Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Definisi. Fungsi f(x) dikatakan
monoton naik pada interval I jika untuk
x1 x2 f x1 f x2 , x1 , x2 I
monoton turun pada int...
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1

x2

(a) monoton turun

x1

x2

(b) monoton naik
Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika :
f '( x) 0 x I
ii. Fungsi f(x) monoton...
f ( x)

1 x3
3

x2

3x

4

f '( x)

x2

2x 3

Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f '( x)

f '( x)
x2

0

x

0
2x

(x 1 x...
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( x) 0

f '( x)
x2

x

I

0
2x 3

( x 1 x 3)
)(

0
0

(-)

(+)

(+)
f’

x

1

x

...
Contoh
Tentukan

f ( x)

selang

kemonotonan

(x 1 2
)
x

J
awab

(x 1 2
)
x2 2x 1
f ( x)
x
x
(2x 2)( x) ( x2 2x 1 )
)(1
f...
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f '( x) 0

f '( x)

x I

0

x2 1
(+)
(-)
(-)
0
2
x
(x 1 x 1
)(
)
0
2
-1
0
x
f(x) mono...
Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah
definisinya.
Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selan...
Max
global

Min
lokal
a

b

c

Min
global

d

Max
lokal
e

Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]

f
• Titik pada daerah definisi dimana
kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi
disebut titik kritis.
• Ada tiga jenis titik kri...
Max
global
Min
lokal
a

b

c

Min
global

d

Max
lokal
e

 Titik x = a dan x = f merupakan ujung selang
 Titik x = b , x...
0
f '( x)
pada selang (c ,c) dan
0
f '( x)
maksimum
maka f(c) merupakan nilai
lokal f.
minimum

J
ika

f '( x)
f '( x)

0
...
Misalkan f '(c)

0 J
ika

f ''(c)
f ''(c)

0
maksimum
maka f(c) merupakan nilai
minimum
0

lokaldari f.

Cont oh
1 x3
x2 3...
1 3
f ( x)
x x2 3x 4
3
1
1
1
f( 1
)
( 1 3 ( 1 2 3( 1 4
)
)
)
( 1 (1 4
) )
1 3 4
3
3
3
1 3
1
2
f (3)
(3) (3) 3(3) 4
(27) 9 ...
Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut.

(-)

(+)

(+)
f’

-1
Pada selang (

3
, 1 , f ' ( x)
)

0

Pada ...
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I
bila f '( x) naik pada interval I.
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke ba...
Tentukan selang kecekungan dari f ( x)
J
awab
f '( x)

3x2 dan f "( x)

6x

f cekung ke atas jika pada f "( x)
f "( x)

0
...
• Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) )
disebut titik belok dari kurva f(x) jika terjadi
perubahan kecekungan di ...
f(c)

f(c)

c

(c,f(c)) titik belok

Karena disebelah kiri c cekung
keatas dan disebelah kanan c
cekung kebawah

c

(c,f(c...
f(c)

c

(c,f(c)) bukan titik belok
Karena disekitar c tidak
Terjadi perubahan kecekungan

c

Walaupun di sekitar c
Terjad...
Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :
a.
b.
c.

f ( x)
f ( x)
f ( x)

2x3 1
4

x

x

1
3

1
a. Dari f ( x) 2x3 1 maka f "( x) 12 x .
Bila f "( x)

0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.
Fungsi f kontinu di ...
b. Dari f ( x) x4 maka f "( x) 12 x2 .
Bila f "( x)

0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok

Fungsi f kontinu di x ...
2

1

c. f ( x) x 3 1 maka f "( x)

5

.

9x 3
Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0.
Fungsi f kont...
1. Jika f ( x) x2 6x 5 , tentukan:
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika ada)
3

2

9x ,tentukan:
2. Jika f ( x) x 6x
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika a...
3

2

2. Jika f ( x) 2x 3x 12x 8 ,tentukan:
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (ji...
Soal Latihan Pilihan Ganda
Bab : Penggunaan Turunan

1. Grafik fungsi f x
a.
b.
c.

0,1

b.
c.

x2 1

monoton turun pada s...
4. Titik stasioner fungsi f x
a. x
b. x
c. x

1 dan x 3

3dan x 1
1
3dan x

1 3
x 2 x 2 3x 4 adalah ….
3
d. x 1dan x 3
e. ...
7. Titik belok fungsi f x
a. (3,4)
b. (1,4 2 )
3
c. (2,4 2 )
3

1 3
x 2 x 2 3x 4 adalah ….
3
d. (0,4)
e. ( 2, 26 )
3

8. T...
x 1
monoton turun pada selang ….
2
x

9. Fungsi f x
a.
b.
c.
d.
e.

(0,2)
(

,0)

(3,
(

(2,

)
,0)

(0,3)

(0,3)

x 1
mon...
Bab 7 penggunaan turunan
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Bab 7 penggunaan turunan

6,179 views

Published on

Published in: Education, Business, Technology
  • Be the first to comment

Bab 7 penggunaan turunan

  1. 1. Definisi. Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk x1 x2 f x1 f x2 , x1 , x2 I monoton turun pada interval I jika untuk x1 x2 f x1 f x2 , x1, x2 I . Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton
  2. 2. f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x1 x2 (a) monoton turun x1 x2 (b) monoton naik
  3. 3. Andaikan f diferensiabel di selang I, maka i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika : f '( x) 0 x I ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika: f '( x) 0 x I Contoh Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik dan turun jika : f ( x) 1 x3 3 x2 3x 4
  4. 4. f ( x) 1 x3 3 x2 3x 4 f '( x) x2 2x 3 Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f '( x) f '( x) x2 0 x 0 2x (x 1 x )( 3 3) 0 (-) (+) 1 x (+) 0 f’ -1 x I 3 f(x) monoton naik pada selang ( , 1 dan (3, ) ) 3
  5. 5. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( x) 0 f '( x) x2 x I 0 2x 3 ( x 1 x 3) )( 0 0 (-) (+) (+) f’ x 1 x 3 -1 f(x) monoton turun pada selang ( 1 ,3) 3
  6. 6. Contoh Tentukan f ( x) selang kemonotonan (x 1 2 ) x J awab (x 1 2 ) x2 2x 1 f ( x) x x (2x 2)( x) ( x2 2x 1 ) )(1 f '( x) x2 2x2 2x x2 2x 1 ) x2 x2 1 x2
  7. 7. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f '( x) 0 f '( x) x I 0 x2 1 (+) (-) (-) 0 2 x (x 1 x 1 )( ) 0 2 -1 0 x f(x) monoton naik pada selang ( , 1 dan (1 ) ) , Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( x) 0 f '( x) (+) f’ 1 x I 0 (+) (-) x2 1 0 2 x (x 1 x 1 )( ) -1 0 0 2 x f(x) monoton naik pada selang ( 1 dan (0,1 ,0) ) (+) (-) f’ 1
  8. 8. Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah definisinya. Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c I. maksimum f(c) disebut nilai global dari f pada I jika minimum f (c) f ( x) x I f (c) f ( x) maksimum f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang minimum f (c) f ( x) buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada selang f (c) f ( x) buka tadi.
  9. 9. Max global Min lokal a b c Min global d Max lokal e Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f] f
  10. 10. • Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis. • Ada tiga jenis titik kritis : a. Titik ujung selang I b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana f '(c) 0) c. Titik singular ( x = c dimana f '(c) tidak ada )
  11. 11. Max global Min lokal a b c Min global d Max lokal e  Titik x = a dan x = f merupakan ujung selang  Titik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasioner  Titik x = e merupakan titik singular f
  12. 12. 0 f '( x) pada selang (c ,c) dan 0 f '( x) maksimum maka f(c) merupakan nilai lokal f. minimum J ika f '( x) f '( x) 0 pada selang (c,c 0 f(c) f(c) c f(c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik (f ’>0) dan disebelah kanan c monoton turun (f’<0) c f(c) nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun (f ’<0) dan disebelah kanan c monoton naik (f’>0) ),
  13. 13. Misalkan f '(c) 0 J ika f ''(c) f ''(c) 0 maksimum maka f(c) merupakan nilai minimum 0 lokaldari f. Cont oh 1 x3 x2 3x Tentukan nilai ekstrim fungsi f ( x) 3 J awab: 1 3 f ( x) x x2 3x 4 f '( x) x2 2x 3 3 Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner f '( x) 0 x2 2x (x 1 x )( x1 3 0 3) 1 dan x2 0 3 4
  14. 14. 1 3 f ( x) x x2 3x 4 3 1 1 1 f( 1 ) ( 1 3 ( 1 2 3( 1 4 ) ) ) ( 1 (1 4 ) ) 1 3 4 3 3 3 1 3 1 2 f (3) (3) (3) 3(3) 4 (27) 9 4 9 9 9 4 5 3 3 5 2 3
  15. 15. Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut. (-) (+) (+) f’ -1 Pada selang ( 3 , 1 , f ' ( x) ) 0 Pada selang ( 1 , f ' ( x) 0 ,3) 2 ) J f ( 1 5 merupakan nilai maksimum lokal adi 3 Pada selang ( 1 , f ' ( x) ,3) 0 Pada selang (3, ) , f ' ( x) 0 J f (3) adi 5 merupakan nilai minimum lokal
  16. 16. Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila f '( x) naik pada interval I. Fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada interval I bila f '( x) turun pada interval I Uji turunan kedua untuk kecekungan 1. J f "( x) 0 , x I maka f(x) cekung ke atas pada I ika 2. J f "( x) 0 , ika x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.
  17. 17. Tentukan selang kecekungan dari f ( x) J awab f '( x) 3x2 dan f "( x) 6x f cekung ke atas jika pada f "( x) f "( x) 0 x3 6x 0, x I 0 x 0 J f cekung ke atas pada selang (0,+∞) adi f cekung ke bawah jika pada f "( x) 0 , f "( x) 0 6x 0 x 0 J f cekung ke bawah pada selang (-∞, 0) adi x I
  18. 18. • Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) jika terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kanan x = b cekung ke bawah atau sebaliknya. • Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku (f’’(b) = 0) atau f(x) tidak diferensiabel dua kali di x = b ( tidak ada ).
  19. 19. f(c) f(c) c (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah c (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas
  20. 20. f(c) c (c,f(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak Terjadi perubahan kecekungan c Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan Kecekungan tapi tidak ada Titik belok karena f tidak terdefinisi di c
  21. 21. Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut : a. b. c. f ( x) f ( x) f ( x) 2x3 1 4 x x 1 3 1
  22. 22. a. Dari f ( x) 2x3 1 maka f "( x) 12 x . Bila f "( x) 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok. Fungsi f kontinu di x = 0. Untuk x < 0 maka f "( x) 0 , sedangkan untuk x > 0 maka f "( x) 0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = -1. J adi titik ( 0,-1 ) merupakan titik belok. ---------- +++++++ 0 f”
  23. 23. b. Dari f ( x) x4 maka f "( x) 12 x2 . Bila f "( x) 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok Fungsi f kontinu di x = 0 Untuk x < 0 dan x > 0 maka f "( x) 0 . Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. J ( 0,0 ) adi bukan merupakan titik belok. +++++++ +++++++ 0 f”
  24. 24. 2 1 c. f ( x) x 3 1 maka f "( x) 5 . 9x 3 Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0. Fungsi f kontinu di x = 0. Untuk x < 0 maka f "( x) 0 , sedangkan untuk x > 0 maka f "( x) 0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = 1. J ( 0,1 ) merupakan titik belok. adi ---------- +++++++ 0 f”
  25. 25. 1. Jika f ( x) x2 6x 5 , tentukan: a. Selang kemonotonan b. Ekstrim Lokal c. Selang kecekungan d. Titik belok (jika ada)
  26. 26. 3 2 9x ,tentukan: 2. Jika f ( x) x 6x a. Selang kemonotonan b. Ekstrim Lokal c. Selang kecekungan d. Titik belok (jika ada)
  27. 27. 3 2 2. Jika f ( x) 2x 3x 12x 8 ,tentukan: a. Selang kemonotonan b. Ekstrim Lokal c. Selang kecekungan d. Titik belok (jika ada)
  28. 28. Soal Latihan Pilihan Ganda Bab : Penggunaan Turunan 1. Grafik fungsi f x a. b. c. 0,1 b. c. x2 1 monoton turun pada selang …. d. 1,0 1, , 1 , 1 , 1 1,0 1, 1,0 , 1 1 ,0 , 1 e. 1, 2. Grafik fungsi f x a. x2 x2 x2 1 naik pada selang …. 1 , d. ( , 1 ] ( 1 ,0) e. 0,1 , 1 1 , 1 ,0 3. Nilai minimum dari fungsi f x a. -4 b. -2 c. 0 d. 1 e. 2 ,3 x3 3x2 2 pada selang 1 adalah ….
  29. 29. 4. Titik stasioner fungsi f x a. x b. x c. x 1 dan x 3 3dan x 1 1 3dan x 1 3 x 2 x 2 3x 4 adalah …. 3 d. x 1dan x 3 e. Tidak ada titik stasioner 1 3 x 2 x 2 3x 4 monoton turun pada selang …. 3 a. 1 x 3 d. x 1 e. x 3 b. x 1 x 3 c. x 3 1 3 6. Fungsi f x x 2 x 2 3x 4 cekung ke atas pada selang …. 3 a. ( ,2) d. (2, ) b. (0,2) e. ( 2,0) c. ( 2, ) 5. Fungsi f x
  30. 30. 7. Titik belok fungsi f x a. (3,4) b. (1,4 2 ) 3 c. (2,4 2 ) 3 1 3 x 2 x 2 3x 4 adalah …. 3 d. (0,4) e. ( 2, 26 ) 3 8. Titik ekstrim maksimum fungsi f x a. b. c. d. e. (3, 2 ) 9 (2, 1 ) 4 (1,0) 3 ( 2, 4 ) ( 1, 2) x 1 adalah …. 2 x
  31. 31. x 1 monoton turun pada selang …. 2 x 9. Fungsi f x a. b. c. d. e. (0,2) ( ,0) (3, ( (2, ) ,0) (0,3) (0,3) x 1 monoton naik pada selang …. x2 10. Fungsi f x a. b. c. d. e. ) (0,2) ( ,0) (3, ( (2, ) ,0) (0,3) (0,3) )

×