 k = −2 a2 = ? b2 = ? 2b = 6 ⇒ b = 3 ⇒ b 2 = 9 c 1 a e= = ⇒c = a 2 2 a =b +c 2 2 2 a a 2 = 32 + ( ) 2 ⇒ a 2 = 12 2 ( x − 4) 2 ( y + 2) 2 + =1 9 12Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 21
  22. 22. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Hipérbole Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos: A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice: Elementos Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: • focos: os pontos F1 e F2 • vértices: os pontos A1 e A2Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 22
  23. 23. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG • centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de • semi-eixo real: a • semi-eixo imaginário: b • semidistância focal: c • distância focal: • eixo real: • eixo imaginário: Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Como c > a, temos e > 1. Equações Vamos considerar os seguintes casos: a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox F1 (-c, 0) F2 ( c, 0) Aplicando a definição de hipérbole: Obtemos a equação da hipérbole: b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy Nessas condições, a equação da hipérbole é:Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 23
  24. 24. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Hipérbole eqüilátera Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais: a=b Assíntotas da hipérbole Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é . Equação Vamos considerar os seguintes casos: a) eixo real horizontal e C(0, 0)Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 24
  25. 25. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: b) eixo vertical e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: Observações: 1) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo x (x - h) 2 (y - k)2 + =1 a2 b2 2) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo y (x - h) 2 (y - k)2 + =1 b2 a2 Exemplos 1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 25
  26. 26. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Resolução: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então: x2/16 – y2/25 = 1 Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5. Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41 Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60 Resp: 1,60. 2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 . Resolução: Dividindo ambos os membros por 225, vem: x2/9 – y2/25 = 1 Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5. Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34. Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34. 3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1. Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito. Dada a hipérbole de equação: x2/a2 – y2/b2 =1 Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações: R1: y = (b/a).x e R2: y = -(b/a).x Veja a figura abaixo:Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 26
  27. 27. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG Parábola Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d. Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos: Observações: 1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto: 2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas. 3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco. 4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica. Elementos Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 27
  28. 28. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG • diretriz: a reta d • vértice: o ponto V • parâmetro: p Então, temos que: • o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e. Assim, sempre temos . • DF =p • foco: o ponto F • V é o ponto médio deEquações Vamos considerar os seguintes casos:a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal Como a reta d tem equação e na parábola temos: • ; • P(x, y); • dPF = dPd ( definição); obtemos, então, a equação da parábola: y2 = 2pxb) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontalNessas condições, a equação da parábola é: Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 28
  29. 29. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG y2 = -2pxc) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical x2=2pyd) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical x2= - 2pyObservações:1)Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria horizontal Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 29
  30. 30. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAGEquação: (y – k)2 = 4p(x – h) Diretriz: x = h – p Coordenadas do foco: F(h + p, k)2) Parábola de vértice V(h,k) e eixo de simetria verticalEquação: (x – h)2 = 4p(y – k) Diretriz: y = k – p Coordenadas do foco: F(h, k + p)Exemplos:1 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?Resolução: Temos p/2 = 2 p = 4Daí, por substituição direta, vem:y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.2) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?Resolução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4.Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola. Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 30
  31. 31. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG3 ) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?Resolução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8.Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.4) Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?Resolução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo,(x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada. Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 31
  32. 32. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG CURSO DE ENGENHARIA DISCIPLINA: Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak 01. Dê as equações das elipses cujos gráficos são representados abaixo. 02. Calcular a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo menor mede 8 Resp 2c=6 03. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo y e cuja medida do eíxo maíor é 5 e doeixo menor é 2 x 2 y2Resp + =1 4 25 04. Calcular a excentricidade da elipse 25x2 + 16y2 = 400 3Resp 5 SUGESTÂO: Calcule inícialmente a equação canônica, dividindo todos os termos por 400 05. A órbita da Terra é uma elipse e o Sol ocupa um dos focos Sabendo que o semi-eixo maior tem 153 493 000 km eque a excentricidade é de 0,0167, calcular a menor e a maior distância da Terra ao Sol Resp:150929660 km 156056330km 06. Determinar os pontos de intersecção da elipse 9x2 + 4y2 =25 com os eixos cartesianos.  5  5   5  5 Resp :  − ,0  ;  ,0  ;  0,  ;  0, −   3  3   2  2 07. Pede-se a equação da elipse que passa pelos pontos ( -2, 0), (2, 0)e(0, 1) x 2 y2 Resp + =1 4 1 ( 08. Equação canônica da elipse com centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, que passa pelo ponto A 2 2,1 e de 1 )excentricidade 2 x 2 y2 Resp + =1 10 5 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 32
  33. 33. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 09. Calcular a equação canônica da elipse de centro na origem, focos no eixo das abscissas e sabendo que passa peloponto A ( ) 15, −1 e seu semi-eixo menor é 2. x 2 y2 Resp. + =1 20 4  6  10. Uma elipse tem o centro na origem, eixo focal sobre o eixo x, passa pelo ponto A (1, 1) e tem um foco em F  2 ,0     . Calcular a excentricidade da elipse 2 Resp 2 11. Uma elipse tem os focos em F, ( 3,0) e F. (3, 0) e excentricidade igual a 0,5. Forneça a sua equação e a sua àrea S(da Geometria S= πab ) x2 y2 Resp + = 1 e S=18 3 π u. a 36 27 12. Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão Se este tiver 40 m e a flecha 10 m, calcular a altura do arco a 10m do centro da base 13. Determinar o comprimento da corda que a reta x = 4y − 4 determina sobre a elipse x 2 + 4y2 = 16 8 17 Resp. 5 x 2 y2 14. Determinar os pontos de intersecção da elipse + = 1 com a reta y = 2x + 3 4 9  -48 −21  Resp P(0,3) e P  ,   25 25  15. Determinar a equação da elipse com centro na origem, focos sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontosA (2, 2) e B ( 2 3 ,0) Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 33
  34. 34. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAGProfª Alessandra Stadler Favaro Misiak 34
  35. 35. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG CURSO DE ENGENHARIA DISCIPLINA: Álgebra Linear e Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak Trabalho Geometria Analítica 1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :a) m é um número primo c) m é um quadrado perfeito d) m = 0b) m é primo e par e) m < 4 2. Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :a) r é um número natural d) r é um número inteiro menor do que - 3 .b) r = - 3 e) não existe r nestas condições .c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0 3. Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é :a) 200 c) 144 d) 36b) 196 e) 0 4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :a) (3,0) c) (0,4) d) (0,5)b) (0, -1) e) (0, 3) 5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:a) 25 c) 34 d) 44b) 32 e) 16 6. Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ? 7. Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2. Resposta: 850 8. Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :a) 4 c) 3,5 d) 4,5b) 3 e) 2 9. Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ? 10. Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar: a) elas são paralelas b) elas são concorrentes c) as três equações representam uma mesma reta . 11. Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0. 12. Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)? Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 35
  36. 36. Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG 13. Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q é:a) 12,32 c) 15,08 d) 7,43b) 10,16 e) 4,65 14. Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4). 15. Analise as afirmativas abaixo: (01) toda reta tem coeficiente angular . (02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo . (04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular é positivo (08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será um ângulo agudo . (16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas . (32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular . 16. Qual é a equação da circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) ? 17. A = (2, 3), B = (3, 5) e C = (4, 6) são colineares?18. Qual é a equação da paralela a reta y = −2x + 5 passando pelo ponto P = (1, 1)?19. Ache a equação da perpendicular a reta y = 3x − 1 baixada do ponto Q = (2, 2).Respostas:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15c c b d c 65 850 d plela c (4,2) 3 d Y=x+3 42 Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 36

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