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つながり方・まがり方・大きさ
2015.5.22
第3回プログラマのための数学勉強会
@matsumoring
内容
正多面体と球面を題材に、実際に簡単な計算をすることで、
図形の「つながり方・まがり方・大きさ」の関係を紹介する。
目次
0.正多面体
1.つながり方
2.まがり方
3.大きさ
0.正多面体
0.正多面体
• 正多面体は5つしかない。(Euclidの原論)
正四面体
正六面体
(立方体)
正八面体
正十二面体
正二十面体
Euclid
1.つながり方
1-1.正四面体
①
点の数
②
辺の数
③
面の数
④
①-②+③
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
4 6 4 2
1-2.正六面体(立方体)
①
点の数
②
辺の数
③
面の数
④
①-②+③
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
4 6 4 2
8 12 6 2
1-3.正八面体
①
点の数
②
辺の数
③
面の数
④
①-②+③
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
4 6 4 2
8 12 6 2
6 12 8 2
1-4.正十二面体
①
点の数
②
辺の数
③
面の数
④
①-②+③
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
4 6 4 2
8 12 6 2
6 12 8 2
20 30 12 2
※ 点の数:5×12÷3=20
※ 辺の数:...
1-5.正二十面体
①
点の数
②
辺の数
③
面の数
④
①-②+③
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
4 6 4 2
8 12 6 2
6 12 8 2
20 30 12 2
※ 点の数:3×20÷5=12
※ 辺の数:...
1-6.Eulerの定理
• 2の正体:球面のEuler数
膨らませると球面になる多面体なら2
• ドーナツのEuler数は0
g個穴が空くと(種数g)Euler数は2-2g
L.Euler
(1707~1783)
種数0 種数1
Eule...
2.まがり方
2-1.正四面体
⑤
1頂点に
集まる角度
⑥
角不足
360°-⑤
⑦
全頂点分
①×⑥
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
180° 180° 720°
2-2.正六面体(立方体)
⑤
1頂点に
集まる角度
⑥
角不足
360°-⑤
⑦
全頂点分
①×⑥
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
180° 180° 720°
270° 90° 720°
2-3.正八面体
⑤
1頂点に
集まる角度
⑥
角不足
360°-⑤
⑦
全頂点分
①×⑥
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
180° 180° 720°
270° 90° 720°
240° 120° 720°
2-4.正十二面体
⑤
1頂点に
集まる角度
⑥
角不足
360°-⑤
⑦
全頂点分
①×⑥
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
180° 180° 720°
270° 90° 720°
240° 120° 720°
324°...
2-5.正二十面体
⑤
1頂点に
集まる角度
⑥
角不足
360°-⑤
⑦
全頂点分
①×⑥
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
180° 180° 720°
270° 90° 720°
240° 120° 720°
324°...
2-6.Descartesの定理
• 角不足の意味:多面体の曲がり具合
• 720°=2×360°
2の正体:球面のEuler数
R.Decartes
(1596~1650)
つながり方とまがり方が関係している!
3.大きさ
3-1.三角形の内角の和
• 三角形の内角の和は180度。
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋
もしくは
(𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 𝜋 = 0
ーどっちが好きですか? 私は後者!
3-2.三角形の外角の和
• 三角形の内角の和が180度であることは、外角の和が360度で
あることと同値。
𝜋 − 𝛼 + 𝜋 − 𝛽 + 𝜋 − 𝛾 = 2𝜋
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋
⇔
3-3.証明
• 外角を平行移動
平面がまがっていないことを使っている
3-4.球面三角形
• 曲面上の三角形の外角の和は360度にならない。
※図は内角が全て90度の三角形8枚による球面の分割。
以下この例で計算するが結論は一般に成り立つ。
3-5.平面からのズレ
• 逆に考えると、「360度-外角の和」が曲面のまがり具合を表
す量になっている。
• この量は三角形の大きさによるので、三角形の取り方によらず
曲面のまがり具合を表すには面積の分調整をする必要がある。
※「360度ー外...
• 「内角の和ー180度」= 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 𝜋 =
3
2
𝜋 − 𝜋 =
𝜋
2
• 「面積」=
4𝜋𝑟2
8
=
𝜋
2
𝑟2
∴ 「内角の和ー180度」=「面積」×
1
𝑟2
平面の場合の(𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 𝜋 = 0...
3-7.よせ集める
• 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 𝜋 =
𝜋
2
𝑟2 ×
1
𝑟2という式を、球面全体にわたって
(三角形8枚分)足し合わせる。
• 「右辺の和」= 4𝜋𝑟2 ×
1
𝑟2 = 「表面積」 × 「Gauss曲率」
• 「左辺の和...
3-8.一般に
• 球面のように一様なまがり方をしていない曲面𝑀のGauss曲率𝐾
は定数にならないので、その上の三角形𝛥については以下の式が
成り立つ。
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 𝜋 =
𝛥
𝐾𝑑𝑆
• 向きづけ可能な閉曲面𝑀が三角形に分割され...
3-9.再びEuler数
• 「辺の数」 = 𝐸 = 3𝐹 ⋅
1
2
=
3
2
𝐹 ∴
1
2
𝐹 = 𝐸 − 𝐹
• 「左辺」= 𝑉 ⋅ 2𝜋 − 𝐹𝜋 = 𝑉 −
𝐹
2
2𝜋 = 𝑉 − 𝐸 + 𝐹 2𝜋 = 2𝜋𝜒
Euler数!
向きづけられた閉曲面𝑀のEuler数𝜒とGauss曲率𝐾に対し以下の式
が成り立つ。
𝑀
𝐾𝑑𝑆 = 2𝜋𝜒
3-10.本日の主定理
定理(Gauss-Bonnet)
まがり方を集めるとつながり方がわかる!
ご清聴ありがとうございました!
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20150522_第3回プログラマのための数学勉強会

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20150522_つながり方・まがり方・大きさ

  1. 1. つながり方・まがり方・大きさ 2015.5.22 第3回プログラマのための数学勉強会 @matsumoring
  2. 2. 内容 正多面体と球面を題材に、実際に簡単な計算をすることで、 図形の「つながり方・まがり方・大きさ」の関係を紹介する。 目次 0.正多面体 1.つながり方 2.まがり方 3.大きさ
  3. 3. 0.正多面体
  4. 4. 0.正多面体 • 正多面体は5つしかない。(Euclidの原論) 正四面体 正六面体 (立方体) 正八面体 正十二面体 正二十面体 Euclid
  5. 5. 1.つながり方
  6. 6. 1-1.正四面体 ① 点の数 ② 辺の数 ③ 面の数 ④ ①-②+③ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 4 6 4 2
  7. 7. 1-2.正六面体(立方体) ① 点の数 ② 辺の数 ③ 面の数 ④ ①-②+③ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 4 6 4 2 8 12 6 2
  8. 8. 1-3.正八面体 ① 点の数 ② 辺の数 ③ 面の数 ④ ①-②+③ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 4 6 4 2 8 12 6 2 6 12 8 2
  9. 9. 1-4.正十二面体 ① 点の数 ② 辺の数 ③ 面の数 ④ ①-②+③ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 4 6 4 2 8 12 6 2 6 12 8 2 20 30 12 2 ※ 点の数:5×12÷3=20 ※ 辺の数:5×12÷2=30
  10. 10. 1-5.正二十面体 ① 点の数 ② 辺の数 ③ 面の数 ④ ①-②+③ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 4 6 4 2 8 12 6 2 6 12 8 2 20 30 12 2 ※ 点の数:3×20÷5=12 ※ 辺の数:3×20÷2=30 12 30 20 2
  11. 11. 1-6.Eulerの定理 • 2の正体:球面のEuler数 膨らませると球面になる多面体なら2 • ドーナツのEuler数は0 g個穴が空くと(種数g)Euler数は2-2g L.Euler (1707~1783) 種数0 種数1 Euler数は図形の「つながり方」を表す量!
  12. 12. 2.まがり方
  13. 13. 2-1.正四面体 ⑤ 1頂点に 集まる角度 ⑥ 角不足 360°-⑤ ⑦ 全頂点分 ①×⑥ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 180° 180° 720°
  14. 14. 2-2.正六面体(立方体) ⑤ 1頂点に 集まる角度 ⑥ 角不足 360°-⑤ ⑦ 全頂点分 ①×⑥ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 180° 180° 720° 270° 90° 720°
  15. 15. 2-3.正八面体 ⑤ 1頂点に 集まる角度 ⑥ 角不足 360°-⑤ ⑦ 全頂点分 ①×⑥ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 180° 180° 720° 270° 90° 720° 240° 120° 720°
  16. 16. 2-4.正十二面体 ⑤ 1頂点に 集まる角度 ⑥ 角不足 360°-⑤ ⑦ 全頂点分 ①×⑥ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 180° 180° 720° 270° 90° 720° 240° 120° 720° 324° 36° 720°
  17. 17. 2-5.正二十面体 ⑤ 1頂点に 集まる角度 ⑥ 角不足 360°-⑤ ⑦ 全頂点分 ①×⑥ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 180° 180° 720° 270° 90° 720° 240° 120° 720° 324° 36° 720° 300° 60° 720°
  18. 18. 2-6.Descartesの定理 • 角不足の意味:多面体の曲がり具合 • 720°=2×360° 2の正体:球面のEuler数 R.Decartes (1596~1650) つながり方とまがり方が関係している!
  19. 19. 3.大きさ
  20. 20. 3-1.三角形の内角の和 • 三角形の内角の和は180度。 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋 もしくは (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 𝜋 = 0 ーどっちが好きですか? 私は後者!
  21. 21. 3-2.三角形の外角の和 • 三角形の内角の和が180度であることは、外角の和が360度で あることと同値。 𝜋 − 𝛼 + 𝜋 − 𝛽 + 𝜋 − 𝛾 = 2𝜋 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋 ⇔
  22. 22. 3-3.証明 • 外角を平行移動 平面がまがっていないことを使っている
  23. 23. 3-4.球面三角形 • 曲面上の三角形の外角の和は360度にならない。 ※図は内角が全て90度の三角形8枚による球面の分割。 以下この例で計算するが結論は一般に成り立つ。
  24. 24. 3-5.平面からのズレ • 逆に考えると、「360度-外角の和」が曲面のまがり具合を表 す量になっている。 • この量は三角形の大きさによるので、三角形の取り方によらず 曲面のまがり具合を表すには面積の分調整をする必要がある。 ※「360度ー外角の和」=「内角の和ー180度」 2𝜋 − ( 𝜋 − 𝛼 + (𝜋 − 𝛽)+(𝜋 − 𝛾)) = (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 𝜋
  25. 25. • 「内角の和ー180度」= 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 𝜋 = 3 2 𝜋 − 𝜋 = 𝜋 2 • 「面積」= 4𝜋𝑟2 8 = 𝜋 2 𝑟2 ∴ 「内角の和ー180度」=「面積」× 1 𝑟2 平面の場合の(𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 𝜋 = 0は平面のGauss曲率が0ということ。 3-6.Gauss曲率 半径rの球面のGauss曲率 C.F.Gauss (1777~1855)
  26. 26. 3-7.よせ集める • 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 𝜋 = 𝜋 2 𝑟2 × 1 𝑟2という式を、球面全体にわたって (三角形8枚分)足し合わせる。 • 「右辺の和」= 4𝜋𝑟2 × 1 𝑟2 = 「表面積」 × 「Gauss曲率」 • 「左辺の和」= 6 × 2𝜋 − 8 × 𝜋 = 4𝜋 = 「Euler数」 × 2𝜋 ∴「表面積」 × 「Gauss曲率」= 「Euler数」 × 2𝜋 頂点の数 面の数 つながり方まがり方大きさ
  27. 27. 3-8.一般に • 球面のように一様なまがり方をしていない曲面𝑀のGauss曲率𝐾 は定数にならないので、その上の三角形𝛥については以下の式が 成り立つ。 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 𝜋 = 𝛥 𝐾𝑑𝑆 • 向きづけ可能な閉曲面𝑀が三角形に分割されて、頂点が𝑉個、辺 が𝐸個、面が𝐹個あるとする。さきほどと同様に両辺の和を計算 すると以下のようになる。 𝑉 ⋅ 2𝜋 − 𝐹𝜋 = 𝑀 𝐾𝑑𝑆
  28. 28. 3-9.再びEuler数 • 「辺の数」 = 𝐸 = 3𝐹 ⋅ 1 2 = 3 2 𝐹 ∴ 1 2 𝐹 = 𝐸 − 𝐹 • 「左辺」= 𝑉 ⋅ 2𝜋 − 𝐹𝜋 = 𝑉 − 𝐹 2 2𝜋 = 𝑉 − 𝐸 + 𝐹 2𝜋 = 2𝜋𝜒 Euler数!
  29. 29. 向きづけられた閉曲面𝑀のEuler数𝜒とGauss曲率𝐾に対し以下の式 が成り立つ。 𝑀 𝐾𝑑𝑆 = 2𝜋𝜒 3-10.本日の主定理 定理(Gauss-Bonnet) まがり方を集めるとつながり方がわかる!
  30. 30. ご清聴ありがとうございました!

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