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Ecuacion diferencial de la energa mecanica de fluidos

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Ecuacion diferencial de la energa mecanica de fluidos

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Ecuacion diferencial de la energa mecanica de fluidos

  1. 1. ECUACION DIFERENCIAL DE LA ENERGÍA<br />π‘„βˆ’π‘Šπ‘’π‘—π‘’βˆ’π‘Šπ‘£π‘–π‘ π‘=πœ•πœ•π‘‘π‘’πœŒπ‘‘π‘‰π‘+𝑒+π‘ƒπœŒπœŒ(V.𝑛)𝑑𝐴…….. (1)<br />Β <br />π‘Šπ‘’π‘—π‘’=0, debido a que no hay trabajo sobre el volumen de control por no haber partes mΓ³viles dentro de un volumen infinitesimal fijo.<br />El elemento es tan pequeΓ±o que la integral de volumen se reduce al tΓ©rmino diferencial.<br />πœ•πœ•π‘‘π‘’πœŒπ‘‘π‘‰π‘=πœ•πœ•π‘‘πœŒπ‘’π‘‘π‘‰π‘<br />Trabajamos por partes, analizamos el segundo miembro, entonces resulta:<br />πœ•πœ•π‘‘πœŒπ‘’π‘‘π‘‰π‘+πœ•πœ•π‘₯πœŒπ‘’π‘’+π‘ƒπœŒπ‘‘π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧+πœ•πœ•π‘¦πœŒπ‘£π‘’+π‘ƒπœŒπ‘‘π‘¦π‘‘π‘₯𝑑𝑧+πœ•πœ•π‘§πœŒπ‘€π‘’+π‘ƒπœŒπ‘‘π‘§π‘‘π‘₯𝑑𝑦 <br />Donde :𝑑𝑉𝑐=𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧y reemplazamos𝑒+π‘ƒπœŒ=𝜁y acomodamos la ecuaciΓ³n:<br />πœ•πœ•π‘‘πœŒπ‘’+πœ•πœ•π‘₯πœŒπ‘’πœ+πœ•πœ•π‘¦πœŒπ‘£πœ+πœ•πœ•π‘§πœŒπ‘€πœπ‘‘π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧<br />Β <br />
  2. 2. =πœŒπœ•π‘’πœ•π‘‘+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘‘+πœπœ•(πœŒπ‘’)πœ•π‘₯+πœŒπ‘’πœ•πœπœ•π‘₯+πœπœ•πœŒπ‘£πœ•π‘¦+πœŒπ‘£πœ•πœπœ•π‘¦+πœπœ•πœŒπ‘€πœ•π‘§+πœŒπ‘€πœ•πœπœ•π‘§=<br />πœŒπœ•π‘’πœ•π‘‘+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘‘+𝑒+π‘ƒπœŒπœ•πœŒπ‘’πœ•π‘₯+πœ•πœŒπ‘£πœ•π‘¦+πœ•πœŒπ‘€πœ•π‘§+πœŒπ‘’πœ•πœ•π‘₯𝑒+π‘ƒπœŒ+πœŒπ‘£πœ•πœ•π‘¦π‘’+π‘ƒπœŒ+πœŒπ‘€πœ•πœ•π‘§π‘’+π‘ƒπœŒ=<br />πœŒπœ•π‘’πœ•π‘‘+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘‘+𝑒+π‘ƒπœŒπœŒπœ•π‘’πœ•π‘₯+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘₯+πœŒπœ•π‘£πœ•π‘¦+π‘£πœ•πœŒπœ•π‘¦+πœŒπœ•π‘€πœ•π‘§+π‘€πœ•πœŒπœ•π‘§+πœŒπ‘’πœ•π‘’πœ•π‘₯+πœŒπ‘’πœ•πœ•π‘₯π‘ƒπœŒ+πœŒπ‘£πœ•π‘’πœ•π‘¦+πœŒπ‘£πœ•πœ•π‘¦π‘ƒπœŒ+πœŒπ‘€πœ•π‘’πœ•π‘§+πœŒπ‘€πœ•πœ•π‘§π‘ƒπœŒ=<br />Agrupamos:<br />πœŒπœ•π‘’πœ•π‘‘+π‘’πœ•π‘’πœ•π‘₯+π‘£πœ•π‘’πœ•π‘¦+π‘€πœ•π‘’πœ•π‘§+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘‘+π‘’πœŒπœ•π‘’πœ•π‘₯+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘₯+πœŒπœ•π‘£πœ•π‘¦+π‘£πœ•πœŒπœ•π‘¦+πœŒπœ•π‘€πœ•π‘§+π‘€πœ•πœŒπœ•π‘§+π‘ƒπœŒπœŒπœ•π‘’πœ•π‘₯+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘₯+πœŒπœ•π‘£πœ•π‘¦+π‘£πœ•πœŒπœ•π‘¦+πœŒπœ•π‘€πœ•π‘§+π‘€πœ•πœŒπœ•π‘§+πœŒπ‘’πœ•πœ•π‘₯π‘ƒπœŒ+πœŒπ‘£πœ•πœ•π‘¦π‘ƒπœŒ+πœŒπ‘€πœ•πœ•π‘§π‘ƒπœŒ=<br />πœŒπœ•π‘’πœ•π‘‘+π‘’πœ•π‘’πœ•π‘₯+π‘£πœ•π‘’πœ•π‘¦+π‘€πœ•π‘’πœ•π‘§+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘‘+π‘’π‘’πœ•πœŒπœ•π‘₯+π‘’π‘£πœ•πœŒπœ•π‘¦+π‘’π‘€πœ•πœŒπœ•π‘§+π‘’πœŒπœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘§+π‘ƒπœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘§+π‘ƒπœŒπ‘’πœ•πœŒπœ•π‘₯+π‘£πœ•πœŒπœ•π‘¦+π‘€πœ•πœŒπœ•π‘§+πœŒπ‘’πœ•πœ•π‘₯π‘ƒπœŒ+πœŒπ‘£πœ•πœ•π‘¦π‘ƒπœŒ+πœŒπ‘€πœ•πœ•π‘§π‘ƒπœŒ=<br />Β <br />
  3. 3. πœŒπœ•π‘’πœ•π‘‘+π‘’πœ•π‘’πœ•π‘₯+π‘£πœ•π‘’πœ•π‘¦+π‘€πœ•π‘’πœ•π‘§+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘‘+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘₯+πœŒπœ•π‘’πœ•π‘₯+π‘£πœ•πœŒπœ•π‘¦+πœŒπœ•π‘£πœ•π‘¦+π‘€πœ•πœŒπœ•π‘§+πœŒπœ•π‘€πœ•π‘§+π‘ƒπœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘§+π‘ƒπœŒπ‘’πœ•πœŒπœ•π‘₯+π‘£πœ•πœŒπœ•π‘¦+π‘€πœ•πœŒπœ•π‘§+πœŒπ‘’πœŒπœ•π‘ƒπœ•π‘₯βˆ’π‘ƒπœ•πœŒπœ•π‘₯𝜌2+π‘£πœŒπœ•π‘ƒπœ•π‘¦βˆ’π‘ƒπœ•πœŒπœ•π‘¦πœŒ2+π‘€πœŒπœ•π‘ƒπœ•π‘§βˆ’π‘ƒπœ•πœŒπœ•π‘§πœŒ2=<br />πœŒπœ•π‘’πœ•π‘‘+π‘’πœ•π‘’πœ•π‘₯+π‘£πœ•π‘’πœ•π‘¦+π‘€πœ•π‘’πœ•π‘§+π‘’πœ•πœŒπœ•π‘‘+πœ•(πœŒπ‘’)πœ•π‘₯+πœ•(πœŒπ‘£)πœ•π‘¦+πœ•(πœŒπ‘€)πœ•π‘§+π‘ƒπœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘§+π‘ƒπœŒπ‘’πœ•πœŒπœ•π‘₯+π‘£πœ•πœŒπœ•π‘¦+π‘€πœ•πœŒπœ•π‘§+π‘’πœ•π‘ƒπœ•π‘₯+π‘£πœ•π‘ƒπœ•π‘¦+π‘€πœ•π‘ƒπœ•π‘§βˆ’π‘ƒπœŒπ‘’πœ•πœŒπœ•π‘₯+π‘£πœ•πœŒπœ•π‘¦+π‘€πœ•πœŒπœ•π‘§=<br />La ecuaciΓ³n:<br />π‘’πœ•πœŒπœ•π‘‘+πœ•(πœŒπ‘’)πœ•π‘₯+πœ•(πœŒπ‘£)πœ•π‘¦+πœ•(πœŒπ‘€)πœ•π‘§=0Β <br />debido a que: πœ•πœŒπœ•π‘‘+πœ•(πœŒπ‘’)πœ•π‘₯+πœ•(πœŒπ‘£)πœ•π‘¦+πœ•(πœŒπ‘€)πœ•π‘§=0que es la ecuaciΓ³n de la continuidad<br />Por el tamaΓ±o tan pequeΓ±o del elemento entonces el segundo miembro toma la forma:<br />πœŒπœ•π‘’πœ•π‘‘+Vβˆ‡π‘ƒ+𝑃(βˆ‡V) ….. (2)<br />Entonces reemplazamos (2) en la ecuaciΓ³n general :<br />π‘„βˆ’π‘Šπ‘£π‘–π‘ π‘=πœŒπœ•π‘’πœ•π‘‘+Vβˆ‡π‘ƒ+𝑃(βˆ‡V)𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧<br />Β <br />
  4. 4. Ahora para el calor:<br />Hacemos balance de calor en la direcciΓ³n β€œx”:<br />π‘žπ‘₯π‘‘π‘¦π‘‘π‘§βˆ’π‘žπ‘₯+πœ•π‘žπ‘₯πœ•π‘₯𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧=βˆ’πœ•π‘žπ‘₯πœ•π‘₯𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧donde:π‘žπ‘₯=βˆ’π‘˜πœ•π‘‡πœ•π‘₯<br />AnΓ‘logamente hacemos lo mismo para β€œy” y β€œz”:<br />En β€œy”: βˆ’πœ•π‘žπ‘¦πœ•π‘¦π‘‘π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧En β€œz”:βˆ’πœ•π‘žπ‘§πœ•π‘§π‘‘π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧<br />Entonces el calor neto serΓ‘:<br />𝑄=βˆ’(πœ•π‘žπ‘₯πœ•π‘₯𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧+πœ•π‘žπ‘¦πœ•π‘¦π‘‘π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧+πœ•π‘žπ‘§πœ•π‘§π‘‘π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧)<br />𝑄=βˆ‡π‘žπ‘‘π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧=βˆ‡π‘˜βˆ‡π‘‡ …. (3) donde : π‘ž=π‘žπ‘₯𝑖+π‘žπ‘¦π‘—+π‘žπ‘§π‘˜<br />Β <br />dx<br />π‘žπ‘₯<br />Β <br />π‘žπ‘₯+𝑑π‘₯<br />Β <br />dy<br />dz<br />
  5. 5. Ahora para el π‘Šπ‘£π‘–π‘ π‘:<br />Haciendo un balance de la energΓ­a que producen los esfuerzos viscosos en la direcciΓ³n β€œx”:<br />π‘Šπ‘₯π‘‘π‘¦π‘‘π‘§βˆ’π‘Šπ‘₯+πœ•π‘Šπ‘₯πœ•π‘₯𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧=βˆ’πœ•π‘Šπ‘₯πœ•π‘₯𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧<br />Sabiendo que: π‘Šπ‘₯=π‘’πœπ‘₯π‘₯+π‘£πœπ‘₯𝑦+π‘€πœπ‘₯π‘§βˆ’πœ•πœ•π‘₯(π‘’πœπ‘₯π‘₯+π‘£πœπ‘₯𝑦+π‘€πœπ‘₯𝑧)𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧<br />AnΓ‘logamente hacemos esto para la direcciΓ³n β€œy” y β€œz”:<br />En β€œy”: βˆ’πœ•πœ•π‘¦(π‘’πœπ‘¦π‘₯+π‘£πœπ‘¦π‘¦+π‘€πœπ‘¦π‘§)𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧<br />En β€œz”: βˆ’πœ•πœ•π‘§(π‘’πœπ‘§π‘₯+π‘£πœπ‘§π‘¦+π‘€πœπ‘§π‘§)𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧<br />Β <br />dx<br />(π‘Šπ‘₯+πœ•π‘Šπ‘₯πœ•π‘₯𝑑π‘₯)𝑑𝑦𝑑𝑧<br />Β <br />π‘Šπ‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧<br />Β <br />dy<br />dz<br />
  6. 6. La potencia neta debido a las fuerzas viscosas queda:<br />π‘Šπ‘£π‘–π‘ π‘=βˆ’πœ•πœ•π‘₯π‘’πœπ‘₯π‘₯+π‘£πœπ‘₯𝑦+π‘€πœπ‘₯𝑧+πœ•πœ•π‘¦π‘’πœπ‘¦π‘₯+π‘£πœπ‘¦π‘¦+π‘€πœπ‘¦π‘§+πœ•πœ•π‘§(π‘’πœπ‘§π‘₯+π‘£πœπ‘§π‘¦+π‘€πœπ‘§π‘§)𝑑π‘₯𝑑𝑦𝑑𝑧<br />π‘Šπ‘£π‘–π‘ π‘=βˆ’βˆ‡π‘Š<br />π‘Š=π‘’πœπ‘₯π‘₯+π‘£πœπ‘₯𝑦+π‘€πœπ‘₯π‘§π‘’πœπ‘¦π‘₯+π‘£πœπ‘¦π‘¦+π‘€πœπ‘¦π‘§(π‘’πœπ‘§π‘₯+π‘£πœπ‘§π‘¦+π‘€πœπ‘§π‘§)<br />π‘Šπ‘£π‘–π‘ π‘=βˆ’βˆ‡π‘’πœπ‘₯π‘₯+π‘£πœπ‘₯𝑦+π‘€πœπ‘₯π‘§π‘’πœπ‘¦π‘₯+π‘£πœπ‘¦π‘¦+π‘€πœπ‘¦π‘§(π‘’πœπ‘§π‘₯+π‘£πœπ‘§π‘¦+π‘€πœπ‘§π‘§)<br />π‘Šπ‘£π‘–π‘ π‘=βˆ’βˆ‡(π‘’π‘£π‘€πœπ‘₯π‘₯𝜏π‘₯π‘¦πœπ‘₯π‘§πœπ‘¦π‘₯πœπ‘¦π‘¦πœπ‘¦π‘§πœπ‘§π‘₯πœπ‘§π‘¦πœπ‘§π‘§)<br />π‘Šπ‘£π‘–π‘ π‘=βˆ’βˆ‡(𝑉τ𝑖𝑗)….. (4)<br />Juntamos los tΓ©rminos anteriores (4), (3), (2) en (1), entonces la ecuaciΓ³n queda de la sgte. forma:<br />βˆ‡π‘˜βˆ‡π‘‡+βˆ‡π‘‰Ο„π‘–π‘—=πœŒπœ•π‘’πœ•π‘‘+Vβˆ‡π‘ƒ+𝑃(βˆ‡V)<br />Β <br />
  7. 7. De relaciones anteriores, tenemos:<br />βˆ‡π‘‰Ο„π‘–π‘—=πœ•πœ•π‘₯π‘’πœπ‘₯π‘₯+π‘£πœπ‘₯𝑦+π‘€πœπ‘₯𝑧+πœ•πœ•π‘¦π‘’πœπ‘¦π‘₯+π‘£πœπ‘¦π‘¦+π‘€πœπ‘¦π‘§+πœ•πœ•π‘§π‘’πœπ‘§π‘₯+π‘£πœπ‘§π‘¦+π‘€πœπ‘§π‘§=<br />π‘’πœ•πœπ‘₯π‘₯πœ•π‘₯+𝜏π‘₯π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘₯+π‘£πœ•πœπ‘₯π‘¦πœ•π‘₯+𝜏π‘₯π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘₯+π‘€πœ•πœπ‘₯π‘§πœ•π‘₯+𝜏π‘₯π‘§πœ•π‘€πœ•π‘₯+π‘’πœ•πœπ‘¦π‘₯πœ•π‘¦+πœπ‘¦π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘¦+π‘£πœ•πœπ‘¦π‘¦πœ•π‘¦+πœπ‘¦π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘¦+π‘€πœ•πœπ‘¦π‘§πœ•π‘¦+πœπ‘¦π‘§πœ•π‘€πœ•π‘¦+π‘’πœ•πœπ‘§π‘₯πœ•π‘§+πœπ‘§π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘§+π‘£πœ•πœπ‘§π‘¦πœ•π‘§+πœπ‘§π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘§+π‘€πœ•πœπ‘§π‘§πœ•π‘§+πœπ‘§π‘§πœ•π‘€πœ•π‘§=<br />Agrupamos:<br />π‘’πœ•πœπ‘₯π‘₯πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘₯πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘₯πœ•π‘§+π‘£πœ•πœπ‘₯π‘¦πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘¦πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘¦πœ•π‘§+π‘€πœ•πœπ‘₯π‘§πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘§πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘§πœ•π‘§+𝜏π‘₯π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘₯+𝜏π‘₯π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘₯+𝜏π‘₯π‘§πœ•π‘€πœ•π‘₯+πœπ‘¦π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘¦+πœπ‘¦π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœπ‘¦π‘§πœ•π‘€πœ•π‘¦+πœπ‘§π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘§+πœπ‘§π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘§+πœπ‘§π‘§πœ•π‘€πœ•π‘§<br />Pero: π‘’πœ•πœπ‘₯π‘₯πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘₯πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘₯πœ•π‘§+π‘£πœ•πœπ‘₯π‘¦πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘¦πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘¦πœ•π‘§+π‘€πœ•πœπ‘₯π‘§πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘§πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘§πœ•π‘§=<br />π‘‰πœ•πœπ‘₯π‘₯πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘₯πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘₯πœ•π‘§π‘–+πœ•πœπ‘₯π‘¦πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘¦πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘¦πœ•π‘§π‘—+πœ•πœπ‘₯π‘§πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘§πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘§πœ•π‘§π‘˜=<br />π‘‰πœ•πœπ‘₯π‘₯πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘₯πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘₯πœ•π‘§πœ•πœπ‘₯π‘¦πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘¦πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘¦πœ•π‘§πœ•πœπ‘₯π‘§πœ•π‘₯+πœ•πœπ‘¦π‘§πœ•π‘¦+πœ•πœπ‘§π‘§πœ•π‘§=<br />Β <br />…. (5)<br />
  8. 8. Entonces obtenemos:<br />π‘‰πœ•πœ•π‘₯πœ•πœ•π‘¦πœ•πœ•π‘§πœπ‘₯π‘₯πœπ‘¦π‘₯πœπ‘§π‘₯𝜏π‘₯π‘¦πœπ‘¦π‘¦πœπ‘§π‘¦πœπ‘₯π‘§πœπ‘¦π‘§πœπ‘§π‘§=𝑉(βˆ‡πœπ‘–π‘—) …….. (6)<br />Reemplazando (6) en (5) y luego (5) en (4), resulta:<br />βˆ‡π‘‰Ο„π‘–π‘—=π‘‰βˆ‡πœπ‘–π‘—+𝜏π‘₯π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘₯+𝜏π‘₯π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘₯+𝜏π‘₯π‘§πœ•π‘€πœ•π‘₯+πœπ‘¦π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘¦+πœπ‘¦π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœπ‘¦π‘§πœ•π‘€πœ•π‘¦+πœπ‘§π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘§+πœπ‘§π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘§+πœπ‘§π‘§πœ•π‘€πœ•π‘§<br />De las ecuaciones de Navier -Stokes:<br />𝜏π‘₯π‘₯=πœ‡2πœ•π‘’πœ•π‘₯βˆ’23𝑑𝑖𝑣𝑉+𝜎𝜏π‘₯𝑦=πœ‡(πœ•π‘’πœ•π‘¦+πœ•π‘£πœ•π‘₯)<br />πœπ‘¦π‘¦=πœ‡2πœ•π‘£πœ•π‘¦βˆ’23𝑑𝑖𝑣𝑉+πœŽπœπ‘¦π‘§=πœ‡(πœ•π‘£πœ•π‘§+πœ•π‘€πœ•π‘¦)<br />πœπ‘§π‘§=πœ‡2πœ•π‘€πœ•π‘§βˆ’23𝑑𝑖𝑣𝑉+𝜎𝜏π‘₯𝑧=πœ‡(πœ•π‘’πœ•π‘§+πœ•π‘€πœ•π‘₯)<br />Β <br />
  9. 9. Considerando solo los tΓ©rminos del recuadro:<br />𝜏π‘₯π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘₯+𝜏π‘₯π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘₯+𝜏π‘₯π‘§πœ•π‘€πœ•π‘₯+πœπ‘¦π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘¦+πœπ‘¦π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœπ‘¦π‘§πœ•π‘€πœ•π‘¦+πœπ‘§π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘§+πœπ‘§π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘§+πœπ‘§π‘§πœ•π‘€πœ•π‘§=<br />πœ‡2πœ•π‘’πœ•π‘₯βˆ’23𝑑𝑖𝑣𝑉+πœŽπœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ‡πœ•π‘’πœ•π‘¦+πœ•π‘£πœ•π‘₯πœ•π‘£πœ•π‘₯+πœ‡πœ•π‘’πœ•π‘§+πœ•π‘€πœ•π‘₯πœ•π‘€πœ•π‘₯+πœ‡2πœ•π‘£πœ•π‘¦βˆ’23𝑑𝑖𝑣𝑉+πœŽπœ•π‘£πœ•π‘¦+Β πœ‡πœ•π‘’πœ•π‘¦+πœ•π‘£πœ•π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘¦+πœ‡πœ•π‘£πœ•π‘§+πœ•π‘€πœ•π‘¦πœ•π‘€πœ•π‘¦+πœ‡2πœ•π‘€πœ•π‘§βˆ’23𝑑𝑖𝑣𝑉+πœŽπœ•π‘€πœ•π‘§+πœ‡πœ•π‘’πœ•π‘§+πœ•π‘€πœ•π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘§+πœ‡πœ•π‘£πœ•π‘§+πœ•π‘€πœ•π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘§=<br />Resolviendo y arreglando:<br />πœ‡2πœ•π‘’πœ•π‘₯2+2πœ•π‘£πœ•π‘¦2+2πœ•π‘€πœ•π‘§2+πœ‡πœŽπœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘§βˆ’23πœ‡π‘‘π‘–π‘£π‘‰πœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘§+πœ‡πœ•π‘’πœ•π‘¦πœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘₯2+πœ•π‘’πœ•π‘₯πœ•π‘€πœ•π‘₯+πœ•π‘€πœ•π‘₯2+πœ•π‘’πœ•π‘¦2+πœ•π‘£πœ•π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘¦+πœ•π‘£πœ•π‘§πœ•π‘€πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘¦2+πœ•π‘’πœ•π‘§2+πœ•π‘€πœ•π‘₯πœ•π‘₯πœ•π‘§+πœ•π‘£πœ•π‘§2+πœ•π‘€πœ•π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘§=<br />πœ‡πœŽπœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘§βˆ’23πœ‡π‘‘π‘–π‘£π‘‰πœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘§+Ξ¦<br />Β <br />
  10. 10. Donde: <br />Ξ¦=ΞΌ2πœ•π‘’πœ•π‘₯2+2πœ•π‘£πœ•π‘¦2+2πœ•π‘€πœ•π‘§2+πœ•π‘’πœ•π‘¦πœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘₯2+πœ•π‘’πœ•π‘₯πœ•π‘€πœ•π‘₯+πœ•π‘€πœ•π‘₯2+πœ•π‘’πœ•π‘¦2+πœ•π‘£πœ•π‘₯πœ•π‘’πœ•π‘¦+πœ•π‘£πœ•π‘§πœ•π‘€πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘¦2+πœ•π‘’πœ•π‘§2+πœ•π‘€πœ•π‘₯πœ•π‘₯πœ•π‘§+πœ•π‘£πœ•π‘§2+πœ•π‘€πœ•π‘¦πœ•π‘£πœ•π‘§<br />Ξ¦ es la funciΓ³n de disipaciΓ³n viscosa<br />Pero bajo condiciones de flujo incompresible, viscoso, newtoniano:<br />πœ‡πœŽπœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘§βˆ’23πœ‡π‘‘π‘–π‘£π‘‰πœ•π‘’πœ•π‘₯+πœ•π‘£πœ•π‘¦+πœ•π‘€πœ•π‘§+Φ…… (7)<br />Ahora reemplazando (7) en el recuadro, entonces la ecuaciΓ³n queda:<br />βˆ‡π‘‰Ο„π‘–π‘—=π‘‰βˆ‡πœπ‘–π‘—+Ξ¦ …. (8)<br />Β <br />
  11. 11. Ahora juntamos las ecuaciones (3, (2) y (7) en la ecuaciΓ³n (1), resulta del sgte. modo:<br />πœŒπ‘‘π‘’π‘‘π‘‘+Vβˆ‡π‘ƒ+π‘ƒβˆ‡V=βˆ‡π‘˜βˆ‡π‘‡+π‘‰βˆ‡πœπ‘–π‘—+Ξ¦<br />AdemΓ‘s se sabe que:<br />πœŒπ‘‘π‘’π‘‘π‘‘=πœŒπ‘‘π‘’π‘‘π‘‘+1𝑑𝑉22𝑑𝑑+𝑑𝑔𝑧𝑑𝑑=πœŒπ‘‘π‘’π‘‘π‘‘+𝑉𝑑𝑉𝑑𝑑+𝑑(𝑔𝑧)𝑑𝑑<br />De la ecuaciΓ³n de la cantidad de movimiento:<br />πœŒπ‘”βˆ’βˆ‡π‘ƒ+βˆ‡Ο„π‘–π‘—=πœŒπ‘‘π‘‰π‘‘π‘‘βˆ‡Ο„π‘–π‘—=πœŒπ‘‘π‘‰π‘‘π‘‘+βˆ‡π‘ƒβˆ’πœŒπ‘”<br />Multiplicamos por 𝑉 en ambos miembros:<br />Vβˆ‡Ο„π‘–π‘—=VπœŒπ‘‘π‘‰π‘‘π‘‘+Vβˆ‡π‘ƒβˆ’VπœŒπ‘”<br />Reemplazando:<br />πœŒπ‘‘π‘’π‘‘π‘‘+πœŒπ‘‰π‘‘π‘‰π‘‘π‘‘+𝑑(𝑔𝑧)𝑑𝑑+Vβˆ‡π‘ƒ+π‘ƒβˆ‡V=βˆ‡π‘˜βˆ‡π‘‡+VπœŒπ‘‘π‘‰π‘‘π‘‘+Vβˆ‡π‘ƒβˆ’VπœŒπ‘”+Ξ¦<br />βˆ΄πœŒπ‘‘π‘’π‘‘π‘‘+π‘ƒβˆ‡V=βˆ‡π‘˜βˆ‡π‘‡+Ξ¦ l.q.q.d.<br />Β <br />

Γ—