Ecuacion diferencial de la energa mecanica de fluidos

1. ECUACION DIFERENCIAL DE LA ENERGÍA 𝑄−𝑊𝑒𝑗𝑒−𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐=𝜕𝜕𝑡𝑒𝜌𝑑𝑉𝑐+𝑒+𝑃𝜌𝜌(V.𝑛)𝑑𝐴…….. (1) 𝑊𝑒𝑗𝑒=0, debido a que no hay trabajo sobre el volumen de control por no haber partes móviles dentro de un volumen infinitesimal fijo. El elemento es tan pequeño que la integral de volumen se reduce al término diferencial. 𝜕𝜕𝑡𝑒𝜌𝑑𝑉𝑐=𝜕𝜕𝑡𝜌𝑒𝑑𝑉𝑐 Trabajamos por partes, analizamos el segundo miembro, entonces resulta: 𝜕𝜕𝑡𝜌𝑒𝑑𝑉𝑐+𝜕𝜕𝑥𝜌𝑢𝑒+𝑃𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧+𝜕𝜕𝑦𝜌𝑣𝑒+𝑃𝜌𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧+𝜕𝜕𝑧𝜌𝑤𝑒+𝑃𝜌𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 Donde :𝑑𝑉𝑐=𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧y reemplazamos𝑒+𝑃𝜌=𝜁y acomodamos la ecuación: 𝜕𝜕𝑡𝜌𝑒+𝜕𝜕𝑥𝜌𝑢𝜁+𝜕𝜕𝑦𝜌𝑣𝜁+𝜕𝜕𝑧𝜌𝑤𝜁𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

2. =𝜌𝜕𝑒𝜕𝑡+𝑒𝜕𝜌𝜕𝑡+𝜁𝜕(𝜌𝑢)𝜕𝑥+𝜌𝑢𝜕𝜁𝜕𝑥+𝜁𝜕𝜌𝑣𝜕𝑦+𝜌𝑣𝜕𝜁𝜕𝑦+𝜁𝜕𝜌𝑤𝜕𝑧+𝜌𝑤𝜕𝜁𝜕𝑧= 𝜌𝜕𝑒𝜕𝑡+𝑒𝜕𝜌𝜕𝑡+𝑒+𝑃𝜌𝜕𝜌𝑢𝜕𝑥+𝜕𝜌𝑣𝜕𝑦+𝜕𝜌𝑤𝜕𝑧+𝜌𝑢𝜕𝜕𝑥𝑒+𝑃𝜌+𝜌𝑣𝜕𝜕𝑦𝑒+𝑃𝜌+𝜌𝑤𝜕𝜕𝑧𝑒+𝑃𝜌= 𝜌𝜕𝑒𝜕𝑡+𝑒𝜕𝜌𝜕𝑡+𝑒+𝑃𝜌𝜌𝜕𝑢𝜕𝑥+𝑢𝜕𝜌𝜕𝑥+𝜌𝜕𝑣𝜕𝑦+𝑣𝜕𝜌𝜕𝑦+𝜌𝜕𝑤𝜕𝑧+𝑤𝜕𝜌𝜕𝑧+𝜌𝑢𝜕𝑒𝜕𝑥+𝜌𝑢𝜕𝜕𝑥𝑃𝜌+𝜌𝑣𝜕𝑒𝜕𝑦+𝜌𝑣𝜕𝜕𝑦𝑃𝜌+𝜌𝑤𝜕𝑒𝜕𝑧+𝜌𝑤𝜕𝜕𝑧𝑃𝜌= Agrupamos: 𝜌𝜕𝑒𝜕𝑡+𝑢𝜕𝑒𝜕𝑥+𝑣𝜕𝑒𝜕𝑦+𝑤𝜕𝑒𝜕𝑧+𝑒𝜕𝜌𝜕𝑡+𝑒𝜌𝜕𝑢𝜕𝑥+𝑢𝜕𝜌𝜕𝑥+𝜌𝜕𝑣𝜕𝑦+𝑣𝜕𝜌𝜕𝑦+𝜌𝜕𝑤𝜕𝑧+𝑤𝜕𝜌𝜕𝑧+𝑃𝜌𝜌𝜕𝑢𝜕𝑥+𝑢𝜕𝜌𝜕𝑥+𝜌𝜕𝑣𝜕𝑦+𝑣𝜕𝜌𝜕𝑦+𝜌𝜕𝑤𝜕𝑧+𝑤𝜕𝜌𝜕𝑧+𝜌𝑢𝜕𝜕𝑥𝑃𝜌+𝜌𝑣𝜕𝜕𝑦𝑃𝜌+𝜌𝑤𝜕𝜕𝑧𝑃𝜌= 𝜌𝜕𝑒𝜕𝑡+𝑢𝜕𝑒𝜕𝑥+𝑣𝜕𝑒𝜕𝑦+𝑤𝜕𝑒𝜕𝑧+𝑒𝜕𝜌𝜕𝑡+𝑒𝑢𝜕𝜌𝜕𝑥+𝑒𝑣𝜕𝜌𝜕𝑦+𝑒𝑤𝜕𝜌𝜕𝑧+𝑒𝜌𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑧+𝑃𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑧+𝑃𝜌𝑢𝜕𝜌𝜕𝑥+𝑣𝜕𝜌𝜕𝑦+𝑤𝜕𝜌𝜕𝑧+𝜌𝑢𝜕𝜕𝑥𝑃𝜌+𝜌𝑣𝜕𝜕𝑦𝑃𝜌+𝜌𝑤𝜕𝜕𝑧𝑃𝜌=

3. 𝜌𝜕𝑒𝜕𝑡+𝑢𝜕𝑒𝜕𝑥+𝑣𝜕𝑒𝜕𝑦+𝑤𝜕𝑒𝜕𝑧+𝑒𝜕𝜌𝜕𝑡+𝑢𝜕𝜌𝜕𝑥+𝜌𝜕𝑢𝜕𝑥+𝑣𝜕𝜌𝜕𝑦+𝜌𝜕𝑣𝜕𝑦+𝑤𝜕𝜌𝜕𝑧+𝜌𝜕𝑤𝜕𝑧+𝑃𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑧+𝑃𝜌𝑢𝜕𝜌𝜕𝑥+𝑣𝜕𝜌𝜕𝑦+𝑤𝜕𝜌𝜕𝑧+𝜌𝑢𝜌𝜕𝑃𝜕𝑥−𝑃𝜕𝜌𝜕𝑥𝜌2+𝑣𝜌𝜕𝑃𝜕𝑦−𝑃𝜕𝜌𝜕𝑦𝜌2+𝑤𝜌𝜕𝑃𝜕𝑧−𝑃𝜕𝜌𝜕𝑧𝜌2= 𝜌𝜕𝑒𝜕𝑡+𝑢𝜕𝑒𝜕𝑥+𝑣𝜕𝑒𝜕𝑦+𝑤𝜕𝑒𝜕𝑧+𝑒𝜕𝜌𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢)𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤)𝜕𝑧+𝑃𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑧+𝑃𝜌𝑢𝜕𝜌𝜕𝑥+𝑣𝜕𝜌𝜕𝑦+𝑤𝜕𝜌𝜕𝑧+𝑢𝜕𝑃𝜕𝑥+𝑣𝜕𝑃𝜕𝑦+𝑤𝜕𝑃𝜕𝑧−𝑃𝜌𝑢𝜕𝜌𝜕𝑥+𝑣𝜕𝜌𝜕𝑦+𝑤𝜕𝜌𝜕𝑧= La ecuación: 𝑒𝜕𝜌𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢)𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤)𝜕𝑧=0 debido a que: 𝜕𝜌𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢)𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)𝜕𝑦+𝜕(𝜌𝑤)𝜕𝑧=0que es la ecuación de la continuidad Por el tamaño tan pequeño del elemento entonces el segundo miembro toma la forma: 𝜌𝜕𝑒𝜕𝑡+V∇𝑃+𝑃(∇V) ….. (2) Entonces reemplazamos (2) en la ecuación general : 𝑄−𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐=𝜌𝜕𝑒𝜕𝑡+V∇𝑃+𝑃(∇V)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

4. Ahora para el calor: Hacemos balance de calor en la dirección “x”: 𝑞𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧−𝑞𝑥+𝜕𝑞𝑥𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=−𝜕𝑞𝑥𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧donde:𝑞𝑥=−𝑘𝜕𝑇𝜕𝑥 Análogamente hacemos lo mismo para “y” y “z”: En “y”: −𝜕𝑞𝑦𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧En “z”:−𝜕𝑞𝑧𝜕𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Entonces el calor neto será: 𝑄=−(𝜕𝑞𝑥𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧+𝜕𝑞𝑦𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧+𝜕𝑞𝑧𝜕𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧) 𝑄=∇𝑞𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=∇𝑘∇𝑇 …. (3) donde : 𝑞=𝑞𝑥𝑖+𝑞𝑦𝑗+𝑞𝑧𝑘 dx 𝑞𝑥 𝑞𝑥+𝑑𝑥 dy dz

5. Ahora para el 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐: Haciendo un balance de la energía que producen los esfuerzos viscosos en la dirección “x”: 𝑊𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧−𝑊𝑥+𝜕𝑊𝑥𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=−𝜕𝑊𝑥𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Sabiendo que: 𝑊𝑥=𝑢𝜏𝑥𝑥+𝑣𝜏𝑥𝑦+𝑤𝜏𝑥𝑧−𝜕𝜕𝑥(𝑢𝜏𝑥𝑥+𝑣𝜏𝑥𝑦+𝑤𝜏𝑥𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Análogamente hacemos esto para la dirección “y” y “z”: En “y”: −𝜕𝜕𝑦(𝑢𝜏𝑦𝑥+𝑣𝜏𝑦𝑦+𝑤𝜏𝑦𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 En “z”: −𝜕𝜕𝑧(𝑢𝜏𝑧𝑥+𝑣𝜏𝑧𝑦+𝑤𝜏𝑧𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 dx (𝑊𝑥+𝜕𝑊𝑥𝜕𝑥𝑑𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑊𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 dy dz

6. La potencia neta debido a las fuerzas viscosas queda: 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐=−𝜕𝜕𝑥𝑢𝜏𝑥𝑥+𝑣𝜏𝑥𝑦+𝑤𝜏𝑥𝑧+𝜕𝜕𝑦𝑢𝜏𝑦𝑥+𝑣𝜏𝑦𝑦+𝑤𝜏𝑦𝑧+𝜕𝜕𝑧(𝑢𝜏𝑧𝑥+𝑣𝜏𝑧𝑦+𝑤𝜏𝑧𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐=−∇𝑊 𝑊=𝑢𝜏𝑥𝑥+𝑣𝜏𝑥𝑦+𝑤𝜏𝑥𝑧𝑢𝜏𝑦𝑥+𝑣𝜏𝑦𝑦+𝑤𝜏𝑦𝑧(𝑢𝜏𝑧𝑥+𝑣𝜏𝑧𝑦+𝑤𝜏𝑧𝑧) 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐=−∇𝑢𝜏𝑥𝑥+𝑣𝜏𝑥𝑦+𝑤𝜏𝑥𝑧𝑢𝜏𝑦𝑥+𝑣𝜏𝑦𝑦+𝑤𝜏𝑦𝑧(𝑢𝜏𝑧𝑥+𝑣𝜏𝑧𝑦+𝑤𝜏𝑧𝑧) 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐=−∇(𝑢𝑣𝑤𝜏𝑥𝑥𝜏𝑥𝑦𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑥𝜏𝑦𝑦𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑥𝜏𝑧𝑦𝜏𝑧𝑧) 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐=−∇(𝑉τ𝑖𝑗)….. (4) Juntamos los términos anteriores (4), (3), (2) en (1), entonces la ecuación queda de la sgte. forma: ∇𝑘∇𝑇+∇𝑉τ𝑖𝑗=𝜌𝜕𝑒𝜕𝑡+V∇𝑃+𝑃(∇V)

7. De relaciones anteriores, tenemos: ∇𝑉τ𝑖𝑗=𝜕𝜕𝑥𝑢𝜏𝑥𝑥+𝑣𝜏𝑥𝑦+𝑤𝜏𝑥𝑧+𝜕𝜕𝑦𝑢𝜏𝑦𝑥+𝑣𝜏𝑦𝑦+𝑤𝜏𝑦𝑧+𝜕𝜕𝑧𝑢𝜏𝑧𝑥+𝑣𝜏𝑧𝑦+𝑤𝜏𝑧𝑧= 𝑢𝜕𝜏𝑥𝑥𝜕𝑥+𝜏𝑥𝑥𝜕𝑢𝜕𝑥+𝑣𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑥+𝜏𝑥𝑦𝜕𝑣𝜕𝑥+𝑤𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑥+𝜏𝑥𝑧𝜕𝑤𝜕𝑥+𝑢𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑦+𝜏𝑦𝑥𝜕𝑢𝜕𝑦+𝑣𝜕𝜏𝑦𝑦𝜕𝑦+𝜏𝑦𝑦𝜕𝑣𝜕𝑦+𝑤𝜕𝜏𝑦𝑧𝜕𝑦+𝜏𝑦𝑧𝜕𝑤𝜕𝑦+𝑢𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑧+𝜏𝑧𝑥𝜕𝑢𝜕𝑧+𝑣𝜕𝜏𝑧𝑦𝜕𝑧+𝜏𝑧𝑦𝜕𝑣𝜕𝑧+𝑤𝜕𝜏𝑧𝑧𝜕𝑧+𝜏𝑧𝑧𝜕𝑤𝜕𝑧= Agrupamos: 𝑢𝜕𝜏𝑥𝑥𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑧+𝑣𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑦𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑦𝜕𝑧+𝑤𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑧𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑧𝜕𝑧+𝜏𝑥𝑥𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜏𝑥𝑦𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜏𝑥𝑧𝜕𝑤𝜕𝑥+𝜏𝑦𝑥𝜕𝑢𝜕𝑦+𝜏𝑦𝑦𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜏𝑦𝑧𝜕𝑤𝜕𝑦+𝜏𝑧𝑥𝜕𝑢𝜕𝑧+𝜏𝑧𝑦𝜕𝑣𝜕𝑧+𝜏𝑧𝑧𝜕𝑤𝜕𝑧 Pero: 𝑢𝜕𝜏𝑥𝑥𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑧+𝑣𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑦𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑦𝜕𝑧+𝑤𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑧𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑧𝜕𝑧= 𝑉𝜕𝜏𝑥𝑥𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑧𝑖+𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑦𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑦𝜕𝑧𝑗+𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑧𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑧𝜕𝑧𝑘= 𝑉𝜕𝜏𝑥𝑥𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑥𝜕𝑧𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑦𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑦𝜕𝑧𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑧𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑧𝜕𝑧= …. (5)

8. Entonces obtenemos: 𝑉𝜕𝜕𝑥𝜕𝜕𝑦𝜕𝜕𝑧𝜏𝑥𝑥𝜏𝑦𝑥𝜏𝑧𝑥𝜏𝑥𝑦𝜏𝑦𝑦𝜏𝑧𝑦𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑧=𝑉(∇𝜏𝑖𝑗) …….. (6) Reemplazando (6) en (5) y luego (5) en (4), resulta: ∇𝑉τ𝑖𝑗=𝑉∇𝜏𝑖𝑗+𝜏𝑥𝑥𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜏𝑥𝑦𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜏𝑥𝑧𝜕𝑤𝜕𝑥+𝜏𝑦𝑥𝜕𝑢𝜕𝑦+𝜏𝑦𝑦𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜏𝑦𝑧𝜕𝑤𝜕𝑦+𝜏𝑧𝑥𝜕𝑢𝜕𝑧+𝜏𝑧𝑦𝜕𝑣𝜕𝑧+𝜏𝑧𝑧𝜕𝑤𝜕𝑧 De las ecuaciones de Navier -Stokes: 𝜏𝑥𝑥=𝜇2𝜕𝑢𝜕𝑥−23𝑑𝑖𝑣𝑉+𝜎𝜏𝑥𝑦=𝜇(𝜕𝑢𝜕𝑦+𝜕𝑣𝜕𝑥) 𝜏𝑦𝑦=𝜇2𝜕𝑣𝜕𝑦−23𝑑𝑖𝑣𝑉+𝜎𝜏𝑦𝑧=𝜇(𝜕𝑣𝜕𝑧+𝜕𝑤𝜕𝑦) 𝜏𝑧𝑧=𝜇2𝜕𝑤𝜕𝑧−23𝑑𝑖𝑣𝑉+𝜎𝜏𝑥𝑧=𝜇(𝜕𝑢𝜕𝑧+𝜕𝑤𝜕𝑥)

9. Considerando solo los términos del recuadro: 𝜏𝑥𝑥𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜏𝑥𝑦𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜏𝑥𝑧𝜕𝑤𝜕𝑥+𝜏𝑦𝑥𝜕𝑢𝜕𝑦+𝜏𝑦𝑦𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜏𝑦𝑧𝜕𝑤𝜕𝑦+𝜏𝑧𝑥𝜕𝑢𝜕𝑧+𝜏𝑧𝑦𝜕𝑣𝜕𝑧+𝜏𝑧𝑧𝜕𝑤𝜕𝑧= 𝜇2𝜕𝑢𝜕𝑥−23𝑑𝑖𝑣𝑉+𝜎𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜇𝜕𝑢𝜕𝑦+𝜕𝑣𝜕𝑥𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜇𝜕𝑢𝜕𝑧+𝜕𝑤𝜕𝑥𝜕𝑤𝜕𝑥+𝜇2𝜕𝑣𝜕𝑦−23𝑑𝑖𝑣𝑉+𝜎𝜕𝑣𝜕𝑦+ 𝜇𝜕𝑢𝜕𝑦+𝜕𝑣𝜕𝑥𝜕𝑢𝜕𝑦+𝜇𝜕𝑣𝜕𝑧+𝜕𝑤𝜕𝑦𝜕𝑤𝜕𝑦+𝜇2𝜕𝑤𝜕𝑧−23𝑑𝑖𝑣𝑉+𝜎𝜕𝑤𝜕𝑧+𝜇𝜕𝑢𝜕𝑧+𝜕𝑤𝜕𝑥𝜕𝑢𝜕𝑧+𝜇𝜕𝑣𝜕𝑧+𝜕𝑤𝜕𝑦𝜕𝑣𝜕𝑧= Resolviendo y arreglando: 𝜇2𝜕𝑢𝜕𝑥2+2𝜕𝑣𝜕𝑦2+2𝜕𝑤𝜕𝑧2+𝜇𝜎𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑧−23𝜇𝑑𝑖𝑣𝑉𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑧+𝜇𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑥2+𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑤𝜕𝑥+𝜕𝑤𝜕𝑥2+𝜕𝑢𝜕𝑦2+𝜕𝑣𝜕𝑥𝜕𝑢𝜕𝑦+𝜕𝑣𝜕𝑧𝜕𝑤𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑦2+𝜕𝑢𝜕𝑧2+𝜕𝑤𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑧+𝜕𝑣𝜕𝑧2+𝜕𝑤𝜕𝑦𝜕𝑣𝜕𝑧= 𝜇𝜎𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑧−23𝜇𝑑𝑖𝑣𝑉𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑧+Φ

10. Donde: Φ=μ2𝜕𝑢𝜕𝑥2+2𝜕𝑣𝜕𝑦2+2𝜕𝑤𝜕𝑧2+𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑥2+𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑤𝜕𝑥+𝜕𝑤𝜕𝑥2+𝜕𝑢𝜕𝑦2+𝜕𝑣𝜕𝑥𝜕𝑢𝜕𝑦+𝜕𝑣𝜕𝑧𝜕𝑤𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑦2+𝜕𝑢𝜕𝑧2+𝜕𝑤𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑧+𝜕𝑣𝜕𝑧2+𝜕𝑤𝜕𝑦𝜕𝑣𝜕𝑧 Φ es la función de disipación viscosa Pero bajo condiciones de flujo incompresible, viscoso, newtoniano: 𝜇𝜎𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑧−23𝜇𝑑𝑖𝑣𝑉𝜕𝑢𝜕𝑥+𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑤𝜕𝑧+Φ…… (7) Ahora reemplazando (7) en el recuadro, entonces la ecuación queda: ∇𝑉τ𝑖𝑗=𝑉∇𝜏𝑖𝑗+Φ …. (8)

11. Ahora juntamos las ecuaciones (3, (2) y (7) en la ecuación (1), resulta del sgte. modo: 𝜌𝑑𝑒𝑑𝑡+V∇𝑃+𝑃∇V=∇𝑘∇𝑇+𝑉∇𝜏𝑖𝑗+Φ Además se sabe que: 𝜌𝑑𝑒𝑑𝑡=𝜌𝑑𝑢𝑑𝑡+1𝑑𝑉22𝑑𝑡+𝑑𝑔𝑧𝑑𝑡=𝜌𝑑𝑢𝑑𝑡+𝑉𝑑𝑉𝑑𝑡+𝑑(𝑔𝑧)𝑑𝑡 De la ecuación de la cantidad de movimiento: 𝜌𝑔−∇𝑃+∇τ𝑖𝑗=𝜌𝑑𝑉𝑑𝑡∇τ𝑖𝑗=𝜌𝑑𝑉𝑑𝑡+∇𝑃−𝜌𝑔 Multiplicamos por 𝑉 en ambos miembros: V∇τ𝑖𝑗=V𝜌𝑑𝑉𝑑𝑡+V∇𝑃−V𝜌𝑔 Reemplazando: 𝜌𝑑𝑢𝑑𝑡+𝜌𝑉𝑑𝑉𝑑𝑡+𝑑(𝑔𝑧)𝑑𝑡+V∇𝑃+𝑃∇V=∇𝑘∇𝑇+V𝜌𝑑𝑉𝑑𝑡+V∇𝑃−V𝜌𝑔+Φ ∴𝜌𝑑𝑢𝑑𝑡+𝑃∇V=∇𝑘∇𝑇+Φ l.q.q.d.