Relaciones

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Relaciones

  1. 1. RELACIONES<br />Lic. Clara Grinblat<br />
  2. 2. Producto cartesiano<br />Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) donde x єA e y є B. En símbolos<br />A x B = {(x, y) / x єA y є B }<br />Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {5, 6}<br />A x B consta de los 6 pares de la lista<br /> (1, 5) (2, 5) (3, 5)<br /> (1, 6) (2, 6) (3, 6)<br />
  3. 3. Producto cartesiano<br />Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar ejes perpendiculares; en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intersección que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal. Ejemplo: La representación gráfica de los pares de<br />A  B ={(1, 5), (2, 5),(3, 5),(1, 6),(2, 6),(3, 6) }<br />B 6<br /> 5<br /> 1 2 3 A<br />
  4. 4. Productocartesiano<br />¿ A x B = B x A?<br />No son iguales ... <br />Por ej. si A = {a, b, c}, B = {1, 2} <br />A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) }<br />B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) }<br />Si A y B son finitos el número de elementos de <br />A x B es llamado cardinal de A x B y denotado porA x B<br />A x B= A.B <br />Además A.B =B.A=B x A<br />Entonces A x B= B x A<br />
  5. 5. Producto cartesiano de conjuntos de infinitos elementos<br />A={x R/-2  x  3} y<br />B ={x R/-1  x  2} <br />No podemos enlistar los elementos de AxB pero tenemos en el rectángulo sombreado de azul todos los elementos (puntos) del mismo.<br />
  6. 6. Producto cartesiano<br />A={x R/-2  x  3} y<br />B ={x R/-1  x  2} <br />Los puntos del rectángulo<br />en rosa constituyen el<br /> producto cartesiano <br />BxA<br />
  7. 7. Ejemplo <br />B<br />3<br />2<br />1<br />0<br />A<br />1<br />2<br />3<br />Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Entonces<br />A x B={(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0).(3,1),(3,2),(3,3)}<br />Consideremos el siguiente subconjunto de AxB<br /> R = { (a, b)  A x B / a + b  3} <br />Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesiano<br />0<br />
  8. 8. RELACIONES BINARIAS<br /> Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto de AxB<br /> R ⊆ A × B<br />Notación: Si a∈A y b∈B, para decir que a está relacionado con b por R escribimos:<br /> (a,b)∈R o aRb<br /> Si a no está relacionado con b, entonces (a,b)∉R<br /> Si B=A, se dice que R es una relación binaria definida en A . Escribimos R ⊆ A × A<br />
  9. 9. Ejemplos<br />Sea R definida en N por medio de R={(x,y)/x es el doble de y}<br />Algunos elementos de la relación son:<br />( 2 ,1 ) , (4, 2) , ( 10, 5) , (20,10) , (100,50), etc<br />R={(x,y)/x divide a y} NxN<br />Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18, <br />3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....<br />
  10. 10. DISTINTAS FORMAS DE REPRESENTAR Relaciones: -<br />Matriz Booleana: MR: Hay 1 en la matriz si el par está en la relación y cero si no está. <br />Digrafo: Si aRb, de a parte una flecha hacia b<br />
  11. 11. Relaciones con notación Matricial<br /> Ejemplo:<br /> Sea U = {a, e, i, o, u}, <br /> A = {a, o} y B = { i, u} A x B= {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)}<br /> Son relaciones de A en B:<br />R1= Ø <br />R2 = {(a,i), (a,u)}<br />R3 = {(a, i) }<br />R4 = A x B<br />La matriz del producto cartesiano tiene en todas las filas 1 porque todos los pares ordenados están en la relación.<br /> a R4 i, a R4 u, o R4 i, o R4 u<br />La matriz de R2 tiene 1 en la primera fila porque corresponde al elemento a de A que se relaciona con los dos elementos i, u de B; a R2 i, a R2 u y ceros en la segunda fila porque el elemento o de A no se relaciona con ningún elemento de B en R2<br />
  12. 12. definiciones:<br />Sea R una relación binaria sobre un conjunto A. Diremos que R es:<br />Reflexiva: si x є A se verifica que x R x<br />Simétrica: si x, y є A se verifica que x R y y R x <br />Transitiva: si x, y, z є A se verifica que x R y, y R z  x Rz<br />Antisimétrica: si x, y є A se verifica que x R y, y R x  x = y<br />Otra manera de expresarlo: Si x≠y  [ (x,y) ∉ R v (y,x) ∉ R ]<br />
  13. 13. Ejemplos:<br />1) En N, “x R y ⇔ x divide a y” <br />es reflexiva ya que ∀x∈N, x R x porque x divide a x<br />2) En N, “a R b ⇔ a es el doble de b”. <br />no es reflexiva ya que (1,1)∉R ya que 1 no es el doble de 1<br />3) En Z, “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2”. <br />es simétrica ya que si a R b ⇒  p ∈ Z tal que a – b =2p<br />b – a = 2(-p) con -p ∈ Z ⇒ b R a<br />4) En N, “x R y ⇔ x divide a y”<br />no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) ∉R<br />
  14. 14. Ejemplos:<br />5) En N, “x R y ⇔ x divide a y” es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m ∈N tales que: b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ∈N ⇒ a R c<br />6) En N, “a R b ⇔ a es el doble de b” no es transitiva ya que (4, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)∉R <br />7) En N, “x R y ⇔ x divide a y” es antisimétricaya que si a R b y b R a entonces existen n, m ∈N tales que: b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m ⇒ n.m = 1 ⇒ n=m=1 ⇒ a=b<br />8) En Z, “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2” no es anti simétrica ya que 2R4 y 4R2, pero 2≠4<br />
  15. 15. Resumen<br />Reflexiva: se satisface sii∀x ∈ A x R x<br />no se satisface sii∃x∈A/ (x,x)∉R<br />Simétrica:se satisface sii∀ x, y ∈A xR y ⇒ y R x<br />no se satisface sii∃ x, y ∈A / (x, y) ∈R∧ (y, x) ∉ R<br />Transitiva: se satisface sii ∀x, y, z ∈ A se verifica que x R y, y R z ⇒ x Rz<br /> no se satisface sii∃ x, y, z ∈A:(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ∧ (a,z) ∉ R<br />Antisimétrica: se satisface sii ∀x, y ∈ A se verifica que x R y, y R x ⇒ x = y no se satisface sii∃ x, y ∈A:(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ∧ x ≠y<br />
  16. 16. Análisis de las relaciones según la Matriz MR y su grafo dirigido (digrafo)<br />Sea R una relación binaria sobre un conjunto A. Diremos que R es:<br />Reflexiva:<br /> Si en la diagonal principal de la matriz MRtodos los elementos son 1 (MATRIZ)<br />Todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle).(DIGRAFO)<br />Simétrica: <br />SiiMR = (MR)t : La matriz asociada a la relación coincide con su traspuesta. (MATRIZ)<br />Todo par de elementos que tiene una flecha, la tiene en las dos direcciones (DIGRAFO)<br />Transitiva: Sea MR2 = MRx MR(Producto booleano de matrices); <br />Sii el elemento de la fila i columna j de MR2 es 1 entonces el elemento de MRen la misma posición también es 1 es decir la relación R2 es un subconjunto de R; en particular pueden coincidir. (MATRIZ)<br />La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino de longitud 2 entre dos elementos, también hay un camino de longitud uno entre los mismos. (DIGRAFO)<br />Antisimétrica: <br />Sii hay 1 en la fila i columna j deMR entonces hay 0 en la misma posición de (MR)t yviceversa, salvo en la diagonal principal. (MATRIZ)<br />Sii para cada par de elementos distintos relacionados la flecha está solo en un sentido (DIGRAFO)<br />
  17. 17. Relaciones de orden: Definición y notación<br />Dada una relación binaria R definida sobre A, se dice que R es una relación de orden en A si verifica las propiedades<br />– reflexiva<br />– antisimétrica<br />– transitiva<br />Se dice entonces que A está ordenado por R <br />Notación<br />Utilizaremos el símbolo ≤ para las relaciones de orden<br />a R b a ≤ b<br />Se lee a es anterior a b (menor o igual) o bien b es posterior a a (mayor o igual)<br />Distintas relaciones sobre un mismo conjunto, dan lugar a distintos conjuntos <br />ordenados.<br />a, b ∈ A son comparables si a R b o b R a<br />
  18. 18. Orden total y parcial<br /> (A, ≤) está totalmente ordenado si cualquier par de elementos son comparables, se dice entonces que ≤ es de orden total. <br />En otro caso, se dice que <br />(A, ≤) está parcialmente ordenado y que ≤ es de orden parcial.<br />Por ejemplo:<br />(N, ) es un conjunto totalmente ordenado. <br />Sea U = {1, 2, 3} y en P(U) = {, {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}} se define la relación “A R B sii A  B”.<br />(P(U), R) no es un conjunto totalmente ordenado ya que existen elementos tales como {1} y {2, 3} de P(U) que no son comparables, es decir que no están relacionados . <br />
  19. 19. Ejemplo<br />En N, a ≤ b ⇔ ∃n ∈ N / b=an<br />Es una relación de orden ya que es:<br /> reflexiva: a=a1 ∀a∈N<br />antisimétrica: ∀a,b∈N si a ≤ b y b ≤ a ∃ n,m ∈N / b=any a=bm, entonces b= [bm]n=bm·nluego m·n=1 y como n,m ∈N m=n=1, así a=b<br />transitiva: ∀a,b,c∈N si a ≤ b y b ≤ c ∃ n,m ∈N /b=any c=bm, entonces c= [an]m=an·m luego c=a n·m, si k = n.m, ∃ k∈N /c=ak, es decir, a ≤ c<br />
  20. 20. Elementos notables<br />Dados (A,≤) y C⊂A, C≠∅<br />a∈A es cota superior de C si ∀c∈C, c≤a C está acotado superiormente<br />– La menor de las cotas superiores es el supremo.<br />a∈A es cota inferior de C si ∀c∈C, a≤c – C está acotado inferiormente<br />– La mayor de las cotas inferiores es el ínfimo.<br />El supremo y el ínfimo, si existen, han de ser comparables con el resto de las cotas superiores o inferiores, respectivamente.<br />
  21. 21. Elementos notables (b)<br />Dados (A,≤) y C⊂A, C≠∅<br />a∈C es elemento maximal de C si ∀c∈C, a≤c⇒a=c<br /> m∈C es máximo de C si ∀c∈C, c≤m<br />si existe, es el único elemento maximal de C<br />a∈C es elemento minimal de C si ∀c∈C, c≤a⇒a=c.<br /> m∈C es mínimo de C si ∀c∈C, m≤c<br />si existe, es el único elemento minimal de C<br />
  22. 22. Elementos notables (continuación)<br />Pueden existir uno, varios o ningún elemento maximal y minimal.<br /> El máximo (mínimo), cuando existe, es el único elemento maximal (minimal).<br /> Si en C existe supremo (ínfimo) es único.<br /> Si C tiene máximo (mínimo) coincide con el supremo (ínfimo).<br />
  23. 23. DiagramasdeHasse:<br />Sea (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y finito.<br />A cada elemento del conjunto A se le asocia un punto en el plano (o en el espacio), que llamaremos vértice. <br />Un diagrama de Hasse es el gráfico resultante al unir dos elementos consecutivos mediante un segmento de recta, que llamaremos arista.<br />Ejemplo: Sea A = {a,b,c} y la relación R<br />R = {(a,a), (b,b), (c,c), (b,a), (b,c), (a,c)}<br />Es de orden total. <br />Su diagrama de Hasse es:<br />
  24. 24. Ejemplos<br />1) Sea B = {1, 2}, en P(B )= {, {1}, {2}, {1,2}} se define la relación de inclusión, la cual es de orden parcial <br /> {1}  {1,2} y  {2}  {1,2}<br />Entonces, B es el elemento maximal y  es el elemento minimal, pues no existe otro elemento en P(B ) que esté “por debajo” del minimal, ni “por encima” del maximal<br />El elemento máximo de P(B) es el elemento maximal B, el universo y el elemento mínimo de P(B) es el conjunto vacío.<br />2) En el conjunto C = {, {1}, {2}} se define la relación de inclusión. Observar que  {1} y  {2}.<br /> es el elemento minimal y es el mínimo del conjunto C y tanto {1} como {2} son los elementos maximales. No existe elemento máximo en C<br />
  25. 25. Diagrama de Hasse para la relación inclusión en P(B)<br />
  26. 26. Diagrama de Hasse (continuación)<br />Diagrama de Hasse para <br />A = {2, 3, 4, 6, 8, 12 } con la relación <br /> “(a, b) Rsii a divide a b : a|b”<br />Observamos que no están relacionados:<br />2 con 3<br />4 con 6<br />3 con 4<br />La relación es de orden parcial ya que no todo par de elementos es comparable <br />Retorno<br />
  27. 27. Relaciones de equivalencia <br />
  28. 28. Relacionesde equivalencia<br />Sea A un conjunto no vacío en el conjunto Universal U.<br />Una relación binaria R sobre A, es una relación de equivalenciasi R satisface las tres propiedades:<br /><ul><li> R es reflexiva
  29. 29. R es simétrica
  30. 30. R es transitiva
  31. 31. Una relación de equivalencia identifica los elementos de un conjunto que satisfacen una misma propiedad y los llama elementos equivalentes.</li></li></ul><li>Clases de equivalencia<br />Definición:<br />Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío.<br />Sea a  A, llamaremos “clase de equivalencia de a”y la escribiremos por [a] al conjunto de todos los elementos que están relacionados con a, es decir <br />[a] = { x  A / x R a }<br />Ejemplo:<br />La relación R sobre Z : <br />a R b  a – b es múltiplo de 2.<br />Hay dos clases de equivalencia distintas, la del 0 y la del 1:<br /> [0] = { 0, ±2, ±4, ±4,… } y [1] = { ±1, ±3, ±5,… }<br />
  32. 32. Sea A un conjunto no vacío. Sean <br />Diremos queP es una partición de Ay escribimos si:<br /> y <br />Cada subconjunto Ajes una celda de la partición<br />Particiónde un conjunto<br />Definición:<br />Ejemplos:<br />Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una partición P de A, con 3 celdas, es <br />P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A1={1,3}, A2={4}, A3={2,5}.<br /> En efecto {1,3} {4}=  {1,3}  {2,5}=   {4}  {2,5}=.<br /> Además {1,3}  {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = A<br />
  33. 33. Clase de equivalencia<br />Definición:<br />Sea R una relación de equivalencia en A. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por R. <br />El conjunto cociente es una partición de A<br />En efecto, <br /><ul><li> Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos.
  34. 34. La unión de todas las celdas coincide con el conjunto A.</li></li></ul><li>Clase de equivalencia<br />Demostración:<br />1) Sean x, y  A  [x]= [y]  [x]  [y] = <br /> i) Si x R y  [x]= [y];<br /> sea z  [x]  z R x  x R y  z R y (transitividad)<br /> z  [y], de donde [x]  [y]. <br />Razonando de manera similar se prueba que [y]  [x]. <br /> Por lo tanto, [x] = [y]. <br />ii) Si (x,y)  R entonces [x]  [y] = . <br /> En efecto, si existiera z  [x]  [y] entonces z R x  z R y por lo tanto, x R y, lo cual es un absurdo.<br />
  35. 35. Clase de equivalencia<br />Demostración:<br />2) Veamos que <br />En efecto, si x  A, como R es reflexiva, x R x  x  [x]<br />Por otro lado, sea z tal que<br />
  36. 36. Ejemplos<br />Relaciones de equivalencia<br />La relación R sobre (Z+)x(Z+) definida por: (x,y) R (a,b) <br />x+y = a+b<br />La relación R sobre 2definida por: (x,y) R (a,b) x.y = a.b<br />Se puede demostrar que ambas son relaciones de equivalencia ya que verifican las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. A continuación veremos los conjuntos cocientes de ambas relaciones<br />
  37. 37. Partición de (Z+)x (Z+)<br />Conjunto cociente de (x,y)R(a,b) siix+y=a+b, R definida sobre (Z+)x (Z+); los puntos (resaltados), unidos por trazos pertenecen a la misma clase de equivalencia, esto es: [(4;5)]={(2;7), (1;8), (3;6), (5;4), (6;3), (7;2)} [(2;2)]={(1;3), (3;1)}En el gráfico vemos<br />[(4;5)], [(4;4)], [(4;3)], [(4;2)], [(4;1], [(3;1)], [(1;2)] <br />
  38. 38. Partición de 2<br />(x,y)R(a,b) siix.y=a.b, R definida sobre 2 ; los puntos que están en una misma curva pertenecen a la misma clase de equivalencia, esto es: [(12;2)]={(10;2,4), (2,4;10), (-10;-2,4), (-12;2)……….} puntos en la curva celeste (todos) [(12;1)]={(10;1,2), (1,2;10), (-12;-1), (-4,8;-2,5), (4,8;2,5)……….} ,puntos en la curva rosa (todos)<br />
  39. 39. Ejemplo<br />A={palabras de n bits} w(a) el número de unos que contiene a aRb ⇔w(a) ≡ w(b) (mod 2)<br />R es de equivalencia:<br /> Reflexiva: aRa w(a) ≡ w (a)(mod 2)<br />Simétrica: aRb⇒bRa w(a) ≡ w(b)(mod 2) ⇒ w(b)≡w(a)(mod 2)<br />Transitiva: aRb y bRc⇒aRc w(a)≡w(b)(mod 2) y w(b)≡w(c)(mod 2) ⇒w(a)≡w(c)<br />R define en A una partición formada por dos clases de equivalencia, cada una con 2n-1 elementos<br />Porque de la cantidad 2n la mitad tiene un número par de 1 y la otra mitad un número impar<br />[0]={a∈A / a tiene un número par de unos}<br />[1]={a∈A / a tiene un número impar de unos}<br />Para n=3<br />[0]={000, 011, 101, 110}<br />[1]={001, 010, 100, 111}<br />ejemplo 1<br />ejemplo 1<br />A={palabras de n bits<br />A={palabras de n bits<br />

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