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57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos

  1. 1. Matemática DiscretaLista de exercícios resolvidosParte I: Técnicas de prova e definições indutivas1) Vamos provar a conjectura “Para um número ser primo não é suficiente que seja ímpar”. Siga os seguintespassos para prová-la:(a) Desconsidere o não do enunciado e coloque o restante na forma “se P então Q”(b) Para provar a frase original “não (se P então Q)” basta refutar “se P então Q”(a) se um número é ímpar então ele é primo(b) para refutar (a) basta encontrar um contra-exemplo. Ora, 9 é ímpar mas não é primo. Logo aconjectura original está provada.2) Prove que “se x é positivo então x+1 é positivo”a) por contraposiçãob) por contradição(a) provar que “se x+1 não é positivo então x não é positivo”. Ora, se x+1 ≤ 0, como x<x+1, teremosque x também é negativo;(b) suponha que x ≥ 0 e x+1 < 0. Como x ≥ 0, e x+1 > x, teremos x+1 > 0, contradição com a hipótese.3) (a) Mostre, por contradição, que a função inversa de uma função bijetiva f(x), é única.Suponhamos que f(x) tem duas inversas f1-1(y) e f2-1(y). Como as duas funções são diferentes existe umy tal que f1-1(y) ≠ f2-1(y). Neste caso, se x1= f1-1(y) e x2 = f2-1(y) temos que, f(x1)=y e f(x2)=y, já que asduas são inversas de f(x). Mas neste caso f(x) não é injetiva e, portanto, não é bijetiva!CONTRADIÇÃO.(b) Prove, por indução, que para todo inteiro positivo n vale que 7n-2n é divisível por 5.Para n=1 temos 7-2=5 OKSupondo que 7n-2n é divisível por 5 existe um k tal que 7n-2n=5k.Agora 7(n+1) – 2(n+1)= 7n+7-(2n+2)= 7n-2n +7-2 = 5k +7-2=5(k+1). CONFIRMADO4) A seqüência de números triangulares é 1, 3, 6, 10, .. é baseada nos triângulos1 3 6Encontre a relação de recorrência e a fórmula fechada desta seqüência. Para encontrar a fórmula fechadause o princípio expandir, supor, verificar.A sequência será 1, 3(=1+2), 6(=3+3), 10(=6+4), 15(=10+5), 21(=15+6),.., logo arelação de recorrência será: S(1) = 1 e S(n) = S(n-1) + n.Fórmula fechada:Expandir: S(1) = 1; S(2) = 1 + 2; S(3) = 1 + 2 + 3; S(4) = 1 + 2 + 3 + 4Supor: S(n) = Σ i=1,..,n iVerificar: S(1)=1 = Σ i=1,..,1 iSupondo verdadeiro que S(n) = Σ i=1,..,n i temos queS(n+1) = S(n) + n+1 = Σ i=1,..,n i + n+1 = Σ i=1,..,n+1 i C.Q.D.O
  2. 2. 5) Mostre, por indução, que para a seqüência de Fibonacci vale a relaçãoF(n) < 2n(N.B. a seqüência de Fibonacci é dada por F(1)=1; F(2)=2 e F(n)=F(n-1) + F(n-2))Hipótese de indução: F(1) = 1 < 21, F(2) = 2 < 22, F(n-1) < 2n-1e F(n) < 2n.Vamos mostrar que F(n+1) = < 2n+1para n > 2Por definição temos queF(n+1) = F(n) + F(n-1), substituindo a hipótese de indução, temos queF(n+1) < 2n.+ 2n-1. Temos que 2n+ 2n-1.= 2. 2n-1+ 2n-1. = 3.2n-1. Por outro lado2n+1= 2.2.2n-1= 4.2n-1. Como 3.2n-1< 4.2n-1está provado a conjectura.Na prova acima foi usada ‘indução completa’. A prova por indução simples seria:F(n+1) = F(n) + F(n-1), pela definição de F(n)= F(n-1)+F(n-2) + F(n-1), pela hipótese de indução< 2n+ F(n-1) como F(n-1) = F(n) – F(n-2)< 2n+ 2n– F(n-2) = 2n+1– F(n-2)Então temos F(n+1) + F(n-2) < 2n+1e, como F(n-2) > 0 teremos F(n+1) < 2n+16) Mostre, por indução, que n3+ 2n é divisível por 3n=1: 1+2=3supondo que n3.+ 2n é divisível por 3, temos n3.+ 2n = 3kagora (n+1)3.+ 2(n+1) =(n+1)(n2+ 2n +1)+2n+2 = n3+ 2n2+ n + n2+ 2n + 1 + 2n +2 =3k + 3n2+ 3n +3 = 3(k + n2+ 3n + 1)7) Prove que “se x e y são ímpares então x+y é par”a. Por contraposição :Se x+y é impar então x ou y é par.Pela hipótese x+y = 2n + 1. Mas, para que isso aconteca, x e y não podem ser ambos ímparespois, neste caso, teríamos x+y = 2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1), que é par. Logo x ou y tem que serpar.b. Por contradiçãoPara x e y impares, suponha x+y impar. Mas, se x+y é ímpar, x+y = 2k+1. Nesse caso x e y nãopodem ser ambos ímpares pois, teríamos x+y =2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1), que é par!8) Uma sequência é definida por S(1) = 1, S(n)=n+S(n-1)Encontre a forma fechada, usando o princípio: expandir, supor, verificar.RESP:Expandir: S(1) = 1; S(2) = 2 + 1; S(3) = 3 + S(2) = 3 + 2 + 1; S(4) = 4 + S(3) = 4 + 3 + 2 + 1Supor: S(n) = Σ i=1,..,n iVerificar: por indução: S(1) = Σ i=1,..,1 i = 1, OKSupondo que vale S(n) = Σ i=1,..,n i teremosS(n+1) = n+1 + S(n) = n+1 + Σ i=1,..,n i = Σ i=1,..,n+1 i. Verificado!9) Demonstre quais das afirmações a seguir são verdadeiras ou mostre quais são falsas:a) O cubo de um número par x é parVerdadeiro. Prova por absurdo: Suponhamos que existe um ímpar n = p3, em que p é um par. Logo n =p.p.p = p2.p Como p é par existe um inteiro q tal que p=2.q. Mas então temos que = p2.q.2 e fazendo p2.q= m temos n = 2.m, contradizendo a suposição de que n é ímpar.b) |x+y| ≤ |x| + |y|Verdadeiro: Temos 3 casos principais: (1) x e y positivos, (2) um deles é negativo e (3) ambosnegativos.(1) Neste caso, |x| = x e |y| = y, logo |x+y| = |x| + |y| = x+y
  3. 3. (2) Seja x< 0 e y ≥ 0, neste caso x+y < |x| + y = |x| + |y| e, como para todo número n≤ |n| temos que |x+y| < ||x| + |y|| = |x| + |y|(3) para x e y negativos teremos |x+y| = |-(-x + -y)| = |(-x + -y)| = |-x| + |-y| = |x| + |y|(4) Os casos em que um deles é 0 podem ser enquadrados nos casos anteriores.c) 1+5+9+ ... + (4n-3) = n(2n-1) {prove por indução que vale para todo inteiro positivo n}Prova:Para n=1 temos 4n-3=1 a sequência terá um só termo como 1=1(2.1-1)= 1. OKSupondo que vale para n, para n+1 sería:1+5+9+ ... + (4n-3)+(4(n+1)-3) = (n+1)(2(n+1)-1)n(2n-1) + 4n+4-3 = 2n2-n + 4n +1= 2n2+ 3n +1A outra parte fica sendo(n+1)(2n+2-1) = (n+1)(2n+1) = 2n2+n+ 2n+1=2n2+3n+1 C.Q.D.Parte II: Conjuntos e Gramáticas1) Sejam A = {p,q,r,s}; B = {r,t,v} e C = {p,s,t,u}. subconjuntos de S={p,q,r,s,t,u,v,w} Encontre (Obs. A’ éo complemento de A):1) (A ∩ B)’2) A’ – (B ∪ C)3) (B-A) × A4) R ={(x,y) ∈ B × A tal que x precede y no alfabeto}5) R ={(x,y) ∈ B × S tal que x divide y}1) (A ∩ B) = {r}, logo (A ∩ B)’ = {p,q,s,t,u,v,w}2) {t,u,v,w} – {p,r,s,t,u,v} = {w}3) {t,v} × {p,q,r,s} = {(t,p), (t,q), (t,r), (t,s), (v,p), (v,q), (v,r), (v,s)}4) {(r,s)}5) {(1,1),...,(1,10),(3,3),(3,6),(3,9),(5,5),(5,10)}2) Sejam A = {2,4,5,6,8}, B = {1,3,5} e C = {x/x ∈ Z e 3≤ x < 5} subconjuntos de S={0,...,10} Encontre:a. (A ∩ B)’(A ∩ B)’ = ({2,4,5,6,8} ∩ {1,3,5})’ = ({5})’ = {0,1,2,3,4,6,7,8,9,10}b. A’ – (B ∪ C)A’ – (B ∪ C) = {2,4,5,6,8}’ – ({1,3,5}∪{3,4}= {0,1,3,7,9,10} – {1,3,4,5}) = {0,7,9,10}c. (B-A) × A({1,3,5} - {2,4,5,6,8}) × {2,4,5,6,8}= {1,3} × {2,4,5,6,8} = {<1,2>,<1,4>,<1,5>,1,6>,<1,8>,<3,2>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<3,8>}d. R ={(x,y) ∈ B × A tal que x divide y}R = {<1,2>,<1,4>,<1,5>,1,6>,<1,8>, <3,6>,<5,5>}2) Seja a gramática G = < Σ , L, P>, com Σ = Σ t∪Σ nt , Σ t = {0,1}, Σ nt= {S }, L= Σ t*e as produções P = { S →0S, S →1}a) Quais sentenças válidas são produzidas por esta gramática?b) E se acrescentarmos a produção S →S0?(a) As sentenças válidas são 1, 01, 001, 0001, 00001, ...(b) Agora temos 1, 01, 001, 0001, ...e 10, 100, 1000, ...e 010, 0010, 00010, ...Ou seja, todas cadeias com um ‘1’ e restante ‘0’s.3)
  4. 4. a) Qual a diferença entre ∅ ,{∅}, {}? Dê a cardinalidade de cada um e as possíveis relações {⊆, ⊂, ∈ou =} entre eles.RESP: |∅|=|{}|=0 e |{∅}| = 1. ∅ = {}, ∅ ∈ {∅}, ∅ ⊂ {∅}, ∅ ⊆ ∅ e {∅} ⊆ {∅}.b) Dados os conjuntos A={a, {a}, {{a}}}, B={a} e C={∅, {a,{a}}}, dê a cardinalidade de cada um emostre quais afirmações são verdadeiras: C⊆A; B∈A; B⊆C; {a, {a}}∈A; A-B∈C.RESP: |A| = 3, |B| = 1, |C| = 2.C⊆A - falsa; B∈A - verdadeira; B⊆C - falsa; {a, {a}}∈A - falsa; A-B∈C - falsa.4) Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde:Σ = {+, -, .,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} U {B, S, I, P, F}, sendo B o símbolo inicial.R = {B →SIPF,S →+|-| λI →ID | DP →.F →DDD →0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9 }1) Qual a linguagem que esta gramática define?RESP: esta gramática reconhece números com duas casas decimais podendo ter um sinal na frenteou não. Os números poderão começar com um ou mais dígitos ‘0’. Em outras palavras, reconhecesequencias da forma +nn...n.nn ou –n...n.nn ou nn...n.nn.2) Mostre como ela reconhece o número -459.33RESP: para testar, basta seguir, em ordem inversa, as regras até chegar a B. Ou seja, temos:-459.33 →-459.DD →-459.F →-459PF →-45DPF →-4DDPF →-DDDPF →SDDDPF →SIDDPF→SIDPF →SIPF →B (N.B. também pode-se percorrer o caminho inverso)3) Modifique a gramática para que ela reconheça números inteiros, sem frações.RESP:Para reconhecer só números inteiros, deve-se alterar a primeira regra para B→SI e excluir asregras P →. e F →DDPara reconhecer também números inteiros, a primeira regra fica sendo B→SIPF | SI5)Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde:Σ = Σ nt ∪ Σ t sendo Σ t = {+, -, ., /, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} e Σ nt = {B, EXP, OP, N, D}, com asregras de produção:R = { 1: B →EXP; 2: EXP →( EXP ) OP N; 3: EXP →N OP N;4: OP →+ | - | . | / ; 5: N →D | ND; 6: D →0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9}Qual a linguagem que esta gramática define?Define expressões aritméticas da forma op1 op op2 em que op é um dos operadores +, -, . ou /, op2 éum número inteiro positivo e op1 é ou também um inteiro ou outra expressão da mesma forma entreparêntesis.b) Mostre como ela reconhece a expressão (30-5)+025. Indique qual regra foi aplicada em cadapasso.-(1)-: B →EXP -(2)-: ( EXP ) OP N -(4)-: ( EXP ) + N -(5)-: ( EXP ) + ND -(5)-: ( EXP ) + NDD -(5)-:( EXP ) + DDD -(6*)-: ( EXP ) + 025 -(3)-: ( N OP N ) + 025 -(5)-: ( N OP D ) + 025 -(6)-: ( N OP 5 ) +025 -(5)-: ( ND OP 5 ) + 025 -(5)-: ( DD OP 5 ) + 025 -(5*)-: ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)-: ( 30 - 5 ) + 025c) Modifique a gramática para que ela:também reconheça expressões entre parêntesis à direita eAlterar a regra (2) para: 2: EXP →N OP (EXP) | ( EXP ) OP N;um número não comece com 0 (zero).
  5. 5. Substituir as regras 5: e 6: por 5: N →P | PD; 6: D →DF | F; 7: P →1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9; 8: F →P |0 | λE acrescentar aos não-terminais os símbolos P e F.6) Considere a gramática: G = <Σ , L, R >. Onde:R →0R1 | 1R0 | λa) A palavra 11001 pertence à linguagem geada por G?Não, pois se tentamos produzi-la, p.ex. R→1R0→11R00→1100 vai faltar a produção do último ‘1’ a direita.Generalizando, toda regra produz um número par de terminais, logo é impossível produzir uma cadeia com5 dígitos.b) Qual linguagem definida por G?Cadeias de 1s e 0s tal que para cada dígito na enésima posição da esquerda para a direita ocorre o inversodesse dígito na enésima posição da direita para a esquerda.7) Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde:Σ = Σ nt ∪ Σ t sendo Σ t = {‘a’, ‘b’, ‘c’,..,’x’, ‘y’, ‘z’, ‘,’, ‘ ‘} eΣ nt = {NC, Nome, Sobrenome, N, Letra}, com as regras de produção:R = {1: NC →Nome ´ ´ Sobrenome; 2: Nome →N | N ‘ ‘ Nome; 3: Sobrenome →N | N ‘ ‘ Nome;4: N →Letra | Letra N; 5: Letra →‘a’ | ‘b’ | .. | ‘z’ ;a) Mostre a sequência de produções para produzir teu nome completo.1: NC →Nome ´ ´ Sobrenome;(2): N ´ ´ Sobrenome;(4): Letra N ´ ´ Sobrenome;(4)5 vezes: Letra Letra Letra Letra Letra Letra ´ ´ Sobrenome;(5)6 vezes: ulrich ´ ´ Sobrenome;(3): ulrich ´ ´ N;Repetindo (4)5 vezes: e (5)6 vezes: obtemos ulrich schielb) Altere a gramática para produzir o nome na forma inversa sendo que só o último sobrenome apareceantes da vírgula.Basta alterar as regras (1) e (3). Ficarão sendo:1: NC →Sobrenome ´, ´ Nome;3: Sobrenome  N;Parte III: Relações1) Podem ser definidas mais propriedades de relações binárias ρ em um conjunto S:ρ é irreflexiva quando ∀x∈S temos (x,x) ∉ ρ ]ρ é assimétrica quando ∀x,y∈S temos [(x, y)∈ ρ ⇒(y, x) ∉ ρ ]a. Construa uma relação binária em S = {1,2,3} que é assimétrica e anti-simétrica. Obtenha o fechotransitivo desta tua relação.b. Analise o conjunto <N, ‘<’>, os naturais com a relação ‘menor que’ em relação às duaspropriedades definidas aqui e as outras.a. R={(1,2), (2,3)}, o fecho transitivo é {(1,2), (2,3), (1,3)}b. A relação <N, ‘<’> não é reflexiva e é irreflexiva, pois nenhum n<n. É anti-simétrica e assimétrica,pois não existe nenhum para n, m, com n<m e m<n. Pelo mesmo motivo também não é simétrica. Étransitiva, pois se n<m e m< u, temos n<u.2) Seja S={∅,{a}, {a,b},{c}, {a,c},{b}} e a relação de ⊆.
  6. 6. 1. Desenhe o Diagrama de Hasse desta relação2. Encontre o fecho transitivo(2) A relação ⊆ já é transitiva3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relações(a) Diga se a relação entre números naturais x ρ y ↔ x = y + 1 é um-para-um, um-para-muitos oumuitos-para-muitos.(b) Mostre se a relação entre cadeias de caracteres dada por x ρ y ↔ o comprimento de x é menor ouigual ao comprimento de y, é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e/ou transitiva.(c) Crie uma relação qualquer que é reflexiva e simétrica mas não é transitiva;(d) Crie uma relação qualquer que não é reflexiva nem simétrica mas é transitiva;(a)É um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que é igual a x+1, e inversamente,exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1, nunca mais que um.Reflexiva: pois o comprimento de toda cadeia é igual ao seu comprimento, logo é menor ou igual.Simétrico: Não pois se x é mais longo que y não terá comprimento menor.Anti-simétrica pois se comprimento(x) <= comprimento(y) e vice versa então x=yTransitiva: sim pois se comprimento(x) <= comprimento(y) e comprimento(y) <= comprimento(z) éclaro que comprimento(x) <= comprimento(z)(c) Seja a relação x ρ y ↔ x=y ou x é par ou y é par. É reflexiva pela condição x=y. É simétrica poiso ou é comutativo. Não é transitiva pois, p.ex. vale 3 ρ 4 e 4 ρ 5 mas não vale 3 ρ 5.4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade. Considerando as relações a seguir mostre, para cadauma delas, quais propriedades básicas (reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva) ela satisfaz e seela é uma relação de ordem (parcial ou total) ou uma relação.a. perto(x,y) = x mora a menos de 500m de yé reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmoé simétrica pois a distância de x para y é a mesma que a de y para xnão é anti-simétrica pois se dois habitantes moram perto um do outro, não significa que são amesma pessoanão é transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distância de x para z pode ser de800m, logo não estão mais pertonão é relação de ordem nem de equivalência pois não é transitivab. longe(x,y) = x mora a mais de 500m de ynão é reflexiva pois ninguém mora longe dele mesmoé simétrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e xnão é anti-simétrica pois se x mora longe de y temos longe(x,y) e longe(y,x) mas x≠ ynão é transitiva pois posso ter longe(x,y) e longe(y,z) mas z ser vizinho de x, ou seja, vale perto(x,z)não é relação de ordem nem de equivalência pois não é reflexiva nem transitivac. mesmo-bairro(x,y) = x mora no mesmo bairro de y∅{a} {c}{b}{a,b} {a,c}
  7. 7. é reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmoé simétrica pois sempre vale mesmo-bairro(x,y) sss mesmo-bairro(y,x)não é anti-simétrica pois basta ter mais de um habitante em um bairroé transitiva pois x, y e z irão morar no mesmo bairroé uma relação de equivalência pois valem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.d. mesmo-perto(x,y) = perto(x,y) ∧mesmo-bairro(x,y)é reflexiva pois tanto perto(x,y) e mesmo-bairro(x,y) são reflexivasé simétrica pelo mesmo motivonão é anti-simétrica pois ambas não o sãonão é transitiva pois posso ter x, y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitivapara perto(x,z)não é relação de ordem nem de equivalência pois não é transitiva5) Seja S = {a,b,c,d} e ρ = {(a,a), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)}Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo de ρ . Considerando ρ ’ a relação ρ após obteros fechos reflexivo e simétrico, encontre o fecho transitivo de ρ ’?Fecho reflexivo de ρ = ρ ∪ {(b,b),(c,c),(d,d)}Fecho simétrico de ρ = ρ ∪ {(d,a),(d,b)}Fecho transitivo de ρ = ρ ∪ {(c,d),(c,c)}ρ ’ = ρ ∪ {(b,b),(c,c),(d,d), (d,a),(d,b)}Fecho transitivo de ρ ”= ρ ’ ∪ {(a,b),(b,a),(c,d),(d,c),(b,c)}6) Seja P um conjunto finito de pessoas. Considere as relações entre pessoas:i) filho(p,q)  p é filho de q (da parte da mãe).ii) irm(p,q)  ∃ r tal que filho(p,r) ∧filho(q,r)iii) parente(p,q)  filho(p,q) ∨irm(p,q)1) Analise as 3 relações quanto às propriedades reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva.Existe uma relação de equivalência?filho(p,q) é anti-simétricairm(p,q) é reflexiva, simétrica e transitivaparente(p,q) é reflexiva e transitiva2) O que falta para filho(p,q) ser uma relação de ordem parcial? Tente definir um ‘fecho’ para quese torne uma ordem parcial. Chame este fecho de desc(p,q).Ela não é reflexiva nem transitiva. Podemos definirdesc(p,q)  filho(p,q) ∨irm(p,q) ∨∃ r (filho(q,r) ∧desc(r,q))3) Descreva os elementos maximais e minimais de Smax ∈ S é maximal ¬∃p∈ S tal que vale desc(p,max)min ∈ S é maximal ¬∃p∈ S tal que vale desc(min,p) só existirá se for filho único4) O conjunto P pode ser particionado em famílias. Defina uma relação de equivalência baseadanesta partição.Como ninguém tem duas mães, ou seja, filho(p,q1) e filho(p,q2) implica q1=q2, todo elementode S está relacionado a um único elemento maximal, max, pela relação desc(p,max). Logo, paracada elemento maximal maxi ∈ S teremos uma classe de equivalência [maxi] = { p∈ S tal quevale desc(p,maxi)}.A relação serámesma-fam(p,q)  ∃ max ∈ S tal que vale desc(p,max) ∧desc(q,max)7) Sejam A = {p,s,t,u}. e B = {p,q,r,s,t,u,v,w}. Encontrea) R ={(x,y) ∈ B × A tal que y é a próxima letra no alfabeto após x}R = {(r,s), (s,t), (t,u)} (para quem leu A× B): R ={(p,q), (s,t), (t,u), (u,v)}
  8. 8. b) Encontre R’ o fechos reflexivo de R e R” o fecho transitivo de R’R’=R ∪ {(r,r), (s,s), (t,t), (u,u)} (para A× B) R’=R ∪ {(p,p),(q,q),(s,s),(t,t),(u,u), (v,v)}R” = R` ∪ {(r,t), (s,u), (r,u)} (para quem leu A× B) R”=R’∪ {(s,u), (t,v),(s,v)}c) R” é uma relação de ordem? parcial ou total?É uma relação de ordem parcial, pois é fechada reflexivamente e transitivamente e é anti-simétrica, poispara todo par (x,y) de R” com x≠y, x será uma letra anterior a y logo é impossível termos (y,x).8) Sejam o conjunto S = {a, b, c, d} e a relação ρ = {(a,a), (a,b), (b,d), (b,a), (b,b), (c,a)}.1) Determine se a relação ρ é reflexiva, simétrica, transitiva, anti-simétrica, irreflexiva ou assimétricae justifique para cada caso.Não é reflexiva pois faltam (c,c) e (d,d). Não é simétrica pois tem (b,d) mas falta (d,b). Não é transitivapois tem (a,b) e (b,d) mas falta (a,d). Não é anti-simétrica pois tem (a,b) e (b,a) mas a≠ b. Não éirreflexiva pois tem (a,a) e (b,b). Não é assimétrica pois tem (a,a) e (a,b) e não deveria ter (a,a) e (b,a).2) Encontre ρ ’ o fecho reflexivo de ρ , e ρ “ o fecho transitivo de ρ ’.ρ ’ = ρ ∪ {(c,c), (d,d)}ρ ’’ = ρ ∪ {(a,d), (c,b), (c,d)}3) Encontre as reduções anti-simétrica e irreflexivas de ρ . Um redução significa retirar elementos darelação até que ela satisfaça a condição.Redução anti-simétrica: ρ − {(b,a)} ou então ρ − {(a,b)}Redução irreflexiva: ρ − {(a,a), (b,b)}Parte IIIb: Relações – Bancos de Dados1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relaçõesfilho-de(F,P), filha-de(F,P).a) Obtenha uma relação filho-ou-filha-de(F,P), que contém todos os filhos de cada pessoa;b) A partir da relação de a), obtenha a relação unária filhos-de-joão(F) que contém todos os filhos dapessoa ‘João’.c) Ilustre tudo com um pequeno exemploOBS: lembre-se que sobre estas relações podem ser aplicadas as operações convencionais sobreconjuntos, como união, intersecção, diferença, assim como as operações relacionais:R’=restrição(R, condição), que elimina de R todas tuplas que não satisfazem a condição, eR’=projeção(R(A, A’)) na qual A’ ⊆ A, o conjunto dos atributos de R, e as tuplas de R são truncadaspara os atributos em A’(e) filho-ou-filha-de(F,P) = filho-de(F,P) ∪ filha-de(F,P)(f) R = restrição(filho-ou-filha-de, P=’João’)filhos-de-joão(F) = projeção(R(F))(g)2) Seja o banco de dadosCURSO(Cur, Disc); EST(MatE, NomeE); MON(MatE, Disc); MAT(MatE, Disc);PROF(NomeP, Disc);Obtenha os dados:1) Os nomes dos professores do curso de ‘Ciência da Computação’R1 = CURSO[Cur=’Ciência da Computação’] uma relação com a estrutura R1(Cur, Disc)R2 = PROF.P[P.Disc=R1.Disc]R1 uma relação com a estrutura R2(NomeP, Disc, Cur)RESPOSTA = R2[NomeP]2) Os nomes de todos monitores existentesR1 = EST.E[E.MatE=M.MatE]MON.M uma relação com a estrutura R1(MatE, NomeE, Disc)
  9. 9. RESPOSTA = R1[NomeE]3) Os nomes dos monitores matriculados em ‘Matematica Discreta’R2 = MAT[Disc=’Matematica Discreta’] [MatE] nesta operação combinada, selecionamos os alunosmatriculados em ‘Matematica Discreta’ e projetamos para definir só os números de matricula.A partir do resultado R1 da questão anterior, que contém uma relação de todos monitores,determinamos os monitores de ‘Matematica Discreta’ pela junção com R2:R3 = R1[R1.MatE=R2.MatE]R2 uma relação com a estrutura R3(MatE, NomeE, Disc), efinalmente3) RESPOSTA = R3[NomeE].3)Crie um banco de dados de produtos, clientes e vendas. Para o cliente temos um número, o nome e o ano desde quanestá cadastrado. Dos produtos temos um código, nome e total em estoque e das vendas é registrado a data, nr. do cliee código do produto, quantidade e preço unitário.Crie operações relacionais para responder às perguntas:a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 1000,00.b) Dado uma relação R a função count(R) determina o número de tuplas contidas em uma relação. Determinequantos produtos não foram vendidos no ano corrente. Sugestão: calcule quantos produtos já foram vendidos. Contatodos produtos existentes, da para determinar quantos não foram vendidos.Temos CLIENTE(NR, NOME, ANO), PROD(CÓD, NOME, ESTOQUE) eVENDAS(DATA, CLIENTE, CÓD, QUANT, PREÇO).a) RESP = VENDAS[QUANT*PREÇO > 1000)[CLIENTE]b) PV = VENDAS V[V.COD=PROD.P]PRODVENDIDOS = PV[COD]RESP = count(PROD) - count(PV)Parte IV: Funções1) Dada uma função f: S →T, seja a relação ρ em SxS dada por x ρ y ⇔f(x)=f(y).a) Mostre que ρ é uma relação de equivalênciab) Dadas as funções f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x). O que seria a classe de equivalência [π ] para cada umadessas funçõesc) Se S é o conjunto dos números reais, descreva as partições de S criadas por ρ sob f(x) e sob g(x)d) Qual seria a expressão das combinações f°g e g°f .(a) Reflexiva: para todo x, x ρ x, pois f(x)=f(x)Simétrica: se x ρ y, então f(x)=f(y) e, neste caso, também temos y ρ xTransitiva: se x ρ y então f(x)=f(y), e se y ρ z, temos f(y)=f(z) logo, com as duas igualdades,temos f(x)=f(z) o que implica em x ρ z(b) Para f(x), [π ] sería {π , -π }, pois f(π ) = f(-π ) = π 2+2.Já para g(x), teríamos sen(π )=0, logo [π ] = {0, π , -π , 2π , -2π , 3π , -3π ,...}(c) A partição de R sob f(x) sería que, para todo r ∈ R, {r, -r} é uma parte.para g(x) cada parte sería determinado pela classe [kπ ], com 0 ≤ k < π(d) f°g(x) = sen2(x) + 2 e g°f(x) = sen(x2+2).2) Sejam os conjuntos S = {1, 2, 3, 4}, T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} eU = {6, 7, 8, 9, 10} e as funçõesf: S →T com f = {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 6)} eg: T →U com g = {(1, 7), (2, 6), (3, 9), (4,7), (5, 8), (6, 10)}.a. Defina a função g o fg o f:S→U, com g o f = {(1,6), (2,7), (3,9), (4,10)}
  10. 10. b. Mostre quais das funções f, g e g o f são injetivas e/ou sobrejetivas.f é injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas não é sobrejetiva poisos valores 1 e 5 de T não são imagem de f;g não é injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas é sobrejetiva pois todo valor de U é imagem dealgum valor de T por g.g o f é injetiva pois cada valor de S é levado a um valor distinto em U mas não ésobrejetiva pois o valor 8 não é imagem de nenhum valor de S.3)a) Seja a função f:S → R dada por f(x) = x2diga se ela é injetiva ou sobrejetiva e dê o conjuntoimagem f(S) para S=Z; S=N e S=R.S=Z: não é injetiva nem sobrejetiva, f(Z)={0,1,2,4,9,16,..}S=N: é injetiva mas não é sobre. f(N)={0,1,2,4,9,16,..}S+R: não é injetiva nem sobrejetiva, f(R)={x∈R | √(x) ∈R }b) Uma expressão aritmética pode ser representada como um grafo de funções. Por exemplo, (x+y)/(y*z) seriaO que resulta em uma composição de funções div(som(x,y),mult(y,z)). Crie um grafo de funções e arespectiva composição de funções para a expressão:(x+sen2(y))/sen(x) + 2x.RESPOSTA:A expressão ficaria: som(div(som(x,quad(sem(x)),sen(x)),mult(2,x))4)..Quais das funções a seguir são bem definidas, injetivas e/ou sobrejetivas? Para as que não são bijetivasreduza o domínio ou o contradomínio para se tornar bijetiva e defina a função inversa.a) f:Z →N dada por f(x) = x2+ 1f não é injetiva pois para todo x∈Z, f(x)=f(-x);f não é sobrejetiva pois para todo x, f(x) será o quadrado de um número mais um. Logo, p.ex. 3, 7 e 8não estão em f(Z);Para tornar a função injetiva, basta reduzir o domínio aos números positivos e o zero, o N. Para torná-lasobrejetiva, analisemos f(x). Em N, teremos;f(0)=1, f(1)=1; f(2)=5; f(3)=10, f(4)=17 e assim por diante.xy+z*x+y+y*z/ resxy +/+ ressensenz22x
  11. 11. Então, para tornar f(x) uma bijeção consideramos N* o conjunto dos naturais com o zero e D={x/x=n2+1, para algum n∈N*} e f:N* →D será uma bijeção. A inversa será f-1:D→N tal que f-1(y)= √(y-1)b) f:Z →Q dada por f(x) = 1/xf não é bem definida, pois para 0∈Z, f(0) não está definida. Reduzindo o domínio para Z-{0}, teremosquef é injetiva, pois para quaisquer inteiros x e y, se x≠ y certamente 1/x ≠ 1/yf não é sobrejetiva pois a imagem de qualquer x∈Z-{0} f(x) será um número entre -1 e 1, logo todosnúmero maiores que 1 ou menores que -1 não estão na imagem de f. Para tornar a função bijetivanotamos que a imagem de f(Z-{0}) = {y/ y é um racional que pode ser escrito da forma 1/x com x∈Z-{0}}. Se chamarmos esse conjunto de D, teremos uma bijeção f: Z-{0}→D. Nesse caso f-1(x)=f(x)=1/x.c) f:N →N × N dada por f(x) = (x,x2)f será injetiva pois se x≠ y, é claro que (x,x2) ≠ (y,y2).f não é sobrejetiva, pois do contradomínio N× N, o primeiro N será todo coberto por f mas no segundosó os quadrados perfeitos serão imagem de f. Logo, para tornar a função uma bijeção definimosD⊂N× N como D={(y,z)/ z=y2}. Temos, então, f:N→D, com f(x)=(x,x2) e f-1: D →N, com f-1(x,x2)=xd) f: N × N →N dada por f(x,y) = (x+y)2Esta função está bem definida mas não é injetiva (p.ex. f(1,2)=f(2,1)) e não é sobrejetiva (p.ex. 3não é imagem de nenhum par (x,y)∈ N × N. Para torná-la injetiva pode-se reduzir o primeirodomínio a um único número, p.ex. 0 (zero) e o contradomínio aos quadrados perfeitosP={0,1,2,4,8,16,..}. Assim teríamos f: {0} × N →P e a inversa f-1:P→{0}× N tal que f-1(z) = (0, √z)Parte V: Estruturas algébricas1) Dadas as álgebras de Boole B1 = <{0,1}, +, ·, ‘, 0, 1>, com x+y = max(x,y) e x · y = min(x,y), e B4 =<{F,V}, ∧, ∨, ¬, F, V>, então existe um isomorfismo natural h: B1→B4, com h(0) = F e h(1) = V.Resolva, cada expressão a seguir de duas formas: (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e),resolvendo em B4 e aplicando h-1ao resultado:a) (0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0)Forma direta: (0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) = (0+1’)’. ((0+1).0) =(0)’ . (1 . 0) = 1 . 0 = 0Forma indireta: h(0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) =¬ (F ∨¬(V ∨V) ∧((¬¬F∨V) ∧F) = ¬ (F∨¬V) ∧((F∨V) ∧F)= ¬F∧(V∧F) =V∧F=Ffinalmente h-1(F) = 0b) 1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’Forma direta: 1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ = 0 · 1 + (1+(0))’= 0+(1)’ = 0+ 0 = 0Forma indireta: h(1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ =¬V ∧¬F ∨¬(V∨V∨(V∧F)) = F ∧V ∨¬(V∨F) = F ∨¬V = F ∨F = F, logo h-1(F) = 02) Prove que para toda Álgebra de Boole valea) x = y se e somente se x · y’ + y · x’ = 0i) se x=y temos x · y’ + y · x’ = x · x’ + x · x’ = 0 + 0 = 0ii) se x · y’ + y · x’ = 0 temos x · y’ = 0 e y · x’ = 0 mas, se x · y’ = 0 y’ é o complemento de x, logo y =x .b) x+y’ = x + (x’ · y + x · y)’vamos mostrar que y’ = (x’ · y + x · y)’. Mas (x’ · y + x · y)’ = ((x’ + x)·y)’ = (1·y)’ = y’3) Dado S = {1,2,3,4,5}, seja o reticulado R=<{<1,2>,<1,3>, <1,4>,<2,5>,<3,5>,<4,5>},inf,sup>.Porque a estrutura B=<S, inf, sup, ‘, 1, 5>, em que ‘ seria dado por x’ = y tal que sup(x,y)=5 e inf(x,y)=1, não é uma Álgebra de Boole (sugestão: na Álgebra de Boole o complemento tem que serúnico). E se retirarmos o elemento 4 de S?
  12. 12. Não é uma Álgebra de Boole, pois, por exemplo, o elementos 2 tem dois complementos, o 3 e o 4, poissup(2,3) = 5 e sup(2,4) = 5.Se retirarmos o 4, teríamos 1’=5, 2’=3, 3’=2 e 5’=1. Portanto só tem um complemento.Para ser uma Álgebra de Boole vamos definir o isomorfismo. Seja o morfismo h dado por:x = 1 2 3 5h(x)=  {1} {2} {1,2}E h(sup) = ∪; h(inf) = ∩Para ser isomorfismo deve valer:1. h é uma bijeção entre A e B. Isto está claro na tabela da função.2. h(inf(x,y)) = h(x) ∪ h(y)3. h(sup(x,y)) = h(x) ∩ h(y)4. h(x’) = h(x)”Podemos mostrar as propriedades 2, 3 e 4 pela tabela:x y inf(x,y) h(x) ∩ h(y) sup(x,y) h(x) ∪ h(y) x’ h(x’) h(x)”1 2 1  2 {1} 5 [1,2} {1,2}1 3 1  3 {2}1 5 1  5 {1,2}2 3 1  5 {1,2} 3 {2} {2}2 5 2 {1} 5 {1,2}3 5 3 {2} 5 {1,2} 2 {1} {1}Não mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos.4)Dada uma álgebra de Boole B = <B, +, ·, ‘, 0, 1> podemos definir um novo operador ⊗ (ouexclusivo) como sendo x ⊗ y = x . y’ + y . x’ .1. Analise as propriedades de <B, ⊗> e determine sua estrutura algébrica.Associativa: x ⊗ (y ⊗ z) = x ⊗ (y.z’ + z.y’) = x. (y.z’ + z.y’)’ + (y.z’ + z.y’).x’= x.((y.z’)’.(z.y’)’) +(y.z’.x’+z.y’.x’) = x.(y’+z).(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) =(x.y’+x.z).(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’(z’+y)+x.z.(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) =x.y’.z’+ x.y’.y + x.z.z’+x.z.y + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’.z’ + x.z.y + (y.z’.x’+z.y’.x’) =x.y’.z’+y.x.z’ + z.x.y+z.x’.y’ = (x.y’+y.x’).z’ + z. (x.y+x’.y’) =(x.y’+y.x’).z’ + z.(x’.y’+y.y’ + x’.x+y.x) = (x.y’+y.x’).z’ + z.((x’+y).y’+(x’+y).x)) = (x.y’+y.x’).z’ + z.(x’+y).(y’+x) = (x.y’+y.x’).z’ + z.(x.y’)’.(y.x’)’=(x.y’+y.x’).z’+z. (x.y’+y.x’)’=(x.y’+y.x’) ⊗ z = (x ⊗ y) ⊗ zSolução tabelar:x y z y ⊗ z x ⊗ (y ⊗ z) x ⊗ y (x ⊗ y) ⊗ z0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0 00 0 1 1 1 0 10 1 1 0 0 1 01 0 1 1 0 1 01 1 1 0 1 0 1
  13. 13. Comutativa: x ⊗ y = x . y’ + y . x’ = y.x’ + x.y’ = y ⊗ xNeutro: x ⊗ 0 = x . 0’ + 0 . x’ = x.1 + 0 = x, logo 0 é o neutroInverso: x⊗x = x.x’ + x’.x = 0+0 = 0 logo todo elemento é seu próprio inverso.Conclui-se que <B, ⊗> é um grupo comutativo.2. considerando x ⊗ y uma função booleana, dê suas definições tabelar e esquemática, usando os 3esquemas abaixo.Tabelar:x ⊗ y x y x’ y’ x.y’ y.x’ x.y’+y.x’0 0 1 1 0 0 00 1 1 0 0 1 11 0 0 1 1 0 11 1 0 0 0 0 0Esquemático:5) Em cada caso determine a estrutura algébrica de <S, *>:e) S = {1, -1, i, -i} e * é a multiplicação com i = √-1 e i2= -1. (sugestão: faça a tabela de multiplicação)pela tabela vê-se que a operação é fechada. É associativo pois amultiplicação de números complexos é associativa. Tem elementoneutro (1), os inversos são -1’=1, 1’=1, i’=-i e –i’=i; pelaassociatividade da multiplicação ela também é associativa e écomutativa pois a tabela é simétrica. Logo é um grupo comutativo.f) S = {1,2,3,4} e * é ·5 o produto modulo 5.É fechado (vide tabela). É associativo pois a multiplicação denúmeros módulo n é associativa. É comutativo pois a tabela ésimétrica. O elemento neutro é 1. Inversos 1’=1; 2’=3, 3’=2 e4’=4. Associativo.Também é grupo comutativo._____________________________________________________________________________6) Assim como existe um isomorfismo entre álgebras (que preserva as operações) pode-se definirisomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados <S,≤ > e <S’,≤ ’> como uma bijeção f:S→S’ quepreserva as ordens, ou seja, se x≤ y então f(x)≤ ’f(y).1. Se S=S’={a,b,c, d} defina 3 ordens parciais em S que são isomorfas entre si.xyTabela:* 1 -1 i -i1 1 -1 i -í-1 -1 1 -i 1i i -i -1 1-i -i i 1 -1Tabela:* 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1
  14. 14. 2. Se S tem 4 elementos {a,b,c,d} mostre quantos reticulados distintos (não isomorfos) podem serformados. (SUGESTÃO: use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens.)7) Dado Σ = {a,e,i}, e S ={1,2,3}. Que determinam duas Álgebras de Boole:L = <Σ 3, *, +, ‘, , “aei”> comΣ 3sendo todas cadeias de Σ com 0 a 3 vogais em ordem alfabética;  a cadeia vazia;x * y = a cadeia com as letras comuns a x e y,x +y = a cadeia com todas letras de x e y, ex’ = Σ -x, ou seja, a cadeia com todas letras que não estão em x.e S = <P(S), ∩, ∪, ‘, , S>a) Pelo teorema das álgebras booleanas finitas estas duas estruturas são isomorfas, pois |L|=|PS|=8.Defina este isomorfismo;o isomorfismo h: Σ 3→S é dado pela tabela:x =  a e i ae ai ei aeih(x)=  {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}Para mostrar que é isomorfismo, tem que ser um homomorfismo e ser bijetora.b) dada a expressão (’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’)). Calcule o resultado de duas maneiras:(i) diretamente em L e(ii) convertendo-a para PS, resolvendo em PS, e convertendo o resultado de volta para L.i) direto: (’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’) = (“aei”*”i”)+(“aei”*”ei”) = “i”+”ei”= “ei”ii) indireto: h((’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’))=(( ’ ∩ ({1,3}∩{2,3}) ∪ (S∩{1}’)=((S ∩ {3}) ∪ (S∩ {2,3}) = {3} ∪ {2,3} = {2,3}, h-1({2,3} = “ei”.8) Dado uma Álgebra de Boole <S, +, ., ‘, 0, 1> qualquer, mostrar, justificando cada passo:a) Se definirmos uma nova operação ( ‘ou exclusivo’) ⊕ como sendo: x⊕y=x.y’ + y.x’, vale x⊕y =y⊕x e também x⊕1=x’x⊕y= x.y’ + y.x’=y.x’+x.y’=y⊕xx⊕1= x.1’ + 1.x’=1bx.0+x’.1=4b0+x’=4a x’b) Propriedades (x.y)+(x.z) = x.[y+(x.z)] e também (x+y.x)’ = x’x.[y+(x.z)]=3bx.y+x(x.z)= 2bx.y+(x.x)z=x.y+x.zbc da bc dabcdabcdabcda
  15. 15. (x+y.x)’=3a ((x+y).(x+x))’=6a((x+y).x)’=7a(x+y)’+x’=1ax’+(x’+y’)=absorçãox’ (falta provar a absorção)9) Dado uma álgebra <Z, ⊕>, sendo Z os inteiros, defina operações ⊕ tal que:a. Comutativa mas não associativa⊕(x,y) = (x+y)2é comutativa, pois (x+y)2= (y+x)2enão é associativa pois, p.ex.((1+2)2+3)2= (32+3)2= (9 +3)2= 122((1+(2 +3)2)2= (1+ 52)2= 252b. Forma só um semi grupo⊕(n,m)=n.É associativa pois⊕(⊕(x,y),z) = ⊕(x,z) = x e ⊕(x, ⊕(y,z)) = ⊕(x,y) = xMas não é comutativa, pois ⊕(x,y) = x e ⊕(y,x) = y.Não tem neutro, pois deveria valer ⊕(x,i) = ⊕(i,x) = x mas, para x≠ i teremos ⊕(i,x)=i ≠ x!c. <Z, ⊕> forma só um monóide⊕(x,y) = x.y é claramente associativa e tem neutro, o 1 (um). Mas, como o domínio é Z osinteiros não têm inverso tal que n.n-1= 110) Dado uma álgebra <S, *>, determine para cada caso se temos um semi-grupo, monóide, grupo ou nenhumdesses:a. S = R (os reais) e x*y = (x+y)2Associativo: contra-exemplo 1*(2*3)=(1+(2+3)2)2=(1+25)2= 262(1*2)*3=(1+2)2+3)2=(9+3)2=122Logo não é semi-grupo, portanto não é monóide nem grupo.b. S = {1,2,4} e x*y é o produto módulo 6Assoc: x*(y*z)=x.q1, sendo q1 (= o resto da divisão de y.z por 6)= q2 (= o resto da divisão de x.q1 por 6)Observe que se y*z está fora de S só pode ser 8, que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 =4. Em ambos os casos pode-se mostrar, por exaustão, que x*(y*z)=x.y.z mod 6.Análogamente pode-se mostrar que (x.y).z também coincide com x.y.z. Logo x.(y.z) = x.y.z= (x.y).zNeutro: é o 1, pois x*1=x=1*x para todo x em SInverso: nem o 2 nem o 4 possuem inverso, pois 2.x=2 para todo x e 4.1=4, 4.2+2 e 4.4=4,logo nunca 4.x=1.Concluindo, é um monóide.c. S = N (os naturais) e x*y = min(x,y)min(x,min(y,z)) = min (x,y,z) = min(min(x,y),z) – logo é associativamin(x,y) = min(y,x) – logo é comutativanão existe um natural n tal que min(x,n) = x para todo x, pois basta tomar x=n+1 e teremosmin(n+1,n) = n e não n+1. – logo não tem neutroConclusão: é um semi-grupo comutativod. S = N × N e (x1,y1)* (x2,y2) = (x1,y2)((x1,y1)* (x2,y2))*( x3,y3) = (x1,y2)*( x3,y3) = ( x1,y3) e(x1,y1)* ((x2,y2)*( x3,y3)) = (x1,y1)*( x2,y3) = ( x1,y3), logo é associativa(x1,y1)* (x2,y2) = (x1,y2) mas (x2,y2)* (x1,y1) = (x2,y1), logo não é comutativaComo o resultado da operação sempre terá um componente do segundo operando, não épossível haver um (i2,i2) tal que (x1,y1)* (i2,i2) = (x1,y1), logo não tem identidade e,consequentemente, não tem inverso.Conclusão: é um semi-grupo não comutativoe. S = {f/ f:N→N} (conjunto das funções naturais} e f*g(x) = f(x)+g(x)
  16. 16. Associativa: (f*g)*h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f*(g*h)(x)Comutativa: como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) será comutativa.Identidade: seja i(x)=0, teremos f*i(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)Neutro: seja g(x) = –f(x) então f*g(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)Logo é um grupo comutativo11) Mostre quea) <R, +, .> é um corpo comutativoMostrar que <R, +,.> é um anel, ou seja:<R,+> é grupo comutativo (vale ACNI) e <R,.> é semi-grupo. É fácil mostrar isso. <R,.>além de ser semi-grupo possui neutro, logo é um monóide. <R-{0},.> também possui inverso1/x para todo x ∈ R-{0}, logo é grupo comutativo.b) Em uma álgebra de Boole <S, +, ., ‘, 0, 1>, <S,+> é um monóíde comutativoPela propriedade 1a é comutativo pela 2a é associativo, e pela 4a o neutro é 0. A operação ‘não determina um inverso em relação a +, pois a+a’ = 1 e deveria ser 0.12) Em cada caso abaixo, mostre quais das funções definidas são bem definidas, bijeções, homomorfismos equais são isomorfismos. Para o isomorfismo, motre o isomorfismo inverso.a) f: <Z, + > →<Z, + > dada por f(x) = 0é um homomorfismo pois se x+y=z, temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z). Não é isomorfismo pois não éinjetiva nem sobrejetiva.b) f: <Z, + > →<Z, + > dada por f(x) = x + 1Não é homomorfismo, pois se x+y=z, temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquantof(x+y)=x+y+1≠ x+y+2. Se não é homomorfismo também não pode ser isomorfismo.c) f: <Z, +> →<Z, . > dada por f(x) = xNão é homomorfismo pois se x+y=z deveríamos ter f(x).f(y)=f(z) ou seja x.y=z Logo também não éisomorfismo.d) f: <R-{0}, + > →<R-{0}, + > dada por f(x) = 1/xÉ bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso.É injetiva pois se x≠ y também temos 1/x ≠ 1/yÉ sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1/x. Nesse caso f(1/x) = x, logo xpertence à imagem f(R-{0}).Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) já que dos dois lados a operação é asoma. A primeira parte é 1/x + 1/y = (y+x)/(x.y) e a segunda será 1/(x+y), logos são diferentes. P.ex.para x=1 e y=2 teríamos(y+x)/(x.y) = 3/2 e 1/(x+y) = 1/3. Concluímos que não é homomorfismo.e) f: <Z, + > →<P, + > dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares)É bem definida pois para todo inteiro n, 2n é um número par.É injetiva pois para inteiros n e m diferentes, teremos 2n≠ 2m.É sobrejetiva, pois para todo par p existe o inteiro p/2 tal que f(p/2) = p.Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y).Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y).Também f-1(x)+ f-1(y)= x/2 + y/2 = (x+y)/2 = f-1(x+y)Logo é bijeção e ambos são homomorfismos, portanto é um isomorfismo.f) f: <Z, +> →<P, . > dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares)Pelos mesmos argumentos acima é uma bijeção.Para ser homomorfismo deve valer f(x) . f(y) = f(x+y).Temos f(x) . f(y) = 2x . 2y = 4xy, mas f(x+y) = 2(x+y). Logo não é homomorfismo nemisomorfismo.
  17. 17. 13) Defina a estrutura algébrica de:1) < Σ *, ||> com:Σ * o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)|| a operação de concatenação de stringsÉ associativo pois, se a=a1..an, b=b1..bm e c=c1..ck, teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1..an b1..bm c1..ckNão é comutativo, pois, por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdabTem neutro, pois para a cadeia vazia λ vale: aλ =a para qualquer aNão tem inverso, pois a concatenação só aumenta uma cadeia, logo para toda cadeia não vazia a nãopode existir b tal que a||b=λConclui-se que a estrutura é um Monóide.2) < Z6, +,.> com:Z6= {0,1,2,3,4,5} sendo + a soma módulo 6 e . o produto módulo 6Analisemos cada operação:< Z6, +>,é associativo pois como a soma é associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=k. A soma módulo 6 de ambos ostermos será o resto da divisão de k por 6.É comutativo por argumento análogo ao acima, decorrente da comutatividade da somaTem neutro que é o 0, pois x+0=xTem inverso, pois para todo n∈Z6, teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6). Logo x’=6-xLogo < Z6, +> é um grupo comutativo.< Z6, .>:Pelos mesmos argumentos acima, vê-se que é associativo e comutativo;Tem neutro que é o 1, pois x.1=x< Z6,-{0} .> não é grupo, pois Z6,-{0} só tem inteiros que não têm inverso na multiplicação.Logo < Z6, .> é um semi-grupo comutativo e < Z6,+, .> será um anel comutativo com neutro namultiplicação.3) <Z5, +5, *5 >, com:Z5 = {0,1,2,3,4}x +5 y = (x+y) mod 5, ex *5 y = (x.y) mod 5como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5, e(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5A soma módulo 5 é associativa. Análogamente a multiplicação também o é.Como a soma e multiplicação normais são comutativas estas operações módulo 5 também o serão.O neutro de +5 é o 0. O neutro de *5 é o 1.Os inversos em +5 serão: 0’= 0, 1’=4, 2’= 3, 3’=2 e 4’=1.Em *5 não pode haver inverso pois para x Z5 não haverá inverso x’ com x.x’=1. Mesmo para Z5 – {0}.A distributividade que vale para as soma e multiplicação normais pode ser aplicado às operações de módulopois, por exemplo, em uma expressão do tipox*5 (y+5z) = (x.(y+z)mod 5) mod 5 = (x.(y+z))mod 5 = (x.y+xz))mod 5 =((x.y)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x*5 y)+5 (x*5z).Concluimos que a estrutura é um Anel Comutativo.14) . Seja B={0,1,a,b}. Defina uma álgebra de Boole <B,+,*,’,0,1> sendo que ‘ é definido como: 0’=1,1’=0, a’=b e b’=a. Defina as operações + e * por duas tabelas.+ 0 1 a b * 0 1 a b0 0 1 a b 0 0 0 0 0
  18. 18. p∧q V F NV V F NF F F FN N F N1 1 1 1 1 1 0 1 a ba a 1 a 1 a 0 a a 0b b 1 1 b b 0 b 0 b15) Uma extensão da lógica proposicional considera 3 valores possíveis: Verdade(V), Falso(F) ou Nulo(N).Nesta lógica os operadores ∧, ∨e ¬ são definidos comop V V V F F F N N Nq V F N V F N V F Np∧q V F N F F F N F Np V V V F F F N N Nq V F N V F N V F Np∨q V V V V F N V N Np V F N¬ p F V NMostre que a lógica de 3 valores <{F,V,N}, ∧, ∨, ¬, F, V>. não é uma álgebra de Boole. Analise, para o ∧, aspropriedades comutativa, neutro e inverso; e a distributiva x∧(y ∨z) =(x∧y) ∨(x∧z). Sugestão: para analisar o∧faça a matriz da operação.Observando a matrizVê-se que p∧q é comutativo pois a matriz é simétrica.O elemento neutro é V, observando a primeira linha ouprimeira coluna.Não tem inverso, pois não há nenhuma linha que leva todosvalores em V.Distributiva: um exemploV∧(N ∨F) = V∧N = N e (V∧N) ∨(V∧F)= N ∨F = NCompleto (as combinações de V e F são as clássicas. Mostramos as combinações de V com pelo menos umvalor N):x y z y ∨z x∧(y ∨z) x∧y x∧z (x∧y) ∨(x∧y)V V N V V V N VV N V V V N V VN V V V N N N NV N N N N N N NN N V V N N N NN N N N N N N NNão é álgebra de Boole pois, como V é o neutro de ∧, deve valer x ∨¬x = V. Mas, pela tabela temos que N∨¬N = N ∨N = N ≠ V!16) Dada a expressão booleana (x.y’).(y’+z)a) escreva ela apenas com operadores NAND(x.y’).(y’+z) =(x.y’).y’ + (x.y’).z = (( (x.y’).y’+(x.y’).z )’)’ = (( ((x.y’).y’)’ . ((x.y’).z)’ )’)’= (((x.y’) ’. y’) . ((x.y’) ’. z))’ = ((x.y’) ’. y) ’. ((x.y’) ’. z) = (((x.y’)’)’ ’. y) ’. (((x.y’)’)’ ’. z) =(( ((x ’. y’)’ ’. y) ’. ((x ’. y’)’ ’. z) )’)’ = ( ((x ’. y’) ’. 1) ’. y) ’. (((x ’. y’) ’. 1) ’. z) )’=( (((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) )’ =(((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) ‘. 1b) escreva ela apenas com operadores NOR(x.y’).(y’+z) = (x’+y)’.(y’+z) = ((x’+y) + (y’+z)’)’ = (x’ + y) ‘+ (y’ ‘+ z) = (((x’ + y))’)’ ‘+ (y’ ‘+ z) =((x’ ‘+ y))’ ‘+ (y’ ‘+ z) = (((x ‘+ 0) ‘+ y) ‘+ 0) ‘+ ((y ‘+ 0) ‘+ z)
  19. 19. c) Calcule o valor da expressão para x=1, y=0 e z=0. Use primeiro a expressão original e depois a sócom NAND e a só com NORPara x=1, y=0 e z = 0, teremosOriginal: (x.y’).(y’+z) = (1.0’).(0’+0) = 1.(1+0) = 1.1 = 1NAND: (((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) ‘. 1 =(((1 ’. (0 ’. 1)) ’. (0 ‘. 1)) ‘. 0) ‘. (((1 ‘. (0 ‘. 1)) ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1=(((1 ’. 1) ’. 1) ‘. 0) ‘. (((1 ‘. 1) ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1 =((0 ’. 1) ‘. 0) ‘. ((0 ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1= (1 ‘. 0) ‘. (1 ‘. 0) ‘. 1 = (1 ‘. 1) ‘. 1 = 0 ‘. 1 = 1NOR: (((x ‘+ 0) ‘+ y) ‘+ 0) ‘+ ((y ‘+ 0) ‘+ z) = (((1 ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ ((0 ‘+ 0) ‘+ 0) =((0 ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ (1 ‘+ 0) = (1 ‘+ 0) ‘+ 0 = 0 ‘+ 0 = 1

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