Física 2º bachillerato

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Física 2º bachillerato

  1. 1. http://www.elsolucionario.blogspot.comLIBROS UNIVERISTARIOSY SOLUCIONARIOS DEMUCHOS DE ESTOS LIBROSLOS SOLUCIONARIOSCONTIENEN TODOS LOSEJERCICIOS DEL LIBRORESUELTOS Y EXPLICADOSDE FORMA CLARAVISITANOS PARADESARGALOS GRATIS.
  2. 2. Materia de FÍSICA. Orientaciones y propuestas de trabajoModalidades de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, y de TecnologíaSegundo curso de BachilleratoPROYECTO Y EDICIÓN: guadiel-grupo edebéDIRECCIÓN GENERAL: Antonio Garrido GonzálezDIRECCIÓN EDITORIAL: José Luis Gómez CutillasDIRECCIÓN DE EDICIÓN DE GUADIEL: José Moyano GuzmánDIRECCIÓN DE EDICIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA: José Francisco Vílchez RománDIRECCIÓN PEDAGÓGICA: Javier Brines SociesDIRECCIÓN DE PRODUCCIÓN: Juan López NavarroEQUIPO DE EDICIÓN DE GUADIEL:Edición: Fernando Monsó Ferré y Mario Suárez GarcíaPedagogía: Juan Carlos Ledesma GonzálezIlustración: Zenón Cubillas GonzálezCorrección: Yolanda Rodríguez Ortega y María José Gracia BonaCubierta: Luis Vilardell PanicotCOLABORADORES:Texto: M. Ángeles Jurado Cardelús, M. Jesús Martínez de Murguía Larrechi, Julio Domingo Pérez Tudela,Gloria Sala Cladellas y Lourdes Sindreu GalobardesPreimpresión: Fotoletra SAMaterial curricular para la etapa de Bachillerato, segundo curso, materia de Física,elaborado según el proyecto editorial guadiel, presentado a autorizacióny supervisión de la Consejería de Educación y Ciencia.ES PROPIEDAD DE GUADIEL- GRUPO EDEBÉ© guadiel-grupo edebé, 2003Parque Industrial y de Servicios del Aljarafe (P.I.S.A.)Artesanía, 3-541927 Mairena del Aljarafe (Sevilla)www.edebe.comISBNDepósito Legal.Impreso en EspañaPrinted in SpainEGS - Rosario, 2 - BarcelonaQueda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribu-ción, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización de los titu-lares de la propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitu-tiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y ss. del Código Penal). El Centro Españolde Derechos Reprográficos (www.cedro.org) vela por el respeto de los citados derechos.Edición adaptada a la nueva ordenación curricular del Bachillerato.
  3. 3. Orientaciones didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Unidad 1. Dinámica de traslación y de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Unidad 2. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Unidad 3. Gravitación en el universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Unidad 4. Movimientos vibratorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Unidad 5. Movimiento ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Unidad 6. Fenómenos ondulatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Unidad 7. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Unidad 8. Campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Unidad 9. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Unidad 10. La luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Unidad 11. Óptica geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Unidad 12. Relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Unidad 13. Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Unidad 14. Núcleos y partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Propuestas de pruebas finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Índice general
  4. 4. Orientaciones didácticasEn las páginas siguientes se incluyen unas orientaciones didácticas re-feridas tanto a la estructura del libro del alumno como a la de las uni-dades didácticas.En la Estructura del libro del alumno se presenta y justifica la utilidad di-dáctica de:• La organización en bloques de los contenidos.• Las páginas de presentación de cada bloque.• El índice alfabético.En la Estructura de las unidades se presentan y justifican los diferenteselementos que las componen, mostrando su intencionalidad educa-tiva:• Páginas iniciales.• Desarrollo de los contenidos.• Física y sociedad.• Resumen.• Resolución de ejercicios y problemas.• Ejercicios y problemas.• Comprueba lo que has aprendido.
  5. 5. 7El libro se inicia conuna página de presenta-ción, titulada Cómo es estelibro. En ella se describen laestructura y la metodologíaespecífica de las unidades.Física (2.OBachillerato)se estructura en 14 uni-dades agrupadas en tresgrandes bloques temáticosque siguen el plan generalde la materia establecido.Cada bloque se abre con una doble páginade presentación, que recoge la evoluciónhistórica de los contenidos, algunas reseñassobre hechos e investigaciones que han con-tribuido al desarrollo de la Física, y los científi-cos que han hecho posible dicha evolución.A continuación se desarrollan las unidades y,por último, se presenta un índice alfabético en elcual se referencian los contenidos más importan-tes que se han tratado a lo largo de las unidades.Se han creado unas páginas denominadas Herramientas matemáticas que per-miten al alumno/a repasar una serie de operaciones matemáticas necesariaspara este curso de Física.ESTRUCTURA DEL LIBRO DEL ALUMNOEste libro está estructurado en 14 unidades agrupadasentres bloques temáticos: Mecánica, Electromagnetis-moe Introduccióna la físicamoderna.Cada bloque se iniciacon una doblepágina de presen-taciónque recoge la evolución históricade losconteni-dos, algunas reseñas sobre loshechos e investigacio-nes que han contribuidoal desarrollo de la física, y loscientíficos que han hecho posible dicha evolución.Estructura de las unidades• Páginas iniciales— Imágenes: pretenden ilustrar cómo la físicaestápresente endistintosámbitos dela vida humana,de la industria y de la sociedad.— Objetivos: medianteun breve texto se intenta des-pertar el interéspor loscontenidos que sevana tratar, a continuaciónse formulanlascapacida-des que el alumno/apodrá alcanzar al finalizar launidad.— Esquema: presenta losdistintosapartados y suba-partados de la unidad, es decir, el recorrido de lasdistintassecuencias de aprendizaje.— Preparacióndela unidad: definiciones, ejemplosy/oactividades que permiten recordar, repasar,consultar… contenidos necesarios para abordar launidad.• Desarrollo de los contenidos— Exposiciónde loscontenidos: loscontenidos estánestructurados enapartados y subapartados. Paradesarrollarlos se parte, siempre que es posible, deuna situación real que motive al alumno/apara lle-gar, finalmente, al desarrollo formal del contenido.— Ejemplos: enmuchoscasos, el desarrollo deuncontenido culminacon uno o varios ejemplos, enlosque el alumno/apuede ver cómoéste se aplica.— Ejercicios: al final de cada apartado (a piede pági-na) se proponen ejercicios, organizados de menora mayor dificultad, para que el alumno/aconsolideloscontenidos, tanto conceptualescomoprocedi-mentales, que acaba de adquirir.— Márgenes: sehan reservado para incluir explica-ciones complementarias con el findeayudar alalumno/a a seguir correctamente el proceso deaprendizaje: conceptoso procedimientosaprendi-dos anteriormente, llamadas deatenciónu obser-vaciones adicionales, biografías de científicos, no-tashistóricas…• Física y sociedadPermite al alumno/aconocer lasrelaciones de la cien-ciacon la tecnología y lasimplicaciones de ambas enla sociedad.Tambiéncontribuye a que el alumno/atra-baje loscontenidos referentesa lasenseñanzas trans-versales.• ResumenEste apartado facilita al alumno/ael estudio organiza-do, según la estructura de la unidad, de lasexpresio-nes matemáticas y lasideas clave que han aparecidoa lo largo de la unidad.• Resolución de ejercicios y problemasSeresuelve de formadirigida una serie de ejercicios yproblemas modelo. Después decadaejercicioo pro-blemamodelo, se proponen ejercicios o problemas delmismo tipo y se indicasu soluciónsi ésta es numérica.• Ejercicios y problemas— Piensa y resuelve. Cuestiones y ejercicios básicosque permiten al alumno/arepasar loscontenidos dela unidad. Están ordenados según la secuenciade contenidos de la unidad.— Practica lo aprendido. Listadodeproblemasquesigue la secuenciade loscontenidos de la unidad,cuya finalidad es poner en práctica losconocimien-tosadquiridos, así comoconsolidarlos.— Prepáratea fondo. Problemas demayor dificultadque permiten al alumno/aaplicar losconocimientosadquiridos en la unidad a nuevas situaciones.• Comprueba lo que has aprendidoCuestiones y problemas de autoevaluación que permi-tenal alumno/acomprobar si ha aprendidolosconte-nidos esencialesde la unidad.Nota:Las páginas de herramientasmatemáticas permiten repasaruna seriede operaciones matemáticas necesarias para este cursode Física.Cómo es este libro289—Laimagen producidaporla primera lente,M,se con-vierteen objetoparala segunda lente,N. Sepidela po-siciónde estaimagen final.—La figuramuestra lasdoslentes, la marcha de losrayosluminososy losdatosdelproblemaconsussignosco-rrespondientes.Deellapodemos deducir el valorde ladistanciadelobjetoAЈBЈ respectode la segunda lente.s1Nϭ Ϫ(͉f1M͉ ϩ f2M) ; s1Nϭ Ϫ(20ϩ 20)cmϭ Ϫ40cm—Hallamosla posicióndela imagen finala partirdelaecuacióndela distanciafocaldela segundalenteenfunción de lasdistanciasobjetoe imagen:111111——ϭ ——Ϫ ——; ——ϭ ——ϩ ——f2Ns2Ns1Ns2Nf2Ns1N11s2Nϭ ——————; s2Nϭ —————————ϭ 13,3cm1111——ϩ —————ϩ ————f2Ns1N10 cmϪ40cm33.Unobjetose colocaderechoanteunsistema ópticoformadopordoslentesconvergentes iguales alinea-dasy colocadascadaunaen el focode la otra.Deter-minala marcha de losrayossi se sitúael objetoa unadistanciade la primera lentesuperior a su distanciafo-cale indicalascaracterísticasde la imagen finalresul-tante.34.Doslentesconvergentes, de distanciasfocales 10 cmy 20 cm,estánalineadasa 20 cmunade otra.Si se si-túaun objeto15 cma la izquierdade la primera lente,determina:a) la posición dela imagen final;b) el au-mentototaldelsistema; c) lascaracterísticasdelaimagen finalobtenida.Sol.:a) 6,7cm;b) Ϫ1,3LadistanciafocaldeunalentebiconvexaM esde 20 cm.Sesabequeun objetoA1B1colocado a10cmdela lentesobreel ejeópticoprodujo unaimagen AЈBЈ,virtual y derecha,situada justamen-te sobreel focode la lente.Si colocamosunase-gundalenteN, dedistanciafocal10cm,sobreelfocosituado a la derecha de la primera lente,cal-culala posición de la imagen finalA2B2formada.—Datos: sremotoϭ Ϫ16,7cm;spróximoϭ Ϫ10cma)Parapoderverobjetos lejanos, la lentedebeacercarloshastael puntoremoto delojomiope. Portanto,la ima-genrespectoa la lentede un objetoen el infinitodebeformarsea unadistancias2ϭ Ϫ16,7cm.Calculamosla distanciafocalde la lentea partirde es-tosvalores de lasdistanciasobjetoe imagen:111111——ϭ ——Ϫ ——; ——ϭ —————Ϫ ——f2s2s1f2Ϫ16,7cmϪϱAsí,la distanciafocalde la lentees:f2ϭ Ϫ16,7cmHallamos la potenciacomola inversa de la distanciafo-calimagen:11P ϭ ——ϭ —————ϭ Ϫ6dioptríasf2Ϫ0,167 mNecesita unaslentesdivergentesde Ϫ6dioptrías.b)Conocidala distanciafocal,podemos calcular la posi-cióndelpuntopróximo delojocuando usela lente.Estaposiciónseráaquella cuyaimagen seformesobreelpuntopróximo delojosinla lente,s2ϭ Ϫ10cm:111111——ϭ ——Ϫ ——; ——ϭ ——Ϫ ——f2s2s1s1s2f211s1ϭ ———— ; s1ϭ ———————————ϭ Ϫ25cm1111— Ϫ ————— Ϫ —————s2f2Ϫ10cmϪ16,7cmEl puntopróximo estaráa 25 cmdelojo.35.Unapersona de vistamiopetienesu puntoremoto a15 cm.Determina:a) la clasede lentesquedebeusar;b) su distanciafocal;c) su potencia.Sol.:b) f2ϭ Ϫ15cm;c) P ϭ Ϫ6,7dioptrías36.Unprésbita tienesu puntopróximo a 50cmdelojo.Determina:a) el tipode gafasquenecesita parapoderleera unadistanciade 25 cm;b) su potencia.Sol.:b) P ϭ 2 dioptríasUnojomiopetieneel puntoremoto a 16,7cmy elpuntopróximo a 10 cm.Calcula: a) la potenciadelaslentesquenecesita paraverclaramenteun ob-jetosituado en el infinito; b) la posición de su pun-to próximo cuando useestaslentes.AЈA1A2s1ϭ Ϫ10cms2Mϭ f1Mϭ Ϫ20cms1Ns2Nf2Mϭ 20 cmf2Nϭ 10 cmMNF1MF1NF2MF2NB1B2BЈResolución de ejercicios y problemasABLa física clásica no pudo explicar una serie de fenómenos.La necesidad de interpretarlos dio lugar a la física moderna.Física clásicaFísica modernaVibracionesy ondasInteracciónelectromagnéticaInteraccióngravitatoriaMecánicamodernaDinámicaÓptica4. Movimientosvibratorios5. Movimientoondulatorio6. Fenómenosondulatorios10. La luz11. Ópticageométrica7. Campo eléctrico8. Campo magnético9. Inducciónelectromagnética12. Relatividad13. Cuántica14. Núcleosy partículas2. Campogravitatorio3. Gravitaciónen el universo1. Dinámicade traslacióny de rotaciónMecánicaElectromagnetismoIntroduccióna la física modernaPlan general de la materiadico y físicoinglésT. Young (1773-1829) en1801y del físicofrancésA. J. Fresnel (1788-1827) en1815sobre lasinterferenciasy la difrac-ción mostraron claramente la natura-leza ondulatoria dela luz. Lateoríacorpuscular quedaba en entredicho.El matemáticoy físicoescocés J. C.Maxwell (1831-1879) propuso en1864que la luz esuna forma deondaelectromagnética dealta fre-cuencia.Este hecho fue comprobadoexperimentalmente por el físicoale-mán H. Hertz(1857-1894) en 1887.La teoría de Maxwell, perfectamenteestructurada, parecía ser definitivahastaque en 1905 el físicoA. Eins-tein (1879-1955), para interpretar elefecto fotoeléctrico, acudió de nuevoa la teoría corpuscular: la luz estáconstituidapor corpúsculosde ener-gía, losfotones.Hoy esaceptadoque la luz tieneuna doblenaturaleza cuya manifes-tación en uno u otro sentidodepen-de de losfenómenos analizados. Loque nodeja deser para nuestramente algo paradójico y misterioso.E l desarrollo delas aplicacionesprácticasdel electromagnetis-mo, decuyas ventajas disfrutamos,ha sido espectacular en el siglo XX.El filósofo griegoTales deMileto(640-546 a. C.) fue el primero en es-tudiar el magnetismo y la electrici-dad. Sediceque observó que untrozo de resina fósil, el ámbar, al queentoncessellamaba elektron, eracapaz de atraer objetos ligeros.Pero hubo que esperar mucho tiem-popara que alguien tomara con in-terés científico este fenómeno. El fí-sicoy médico inglésW. Gilbert(1544-1603), contemporáneo deGalileo, publicó unlibro titulado Demagnete, enel que describía elcomportamiento de distintos objetosfrotados e interpretaba el movimien-to de lasagujas imantadas al supo-ner por primera vez que la Tierra esun gigantesco imán.El físicofrancés Ch. duFay (1698-1739) observó lasatracciones y lasrepulsionesque seproducenentrecuerpos frotados según su naturale-za, de donde dedujo la existenciadedos clases deelectricidad, nombredado por Gilbert, a lasque llamó re-sinosa y vítrea.En1729el investigadoringlésS. Gray (1696-1736) observó laconducción dela electricidad, delacual se desconocía su naturaleza, através dealgunassustancias, aun-que notodas permitían el pasodeésta. El físicofrancés J. T. Desagu-liers (1683-1744) propuso losnom-bresdeconductores y aislantespara designar a lassustanciasquepermiten o impiden, respectivamen-te, el paso de la electricidad.El científico norteamericano B. Fran-klin (1706-1790) describió la electri-cidad como un fluidocuyas formas demanifestación son debidas al excesoo al defecto de éste. Así, resultan loscuerpos con carga positivao negati-va, respectivamente, según la no-menclatura propuestapor él mismo.Franklin demostróque las nubestormentosas están cargadas de elec-tricidad, mediante su célebre y peli-groso experimento de lanzar, aprove-chandouna fuerte tormenta, unacometa con una punta metálica co-nectadaa unhilo deseda. Franklincompletó su investigacióncon un in-vento de suma utilidad: el pararrayos.En1785el físico francésCh. deCoulomb (1736-1806) ideóla ba-lanza de torsiónpara medir fuerzaseléctricas demuy pequeña intensi-dad, lo que le permitióenunciar lacélebre leyde Coulomb.El siglo XIX se iniciócon uninven-to espectacular: la pila deVolta.En1800el físicoitalianoA. Volta(1745-1827) generó por primera vezuna corriente eléctricamediante lasreacciones químicas producidas en-tre dos metales, plata y cinc, en con-tactocon una disolución salina.El año 1820 es otra fecha importanteenla historiadela ciencia: el físicodanés H. Ch. Oersted (1777-1851)descubrió la íntima conexión existen-te entre electricidad y magnetismo alhallar que una corriente eléctricaescapaz de producir la desviaciónde laagujaimantada de una brújula. ¡Na-cíael electromagnetismo!El hallazgo atrajo a muchos científi-cos que profundizaron en su natura-leza, como el matemáticoy físicofrancés A. M. Ampère (1775-1836).El físicoy químicoinglésM. Faraday(1791-1867) efectuó un experimentocuya influencia hasido enorme porsus importantes aplicaciones. Enéldescubrióla inducción electromag-nética, basedelos generadoreseléctricos. Faraday probó que al mo-ver un imán en el interior de una bo-bina dealambre segenera enellauna corriente eléctrica. Le debemoslosconceptos de campo y líneas defuerza, que rompieron con la visiónmecánicadel universo deNewton.El físiconorteamericanoJ. Henry(1797-1878) también destacó enelestudiodel electromagnetismo. Des-cubrió la inducción al mismo tiempoque Faraday y fabricó electroimanes,motores eléctricos y otros artificios.Pero la formulación matemáticadelelectromagnetismo correspondióalmejor físicoteóricodel siglo XIX,J. C. Maxwell. Maxwell partió de lasideas deFaraday acercadelas lí-neas de fuerza y profundizó en quelosefectos eléctricos y magnéticosson resultadodeloscampos crea-dos por conductores e imanes. Suextraordinaria habilidad matemáticale permitióformular definitivamentela naturaleza y laspropiedades delelectromagnetismo enlasecuacio-nes que llevan su nombre y que re-presentan un vínculo definitivo entreloscampos eléctricoy magnético.Oersted enviósus observaciones ala revista francesa AnnalesdeChi-mie et de Physique, que laspublicócon esta nota de los editores.Los lectores(...) deben habersedadocuenta deque noapoyamosdemasiado apresuradamente losanuncios dedescubrimientosex-traordinarios (...). Pero en relacióncon el artículo del señor Oersted,losresultados por él obtenidos, porsingularesque parezcan, estánacompañados de demasiados deta-lles paraque se pueda suscitar lamenor sospechade error.169359AAberraciones, 286Aceleración—angular, 32—, componentesintrínsecas dela,27—instantánea y media, 26Amplitud, 98, 123, 133, 154Ángulo,—de Brewster, 261—límite, 255Aproximación paraxial, 271Aumento, 273, 277, 281, 282Autoinducción, 232BBobina o solenoide, 202CCampo, 58—conservativo, 59—eléctrico, 250, 176—gravitatorio, 60, 76—magnético, 250, 198, 212Central eléctrica, 236Condensador, 186Conductor eléctrico, 184Contaminación acústica, 137DDefecto de masa, 348Dieléctrico o aislante, 185Difracción, 147, 260Dioptrio, 271, 272, 275Dispersión de la luz, 256Distancia—focal objeto e imagen, 272—objeto e imagen, 271Dualidad onda-partícula, 249, 328EEcuación—de Schrödinger, 331—del movimiento, 24Ecuación del movimiento, 24Ecuaciones de Maxwell, 239Efecto—Compton, 324—Doppler, 161—fotoeléctrico, 322Electrización, 172Energía—cinética, 59 106, 129, 310—de enlace, 348—mecánica, 59, 84, 107, 129—potencial, 59——elástica, 106, 129——eléctrica, 178——gravitatoria, 62, 80—relativistatotal, 311Espectro—atómico, 325—continuo y discontinuo, 257—de emisión y de absorción, 257—electromagnético, 251Experiencia—de Henry, 226—de Oersted, 197Experienciasde Faraday, 220Experimento—de la doblerendija, 258, 329—de Michelson-Morley, 301FFisión nuclear, 350Flujo—eléctrico, 182—gravitatorio, 66—magnético, 222Focos imagen y objeto, 272Fotón o cuanto deenergía, 249, 321,323Frecuencia, 98, 123—de la pulsación, 154—de resonancia, 111—fundamental o primer armónico, 158Frente deondao superficiedeonda,130, 146Fuerza—centrípeta, 38, 82—electromotriz inducida, 224Fuerzas conservativas, 59Función—de onda, 125, 331—detrabajo o trabajo deextracción,323Fusión nuclear, 351HHipótesis—cuántica de Planck, 321—de DeBroglie, 328IImagen real y virtual, 270Índice de refracción, 149, 254Inducción—electromagnética, 221—magnética, 198—mutua, 234Intensidad—de lasondas, 130—sonora, 135Interferencia, 151, 152, 258LLentes delgadas, 279, 281Ley—de Biot y Savart, 198—de Brewster, 261—de Coulomb, 174—de emisión radiactiva, 345—de Faraday, 224—dela gravitación universal, 54, 56—de Lenz, 223—de Lorentz, 204—de Snell, 149—de Stefan-Boltzmann, 320Leyes,—de Kepler, 55, 86, 87—de la reflexión y refracción, 148, 149—de Newton, 34, 36Líneas de fuerza o de campo, 65, 181,199Longitud—de onda, 123, 328—propia, 305MModelos atómicos, 326, 347Modonormal de vibración, 158Momento—cinético o angular, 43——intrínseco o espín, 334—de inercia, 41—de una fuerza, 40—lineal o cantidad de movimiento, 35Índice alfabético360Movimiento, 24—armónico simple, 97, 98—circular, 32, 38, 39, 96, 103—ondulatorio, 120—parabólico, 30—rectilíneo, 28, 29—vibratorio u oscilatorio, 96——amortiguado, 110NNivel de intensidad sonora, 135Nodos, 153, 157Número—atómico, 347—de ondas, 126—másico, 347Números cuánticos, 333OOnda, 120—incidente, reflejada y refractada,148, 149Ondas—armónicas, 123—dedesplazamiento o depresión,133—electromagnéticas, 120, 249, 250—estacionarias, 154, 158, 159—mecánicas, 120—sonoras, 132, 145—transversalesy longitudinales, 121,123, 124, 248Orbitales, 332, 333Oscilación, 98—amortiguada, 110—forzada, 111Oscilador armónicosimple, 104PPeríodo, 98, 123—de laspulsaciones, 154—de revolución, 82—desemidesintegración o semivida,345Permeabilidad, 200Polarización, 150, 261Polaroide o polarizador, 262Potencia—de una lente, 281—de una onda, 129Potencial—de detención, 323—eléctrico, 179—gravitatorio, 62, 63Principio de,—Huygens, 146—indeterminación deHeisenberg,330—relatividad, 297—superposición, 61, 63, 151, 177,179Pulsación, 98Pulsaciones o batidos, 154Pulso, 121Punto remoto y punto próximo, 283RRadiación,—alfa, beta y gamma, 344—del cuerpo negro, 320Radiactividad, 344Rayo, 144, 252—incidente, reflejado y refractado,148, 149—paralelo, radial y focal, 272Reacción nuclear, 349Reflexión, 148, 254—total, 255Refracción, 148, 149, 254Resonancia, 111—acústica, 159SSerieo familiaradiactiva, 359Series espectrales, 326Sistema—de referencia, 24——del éter, 300——inercial, 296—óptico, 270, 272, 279Sólido rígido, 41Superficiesequipotenciales, 65,181TTeorema—de Ampère, 202—de Gauss, 66, 67, 183—de lasfuerzas vivas o de la energíacinética, 59Teoría—cuántica de Einstein, 323—electromagnética, 238—especial de la relatividad, 302Tiempopropio, 305Timbre, 135Tono, 135Transformaciones—de Galileo, 297—de Lorentz, 303Trayectoria, 24Tren de ondas, 121UUmbral de audición y de dolor, 135VVectores posición y desplazamiento,24Velocidad—angular, 32—de escape, 84—delasondas electromagnéticas,250—de lasondas sonoras, 134—de propagaciónde la luz, 253—depropagacióndeuna onda, 122—instantánea y media, 26—orbital, 82Vientres o antinodos, 153, 157Al igual que Newtontuvo que desarrollar el cálculoinfinitesimal (derivación, integración…) para comple-tarsus leyes de la dinámicay de la gravitación uni-versal, nosotros también precisamos de unas herra-mientasmatemáticas para abordar el estudio delafísica.• Estaspáginas pretenden que recuerdes lasopera-ciones y losconceptosmatemáticos que necesita-rás en este libro.La velocidad, la aceleración, el campo gravitatorio, el campo eléctrico, elcampo magnético… son vectores. Para trabajar con ellos, debes conocerel cálculo vectorial.Y para expresar cómo varían algunas magnitudes a lo largo del tiempo,como la posición, se utilizan el cálculo diferencial y el cálculo integral.HerramientasmatemáticasTrigonometríaCálculo vectorialCálculo diferencialCálculo integralResolución de problemas6ObjetivosEsquema de la unidadHerramientasmatemáticasLa luz, fundamental para la posibili-dad de vida en la Tierra y el medioque nos permiterelacionarnos connuestro entorno, fue, según la Biblia,la primera obra de la Creación: «Há-gase la luzy la luzse hizo».Los filósofosgriegos HeráclitoyEmpédocles y, posteriormente, Pla-tón (427-347a. C.) y Aristóteles(384-322 a.C.) ya formularon sus teo-rías, más filosóficas que científicas,acerca dela naturaleza dela luzydela visión. Para Platón, por ejem-plo, la luzestaba constituidapor unchorro dediminutas partículasy loscolores que percibimos se debían a sudiferenciade tamaño y de velocidad.Los primeroslibros dedicadosa laluzfueron escritos por loscientíficosalejandrinosEuclides, TolomeoyHerón deAlejandría, entreel sigloIII a. C. y el I denuestraera. Elloscreían que losojos emiten rayos vi-suales que se propagan a gran velo-cidad y en línea recta, y que son re-flejados por losobjetos que vemos.Tolomeo, ensu libro Óptica, dedicósu atención a losfenómenos de re-flexión y refraccióny a la deducciónde sus leyes.Merece ser destacado el físicoárabeIbn Al-Haytham(Alhazen) (965-1039) que ejerció enorme influenciahastael siglo XVII. Sostenía que laluzprocede del Sol o de otra fuenteluminosa, se refleja en losobjetos ilu-minados y deellos llegaa nuestrosojos. Describió detalladamente el ór-gano de la vista, estudióla reflexión yla refracción, y experimentó con len-tes y espejos. Tras él, huboque es-perar seis siglospara que se produ-jeran nuevos avances en óptica.El astrónomo alemánJ. Kepler(1571-1630) explicó en 1604 el fenó-meno de la visióny el funcionamien-to del telescopio, inaugurando la lla-mada óptica geométrica, a la quetambiéndedicaron suatención elastrónomo y físicoitalianoGalileoGalilei (1564-1642), el matemáticoholandésW. Snell (1591-1626), elmatemáticofrancésP. deFermat(1601-1665), el físicoy astrónomoholandés Ch. Huygens (1629-1695)y otros. Muchos delosfísicos delaépoca ocuparon su tiempo en la cons-trucciónde instrumentos ópticos.Pero ¿cuál esla naturaleza íntimadela luz?, ¿en qué consiste ésta?Larespuestaa estas preguntas hasupuesto una delas controversiasmás interesantes y duraderas delahistoria de la ciencia.En1704, I. Newton(1642-1727) pu-blicó su obra Óptica. Enella defen-día la naturaleza corpusculardelaluzbasándose en sus propiasexpe-rimentaciones, aunqueparticipó enuna agria controversia con sus coe-táneosel físico inglésR.Hooke(1635-1703) y Ch. Huygens, queprovocó, al parecer, serias dudas enNewton sobre su propia teoría.Enefecto, Ch. Huygens en su Trata-dodela luz había propuesto en1690 que ésta era de naturaleza on-dulatoria. Pero, si la luz fuera unaonda, deberíarodear las esquinasde losobstáculos, como hace el so-nido. ¿Por qué no vemos losobjetossituados detrás de un obstáculo?Hoy día se sabe que la luzrodea losobjetos aunqueesdifícil deob-servar debido a su pequeña longituddeonda. Los experimentos del mé-Quelos rayos procedentes denuestros ojos se mueven con velo-cidadinfinitapuede inferirse de lasiguiente consideración. Cuandodespués de haber cerrado losojoslosabrimos y miramos al cielo nosenecesitaningúnintervalo detiempo paraque losrayos visua-lesalcancen el cielo.Enefecto, ve-mos las estrellas tan pronto comolas miramos, aunquepodemos de-cirque la distancia es infinita.Herón, en Catóptrica168Electromagnetismo
  6. 6. 8Ejemplos. En muchos casos, eldesarrollo de un contenidoculmina en uno o variosejemplos. Éstos son modelos(una media de 10 por uni-dad) que muestran al alum-no/a una aplicación prácticay directa de los contenidos es-tudiados.Ejercicios. Se proponen primerocuestiones y, luego, ejercicios deaplicación y síntesis. En total apa-rece una media de 30 por uni-dad y se encuentran al final decada apartado o subapartado.Márgenes. Se han reserva-do para incluir el esque-ma progresivo de la uni-dad; explicaciones com-plementarias que el alum-no/a necesita para seguircorrectamente el procesode aprendizaje (fíjate) opara recordar contenidos oprocedimientos estudiadosanteriormente (recuerda).Imagen. Ésta pretende ilustrar cómo la Fí-sica está presente en distintos ám-bitos de la vida humana,de la industria y de lasociedad.Objetivos. Mediante unbreve texto se intenta des-pertar el interés por loscontenidos que se van a tra-tar, a continuación se formu-lan las capacidades que elalumno/a podrá alcanzar al fi-nalizar la unidad.Esquema de la unidad. Presenta losdistintos apartados y suba-partados de la unidad,es decir, el recorridode las distintas secuen-cias de aprendizaje.Preparación de la unidad.Definiciones, ejemplos y/oactividades que tienen por fi-nalidad hacer que el alum-no/a recuerde, repase, consul-te, investigue... contenidos quenecesita para abordar la unidad.Desarrollo de la unidad:Exposición de los contenidos. Los contenidos están estructurados en apartados y subapartados. Los apartados y subapar-tados guardan relación entre sí y reproducen la secuencia lógica del aprendizaje.Los contenidos se plantean a partir de hechos, experiencias o conocimientos que los alumnos ya han adquirido, obien, de aquello que les es más cercano y próximo a su entorno, para asentar los conocimientos que adquirirán.Mediante textos expositivos, la descripción de situaciones concretas, demostraciones… y las definiciones, se pre-sentan de forma clara, concisa y estructurada los contenidos que el alumno/a deberá interiorizar para desarrollarlas capacidades previstas.ESTRUCTURA DE LAS UNIDADESPáginas iniciales:52Enla naturaleza existen fuerzas invisibles, comola que man-tiene a la Tierraen su órbita alrededor del Sol, o la que hacecaer al sueloun objeto arrojado desde la ventana. Aunque nopodamos ver el agente que tirade loscuerpos, estasfuerzasestánahí.Isaac Newton descubrió que la fuerzaque hace caer loscuer-pos al sueloes la misma que produce el movimiento delosplanetasalrededor del Sol.Enesta unidad podrás:• Comprender la naturaleza de lasfuerzas gravitatoriasy de-terminar su valor.• Interpretar lasfuerzas a distanciamedianteel concepto decampo y conocer lascaracterísticas del campo gravitatorio.• Conocer la expresióngeneral de la energíapotencial gravi-tatoria y calcular el trabajo que realiza el campo gravitatorioen el desplazamiento de loscuerpos.«Si nofuera por la atracción de la Tierra, unhombre podríalanzar a otro, únicamente con su soplido, a las profundidadesdel espacio, sinposible retorno durante todala eternidad.»Roger Joseph Boscovich(1711-1780)22CampogravitatorioObjetivos822. Movimiento de planetas y satélitesEn el Sistema Solar los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitaselípticas de mayor o menor excentricidad. También siguen órbitas deeste tipo los satélites alrededor de sus correspondientes planetas.2.1. Descripción del movimiento de planetas y satélitesVamos a analizar las características del movimiento orbital de un satéli-te alrededor de la Tierra. Aprenderemos a calcular su velocidad orbital,su período de revolución, su energía mecánica de traslación y su veloci-dad de escape, es decir, la velocidad que debería adquirir para escapardel campo gravitatorio terrestre.Los resultados serán extrapolables a los movimientos de los planetasalrededor del Sol y a los de los satélites alrededor de otros planetas.Velocidad orbitalSupongamos que un satélite demasa m describe una órbita cir-cular de radio r alrededor de laTierra (o de otra gran masa M)con una velocidad lineal v cons-tante en módulo. Puede tratarsede la Luna, por ejemplo, o de unsatélite artificial.La fuerza centrípeta que actúasobre el satélite es igual a lafuerza de atracción gravitatoriaque ejerce la Tierra.GMmv2Fc ϭ man; ——— ϭ m —r2rDe aquí deducimos que la velocidad orbital del satélite es:Se aprecia que la velocidad orbital no depende de la masa del satélite,aunque sí es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio dela órbita. Es decir, cuanto mayor sea el radio, menor será la velocidadnecesaria para describir la órbita.Período de revoluciónEl tiempo que tarda un satélite en describir una órbita completa se de-nomina período de revolución, T, y también período orbital.El período se relaciona con la velocidad orbital mediante las leyes delmovimiento circular uniforme:2 ␲rT ϭ ———vMv ϭ G ——rIntensidaddel campogravitatorioterrestreDescripcióndel movimientode planetasy satélitesLeyesde KeplerEnergíapotencialgravitatoriaterrestreCampogravitatoriode laTierraGravitaciónen el universoMovimientode planetasy satélites¿Por qué la Luna no caesobre la Tierra?La Tierra atrae a la Luna con unafuerza gravitatoria. Sin embargo, apesar de esta fuerza, la Luna no seprecipita sobre la Tierra. ¿En quése emplea la fuerza gravitatoriaque ejerce la Tierra sobre la Luna?Esta fuerza gravitatoria hace quela Luna gire alrededor de la Tierra.Es decir, es la fuerza centrípetaque necesita la Luna para describirun movimiento circular uniforme al-rededor de la Tierra.√MmᠬvᠬFcᠬrSatélite geoestacionario: es el quegira alrededor de la Tierra con unperíodo igual al de rotación de ésta(24 h). Por tanto, permanece siem-pre en la misma posición respectoa la Tierra.Su órbita debe estar situada en elplano del ecuador terrestre, a unos36000 km de altura. Son muy útilescomo satélites de comunicaciones.FíjateT1T2T1 ϭ T253Recuerda• La energía es la magnitud físicapor la que loscuerpos tie-nen capacidadpara realizar transformaciones enellos mis-mos o en otros cuerpos.• La energía cinéticaes la que poseen loscuerpos por el he-cho de estar en movimiento.• Laenergía potencial gravitatoriaesla que poseenloscuerpos por el hecho de estar a ciertaaltura de la superficiede la Tierra.• La energía mecánicade un cuerpo es la sumade su ener-gíacinética y su energíapotencial.• Realizar untrabajo significaejercer una fuerzasobre uncuerpo con desplazamiento de su puntode aplicación.• Una fuerzaesconservativa si el trabajo realizadocontraella se almacena en formade energíapotencial, de maneraque puede recuperarseíntegramente. (Ejemplo: fuerzas gra-vitatorias)Encaso contrario, la fuerza es disipativa. (Ejemplo: fuerzade rozamiento)• Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una cierta fuerza gra-vitatoria por el hecho detener masa. Esta fuerzaes direc-tamente proporcional a la masa de ambos cuerpos e inversa-menteproporcional al cuadrado de la distanciaque lossepara.Actividades• Calcula el vector sumade tres vectores de módu-los5, 10 y 8 que forman con el semiejepositivoOXángulosde 30°, 60° y 150°, respectivamente.• Halla el vector unitario que tiene la misma direcciónque el vector ᠬv ϭ 3 ᠬi ϩ 4 ᠬj y sentido contrario.• Calcula el producto escalar de dos vectores de mó-dulos10 y 20 que forman entre sí un ángulo de 45°.• Determinala energía cinéticadeunautomóvilde 850 kg de masa que circula a una velocidad de80 km/h.• Determinala energíapotencial gravitatoria deuncubo de agua de 10 kg de masa que está en unaventana a 40 m de altura.• Calcula el trabajo que realizamos al arrastrar uncarrito por el sueloa lo largo de 10 m si tiramos deél con una fuerzaconstante de 40 N medianteunacuerda que forma30° con la horizontal.• Unciclista que circula a 24,5 km/h por una carrete-ra plana efectúa un trabajo de 1738 J para aumen-tar su velocidad. Si la masa total del ciclista y la bi-cicleta esde100 kg, halla la velocidad final delciclista. (Supón despreciableel rozamiento.)Ley de la gravitación universalFuerzas gravitatoriasDescripción del campo gravitatorioRepresentación del campo gravitatorioDeterminación del campogravitatorioCampos de fuerzasCampogravitatorioEstudio del campogravitatorioConcepto de campoPreparación de la unidadEsquema de la unidad83Un satélite de telecomunicaciones de 5 000 kg de masadescribe una órbita circular concéntrica con la Tierra a1200 km de su superficie. Calcula:a) La velocidad orbi-tal del satélite.b) Su período de re-volución.(Masa y radio de laTierra: 5,98 и 10 24kg;6370 km)El radio de la órbita es igual al radio de la Tierra más la dis-tancia del satélite a la superficie terrestre:r ϭ RT ϩ h ϭ 6,37 и 106m ϩ 1,2 и 106m ϭ 7,57 и 106ma) Calculamos la velocidad orbital del satélite:MTNиm25,98 и 1024kgv ϭ G —— ϭ 6,67 и 10Ϫ11—— и ——————rkg27,57 и 106mv ϭ 7,3 и 103m/sb) Calculamos el período de revolución:2 ␲r2 ␲ и 7,57 и 106mT ϭ ——— ϭ ———————— ϭ 6,5 и 103svm7,3 и 10 3—sCalcula la velocidad orbital y la altura sobre el ecuador a laque debe situarse un satélite geoestacionario.— Datos: Un satélite geoestacionario debe tener un perío-do de revolución igual al de rotación de la Tierra alrede-dor de su propio eje. T ϭ 24 h ϭ 86400 sAplicamos las ecuaciones de la velocidad orbital y delperíodo de revolución para obtener un sistema de dosecuaciones con dos incógnitas:MTv ϭ G ——r2 ␲rT ϭ ———vAl despejar r de la segunda ecuación y sustituirla en laprimera, obtenemos:Tv2 ␲GMTr ϭ —— ; v ϭ΂—————΃2 ␲T1—3— Calculamos la velocidad orbital:Nиm 22 ␲ и 6,67 и 10Ϫ11———— и 5,98 и 1024kgkg 2v ϭ΂———————————————————΃86400 sv ϭ 3,1 и 10 3m/s— Primero debemos hallar el radio de la órbita para calcu-lar la altura a la superficie de la Tierra, h:m΂86400 s и 3,1 и 10 3—΃T vsr ϭ ——— ϭ ———————————— ϭ 4,26 и 107m2 ␲2 ␲— Finalmente, despejamos h de la expresión r ϭ RT ϩ h ysustituimos los datos:h ϭ r Ϫ RTh ϭ 4,26 и 107m Ϫ 6,37 и 106mh ϭ 3,62 и 107m1—311. ¿Qué cuesta más, situar en órbita un satélite pesado o uno ligero? Jus-tifica tu respuesta.12. ¿Podemos situar satélites geoestacionarios a diferentes alturas sobre lasuperficie terrestre, o por el contrario, esta altura es fija e invariable? Jus-tifica tu respuesta.13. Calcula la velocidad orbital y el período de revolución de un satélite quedescribe órbitas de 8500 km de radio alrededor de la Tierra.Sol.: 6,85 и 103m/s; 7,8 и 103s14. Un objeto lanzado desde una nave espacial queda en órbita circular al-rededor de la Tierra con una velocidad de 2,52 и 104km/h. Calcula: a) elradio de la órbita; b) el período de revolución.Sol.: a) 8,14 и 106m; b) 7,3 и 103s√√√m ϭ 5000 kgh ϭ 1,2 и 106mRT ϭ 6,37 и 106mMT ϭ 5,98 и 1024kgEjemplo 6Ejemplo 7EjerciciosLos satélites describen órbitas elíp-ticas alrededor de la Tierra. En mu-chos casos, estas órbitas tienenuna excentricidad muy pequeña ypueden considerarse circularespara simplificar los cálculos.Dos puntos característicos de unaórbita elíptica son:Apogeo: punto más alejado de laTierra de la órbita de un satélite.Perigeo: punto más cercano a laTierra de la órbita de un satélite.FíjateUna primera página que consta de dos elementos:Imágenes y Objetivos.Una segunda página que consta de dos elementos: Es-quema de la unidad y Preparación de la unidad.
  7. 7. 9Física y sociedad. Permiteal alumno/a conocerlas relaciones de la cien-cia con la tecnología, ylas implicaciones de am-bas en la sociedad.También contribuye a queel alumno/a trabaje los con-tenidos referentes a las ense-ñanzas transversales.Resumen. Este aparta-do facilita al alumno/ael estudio organizado,según la estructura dela unidad, de las expre-siones matemáticas y lasideas clave que han apa-recido a lo largo de launidad.Resolución de ejercicios y problemas. Incluye una serie deejercicios y problemas modelo (aproximadamente 3por unidad) que responden a los contenidos de launidad y están resueltos de forma dirigida.Después de cada ejercicio o problema mode-lo, se proponen ejercicios y problemas (unamedia de 8 por unidad) que se resuelvensegún el esquema dado y se indica su so-lución si ésta es numérica.188A continuación te ofrecemos un resumen de las analogías y diferencias entre el campo eléctrico y el campo gravitatorio, asícomo las fórmulas de ambos campos. Este resumen tiene la finalidad de permitirte repasar las propiedades del campo eléc-trico estudiadas en esta unidad y compararlas con las del campo gravitatorio vistas en la unidad 2.Analogías entre el campo gravitatorio y el campo eléctrico— El campo gravitatorio creado por una masa puntual y el campo eléctrico creado por una carga puntual son campos centra-les. Sus líneas de campo son abiertas y tienen simetría radial.— Son campos conservativos, por lo que tienen una energía potencial y un potencial asociados. El trabajo realizado contra elcampo se almacena en forma de energía potencial, de modo que puede recuperarse íntegramente.— La intensidad del campo es directamente proporcional a la masa o a la carga que lo crea, e inversamente proporcio-nal al cuadrado de la distancia entre esta masa o carga y el punto donde calculamos el campo.Diferencias entre el campo eléctrico y el campo gravitatorioCampo eléctricoCampo gravitatorio— Las fuerzas eléctricas pueden ser atractivas (entre cargasde signos opuestos) o repulsivas (entre cargas del mismosigno).Las líneas de campo siempre se originan en las cargaspositivas y terminan en las cargas negativas.— La constante K varía de un medio a otro. Es decir, el cam-po eléctrico depende del medio en el que actúa.En el vacío: K ϭ 9 и 109Nиm2иCϪ2— Las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas.Las líneas de campo siempre señalan a la masa que locrea.— La constante G es universal. Es decir, el campo gravitato-rio no depende del medio en el que actúa.G ϭ 6,67 и 10Ϫ11Nиm2иkgϪ2El valor de K es mucho mayor que el de G (si ambas constantes se expresan en unidades SI). Este hecho implica que, a nivelatómico y molecular, la interacción eléctrica es mucho más intensa que la gravitatoria. En cambio, la gran intensidad de las fuer-zas eléctricas hace que exista un fuerte equilibrio de cargas positivas y negativas en los cuerpos y que, a grandes distancias,las fuerzas gravitatorias entre los cuerpos predominen sobre las fuerzas eléctricas.Campo eléctricoFuerzaQqᠬF ϭ K ——— ᠬur 2Intensidad de campoQᠬE ϭ K —— ᠬur 2Energía potencialQqEp ϭ K ———rRelación entre energía potencial y potencialEp ϭ qVRelación entre intensidad de campo y potencialVA Ϫ VB ϭ∫BAᠬE и d ᠬrVA Ϫ VB ϭ∫BAᠬg и d ᠬrEp ϭ mVMmEp ϭ ϪG ———rMᠬE ϭ ϪG —— ᠬur 2MmᠬF ϭ Ϫ G ——— ᠬur 2Campo gravitatorioPotencialQV ϭ K ——rMV ϭ ϪG ——rRelación entre fuerza y energía potencialEpA Ϫ EpB ϭ∫BAᠬF и d ᠬrRelación entre fuerza e intensidad de campoᠬF ϭ q ᠬEᠬF ϭ m ᠬgResumen68La gravedad nos mantiene ligados a la superficie de la Tierray nos impide abandonarla, pero el ser humano siempre ha so-ñado con superaresta ligaduray volar. El ingenio humano ha conseguido que laspersonas emulen a lospájaros e, incluso,lossuperen en velocidad y alcance.Reflexionaa)Enlostextosse citancuatro vehículos aéreos. Re-dacta, para cada uno de ellos, un informeque recoja:— Quiénfuesu inventor.— Algunos modelosrepresentativos según la época.— Sus principalesusos industrialeso sociales.b)Organizaduncoloquiosobre la importancia delosmedios de transporteaéreo en la sociedad.El aviónUnaviónse eleva gracias a la secciónaerodinámicade sus alas. La formadeéstashace que el aire pase con mayorrapidez por supartesuperior que porla inferior. Deesta manera, disminuye lapresiónsobre el alay el aparatoas-ciende.El globo aerostáticoEl funcionamiento del globo se basa en el princi-piode que el aire calientetiende a subir. Cuandose calientael aire, sus moléculas se mueven másrápidamente y se separan; enconsecuencia, elaire se hace más ligero y sube.Los globos disponen de un quemador con el quese calientael aire de su interior para ganar altu-ra. Algunos globos utilizan helio, un gas más lige-ro que el aire y que, por tanto, tiende a subir.El helicópteroEnlugar de alas fijas, loshelicópteros usan un juego de palasgira-torias. Éstasse diseñan para crear una depresiónen la partesu-perior, con lo cual el helicóptero se impulsahaciaarriba.Comolosrotores giran muy rápidamente en un sentido, se produ-ce una reacción que hace girar al aparato en sentido opuesto. Paracontrarrestar esta reacción, secoloca otro pequeño rotorenlacola. El coheteEl funcionamiento del cohete se basa enel principio deacción y reacción. Los cohetesqueman el combustible ensu interior y expulsan losgases al exterior. La fuerzadereacción es la que propulsa al cohete.Los cohetesson losúnicos vehículos capaces de alcanzarla enormevelocidad requerida para escapar de la atraccióngravitatoria de la Tierra, unos 40000 km/h. Esto lo consi-guen realizando varias fases de impulsión, en cada una delascuales se desprenden de parte de su estructura.Un desafío a la gravedadFísica y sociedad189a) Calculamos el campo eléctrico creado por cada una delas cargas en el centro del rombo:Q1Nиm2 1,4 и 10Ϫ4 CNᠬE1 ϭ K —ᠬu1 ϭ 9 и 109 ——— и —————— (Ϫᠬj ) ϭ Ϫ7,9 и 106 ᠬj —r 12C2(0,4 m)2CQ2Nиm2 2,3 и 10Ϫ4 CNᠬE2 ϭ K —ᠬu2 ϭ 9 и 109 ——— и ——————ᠬj ϭ 1,29 и 107 ᠬj —r 22C2(0,4 m)2CQ3Nиm2 Ϫ8 и 10Ϫ5 CNᠬE3 ϭ K —ᠬu3 ϭ 9 и 109 ——— и ——————ᠬi ϭ Ϫ1,15 и 107 ᠬi —r 32C2 (0,25 m)2CQ4Nиm2 Ϫ6 и 10Ϫ5 CNᠬE4 ϭ K —ᠬu4 ϭ 9 и 109 ——— и —————— (Ϫᠬi ) ϭ 8,6 и 106 ᠬi —r 42C2 (0,25 m)2CEl campo eléctrico resultante es la suma vectorial de loscampos debidos a cada una de las cargas:ᠬE ϭᠬE1ϩᠬE2ϩᠬE3ϩᠬE4ϭ (Ϫ2,9 и 106 ᠬi ϩ 5,0 и 106 ᠬj ) N/CSu módulo es:E ϭ(Ϫ2,9 и 106 N/C)2 ϩ (5,0 и 106 N/C)2 ϭϭ 5,8 и 106 N/Cb) Hallamos la fuerza que actúa sobre la carga de 25 ␮C:NF ϭ qE ϭ 2,5 и 10Ϫ5 C и 5,8 и 106 — ϭ 145 NCc) Calculamos el potencial eléctrico creado por cada unade las cargas en el centro del rombo:Q1Nиm2 1,4 и 10Ϫ4 CV1 ϭ K — ϭ 9 и 109 ——— и ——————ϭ 3,15 и 106 Vr1C20,4 mQ2Nиm2 2,3 и 10Ϫ4 CV2 ϭ K — ϭ 9 и 109 ——— и ——————ϭ 5,17 и 106 Vr2C20,4 mQ3Nиm2 Ϫ8 и 10Ϫ5 CV3 ϭ K — ϭ 9 и 109 ——— и ——————ϭ Ϫ2,88 и 106 Vr3C20,25 mQ4Nиm2 Ϫ6 и 10Ϫ5 CV4 ϭ K — ϭ 9 и 109 ——— и ——————ϭ Ϫ2,16 и 106 Vr4C20,25 mEl potencial eléctrico resultante es la suma algebraicade los potenciales de cada una de las cargas:V ϭ V1ϩ V2ϩ V3ϩ V4ϭ 3,28 и 106 Vd) Hallamos la energía potencial que adquiere la carga de25 ␮C:Ep ϭ qV ϭ 2,5 и 10Ϫ5 C и 3,28 и 106 V ϭ 82 JLas cargas eléctricas Q1ϭ ϩ140␮C y Q2ϭ ϩ230␮C están situadas en los extremos de la diagonalmayor de un rombo y las cargas Q3ϭ Ϫ80 ␮C yQ4ϭ Ϫ60 ␮C están situadas en los extremos de ladiagonal menor. Si la diagonal mayor del rombomide 80 cm y la diagonal menor 50 cm, calcula:a)El campo eléctrico en el centro del rombo.b)La fuerza que actúa sobre una carga de ϩ25 ␮Cal situarse en este punto.c) El potencial eléctrico en dicho punto.d)La energía potencial eléctrica que adquiere unacarga de ϩ25 ␮C al situarse en dicho punto.31. En tres vértices de un cuadrado de 40 cm de lado sehan situado cargas eléctricas de ϩ125 ␮C. Calcula: a)el campo eléctrico en el cuarto vértice; b) el trabajo ne-cesario para llevar una carga de Ϫ10 ␮C desdeelcuarto vértice hasta el centro del cuadrado. Interpretael resultado. Sol.: a) 1,34 и 107 N/C; b) 44 J32. Dos cargas puntuales de ϩ4 ␮C y Ϫ5 ␮C están situa-das en los puntos (0, 1) m y (1, 0) m. Calcula: a) lafuerza que actúa sobre una carga de ϩ1 ␮C situadaen el punto (0, 0) m; b) el trabajo necesario para tras-ladar dicha carga de ϩ1 ␮C desdela posición queocupa hasta el punto (1, 1) m. Interpreta el resultado.Sol.: a) 5,7 и 10Ϫ2 N; b) 0 J++––√YXQ1ϭ ϩ1,4 · 10Ϫ4 CQ2ϭ ϩ2,3 · 10Ϫ4 CQ4ϭϪ6·10Ϫ5CQ3ϭϪ8·10Ϫ5CDϭ0,8md ϭ 0,5 mᠬu2ᠬu4ᠬu1ᠬu3ᠬE2ᠬE4ᠬE1ᠬE3Resolución de ejercicios y problemasA190— Datos:␭ ϭ Ϫ1,5 и 10Ϫ4CиmϪ1r ϭ 0,25 mr0 ϭ 0,20 mEscogemos como superficie gaussiana un cilindro de radior y altura h cuyo eje coincide con el hilo.Por simetría, el campo eléctrico es perpendicular al hilo ydepende sólo de la distancia a éste.En las dos bases del cilindro, el campo eléctrico es perpen-dicular al vector superficie, ᠬE ⊥ d ᠬS, y, por tanto, el flujo eléc-trico es cero.Sobre la superficie lateral del cilindro, el campo eléctrico esparalelo al vector superficie y tiene módulo constante. Portanto, el flujo eléctrico es:⌽ ϭ∫SᠬE и d ᠬS ϭ∫SE dS ϭ E S ϭ E 2 ␲ r hAplicamos el teorema de Gauss teniendo en cuenta que lacarga eléctrica en el interior del cilindro es Q ϭ ␭ h.Q␭ h␭⌽ ϭ ——; E 2 ␲ r h ϭ ——; E ϭ ————␧0␧02 ␲ ␧0 rEl campo eléctrico creado por un hilode longitud infinitacargado uniformemente es inversamente proporcional a ladistancia al hilo.Calculamos el potencial gravitatorio a partir del campo:␭VA Ϫ VB ϭ∫BAᠬE и d ᠬr ϭ∫BA———— ᠬu и d ᠬr ϭ2 ␲ ␧0 r␭dr␭ϭ ———∫BA—— ϭ ——— (ln rB Ϫ ln rA )2 ␲␧0r2 ␲␧0␭rAVA Ϫ VB ϭ Ϫ ——— ln ——2 ␲␧0rBEl potencial disminuye de forma ilimitada al aumentar r. Portanto, no podemos escoger el origen de potencial parar ϭ ϱ. En este caso elegimos como origen de potencial elcorrespondiente a una distancia arbitraria r ϭ r0, con lo queobtenemos:␭rV ϭ Ϫ ——— ln ——2 ␲ ␧0r0— Sustituimos los datos del enunciado para hallar el cam-po y el potencial eléctricos:␭Ϫ1,5 и 10Ϫ4CиmϪ1E ϭ ————ϭ —————————————————2 ␲ ␧0 r2 ␲ и 8,854 и 10Ϫ12C2иNϪ1иmϪ2и 0,25 mE ϭ Ϫ1,08 и 107N/CEl signo negativo indica que el campo eléctrico está di-rigido hacia el hilo:␭rV ϭ Ϫ ——— ln —2 ␲␧0 r0Ϫ1,5 и 10Ϫ4CиmϪ10,25 mV ϭ Ϫ ——————————————— ln ————ϭ2 ␲ и 8,854 и 10Ϫ12C2иNϪ1иmϪ20,20 mϭ 6,0 и 105VAplicael teorema de Gausspara determinar elcampo y el potencial eléctricos creados por un hilode longitud infinita cargado uniformemente conuna densidad lineal de carga ␭.— Utiliza el resultado para hallar el campo y el po-tencial eléctricos creados por un hilo muy largocon una carga de Ϫ150 ␮C por metro de longi-tud a una distancia de 25 cm. Escoge como ori-gen de potencial los puntos situados a 20 cmdel hilo.33. Utiliza el resultado del ejemplo anterior para determi-nar el campo y el potencial eléctricos creados por unhilo muy largo cargado con ϩ30 ␮C por metro de lon-gitud a una distancia de 3 m. Escoge el origen de po-tencial a 1 m del hilo.— Representa esquemáticamente el vector intensi-dad del campo eléctrico sobre una circunferenciade 3 m de radio centrada en el hilo.Sol.: 1,8 и 105N/C; Ϫ5,9 и 105V34. Aplica el teorema de Gauss para determinar el campoeléctrico en el interior y en el exterior de un cilindrohueco de longitud infinita y radio R cargado uniforme-mente con una densidad superficial de carga ␴.— Utiliza el resultado para hallar el campo eléctricocreado por una corteza cilíndrica muy larga de20 cm de radio cargada con ϩ5 и 10Ϫ6C por metrocuadrado a una distancia de 30 cm del eje.␴ RSol.: E ϭ ———; 3,8 и 105N/C(␧0 r)rhᠬEᠬEᠬEᠬEdᠬSdᠬSdᠬSdᠬSᠬEᠬEᠬuᠬuBPáginas finales:Al finalizar la unidad se presentan cinco apartados: Física y sociedad, Resumen, Resolución de ejercicios y problemas, Ejer-cicios y problemas, y Comprueba lo que has aprendido.Ejercicios y problemas. Una propuesta deunos 25 por unidad agrupados en tresapartados:• Piensa y resuelve. Cuestiones y ejerciciosbásicos. Están ordenados según la se-cuencia de contenidos de la unidad.• Practica lo aprendido. Listado de problemasque sigue la secuencia de los contenidos dela unidad, cuya finalidad es poner en prácti-ca los conocimientos adquiridos, así comoconsolidarlos.• Prepárate o fondo. Problemas de mayor dificul-tad.Comprueba loque has aprendi-do. Cuestiones yproblemas de au-toevaluación enfo-cados a repasar loesencial de la uni-dad.192Piensa y resuelve38. Explica las propiedades principales de la cargaeléctrica.39. Una carga positiva penetra en un campo eléctricouniforme. Describe su movimiento si:a) La velocidad inicial tiene la dirección y el senti-do del campo.b) La velocidad inicial tiene sentidoopuesto alcampo.c) La velocidad inicial forma un cierto ángulo conel campo.40. El potencial eléctrico es constante en cierta regióndel espacio. ¿Cómo es el campo eléctrico en esaregión?41. Dibuja las líneas de campo y las superficies equi-potenciales para una carga puntual positiva.42. Explica cómo se distribuye la carga eléctrica en unconductor. ¿Cómo podemos proteger un aparatosensible de un campo eléctrico?43. Explica qué es la capacidad de un condensador.— ¿Cómo afecta el dieléctrico interpuesto entrelas armaduras a un condensador plano?Practica lo aprendido44. Dos cargas eléctricas puntuales de ϩ4,0 и 10Ϫ9 Cy ϩ2,0 и 10Ϫ9 C están separadas 6 cm en el vacío.Calcula la fuerza eléctrica que se ejercen mutua-mente.Sol.: 2 и 10Ϫ5 N45. Dos cargas eléctricas, Q1ϭ ϩ5 ␮C y Q2ϭ Ϫ4 ␮C,están separadas 30 cm. Colocamos una terceracarga Q3ϭ ϩ2 ␮C sobre el segmento que une Q1y Q2y a 10 cm de Q1. Calcula la fuerza eléctricaque actúa sobre Q3.Sol.: 10,8 N46. Dos cargas eléctricas puntuales de ϩ1 и 10Ϫ5 C yϪ1 и 10Ϫ5 C están separadas 10 cm en el vacío.Calcula el campo y el potencial eléctricos:a) En el punto medio del segmento que une am-bas cargas.b) En un punto equidistante 10 cm de ambas car-gas.Sol.: a) 7,2 и 107 N/C, 0 V; b) 9 и 106 N/C, 0 V47. Dos cargas eléctricas puntuales de ϩ4 и 10Ϫ8 C yϪ3 и 10Ϫ8 C están separadas 10 cm en el aire. Cal-cula: a) el potencial eléctrico en el punto medio delsegmento que las une; b) el potencial eléctrico enun punto situado a 8 cm de la primera carga y a6 cm de la segunda; c) la energía potencial eléctri-ca que adquiere una carga de ϩ5 и 10Ϫ9 C al si-tuarse en estos puntos.Sol.: a) 1800 V; b) 0 V; c) 9 и 10Ϫ6 J, 0 J48. Calcula el trabajo necesario para trasladar unacarga de ϩ1 C: a) de un punto de potencial Ϫ25 Va un punto de potencial ϩ25 V; b) entre dos puntosde una superficie equipotencial.Sol.: a) Ϫ50 J; b) 0 J49. Calcula el campo y el potencial eléctricos a unadistancia de 50 cm del centro de una esfera de30 cm de radio que tiene una carga de ϩ4,3 и 10Ϫ6C distribuida uniformemente por todo su volumen.Sol.: 1,55 и 105 N/C; 7,74 и 104 V50. Se ha comprobado que el campo eléctrico terres-tre es perpendicular a la superficie de la Tierra, sedirige hacia ésta y tiene módulo 110 N/C. Cal-cula la densidad superficial de carga de la Tie-rra y su carga eléctrica total. (Radio de la Tierra:RTϭ 6370 km)Sol.: Ϫ9,7 и 10Ϫ10 C/m2; Ϫ4,96 и 105 C51. Entre las placas de un condensador plano existeuna separación de 1 mmy una diferencia de po-tencial de 1000 V. Si el dieléctrico es polietileno(␧r ϭ 2,3), calcula la carga inducida por metro cua-drado en la superficie del dieléctrico.Sol.: 2,0 и 10Ϫ5 CиmϪ252. Un condensador de 0,5 ␮F se carga a 100 V y otrocondensador de 1 ␮F se carga a 200 V. Despuésse conectan los dos condensadores en paralelouniendo entre sí las dos placas positivas. Calcula:a) la capacidad final del sistema; b) las energíasinicial y final del sistema.Sol.: a) 1,5 и 10Ϫ6 F; b) 2,25 и 10Ϫ2 J, 2,10 и 10Ϫ2 JPrepárate a fondo53. Cuatro cargas iguales de ϩ3 и 10Ϫ4 C están situa-das en el vacío en los vértices de un cuadrado de1 m de lado. Calcula: a) el campo eléctrico en elcentro del cuadrado; b) el módulo de la fuerzaeléctrica que experimenta una de las cargas debi-do a la presencia de las otras tres.Sol.: a) 0 N/C; b) 1,55 и 103 NEjercicios y problemas1931. Explica el significado de la frase: la carga eléctricaestá cuantizada.2. Dos cargas eléctricas idénticas de Ϫ3,5 ␮C estánsituadas en los puntos (1, 0) m y (1, Ϫ4) m. Deter-mina en qué punto (o puntos) del plano se anula elcampo eléctrico.— ¿Es también nulo el potencial eléctrico en esepunto (o puntos)? En caso contrario, determinasu valor.Sol.: (1, Ϫ2) m; Ϫ3,15 и 104V3. Al trasladar una carga q de un punto A al infinito serealiza un trabajo de 1,25 J. Si se traslada del pun-to B al infinito, se realiza un trabajo de 4,5 J.a) Calcula el trabajo realizado al desplazar la car-ga del punto A al B. ¿Qué propiedad del cam-po eléctrico has utilizado?b) Si q ϭ Ϫ5 ␮C, calcula el potencial eléctrico enlos puntos A y B.Sol.: a) Ϫ3,25 J; b) Ϫ2,5 и 105V, Ϫ9 и 105V4. ¿Pueden cortarse dos superficies equipotencialesde un campo eléctrico? Justifica tu respuesta.5. Entre dos placasplanas existe una diferencia depotencial de 15 V. Si la intensidad del campo eléc-trico entre las placas es de 30 N/C, calcula:a) La separación entre las placas.b) La aceleración que experimenta una partículade 5 g de masa y cargaeléctrica igual aϩ2,5 и 10Ϫ9C situada entre las placas.c) La variación de la energía potencial de la par-tícula al pasar de la placa negativa a la positiva.Sol.: a) 0,5 m; b) 1,5 и 10Ϫ5m/s2; c) 3,7 и 10Ϫ8J6. Calcula la ca-pacidad equi-valente a laasociación decondensado-res de la figura.Sol.: 20,4 ␮F54. Dos esferas de 25 g de masa cargadas con idénti-ca carga eléctrica cuelgan de los extremos de doshilos inextensibles y sin masa de 80 cm de longi-tud. Si los hilos están suspendidos del mismo pun-to y forman un ángulo de 45° con la vertical, calcu-la: a) la carga de cada esfera; b) la tensión de loshilos.Sol.: a) 5,9 и 10Ϫ6C; b) 0,35 N55. Una esfera metálica huecay sin carga eléctrica,de radio R, tiene una carga puntual Q en su centro.Utiliza la ley de Gauss para determinar el campoeléctrico en el interior y en el exterior de la esfera.— Determina la intensidad del campo eléctricoen un punto situado a 10 cm de una cargapuntual Q ϭ 3 и 10Ϫ6C si el radio de la esferaes R ϭ 5 cm.Sol.: 2,7 и 106N/C56. Calculalac a p a c i d a dequivalentea la siguienteasociaciónde conden-sadores.Sol.: 22,5 ␮F57. Construye un elec-troscopio a partirde las indicacionessiguientes y utilí-zalo para efectuarla experiencia des-crita.— Atraviesa un ta-pón de corchoconuna varillametálica.— Haz una bolita de 0,5 cm de diámetro, aproxi-madamente, con papel de aluminio. Une la bolaa un extremo de la varilla metálica y pega en elotro extremo dos láminas de papel de aluminio.— Coloca el tapón en un frasco de vidrio. Ya tie-nes un electroscopio.— Frota confuerza un objetode plástico conunpaño de lana. Acerca el objetoa la bolita delelectroscopio. Anota e interpreta qué sucede.Toca la bolita con el objeto de plástico. Anota einterpreta qué sucede.— Frota con fuerza un objeto de vidrio con un pa-ñuelo de seda. Acerca el objetoa la bolita delelectroscopio. Anota e interpreta qué sucede.30 ␮F25 ␮F60 ␮F20 ␮F30 ␮F75 ␮F75 ␮FEsferametálicaVarillametálicaLaminillas14 ␮F21 ␮F12 ␮FComprueba lo que has aprendidoNota: En conjunto, cada unidad recoge una media de 13 modelos de ejercicios y problemas, ypropone unos 70 para resolver. En todos los casos se indica la solución si ésta es numérica.
  8. 8. SolucionarioEste solucionario permite al profesor/a la corrección de losejercicios y problemas propuestos en el libro del alumno.Es recomendable que los alumnos y alumnas lo utilicen comométodo de autoevaluación de los ejercicios y problemas que seplantean a lo largo del libro.Para favorecer la autoevaluación, el profesor/a puede fotoco-piar las páginas correspondientes del solucionario y proporcio-narlas a los alumnos y alumnas.
  9. 9. PREPARACIÓN DE LA UNIDAD (pág. 23)• Las magnitudes vectoriales se diferencian de las escalarespor tener una dirección y un sentido. Una magnitud esca-lar queda totalmente determinada si sabemos su valor nu-mérico y las unidades, mientras que una magnitud vecto-rial, además de valor numérico y unidades, tiene unadirección y un sentido característicos, que la diferenciande otra magnitud vectorial con las mismas unidades y valornumérico pero con distinta dirección y/o sentido.Magnitudes escalares: temperatura, energía, potencia,masa, volumen.Magnitudes vectoriales: fuerza, campo eléctrico, campomagnético, peso, velocidad.• a) b) c)d) e)• Los sólidos rígidos pueden tener dos tipos de movimientos:de traslación y de rotación alrededor de un eje.En un movimiento de traslación todas las partículas del só-lido efectúan el mismo desplazamiento.En un movimiento de rotación todas las partículas del sóli-do describen trayectorias circulares alrededor de un eje,excepto las situadas sobre el propio eje, que permaneceninmóviles.•• Datos: R = 40 cm = 0,4 m; = 2 t + 0,5 t2(SI)a) La velocidad angular corresponde a la derivada del án-gulo respecto al tiempo:(SI)La aceleración angular corresponde a la derivada de lavelocidad angular respecto al tiempo:b) La velocidad lineal se obtiene al multiplicar la veloci-dad angular por el radio:(SI)De la misma manera, obtenemos la aceleración tangen-cial como el producto del radio por la aceleración an-gular:c) La aceleración normal será:(SI)Para t = 5 s, cada una de las componentes de la acelera-ción será:La aceleración total será la suma vectorial:Su módulo es:at1. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO(págs. 25, 27, 29, 31 y 33)1.= ( ) + ( ) =0 4 19 6 19 622222, / , / , /m s m s m sa at n= + =2 2r r ra u u SIt n= +0 4 19 6, , ( )r r ra a at n= +a m sn = ⋅ + ⋅ + =0 4 5 1 6 5 1 6 19 62 2, , , , /a m st = 0 4 2, /a R t t tn = = +( ) ⋅ = + +ω2 2 22 0 4 0 4 1 6 1 6, , , ,a Rradsmmst = ⋅ = ⋅ =α 1 0 4 0 42 2, ,v R t t= ⋅ = +( )⋅ = +ω 2 0 4 0 8 0 4, , ,αω= =ddtrads1 2ωφ= = +ddtt2φd(t + 8t - 3)dt3t3 22= + 16td(3t – 4t +1)dt6t – 42=d(2t )dt6t32=d(3t )dt6t2=d(5t)dt= 5131. Dinámica de traslacióny de rotaciónFt1 = (7it+ 4jt)NFt1Ft2Ft2 = (–6it+ 2jt)NjtRt= (it+ 6jt)NitSistema de referencia en una dimensión–8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8r = 6 X
  10. 10. 2. Datos: = (4t + 2) + (t2– 2t) (SI)a) Obtendremos los vectores de posición sustituyendoel valor correspondiente del tiempo t en la expresiónde (t):= (4 ·1 + 2) + (12–2 ·1) = (6 – ) m= (4 ·3 + 2) + (32–2 ·3)= (14 + 3 ) mb) Para encontrar el vector desplazamiento entre losdos instantes restamos los vectores de posición co-rrespondientes:El módulo del vector desplazamiento será:c) Para encontrar la ecuación de la trayectoria, escribi-mos primero las ecuaciones paramétricas del movi-miento:Despejando t en la primera ecuación e introducien-do su expresión en la segunda ecuación paramétrica,obtendremos la ecuación de la trayectoria:La trayectoria es una parábola.3. Datos: = (t – 3) + 8t , en unidades SIa) Obtenemos la ecuación de la trayectoria a partir delas ecuaciones paramétricas del movimiento:t = x + 3y = 8 (x + 3) = 8x + 24b) Determinamos los vectores de posición en los instan-tes t = 2 s y t = 5 s sustituyendo estos valores del tiem-po en la expresión de := (2 – 3) + 8 · 2 = (– + 16 ) m= (5 – 3) + 8 · 5 = (2 + 40 ) mc) Calculamos el vector desplazamiento entre los dosinstantes restando los vectores de posición corres-pondientes:d) La distancia recorrida por el móvil coincidirá con elmódulo del vector desplazamiento porque se trata deuna trayectoria rectilínea.4. La celeridad es el módulo del vector velocidad. A dife-rencia de la velocidad, que es un vector, la celeridad esun escalar. Por lo tanto, la celeridad carece de direccióny sentido.5. El vector velocidad no se puede descomponer en unacomponente tangencial y otra componente normalcomo la aceleración. El eje tangencial está sobre la rectatangente a la trayectoria, mientras que el eje normal sedefine como el eje perpendicular a la trayectoria en cadapunto. La velocidad es siempre tangente a la trayectoria,de forma que su componente normal será siempre nula.En cambio, la componente tangencial coincide con elmódulo del vector velocidad.∆ ∆s = r (3 m) (24 m) 24,2 m2 2r= + =∆∆r r r r rr r r r r r rr r – r r(5 s) – r(2 s)r (2 i + 40 j)m – (– i +16 j)m =(3 i + 24 j)m0= ==rjrirjrirr s( )5rjrirjrirr s( )2rr t( )x ty==– 38trjrirr t( )yx x=+( – )212 2016yx x=−––242242tx=– 24xy= += −4 2tt 2t2∆rr = (8 m) +(4 m ) = 8,9 m2 2∆∆r r r r rr r r r r r rr r – r r(3 s) r(1s)r (14 i + j)m – (6 i – j)m =(8 i + 4 j)m0= = −= 3rjrirr s( )3rjrirr s( )3rjrirjrirr s( )1rrrjrirr t( )14Sistema de referenciaen dos dimensionesSistema de referenciaen tres dimensionesLa trayectoria esuna rectaY (m)X (m)705030–40 –20 20 4010rt= –2it+ 2jtrt= it+ 4jt+ 4ktktjtjtitit2–2–22XXYYZ11422 4
  11. 11. 6. Datos: en unidades SIa) Obtendremos la velocidad media calculando el co-ciente entre el vector desplazamiento y el intervalode tiempo. Encontraremos el vector desplazamientoentre los dos instantes restando los vectores de posi-ción correspondientes:Aplicando la definición de velocidad media:(SI)b) Obtenemos la velocidad instantánea derivando elvector de posición:(SI)c) Hallamos la aceleración media calculando el cocien-te entre la diferencia de los vectores velocidad, en losdos instantes, y el intervalo de tiempo. Los vectores velo-cidad en los instantes t = 3 s y t = 0 s se obtienen sustitu-yendo el tiempo t correspondiente en la expresión de lavelocidad instantánea obtenida en el apartado anterior:Aplicando la definición de aceleración media:d) La aceleración instantánea se obtiene derivando elvector velocidad instantánea:(SI)e) Hallamos la velocidad y la aceleración en el instantet = 1 s sustituyendo este valor del tiempo en las expre-siones de la velocidad y la aceleración instantáneas:7. Datos: en unidades SIa) La aceleración instantánea se obtiene derivando elvector velocidad instantánea:El vector aceleración instantánea no depende del tiem-po, es constante. Por tanto, en el instante t = 2 s la ace-leración será la misma que en cualquier otro instante:Su módulo también será constante:b) La componente tangencial de la aceleración es la de-rivada del módulo de la velocidad. El módulo de lavelocidad en un instante t será:y su derivada:La aceleración tangencial no depende del tiempo eneste caso. Por tanto, en t = 2 s su valor será m/s2.Además, coincide con el módulo de la aceleración to-tal, de donde se deduce que la componente normales nula.Otra forma de ver que la componente normal es ceroconsiste en obtener la ecuación de la posición inte-grando la ecuación de la velocidad:Entonces se puede obtener la ecuación de la trayec-toria:La trayectoria es una recta. Por lo tanto, la acelera-ción normal será cero.8. Datos: (SI); ;r rr0 4= i mr rv0 0 5= , i m/sr ra = 3t iy – y =x – x300t x – x20= ( )23;x – x ty – y t0202==3212r r r r r rr rt− = +∫00(3t i +t j)dt =32t i12t j2 2dtrv( )tr rr (t) r0= + ∫tt010rra (t)d v(t)dt= = 10 2msrv(t) t) t t2 2= + =(3 10r ra(2 s) a m/s ) (1m/s ) m/s2 2 2 2 2= = + =(3 10r r ra(2 s) i j m/s2= +( )3rr r ra(t)dv(t)dt3 i js2= = +( )mr r rv(t) 3t i t j,= +r r r r rr r r r rv(1s)= 6 1 i + 2 1 j = (6 i + 2 j) m/sa(1s)=12 1 i + 2 j =(12 i + 2 j) m/s22⋅ ⋅⋅rr r ra (t)dv (t)dtt i j= = +( )12 2rrrr r r ravtv(3 s) – v(0 s)3 s – 0 si jm = = = +∆∆( )18 2 2msr r rr r r r rv(0 s)= 6 0 i + 2 0 j = m/sv(3 s)= 6 3 i + 2 3 j =(54 i + 6 j)m/s22⋅ ⋅⋅ ⋅0rr r rvd r (t)dt6 t2( ) ( )t i t j= = + 2rrrr r r rvrtr(3 s) – r(0 s)3 s – 0 si jm = = = +∆∆( )18 3r r rr r r r rr r r r rr r r r rr(0 s)= 2 0 i + 0 j =r(3 s)= 2 3 i + 3 j =(54 i + 9 j)mr = r – r = r (3 s) – r (0 s)r =(54 i + 9 j)m – 0 m =(54 i + 9 j)m3 23 20⋅⋅0 m∆∆r r rr(t) 2t i t j,2= +315Eje normalanatEje tangencialatvt
  12. 12. La ecuación de la velocidad se obtiene integrando laecuación de la aceleración. En este caso, sólo hay unacomponente:(SI)La ecuación de la posición se obtiene integrando laecuación de la velocidad anterior:(SI)Las ecuaciones de la velocidad y de la posición en fun-ción del tiempo son:(SI)(SI)9. Datos: a = 3 m/s2; t1 = 25 s; t2 – t1 = 1 min = 60 s;x0 = 0 m; v0 = 0 m/s; t0 = 0 sPrimera etapa: MRUA. Calculamos la posición y la velo-cidad al final de esta etapa:x1 = x0 + v0 (t1 – t0) + a (t1 – t0)2x1 = 3 (25 s)2= 937,5 mv1 = v0 + a (t1 – t0) = 3 · 25 s = 75 m/sSegunda etapa: MRU. Calculamos la posición final de lamoto, que coincide con la distancia total recorrida, yaque la posición inicial era x0 = 0:x2 = x1 + v1 (t2 – t1) = 937,5 m + 75 · (60 s)x2 = 5 437,5 mLa distancia total recorrida es de 5 437,5 m.10. Datos:Las ecuaciones del movimiento de la bola son:y = y0 + v0 (t – t0) – g (t – t0)2y = 200 m – 9,8 t2v = v0 – g (t – t0); v = – 9,8 ta) La bola llegará al suelo cuando la altura y sea cero.Encontraremos el tiempo de vuelo de la bola im-poniendo esta condición en su ecuación de la po-sición:0 = 200 m – 9,8 t2La solución positiva de esta ecuación da un tiempode t = 6,4 s.b) La velocidad con la que llega la bola al suelo se obtie-ne sustituyendo el tiempo de vuelo que acabamos deencontrar en la ecuación de la velocidad:v(6,4 s) = – 9,8 m·s–2· 6,4 s = – 62,7 m/sLa bola llega al suelo con una velocidad de 62,7 m/s.El signo negativo indica que la bola se mueve haciaabajo.c) A los dos segundos de dejar caer la bola, su velocidadviene dada por la misma ecuación con t = 2 s:v(2 s) = – 9,8 m·s–2· 2 s = – 19,6 m/sLa bola se mueve con una velocidad de 19,6 m/s diri-gida hacia abajo.11. Datos:Tomamos x = 0 e y = 0 en el punto de partida de la bar-ca. Teniendo en cuenta que:las ecuaciones de movimiento de la barca serán:x = x0 + vx (t – t0) = vx t = 2 tms36kmh36kmh1h3 600 s1000 m1km10= ⋅ ⋅ =msms212ms2ms21212Xm s–1⋅m s–2⋅ms21212r rr(t)12t12t 4 i3= + +r rv(t)32t12i2= +r rr = 4 +12t +12t i3( )tr r r rr r v (t)dt i12i dt( )t ttt= + = + +∫∫0200432r r r rv t tt( ) ,= + +∫0 5 33220i t i dt =12ir r rv t v a t dttt( ) ( )= + ∫0016Y (m)200g0ytotal = 100 mOvyvy = 36 = 10mskmhvx = 2msvx XYjtitrt= x it+ y jtvt= vx it+ vy jt
  13. 13. y = y0 + vy (t – t0) = vy t = 10 ta) La barca habrá cruzado el río cuando llegue a la otraorilla. En esa posición, y = ytotal = 100 m. Hallamos eltiempo empleado en cruzar el río imponiendo estacondición en la ecuación de y:y = vy t;b) La componente y del desplazamiento es la anchuradel río, y = 100 m. Calculamos la componente x:x = vx t = 2 m·s–1· 10 s = 20 mPor tanto, la distancia recorrida será:c) Para determinar la ecuación de la trayectoria, despe-jamos el tiempo de la coordenada x y lo sustituimosen la ecuación de la coordenada y:;12. Datos: y0 = 200 m; v0 = 50 m/s; α = 45oCalculamos las componentes de la velocidad inicial:v0x = v0 cos α = 50 cos 45o= 35,4v0y = v0 sen α = 50 sen 45o= 35,4Las ecuaciones del movimiento del proyectil, escritas porcomponentes, serán:x = x0 + v0x (t) = 35,4 t; y = y0 + v0y (t) – g (t)2x = 200 m + 35,4 t – 9,8 t2vx = v0x = 35,4 m·s–1vy = v0y – g (t); vy = 35,4 – 9,8 ta) El proyectil alcanza la altura máxima en el puntodonde vy = 0. Buscamos el instante en que esto se pro-duce:vy = v0y – g tLa altura en este instante es:y = y0 + v0y t – g t2y = 200 m + 35,4 · 3,6 s – 9,8 ·(3,6 s)2y = 263,8 mb) La velocidad en este punto sólo tiene componentehorizontal, vx, porque vy = 0. Entonces:v = vx = 35,4 m/sc) Para hallar el alcance necesitamos determinar el ins-tante en que el proyectil llega al suelo. Lo obtenemosimponiendo y = 0:0 = y0 + v0y t – g t20 = 200 m + 35,4 t – 9,8 t24,9 t2– 35,4 t – 200 = 0La solución positiva de esta ecuación de segundo gra-do es t = 10,9 s.Sustituyendo este tiempo en la ecuación de la coor-denada x, hallamos el alcance:x = v0x t = 35,4 m·s–1· 10,9 s = 387,2 m13. Datos: R = 30 cm = 0,3 m; ω = 10 rpm ;t = 2 min = 120 sa) Expresamos la velocidad angular de 10 rpm en rad/s:b) Los puntos de la periferia se encuentran a una dis-tancia del centro igual al radio de la rueda. Su veloci-dad lineal será:v = ω R = π · 0,3 m = 0,1 π = 0,31Los puntos situados a 10 cm del eje giran con un ra-dio R = 10 cm = 0,1 m. Por tanto:v = ω R = π · 0,1 m = 0,03 π = 0,10c) Calculamos el ángulo descrito en 2 min:ϕ = ω t = π · 120 s = 40 π radPasamos este ángulo de radianes a revoluciones (ovueltas):40 π rad = 20 vueltasd) La componente tangencial de la aceleración es nula,ya que se trata de un MCU.La aceleración normal de los puntos de la periferiaes:an = ω2R = · 0,3 m = 0,33ms2π32rads1 vuelta2 radπrads13msmsrads13msmsrads1310 rpm 10revmin2 rad1 rev1min60 srad= ⋅ ⋅ =π π3 sms212ms12ms212ms12tv vg35,4 m/s 0 m/s9,8 m/s0y y2=−=−= 3 6, smsmsms212ms12msmsmsmsmsy 10x25x= =tx=2x 2ty 10 t==r x y (20 m) 100 m) 102,0 m2 2 2 2= + = + =(tyv100 m10 m/s10 sy= = =ms17
  14. 14. 14. Datos: R = 25 cm = 0,25 m; ωo = 0,5 rev/s; t = 40 sa) Expresamos la velocidad angular inicial en rad/s:ω0 = 0,5 = 0,5 = πb) Calculamos la aceleración angular a partir de la ecua-ción de la velocidad angular y sabiendo que será ceroen t = 40 s:ω = ω0 + α t ; 0 π rad/s + α · 40 sUtilizamos la ecuación del movimiento para determi-nar el ángulo girado en 40 s:ϕ = ϕ0 + ωo (t – t0) + α (t – t0)2ϕ = π · 40 s – · · (40 s)2= 20 π radPasamos este ángulo de radianes a revoluciones (ovueltas):20 π rad = 10 vueltasc) Cuando la rueda comienza a frenar, la velocidad an-gular es la inicial, ω0. La componente normal de laaceleración para un punto de la periferia será:an = ω02R = (π )2· 0,25 m = 2,5La aceleración tangencial será:at = α R = – · 0,25 m = – 0,022. CAUSAS DEL MOVIMIENTO (págs. 35, 37 y 39)15. Si dejamos caer una piedra desde cierta altura, la Tierraejerce sobre ella una fuerza: la fuerza de la gravedad.Como esta fuerza no se ve compensada, la fuerza resultan-te sobre la piedra no es nula. Como resultado, y tal comoindica la segunda ley de Newton, la piedra adquiere unaaceleración proporcional a la fuerza que actúa sobre ella.16. Datos:Para que se mueva con velocidad constante, es necesarioque la fuerza resultante sea cero:R = F – Fr = 0 ⇒ F = FrLa fuerza que debemos aplicar será igual a la fuerza derozamiento:F = Fr = µc N = µc p = µc m gF = 0,1 · 20 kg · 9,8 m/s2= 19,6 N17. Datos:Calculamos la fuerza resultante:F = 52 N - 34 N = 18 NHallamos la aceleración que adquiere el cuerpo con estafuerza resultante:F = m a ⇒ a = = = 1,818. Datos:La fuerza resultante sobre el sistema es nula. Por tanto,se conservará la cantidad de movimiento. Calculamosprimero la cantidad de movimiento inicial del sistema:Si cuando las dos bolas chocan quedan unidas, su masafinal será:m = m1 + m2 = 2 kg + 5 kg = 7 kgPor tanto, la velocidad del sistema después del choqueserá:rr rrvpm14 kg m/s i7 kg2 i= =⋅=msr r rr r r rr r r rr r r r r rp = p pp m v 2 kg m/s i = – 6 kg m/s ip m v 5 kg 4 m/s i 20 kg m/s ip p p 6 kg m/s i 20 kg m/s i 14 kg m/s i1 21 1 12 2 21 2+= = ⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅= + = − ⋅ + ⋅ = ⋅(– )3ms218 N10 kgFmr r r r rF = F F N i + 52 N i1 2+ = − 34ms2π40rads2ms2rads1 vuelta2 radππ40 2rads12rads12απ π= − = −rad ss s/40 40 2radradsrevs2 radrev⋅πrevs18Ntm = 20 kg µc = 0,1Ftr FtptFtXF2 = 52 NF1 = 34 Nm = 10 kgm2a bm1m1 = 2 kgvt1 = –3 m/s itm2 = 5 kgvt2 = 4 m/s itpt= pt1 + pt2m = m1 + m2 = 7 kgm ptvtvt2 pt2 pt1vt1
  15. 15. 19. Datos: m = 3,5 kg; T = 6 Na)b) Para que la velocidad sea constante, es necesario quela fuerza resultante sea nula:R = F – Fr = 0 ⇒ Fr = F = 6 NA partir de la fuerza de rozamiento, calculamos el co-eficiente cinético de rozamiento:c)Si la cuerda se inclina 45°, la fuerza se podrá descompo-ner en dos componentes y aparecerá una nueva compo-nente vertical que antes no existía:— Componente horizontal: Fx = F cos 45o= 4,2 N— Componente vertical: Fy = F sen 45o= 4,4 NComo la componente vertical es menor que el peso, elbloque sólo puede moverse horizontalmente:p = m g = 3,5 kg · 9,8 m/s2= 34,3 N > Fy = 4,2 NPero a causa de esta nueva componente vertical, la fuer-za normal es menor que en el caso anterior. Teniendoen cuenta que el bloque no se mueve verticalmente yque, por tanto, la resultante en el eje vertical es cero:Ry = N + Fy – p = 0 ⇒ N = p – Fy = 30,1 NEntonces, la fuerza de rozamiento será más pequeña quecon la cuerda horizontal:Fr = µc N = 0,17 · 30,1 N = 5,1 N < 6 NPero ahora la componente horizontal de la fuerza ejerci-da por la cuerda, Fx, también es menor que en los apar-tados anteriores. Además, Fx es más pequeña que la fuer-za de rozamiento:Fx = 4,2 N < 5,1 N = FrPor lo tanto, si el bloque parte del reposo, no se moverá.Si, en cambio, inclinamos la cuerda cuando el bloque yase estaba moviendo, éste se moverá con movimiento rec-tilíneo desacelerado, con aceleración:20. No, no siempre es cierto. El valor µe N indica la fuerza derozamiento estática máxima entre un cuerpo y una super-ficie. Superado este valor, el cuerpo comienza a deslizar-se, pero mientras el cuerpo está en reposo la fuerza de ro-zamiento no tiene por qué alcanzar este valor máximo.En general, su módulo tiene exactamente el mismo valorque la compomente tangencial de la fuerza aplicada.Ejemplo:21. Si la caja baja a velocidad constante, la aceleración esnula y sabemos que la fuerza resultante es cero.Eje tangencial: pt – Fr = m a = 0 ⇒ pt = Frm g sen α = µc NEje normal: N – pn = 0 ⇒ N = pn = p cos αN = m g cos αSustituyendo esta expresión de N en la ecuación del ejetangencial:m g sen α = µc m g cos α22. Supondremos que el sistema se mueve hacia la izquierda.Es decir, que el cuerpo 1 desciende por el plano, mien-tras el cuerpo 2 asciende. Si la aceleración resultante fue-ra negativa, deberíamos repetir el problema cambiandoel sentido del movimiento.µαααc = = =sencostg ,0 25aRmF Fm4,2 N 5,1 N3,5 kgx r= =−=−= − 0 26 2,msF N p m gFm gNkg m sr c c ccr= = == =⋅ ⋅=µ µ µµ63 5 9 80 172, ,,19m = 3,5 kgm = 3,5 kgFtFtFtrFxFyFtrNtNtpt= m gtpt= m gtm = 25 kgF = 50 NFr = 98 NFr = 50 NFr = 24,5 NReposo ReposoDesplazamientoF = 98 NF = 100 Nµe = 0,4µc = 0,1µe = 0,4Ntptpnpα = 14oαFtr
  16. 16. Representamos todas las fuerzas que actúan sobre cadacuerpo y calculamos la aceleración:Cuerpo 1: p1t – Fr – T = m1 aCuerpo 2: T – p2 = m2 aSumando las dos ecuaciones:p1t – Fr – p2 = (m1 + m2) aa = 2,1 m/s2Despejamos la tensión de la ecuación del cuerpo 2:T = m2a + p2 = m2 a + m2 g = m2 (a + g)T = 4 kg · (2,1 m/s2+ 9,8 m/s2) = 47,6 N23. Datos:Aplicamos la segunda ley de Newton, teniendo en cuentaque la fuerza resultante en la dirección radial tiene queser la fuerza centrípeta:Eje X: Tx = Fc ; T sen α =Eje Y: Ty = p ; T cos α = m gDespejamos la tensión de la segunda ecuación:y la sustituimos en la primera:sen α =Despejamos la velocidad:Teniendo en cuenta que R = 1 sen α:Sustituyendo los valores del problema,24. Una bola que gira verticalmente atada a una cuerda nocae en el punto más alto porque la fuerza del peso se em-plea en cambiar la dirección del movimiento de la bola yno en hacerla caer al suelo. Si no actuara sobre la bolaninguna fuerza, ésta no seguiría una trayectoria circular,sino recta. La fuerza del peso de la bola contribuye, jun-to con la tensión de la cuerda, a aportar la fuerza centrí-peta necesaria para que la bola lleve a cabo un movi-miento circular.25. Datos: m = 150 g = 0,15 kg; R = 80 cm = 0,8 m;Tmax = 10 Na) La cuerda se romperá en el punto inferior de la tra-yectoria. En este punto la fuerza centrípeta es igual ala tensión de la cuerda menos el peso de la piedra.b) La cuerda se romperá donde la tensión es máxima.Esto sucede en el punto inferior de la trayectoria,donde la fuerza del peso actúa en sentido contrario ala tensión.3. MOVIMIENTO DE ROTACIÓN (págs. 40, 42, 44 y 46)26. Un cuerpo sometido a una fuerza resultante nula y a unmomento no nulo tendrá un movimiento de rotación de-bido al momento. Si inicialmente estaba en reposo, no setrasladará. Si, en cambio, inicialmente estaba en trasla-ción, seguirá moviéndose con velocidad constante y entrayectoria rectilínea.Si está sometido a una fuerza resultante no nula, tendráun movimiento de traslación acelerado. Además, si elT p =m vR; vT m gv0,8 m 10 N – 0,15 kg 9,8 m/smax2max2− =−( )=⋅( ) =Rmkgms0 156 7,,v 9,8ms0,5 m sen 11,5 tg 11,5 0,45 m/s2= ⋅ ⋅ ° ⋅ ° =v g= =g R tg α α α1 sen tgv = g R tg αm g tg mvR2α =m v2Rm gcos αTm g=cos αm v2Rap F p m1t r 2 1=− −+=− −+=⋅ ⋅ ° − ⋅ ⋅ ⋅ ° − ⋅+m mg m g m gm mac1 21 21 28 9 8 60 0 1 8 9 8 60 4 9 88 4sen cos, sen , , cos ,α µ α20pt2TtTtNtpt160o60op1tm1 = 8 kgµc = 0,1p1nm2 = 4 kgFtrTtptXTxTy1 = 0,5 mα = 11,5oαY
  17. 17. momento no es nulo, tendrá un movimiento de rota-ción.27. Datos: = (3, 5, 1) N; = (1, 2, 1) mCalculamos el momento de la fuerza como el productovectorial de con la fuerza :28. El momento de inercia Ii de una partícula, definidocomo Ii = mi ri2, depende del eje respecto al cual lo calcu-lemos, ya que variará la distancia ri de la partícula al eje.Del mismo modo, el momento de inercia de un sistemadiscreto de partículas depende del eje que escojamos,pues cambiarán las distancias ri de todas las partículas.29. Datos: m1 = m2 = m3 = m = 1 kg; a = 3 m; b = 4 mCalculamos el momento de inercia a partir de su defini-ción. Teniendo en cuenta que dos de las masas están so-bre el eje de rotación, sólo contribuirá al momento deinercia la tercera masa.— Si gira en torno al primer cateto (a): r1 = r2 = 0,r3 = b = 4 m— Si gira en torno al segundo cateto (b):r1 = a = 3 m, r2 = r3 = 030. Datos: m = 1kg; R = 0,25 mCilindro. Utilizaremos la expresión del momento deinercia para un cilindro macizo que aparece en la página53 del libro del alumno:Esfera. Aplicamos la fórmula correspondiente a la esferamaciza que aparece en la página 53 del libro del alumno.31. Para comprobar que al dividir las unidades del momentode la fuerza entre las del momento de inercia se obtie-nen las de la aceleración angular, es necesario tener pre-sente que las unidades de fuerza, los newton (N), sonequivalentes a kg·m·s -2. Entonces:32. La aceleración angular se relaciona con el momento re-sultante sobre el cuerpo mediante la ecuación funda-mental de la dinámica de rotación:Por su definición, el momento de inercia es siempre po-sitivo. Por tanto, la aceleración angular tendrá siempre lamisma dirección y sentido que el momento resultante.Nota para el profesor/a: en la página 44 del libro del alumno seaclara que esta ecuación sólo es realmente válida si el eje de rota-ción es un eje de simetría del cuerpo que permanece fijo o siempreparalelo a sí mismo.33. Datos:Calculamos primero el momento de inercia y el momen-to de la fuerza, para aplicar después la ecuación funda-mental de la dinámica de traslación.r rM I= αrM N mkg mkg m s mkg ms[ ][ ]=⋅⋅=⋅ ⋅ ⋅⋅= = [ ]−−Ι 2222αΙ = = ⋅ ⋅ = ⋅25251 0 25 0 0252 2 2m R kg m kg m( , ) ,Ι = = ⋅ ⋅ = ⋅12121 0 25 0 0312 2 2m R kg m kg m( , ) ,Ιb iiim r ma kg m kg m= = = ⋅ = ⋅∑ 2 2 2 21 3 9( )Ιa iiim r mb kg m kg m= = = ⋅ = ⋅∑ 2 2 2 21 4 16( )r r rr r r r r r rr r r rM r F m x NM i j k x i j k N mM i j k N m= ⋅ = ( ) ( )= + +( ) + +( )[ ] ⋅= − +( ) ⋅1 2 1 3 5 12 3 53 2, , , ,–rFrrrrrF21mmmma = 3 mmmm = 1 kgb = 4 mb = 4 ma = 3 mF = 1,5 NM = 100 gR = 30 cmkt
  18. 18. Aplicamos la fórmula de la página 42 del libro del alum-no para calcular el momento de inercia de un disco ma-cizo:Para calcular el momento de la fuerza, tenemos en cuen-ta que y son perpendiculares. Entonces:Aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica derotación:NOTA: La solución de este ejercicio depende de la elección de losejes. Una variación de la colocación de los ejes dará una res-puesta diferente pero igualmente correcta. La solución que acom-paña los ejercicios del libro del alumno se corresponde con la re-solución que aparece en este solucionario.34. Si el eje de rotación es fijo, todas las partículas del sólidorígido giran con velocidad angular de la misma direc-ción y sentido. Lo que variará entre una partícula y otraserá el momento de inercia. Pero como éste es un esca-lar, el momento angular y la velocidad angular de cadapartícula son paralelos y del mismo sentido. Si todas laspartículas tienen velocidades angulares de la misma di-rección y sentido, todos los momentos angulares seránparalelos.35. Datos: m1 = m2 = 1,5 kg; d = 1m; ω = 4Escribimos primero la velocidad angular en unidades delSI:Calculamos el momento de inercia del sistema. La dis-tancia de cada masa al eje de giro será r = = 0,5 m.Por tanto:Entonces, el momento angular será:Tenemos en cuenta la orientación de los ejes para escri-bir el vector:NOTA: La solución de este ejercicio depende de la elección de losejes. Una variación de la colocación de los ejes dará una res-puesta diferente pero igualmente correcta. La solución que acom-paña los ejercicios del libro del alumno se corresponde con la re-solución que aparece en este solucionario.36. Datos: M = 7,35 · 1022kg; R = 1,74 · 106m;ω = 1 rev cada 28 días.Expresamos la velocidad angular en el SI:Hallamos el momento de inercia a partir de la expresiónpara una esfera maciza de la página 42 del libro delalumno:Calculamos el momento angular:Tenemos en cuenta la orientación de los ejes y que girahacia el Este:NOTA: La solución de este ejercicio depende de la elección de losejes. Una variación de la colocación de los ejes dará una res-puesta diferente pero igualmente correcta. La solución que acom-paña los ejercicios del libro del alumno se corresponde con la re-solución que aparece en este solucionario.37. Datos:r rL k kg m s= ⋅ ⋅2 31 1029 2,L I kg m rad sL kg m s= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅−ω 8 9 10 2 6 102 31 1034 2 629 2, ,,I MR kg mI kg m= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅25257 35 10 1 74 108 9 102 22 6 234 2, ( , ),ωπ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −12812413 600212 6 10 6vueltaddhhsradvueltarads,r rL k kg m s= ⋅6 2πL kg m rad s kg m s= = ⋅ ⋅ = ⋅Ι ω π π0 75 8 62 2, /Ι = ∑ = ⋅ ⋅ = ⋅m r kg m kg mi i2 2 22 1 5 0 5 0 75, ( , ) ,d2ωππ= ⋅ =4218revsradrevradsrev sr r rr rrMM k N mkg mkrads= = =⋅⋅=ΙΙα α,,,0 450 00451002 2rr r rM F R N mM N m M k N m= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅1 5 0 30 45 0 45, ,, ; ,rRrFΙ = = ⋅ ⋅ = ⋅12120 1 0 3 0 00452 2 2MR kg m kg m, ( , ) ,22ktRR = 1,74 · 106mM = 7,35 · 1022kgm = 1,5 kg m = 1,5 kgd = 1 mM = 200 g = 0,2 kgR = 0,4 mω = 45 rpmkt

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