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Sistemas de ecuaciones lineales (álgebra)

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ÁLGEBRA
ECUACIONES
ECUACIONES LINEALES

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Sistemas de ecuaciones lineales (álgebra)

  1. 1. ÁLGEBRA Sistemas de ecuaciones lineales 1. ECUACIÓN LINEAL CON 2 INCÓGNITAS. Es una ECUACIÓN DE PRIMER GRADO con DOS INCÓGNITAS, que reducida y ordenada presenta la siguiente FORMA: ax  by  c , donde “a”, “b” y “c” serán números conocidos. Una solución de la ecuación es un par de valores (uno para “x” y otro para “y”) que verifican la ecuación, es decir que hacen que la igualdad se cumpla. Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Nota: En muchos casos la ecuación no tendrá la forma arriba indicada, con lo que tendremos que dársela, es decir:  Si tiene paréntesis los quitaremos aplicando la distributiva o igualdades notables, según corresponda.  Si tiene fracciones, quitaremos los denominadores calculando el “m.c.m.” de ellos.  Si es necesario transportaremos términos, cambiándolos de signo y reduciendo los semejantes, hasta que tenga la forma deseada. Ejemplo: 2x  1  y  3 1º Le damos la forma, quitando paréntesis y transportando términos: 2x  2  y  3 2x  y  3  2 2x  y  5 2º Soluciones de la ecuación (hay infinitas): ¿? x  2, y  1  2·2   1  5  4  1  5 Es solución. ¿? x  3, y  1  2·3  1 5  6  1  5 Es solución. ¿? ¿? x  1, y  3  2·1  3  5  2  3  5 NO es solución. 2. SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Es un conjunto formado por dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, que reducido y ax  by  c ordenado presenta la siguiente FORMA:  . a ' x  b ' y  c ' Donde la SOLUCIÓN del sistema es el valor de “x” e “y” que satisface simultáneamente las dos ecuaciones, es decir, que hace que las dos igualdades se cumplan a la vez.
  2. 2. ÁLGEBRA Sistemas de ecuaciones lineales ¿CÓMO LOS RESOLVEMOS? Tenemos dos opciones: En primer lugar, métodos ALGEBRAICOS:  SUSTITUCIÓN.  IGUALACIÓN.  REDUCCIÓN. En segundo lugar, GEOMÉTRICAMENTE. Veamos cada uno de ellos. 2.1. MÉTODOS ALGEBRAICOS. SUSTITUCIÓN PASO 1: ELEGIMOS UNA ECUACIÓN y DESPEJAMOS UNA INCÓGNITA. Si alguna de las incógnitas tiene por coeficiente 1 ó –1, nos decantaremos por despejar ésta, ya que de esta forma evitaremos tener fracción, quedándonos más sencilla la aplicación del paso 2. PASO 2: SUSTITUIMOS en la otra ecuación, la que no hemos utilizado para despejar, la incógnita despejada en el paso 1. Resolvemos la ecuación de primer grado con una incógnita que nos queda. PASO 3: Obtenemos el valor de la incógnita que nos falta, sustituyendo “la calculada” en el paso 1. Ejemplo: 1º “ARREGLAR” el sistema (darle la FORMA):  2·( x  1)  7·( y  3)  1  2 x  2  7 y  21  1  2 x  7 y  24    x 1 x  1  3 y  0  x  3 y  1  3 y0  2º Aplicamos el método de SUSTITUCIÓN:  2 1  3 y   7 y  24  2 x  7 y  24   x  3 y  1  x  1  3 y PASO 1 PASO 2 2  6 y  7 y  24  6 y  7 y  24  2  13 y  26 y  26 2  13 x  1  3·2  5 PASO 3
  3. 3. ÁLGEBRA Sistemas de ecuaciones lineales IGUALACIÓN PASO 1: DESPEJAMOS en las DOS ECUACIONES la MISMA INCÓGNITA. PASO 2: IGUALAMOS las dos expresiones obtenidas al despejar en el paso 1. Resolvemos la ecuación de primer grado con una incógnita que nos queda. Este método nos garantiza una ecuación sin paréntesis, como “máximo” dos fracciones igualadas. PASO 3: Obtenemos el valor de la incógnita que nos falta, sustituyendo “la calculada” en cualquiera de las dos expresiones del paso 1. Ejemplo: 1º “ARREGLAR” el sistema (darle la FORMA):  3·( x  3)  3x  9 y  2  2  y  3x  9  2 y  3x  2 y  9      x  1  y  1  2  x  1  y  1  2  2 x  2  3 y  3  12  2 x  3 y  7  3  3 2 2   2º Aplicamos el método de IGUALACIÓN:   18  4 y  21  9 y  9  2y  4 y  9 y  21  18 3x  2 y  9  x    9  2 y 7  3y   3    13 y  39  3 2 2 x  3 y  7  x  7  3 y   9  2·3   y  39  3 x  1 2   3 13   PASO 1 PASO 2 PASO 3 REDUCCIÓN PASO 1: Multiplicar (si es necesario) una o las dos ecuaciones, de forma que al sumarlas una de las incógnitas se anule. Esto nos permitirá obtener el valor de la incógnita que nos queda. PASO 2: Calculamos el valor de la incógnita que nos falta, sustituyendo “la obtenida” en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. Ejemplo: 1º “ARREGLAR” el sistema (darle la FORMA): x 1 y 3x  3  2 y  6 3x  2 y  9   1    3  2 2 x  4  y  1  0 2 x  y  5 2·x  2   y  1  0 
  4. 4. ÁLGEBRA Sistemas de ecuaciones lineales 2º Aplicamos el método de REDUCCIÓN: 3x  2 y  9  3x  2 y  9  · 2   2 x  y  5   4 x  2 y  10  x PASO 1 2· 1  y  5  2  y  5  y  3  y  3 PASO 2 1 x  1 2.2. MÉTODO GEOMÉTRICO. PASO 1: DESPEJAMOS la incógnita “y” en las DOS ECUACIONES. PASO 2: TABLA DE VALORES. Con dos puntos sería suficiente, pero obtendremos tres para asegurarnos que lo estamos haciendo bien, ya que si estos tres puntos están alineados, tendremos la certeza de que son correctos. Cada uno de dichos puntos los calculamos dando un valor a la “x”, de forma que al sustituirla en la ecuación (con “y” despejada), la operación correspondiente nos dará el valor de “y”. PASO 3: REPRESENTAR. Situaremos en el plano cartesiano los tres puntos que hemos obtenido en cada ecuación y trazaremos la recta que pasa por ellos. INTERPRETAMOS GEOMÉTRICAMENTE EL SISTEMA. POSIBILIDADES: (3,3)    RECTAS SECANTES Ǝ! Solución SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO    RECTAS COINCIDENTES Ǝ ∞ Soluciones SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO  RECTAS PARALELAS  Ǝ Solución  SISTEMA INCOMPATIBLE NOTA: Al aplicar cualquiera de los 3 métodos algebraicos podemos encontrarnos con: 1. 0 x  0 ó 0 y  0  0  0 IDENTIDAD 2. 0 x  n ó 0 y  n (n  0)  0 = número distinto de cero. CONTRADICCIÓN

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