LAS MATRICES UN MUNDO     MARAVILLOSO              Por: Iliana De Gracia               Francesca Samudio                 O...
Colegio:Beatriz Miranda de Cabal      Profesor:  Roberto de Obaldía        Grupo:        VIA3        Tema:      Las Matrices
    Introducción                       Contenido:   Historia de las matrices   Definición de matriz   Tipos de matric...
   El material que vamos a presentar nos va ha mostrar    coseptos básicos para el desarrollo de matrices las    cuales s...
   El origen de las matrices es muy antiguo. Un    cuadrado mágico , 3 por 3, se registra en la    literatura china hacia...
           1 4 -2    Una matriz es una tabla cuadrada o    rectangular de datos (llamados    elementos o entradas de la m...
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   La matriz columna tiene una sola columna.                      4x1         -7                       1                 ...
   La matriz rectangular tiene distinto número de    filas que de columnas, siendo su dimensión m    x n.                ...
 La matriz cuadrada tiene el mismo número de  filas que de columnas.Los elementos de la forma aii constituyen la  diagona...
   En una matriz nula todos los elementos son    ceros.                      0 0                      0 0                ...
   En una matriz triangular superior los    elementos situados por debajo de la diagonal    principal son ceros.         ...
   En una matriz triangular inferior los    elementos situados por encima de la    diagonal principal son ceros.         ...
   Una matriz escalar es una matriz diagonal en la    que los elementos de la diagonal principal son    iguales.         ...
   En una matriz diagonal todos los elementos    situados por encima y por debajo de la diagonal    principal son nulos. ...
   Una matriz identidad es una matriz diagonal    en la que los elementos de la diagonal principal    son iguales a 1.   ...
1)    X-2y+3z=-7    2)   2x- 4y+3z =-12      2x –y -z=7         3x -y +2z =-3     -x+3y+2z=-8         -4x -6y+8z =1       ...
   Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta    de “A” a la matriz que se obtiene cambiando    ordenadamente las fila...
   Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es    la matriz m-por-n calculada sumando los elementos    correspond...
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   At+Bt               Ejemplo 2:   At=     4 3 -4            ½ ¾ 5            1 -1 2Bt=       3 4 5          -1 -2 -3  ...
 AsociativaDadas las matrices m×n A, B y CA + (B + C) = (A + B) + C ConmutativaDadas las matrices m×n A y BA+B=B+A Exis...
   Sumar:             4    ½   1                    3 -1 1/5     A=                       B=          4 -2 -0.75         ...
   Dada una matriz A y un escalar c, su producto    cA se calcula multiplicando el escalar por cada    elemento de A (i.e...
   Sean A y B matrices y c y d escalares.   Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces    cA es matriz.   Asocia...
 Si A es una matriz m×n y B es una matriz  n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz  m×p (m filas, p columnas)...
Mètodo de GaussLa eliminación de Gauss-Jordan ,mas conocida Como el Mètodo de   Gauss, es un Mètodo aplicable únicamente a...
Es un teorema en algebra lineal, recibe el nombre en   honor a Gabriel Cramer.Si Ax=B es un sistema de ecuaciones. A es la...
3 5    = (3)(-1)-(4)(5) = -3-20=-23   A) 3x+5y=7   D= 4 -1                                    4x- y= -6Dx= 7 5 =(7)(-1)-(-...
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9. 5x/12-y=9  x-3y/4=15              R.(12,-4)10.11x-3y=39   5y+2x=-4              R: (3,-2)11. 5(x+3y)-(7x+8y)=-6     7x-...
13. x-2y+4z=5    -3x+4y-2z=-8     R: (1,-1,1/2)   5y+4x-4z=-314. 5x-3y+4z=22   -x-15y+10z=-15       R: (5,1/3,-1/2)    -3x...
17.   2x+4y=-2      -5x-2y=13      R: (-3,1)18.   -x -2y=2       x+3y=-6        R: (6,-4)19.   5x-7y=-21       -4x+3y=22  ...
   El término "matriz" fue acuñado en    1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton    hizo algunos aportes a la teoría...
   http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema de    ecuaciones lineales.   http://es.wikipedia.org/wiki/matriz    aumentada. ...
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Matematik(ilieana) xia3

  1. 1. LAS MATRICES UN MUNDO MARAVILLOSO Por: Iliana De Gracia Francesca Samudio Olivar Castrellòn
  2. 2. Colegio:Beatriz Miranda de Cabal Profesor: Roberto de Obaldía Grupo: VIA3 Tema: Las Matrices
  3. 3.  Introducción  Contenido: Historia de las matrices Definición de matriz Tipos de matrices Ejemplo de matrices Método de Gauss Regla de Cramer Problemas   Conclusión Bibliografía 3
  4. 4.  El material que vamos a presentar nos va ha mostrar coseptos básicos para el desarrollo de matrices las cuales son utilizadas para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal. 4
  5. 5.  El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico , 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. 5
  6. 6.  1 4 -2 Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) 0 8 2 ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una 0 0 7 columna es cada una de las líneas verticales. 6
  7. 7. 7
  8. 8. 8
  9. 9. 9
  10. 10. Una matriz fila está constituida por una sola fila 2 3 -1 8Tiene un orden que es de 1x4 1/8 4 2 5 10
  11. 11.  La matriz columna tiene una sola columna. 4x1 -7 1 2 1 3 6 0 3 11
  12. 12.  La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n. 1 2 3 9 1 3 12
  13. 13.  La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. 1 2 -5 3 6 5 0 -1 4 13
  14. 14.  En una matriz nula todos los elementos son ceros. 0 0 0 0 14
  15. 15.  En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. 1 7 -2 0 -3 4 0 0 2 15
  16. 16.  En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. 2 0 0 1 2 0 3 5 6 16
  17. 17.  Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. 2 0 0 0 2 0 0 0 2 17
  18. 18.  En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. 2 0 0 0 2 0 0 0 6 18
  19. 19.  Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 19
  20. 20. 1) X-2y+3z=-7 2) 2x- 4y+3z =-12 2x –y -z=7 3x -y +2z =-3 -x+3y+2z=-8 -4x -6y+8z =1 1 -2 3 -7 2 -4 3 -12 2 -1 -1 7 3 -1 2 -3 -1 3 2 -8 -4 -6 8 1 20
  21. 21.  Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de “A” a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas A= 2 3 0 At = 2 1 3 1 2 0 3 2 5 3 5 6 0 0 6 (At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At 21
  22. 22.  Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por Ejemplo: 1 2 3 1 0 5 1+1 3+0 2+5 2 3 7 1 0 0 + 7 5 0 = 1+7 0+5 0+0 = 8 5 0 1 2 2 2 1 1 1+2 2+1 2+1 3 3 3 22
  23. 23. 23
  24. 24.  At+Bt Ejemplo 2: At= 4 3 -4 ½ ¾ 5 1 -1 2Bt= 3 4 5 -1 -2 -3 1/5 -0.75 ½ 24
  25. 25.  AsociativaDadas las matrices m×n A, B y CA + (B + C) = (A + B) + C ConmutativaDadas las matrices m×n A y BA+B=B+A Existencia de matriz cero o matriz nulaA+0=0+A=A Existencia de matriz opuestacon gr-A = [-aij]A + (-A) = 0 25
  26. 26.  Sumar: 4 ½ 1 3 -1 1/5 A= B= 4 -2 -0.75 3 ¾ -1 -4 2/5 2 5 -3 1/2 4+3 1/2(-1) 1+1/5 A+B= 3+4 ¾+(-2) -1+(-3/4) -4+5 2/5+(-3) 2+1/2 7 -1/2 6/5 7 -5/4 -7/4 A+B= 26 1 -13/5 5/2
  27. 27.  Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Ejemplo: 2x1 2x8 2x-3 2 16 -6 2 1 8 -3 = = 4 -2 6 2x4 2x-2 2x6 8 -4 12 27
  28. 28.  Sean A y B matrices y c y d escalares. Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz. Asociatividad: (cd)A = c(d A) Elemento Neutro: 1·A = A Distributividad:  De escalar: c(A+B) = cA+cB  De matriz: (c + d)A = cA+dA 28
  29. 29.  Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por: (AB)[i,j]=A[i,j]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+…+A[ i,n]B[n,j] para cada par i y j. Por ejemplo: 3 11 02 x = (1x3 +0x2+2x1) (1x1+0x1+2x 0) = 51 2 1 -1 3 1 (-1x3+3x2+1x1) (-1x1+3x1+1x0) 42 1 0 29
  30. 30. Mètodo de GaussLa eliminación de Gauss-Jordan ,mas conocida Como el Mètodo de Gauss, es un Mètodo aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente es triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. 2 0 0 4 0 ½ ½ 1 0 0 -1 1 30
  31. 31. Es un teorema en algebra lineal, recibe el nombre en honor a Gabriel Cramer.Si Ax=B es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema es el vector columna de las incógnitas y B es el vector columna de los términos independientes. Entonces A es la matriz resultante de reemplazar4 la columna B.Lo representamos en forma de matrices asi: a b x e = c d y f 31
  32. 32. 3 5 = (3)(-1)-(4)(5) = -3-20=-23 A) 3x+5y=7 D= 4 -1 4x- y= -6Dx= 7 5 =(7)(-1)-(-6)(5)=-7+30=23 -6 -1Dy= 3 7 =(3)(-6)-(4)(7)=-18-28=-46 4 -6X=Dx/D= 23/-23=-1Y=Dy/D=-46/-23=2 R: -1,2 32
  33. 33. problemas 33
  34. 34. -1 1⁄2 5 2⁄3 -3 0.2 -157⁄105 26 -19⁄20 -2 1⁄3 01. A= -3 1⁄4 5 B= 1⁄5 -4 1⁄8 -17 -5 1⁄6 R= 209⁄420 -49⁄12 11⁄60 -55⁄21 -40 11⁄6 -1 1⁄2 5 2/3 1/5 -1/72. 2⁄3 -2 1/3 0 -3 -4 -5 R= -7/9 -3/60 -14/9 -52/45 -64/63 -58/63 -3 ¼ 5 1/5 1/8 1/6 -7/6 -13/20 1/126 5 -1 43. 3 0 -9 + -3 4 8 R= 2 3 12 0 -1 10 3 -1 1 5 -2 2 3 3 -54. 7 1 - 0 1 R= 7 0 8 0 3 2 5 0 34
  35. 35. 3 5 7 -5/4 8/3 29/85. ½ -1/2 1/3 ¼ + 1 -1 1 R= 1 -1 3/2 1 -1 2 3 4 -5 ½ -3/4 1/5 7/4 13/8 -22/56. X+3Y =6 5X-2Y =13 R. (3,1)7. 4X+5y=5-10y-4x=-7 R: (3/4,2/5)8. 3x+4y=8 8x-9y=-77 R: (-4,5) 35
  36. 36. 9. 5x/12-y=9 x-3y/4=15 R.(12,-4)10.11x-3y=39 5y+2x=-4 R: (3,-2)11. 5(x+3y)-(7x+8y)=-6 7x-9y-2(x-18y)=0 R:( 162/89,-30/89)12.x-3y+2z=5 2x+5y-4z=-3 R: (2,1,3) 35 -3x+y-2z=-11
  37. 37. 13. x-2y+4z=5 -3x+4y-2z=-8 R: (1,-1,1/2) 5y+4x-4z=-314. 5x-3y+4z=22 -x-15y+10z=-15 R: (5,1/3,-1/2) -3x+9y-12z=-615. 9x+4y-10z=6 6x-8y+5z= -1 R: (1/3,1/4,-1/5) 12x+12y-15z=1016. x+3y=1 -2x-3Y=4 R: (-5,2) 35
  38. 38. 17. 2x+4y=-2 -5x-2y=13 R: (-3,1)18. -x -2y=2 x+3y=-6 R: (6,-4)19. 5x-7y=-21 -4x+3y=22 R: (-7,-2)20. 2x+5y+3z=2 6x-9y =5 R:( 2,-2-1) 3y+2z=1
  39. 39.  El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices. 36
  40. 40.  http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema de ecuaciones lineales. http://es.wikipedia.org/wiki/matriz aumentada. www.google.com 37

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