Απαντησεις στα θεματα πανελλαδικων 2012 Γ Λυκ. Μαθ.Γ.Παιδείας

1,682 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,682
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1,183
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Απαντησεις στα θεματα πανελλαδικων 2012 Γ Λυκ. Μαθ.Γ.Παιδείας

  1. 1. ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.gr ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2012 Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣΘΕΜΑ AΑ1 Σελίδα 31 σχ. βΑ2 Σελίδα 148 σχ. βΑ3 Σελίδα 96 σχ. βΑ4 α)Λ,β)Σ,γ)Λ,δ)Σ,ε)ΣΘΕΜΑ BΒ1 Η διάμεσος δ είναι η τιμή για την οποία το 50% των παρατηρήσεωνείναι μικρότερες από αυτήν και το 50% των παρατηρήσεων είναιμεγαλύτερες από αυτήν.Επομένως από το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % έχωδ=25 4Β2 Το μέγεθος του δείγματος είναι ν= ∑ ν1 =7α+4 i =1Από το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % έχω Ν2 4α − 2 4α − 2 1F2 = ↔ 0,5 =↔ 0,5 =↔ 0,5 = ν 7α + 4 7α + 4 24α − 2 1 = ↔ 8α − 4 = 7α + 4 ↔ α = 87α + 4 2Συμπλήρωση του πίνακα συχνοτήτωνΜε τη βοήθεια του ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % νiκαι των σχέσεων : f i % = 100 ,i=1,2,3,4 , N i = ν1 + ν 2 + ... + ν i νFi = f1 + f 2 + ... + f i 1
  2. 2. ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.gr Σχηματίζω το παρακάτω πίνακα xi νi fi% Ni Fi% xi νi (5,15] 10 12 20 12 20 120 (15,25] 20 18 30 30 50 360 (25,35] 30 24 40 54 90 720 (35,45] 40 6 10 60 100 1440 Σύνολο 60 100 1 4 1 = = = 24 Β3 Υπολογισμός της μέσης τιμής : x ∑ ν i=1 x i νi 60 1440 Υπολογισμός της διακύμανσης 2 2 ∑ ( x i − x ) ν= 60 ∑ ( x i − 24 ) ν= 84 1 4 1 4 s= 2 ν i 1 =i 1 i i= s2 = 84 ↔ s = 84 = 9,17 Β4 Από το πίνακα συχνοτητων παρατηρώ ότι το 10% των χρόνων των μαθητών ανήκουν στο διάστημα (35,45] Έστω α% το ποσοστό των μαθητών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 37 λεπτά για να λύσουν το πρόβλημα, δηλαδή που οι χρόνοι τους ανήκουν στο [37,45] Επομένως: 45-35=10 λεπτά χρειάστηκε το 10% 45-37=8 λεπτά χρειάστηκε το α% 10 10 Άρα : = ↔ 10α = 80 ↔ α = 8% 8 α ΘΕΜΑ Γ Γ1 Έστω Γ το ενδεχόμενο να μάθει Γαλλικά και Ι το ενδεχόμενο να μάθει Ισπανικά. 2
  3. 3. ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.gr 2 x2 + 3 − 2 2( x 2 + 3 − 2)( x 2 + 3 + 2)P (Γ ∪ Ι)= lim x= lim x→−1 →−1 = x2 + x (x + x)( x 2 + 3 + 2) 2 ( ) 2 2[ x 2 + 3 − 4] 2[( x 2 + 3) − 4] = lim x→−1 lim x→−1 = (x + x)( x + 3 + 2) 2 2 (x 2 + x)( x 2 + 3 + 2) 2[x 2 − 1] 2 ( x − 1)( x + 1) = lim x→−1 = ( ) lim x→−1 (x 2 + x)( x 2 + 3 + 2) x ( x + 1) x 2 + 3 + 2 2 ( x − 1) 2 ( −1 − 1) −4 = = = ↔ P (Γ ∪ Ι) =1 ( ) lim x→−1 1 x x +3+2 2 −1 1 + 3 + 2( −4 ) Γ2 Εφαρμόζω το προσθετικό νόμο 3ν ν + 2 ν +1 P ( Γ ∪= P ( Γ ) + P ( Ι ) − P ( Γ ∩ Ι ) ↔ 1 Ι) = + 2 − ν + 1 ν + 1 ν2 + 1 2 3ν ν + 2 ν +1 1= + 2 − 2 ↔ ν 2 + 1 = 3ν + ν + 2 − ν − 1 ↔ ν 2 + 1 = 3ν + 1 ↔ ν +1 ν +1 ν +1 2 ν 2 − 3ν = 0 ↔ ν ( ν − 3) = 0 ↔ ν = 3, διότι ν ≠ 0 Γ3 Τα ενδεχόμενα Γ-Ι και Ι-Γ είναι ασυμβίβαστα Επομένως : P[(Γ − Ι) ∪ ( Ι − Γ )] = P(Γ − Ι) + P(Ι − Γ) = P(Γ) − P(Γ ∩ Ι) + P(Ι) − P(Γ ∩ Ι) P[(Γ − Ι) ∪ ( Ι − Γ )] P(Γ) + P(Ι) − 2P(Γ ∩ Ι) = 3.3 9 5 , Ομοίως P ( Ι ) = 3ν = Για ν=3 , P(Γ) = = , ν 2 + 1 9 + 1 10 10 4 P (Γ ∩ Ι) = 10 3
  4. 4. ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.gr Άρα : 9 5 4 6 3 P[(Γ − Ι) ∪ ( Ι − Γ )] = P(Γ) + P(Ι) − 2P(Γ ∩ Ι) = + −2 = = 10 10 10 10 5 4 2 Γ4 P ( Γ ∩ Ι ) = = 10 5 Γνωρίζω ότι τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα Επομένως : Ν (Γ ∩ Ι) 32 2 32 P (Γ ∩ Ι) = = ↔= ↔ 2Ν ( = 32.5 ↔ Ν ( = 80 Ω) Ω) Ν (Ω) Ν (Ω) 5 Ν (Ω) ΘΕΜΑ Δ 1 + ln 2 x Δ1 Η f ( x ) = , έχει πεδίο ορισμού το ( 0, +∞ ) και είναι x παραγωγίσιμη σε αυτό Υπολογίζω τη παράγωγο Για x>0 έχω ′ x − x ′ 1 + ln 2 x 1f ′(x )= =  1 + ln x ′ 2 (1 + ln x ) 2 = ( ) 2 ln x x − 1 − ln 2 x x ↔  2  x  x x2 − ln 2 x + 2 ln x − 1 f ′(x ) = = − ( ln 2 x − 2 ln x + 1) = − ( ln x − 1) 2 x2 x2 x2 Παρατηρώ ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής της f΄(x) είναι θετικοί αριθμοί εφόσον είναι υψωμένοι στο τετράγωνο f΄(x) = 0 ↔ ln x − 1 = 0 ↔ ln x = 1 → ln x = ln e ↔ x = e Επομένως f΄(x)<0 για κάθε x ∈ ( 0,e ) ∪ ( e, +∞ ) 4
  5. 5. ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.grΔηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, +∞ )Δ2 Το εμβαδό Ε(x) του ορογωνίου ΟΚΜΛ ισούται με 1 + ln 2 x βάση.ύψος ↔ Ε(x) =( x ) ↔ Ε(x) =Ε(x) = x.f x ↔ Ε(x) =ln 2 x 1+ xόπου x>0 και f(x)>0Ε′(x) =ln 2 x )′ =ln x, x>0 (1 + 1 2 x 1Ε′(x) = 0 ↔ 2 ln x = 0 ↔ ln x = 0 ↔ x = 1 xΣχηματίζω το πίνακα μονοτονίας της Ε(x)Aπό το πίνακα παρατηρώ ότι τo E(x) γίνεται ελάχιστο για x=1Άρα για x=1 , O(0,0), K(1,0), M(1,1), Λ(0,1)Επομένως : 1=ΟΚ=ΚΜ=ΜΛ=ΛΟ ,δηλαδή για x=1 το ορθογώνιο ΟΚΜΛγίνεται τετράγωνοΔ3 Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Σ(1,f(1))έχει συντελεστή διεύθυνσης το f΄(1) ( ln1 − 1) 2 1f ′ (1) =− = =1 − − 12 1Η εφαπτομένη όμως είναι παράλληλη στην ευθεία y=λx+β (Ι)Επομένως οι συντελεστές διεύθυνσης των παραπάνω ευθειών είναι ίσοι 5
  6. 6. ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.grΔηλαδή : f΄ (1)= λ ↔ −1= λ ↔ λ = −1Άρα (Ι)-> y = -x+β , άρα yi=xi+β , i=1,2,3,…,10 καιy = x + β = + β και − 10s y = s x == −1 sx 2Για να είναι το δείγμα ομοιογενές πρέπει CVy ≤ 10%Επομένως : sy 2 =CVy = , θέλω CVy ≤ 10% y −10 + βΆρα 2 2 10 2 1 ≤ 10% ↔ ≤ ↔ ≤ ↔ 20 ≤ β − 10 ↔−10 + β −10 + β 100 −10 + β 10  β − 10 ≥ 20 ↔ β ≥ 30 20 ≤ β − 10 ↔ β − 10 ≥ 20 →   β − 10 ≤ −20 ↔ β ≤ −10 Δ4 Γνωρίζω ότι A ⊆ A ∪ B → P ( A ) ≤ P ( A ∪ B ) , με0 < P ( A ) ≤ 1 και 0<P ( A ∪ B ) ≤ 1 ,δηλαδήP ( A ) , P ( A ∪ B ) ∈ ( 0,1] ⊆ ( 0, +∞ )Εφόσον P ( A ) ≤ P ( A ∪ B ) και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο( 0, +∞ ) έχω:f ( P ( A ) ) ≥ f ( P ( A ∪ B ) ) (1)Ομοίως A ∩ Β ⊆ A ∪ B → P ( A ∩ Β ) ≤ P ( A ∪ B ) , μεP ( A ∩ Β) , P ( A ∪ B) ∈ ( 0,1] ⊆ ( 0, +∞ )Εφόσον 6
  7. 7. ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ http://www.mathschoolonline.grP ( A ∩ Β) ≤ P ( A ∪ B ) και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, +∞ )έχω:f ( P ( A ∩ Β ) ) ≥ f ( P ( A ∪ B ) ) (2)Προσθέτω τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και έχωf ( P ( A ) ) + f ( P ( A ∩ Β) ) ≥ f ( P ( A ∪ B) ) + f ( P ( A ∪ B) )Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online 7

×