1. Método de Bairstow
Definición
En análisis numérico, el método de Bairstow es un algoritmo eficiente
de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. Es un
método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado
un polinomio se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático
y
El procedimiento general para el método de Bairstow es:
Dado y y
1.-Utilizando el método de Newton Raphson
calculamos y , tal que, el residuo
de sea igual a cero.
2.-Se determinan la raíces , utilizando la formula general.
3.-Se calcula
4.-Hacemos
5.-Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2; en caso
contrario, terminamos.
La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite
calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias).
Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética.
Así dado
Al dividir entre , tenemos como resultado el siguiente
polinomio
con un
residuo , el residuo será cero solo si lo son.
Los términos b, los calculamos utilizamos división sintética, la cual puede
resolverse utilizando la siguiente relación de recurrencia
2. Método de Steffensen
Definición
El método de Steffensen es un algoritmo para obtener los ceros de una función.
Este se puede considerar como una combinación del método de punto fijo y del
método de Aitken. Como el método de Aitken esencialmente acelera la
convergencia de otro método, se puede definir este método como el método de
punto fijo acelerado.
El método de Steffensen presenta una convergencia rápida y no requiere,
como en el caso del método de Newton, la evaluación de derivada alguna.
Presenta además, la ventaja adicional de que el proceso de iteración sólo
necesita un punto inicial.
Otra ventaja del método de Steffensen es que -al igual que el de Newton- tiene
convergencia cuadrática. Es decir, ambos métodos permiten encontrar las
raíces de una función f "rápidamente" - en este caso rápidamente significa que
en cada iteración, el número de dígitos correctos en la respuesta se duplica.
Pero la fórmula para el método de Newton requiere la evaluación de la derivada
de la función, el método de Steffensen no, por lo que este último puede ser
programado para una función genérica, mientras que la función cumpla la
restricción mencionada anteriormente.
El precio de la convergencia rápida es una doble evaluación de la función:
tanto como deben ser calculadas, lo que podría llevar un
tiempo considerable dependiendo de la función f. Por comparación, el método
de la secante sólo necesita una evaluación de la función por cada paso, así
que con dos evaluaciones de la función del método de la secante se pueden
hacer dos pasos, y esos dos pasos aumentan el número de dígitos correctos
en un factor de 1,6. En un solo paso de tiempo el método de Steffensen (o de
Newton) aumenta los dígitos correctos en un factor de 2, lo que es sólo un poco
mejor.
Al igual que el método de Newton y otros métodos cuadráticamente
convergentes, la debilidad fundamental en el método de Steffensen es la
elección del valor inicial . Si el valor de no está "lo suficientemente cerca"
de la solución, el método puede fallar y la secuencia de
valores o bien puede oscilar entre dos valores, o bien
diverger hacia infinito (ambas alternativas pueden suceder).
Se calcula el siguiente punto de iteración a partir de la expresión:
3. De acuerdo a esta definición del método, se realizo el respectivo código en
SCILAB.
Método de Graeffe para
function y=rodriguez(x)
y=(x-(%e.^-x));
endfunction
error =1e-3;
xn=input("Digite primer valor de x ")
while(abs(rodriguez(xn))>error)
xni=xn-(((rodriguez(xn))^2)/ (rodriguez(xn+(rodriguez(xn)))-rodriguez(xn)))
xn=xni
disp(xn)
end
X=0:0.1:2
Y=rodriguez(X)
plot (X,Y)
xgrid
Después de hacer las respectivas iteraciones el programa me arrojo el
siguiente valor: 0.5671415, que corresponde a la raíz de dicha ecuación.
4. Método de Graeffe
Definición
En muchos campos de las matemáticas es necesario hallar las raíces de un
polinomio, por ejemplo, para calcular la integral de una función racional, en
la transformada de Laplace, etc. Solamente existen fórmulas si el polinomio
tiene un grado igual o inferior a cuatro. Excepto para los polinomios de primer
y segundo grado, las fórmulas son complicadas, por lo que se emplean
procesos de aproximación numérica. Entre los numerosos métodos que
existen, el más conocido es quizá el método de Newton. Sin embargo,
describiremos un método, realmente ingenioso, que nos proporciona gran
exactitud en las raíces de un polinomio. Sea el polinomio
Se tiene que los factores de un polinomio (x + f1)(x + f2 )...(x + fn )
Y la relación entre factores y los números delante de las x (¿como se
llamaban?)
a0 = f1 + f2 + f3 + ... + fn Suma de factores
a1 = ( f1 f2 ) + ( f1 f3 )...Suma de factores multiplicado de 2 en 2
a2 = ( f1 f2 f3 ) + ( f1 f2 f4 )...Suma de factores multiplicados de 3 en 3
Así hasta la multiplicación de todos los factores = an
Según este método, eleva al cuadrado el polinomio cuantas más veces
mejores. Esto seria el a elevar al cuadrado las mismas veces los factores (ya
que se multiplican) Si se supone que los factores no son iguales, a mesura que
los va elevando sus diferencias aumentan significativamente. Como,
suponiendo que los factores son diferentes, f1 > f2 > f3... . Se tiene que si
elevan la función a un número muy grande, esta diferencia es tan grande que
f1 + f2 = f1 (aprox). Contando esto, la relación factores y "a_k" se simplifica
muchísimo, y puede calcularse fácilmente, aunque da un resultado aproximado.
De otro lado se hace el polinomio más simple dividiendo todos los coeficientes
por el primer término de modo que a0 es siempre 1. Suponga que sus raíces
reales y distintas son r1,−r2 ,−r3 ,...,−rn .Al elevar al cuadrado el polinomio y
agrupar los términos se obtiene un polinomio de grado 2n
Cuyas raíces serán
Se ha construido así una nueva ecuación cuyas raíces son numéricamente
iguales a los cuadrados de las raíces de la ecuación original. Repitiendo el
proceso, se pueden obtener ecuaciones cuyas raíces sean numéricamente
iguales a las potencias cuarta, octava, decimosexta, etc. de las raíces de la
ecuación original. El efecto de este proceso de elevar al cuadrado es el de
producir ecuaciones cuyas raíces están cada vez más separadas. Por ejemplo,
si dos raíces de la ecuación original están entre sí como 5 : 4 sus potencias
128 están en la razón 5128 : 4128, o sea, 2.54 1012: 1, lo que es muy deseable
ya que las ecuaciones cuyas raíces están muy separadas se pueden resolver
rápidamente con exactitud considerable. Supóngase ahora, que reiterando el
proceso de elevación al cuadrado se llega a un polinomio
5. De acuerdo a esta definición del método, se realizo el respectivo código en
MATLAB.
Método de Graeffe para
function p = evalm(p)
format bank;
n = length(p);
for i=n-1 : -2 : 1
p(i) = (-1)*p(i);
end
end
-----------------------------------------------------------
function T = Graeffe(p,m)
format bank;
r = length(p);
for i=1 : 1 : m
p = conv(p,evalm(p));
n = lenght(p);
for j=1 : 1 : (n+1)/2
q(j) = p(2*j - 1);
end
p = q;
aux = p(1);
for k=1 : 1 : length(p)
p(k) = p(k)/-aux;
end
end
for i = 2 : 1 : r
T(i-1) = power(-p(i)/p(i-1),1/(2*m));
end
end
