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El principio de Inducción Lic. Clara Grinblat
Partamos de un ejemplo <ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>Denótese por S n =1+2+3+4+...+n  </li></ul><ul><li>Consideremos ...
Continuamos con el ejemplo…. <ul><li>Y podemos seguir escribiendo y verificando por ejemplo </li></ul><ul><li>S(7)=7.8/2=2...
Principio de inducción <ul><li>Principio de inducción : Supóngase que se tiene una proposición P(n) para cada entero posit...
Principio de inducción (Formalizado)
Si el primer dominó cae, y si cae un dominó entonces cae el siguiente, entonces todos los dominós caen.
Utilizando el principio de inducción vamos a probar   que la suma de los n primeros números naturales es n (n+1)/2
Principio de inducción (continuación…) <ul><li>Primero probamos que la propiedad se cumple para 1 ( paso básico ) </li></u...
Principio de inducción (continuación…) <ul><li>Sea k un entero positivo arbitrario. Por hipótesis inductiva: </li></ul><ul...
La inducción también funciona si queremos probar algo para cada entero n ≥ b.  <ul><li>Ejemplo: Use inducción para demostr...
EJERCICIO <ul><li>Demostrar por inducción sobre  n que  </li></ul><ul><li>S(n)=(1+2+3+….+n) 2   = 1 3 +2 3 +…+n 3 </li></u...
EJERCICIO (continuación…)  <ul><li>Por definición de S(k) se tiene que  </li></ul><ul><li>S(k+1)= (1+2+3+….+k+(k+1)) 2   =...
EJERCICIO (continuación…)  <ul><li>=1 3 +2 3 +…+k 3  +(k+1) 2 +(k+1) 2 k= </li></ul><ul><li>=1 3 +2 3 +…+k 3  +(k+1) 2 .(1...
Inducción en desigualdades
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El Principio De Inducción

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El Principio De Inducción

  1. 1. El principio de Inducción Lic. Clara Grinblat
  2. 2. Partamos de un ejemplo <ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>Denótese por S n =1+2+3+4+...+n </li></ul><ul><li>Consideremos que se afirma que: </li></ul><ul><li>S n =n(n+1)/2 para n=1,2,... </li></ul><ul><li>Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a saber </li></ul><ul><li>S 1 =1(2)/2=1 </li></ul><ul><li>S 2 =2(3)/2=3=1+2 </li></ul><ul><li>S 3 =3(4)/2=6=1+2+3 </li></ul>
  3. 3. Continuamos con el ejemplo…. <ul><li>Y podemos seguir escribiendo y verificando por ejemplo </li></ul><ul><li>S(7)=7.8/2=28=1+2+3+4+5+6+7 </li></ul><ul><li>Esto no nos asegura que la forma de calcular la suma sea cierta para todos los números naturales. </li></ul><ul><li>¿ Cuándo una propiedad es cierta para todos los números naturales? </li></ul><ul><li>Sabemos que para todo entero positivo n, </li></ul><ul><li>n! ≤ n n . </li></ul><ul><li>La Inducción Matemática se usa para probar estos resultados: </li></ul>
  4. 4. Principio de inducción <ul><li>Principio de inducción : Supóngase que se tiene una proposición P(n) para cada entero positivo n, consideremos: </li></ul><ul><li>a) Paso básico </li></ul><ul><li>P(1) es verdadera , y </li></ul><ul><li>b) Paso inductivo </li></ul><ul><li>para todo número natural k, si P(k) es </li></ul><ul><li>verdadera entonces P(k + 1) es verdadera. </li></ul><ul><li>Entonces la proposición P(n) es verdadera para todos los enteros positivos </li></ul>
  5. 5. Principio de inducción (Formalizado)
  6. 6. Si el primer dominó cae, y si cae un dominó entonces cae el siguiente, entonces todos los dominós caen.
  7. 7. Utilizando el principio de inducción vamos a probar que la suma de los n primeros números naturales es n (n+1)/2
  8. 8. Principio de inducción (continuación…) <ul><li>Primero probamos que la propiedad se cumple para 1 ( paso básico ) </li></ul><ul><li>Se cumple en este caso pues 1 = 1(1+1)/2 </li></ul><ul><li>Luego probamos el paso inductivo : Si la propiedad se cumple en un </li></ul><ul><li>numero k arbitrario (hipótesis inductiva ) entonces también se </li></ul><ul><li>cumple en k + 1. </li></ul>
  9. 9. Principio de inducción (continuación…) <ul><li>Sea k un entero positivo arbitrario. Por hipótesis inductiva: </li></ul><ul><li>k(k + 1) </li></ul><ul><li>1 + 2 + … + k =------------ </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>Entonces, </li></ul><ul><li>1 + 2 + …. + k + (k + 1) = </li></ul><ul><li>k(k + 1) </li></ul><ul><li>---------- + (k + 1)= </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>k(k + 1) + 2(k+ 1) </li></ul><ul><li>=-------------------------= </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>(k + 1)(k + 2) </li></ul><ul><li>----------------- Entonces se concluye que </li></ul><ul><li>2 </li></ul>
  10. 10. La inducción también funciona si queremos probar algo para cada entero n ≥ b. <ul><li>Ejemplo: Use inducción para demostrar que si a es distinto de 1, (Suma Geométrica). </li></ul><ul><li>1+a 1 +a 2 +...+a n =(a n+1 -1)/(a-1) (1) </li></ul><ul><li>Paso Básico : Se obtiene cuando n=0, </li></ul><ul><li>1=(a 1 -1)/(a-1), lo cual es verdadero. </li></ul><ul><li>Paso Inductivo :Supongamos que la proposición es verdadera para n. Ahora </li></ul><ul><li>1+a 1 +a 2 +...+a n +a n+1 =(a n+1 -1)/(a-1)+a n+1 </li></ul><ul><li>=(a n+1 -1)/(a-1)+(a n+1 (a-1))/(a-1) </li></ul><ul><li>=(a n+2 -1)/(a-1) </li></ul><ul><li>Como el paso básico y el paso inductivo ya han sido verificados, el principio de inducción matemática establece que (1) es verdadera para n=0,1,2,... </li></ul>
  11. 11. EJERCICIO <ul><li>Demostrar por inducción sobre n que </li></ul><ul><li>S(n)=(1+2+3+….+n) 2 = 1 3 +2 3 +…+n 3 </li></ul><ul><li>S(1) es obviamente cierta; veamos que se verifique </li></ul><ul><li>S(k+1)= )=(1+2+3+….+k+(k+1)) 2 = 1 3 +2 3 +…+k 3 + (k+1) 3 </li></ul>
  12. 12. EJERCICIO (continuación…) <ul><li>Por definición de S(k) se tiene que </li></ul><ul><li>S(k+1)= (1+2+3+….+k+(k+1)) 2 =(1+2+3+….+k) 2 +2(1+2+3+….+k)(k+1)+(k+1) 2 = </li></ul><ul><li>=1 3 +2 3 +…+k 3 +2(1+2+3+….+k)(k+1)+(k+1) 2 por hipótesis inductiva </li></ul><ul><li>=1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 2 +2.(K+1)k.(k+1)/2 por resultado suma de los primeros k naturales </li></ul>
  13. 13. EJERCICIO (continuación…) <ul><li>=1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 2 +(k+1) 2 k= </li></ul><ul><li>=1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 2 .(1+k)= </li></ul><ul><li>=1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 </li></ul><ul><li>Con los pasos básicos e Inductivo se ha demostrado el enunciado. </li></ul>
  14. 14. Inducción en desigualdades
  15. 15. Inducción en desigualdades

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