Ecuaciones diferenciales murray r. spiegel

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Ecuaciones diferenciales murray r. spiegel

  1. 1. terceraedicionMURRAY R SPIEGEL
  2. 2. ecuacronesdiferenciales, aplzcadas MURRAY R. SPIEGEL Consultor matemático y ex-profesor y jefe, Departamento de Matemáticas Rensselaer Polytechnic Institute Hartford Graduate Center Traducción: HENRY RIVERA GARCIA M. Sc., Ingeniería Industrial, University of PittsburghPRENTICE-HALL IHISPANOAMERICANA, S.A.M6xlco n Englewood Cllffs n Londres m Sydney l Toronto nNueva Delhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiro
  3. 3. ecuaczonesdrjcerenciales~ aplicadas MURRAY R. SPIEGEL Consultor matemático y ex-profesor y jefe, Departamento de Matemáticas Rensselaer Polytechnic Institute Hartford Graduate Center Traducción: HENRY RIVERA GARCIA M. Sc., Ingeniería Industrial, University of PittsburghPRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.Mbxico n Englewood Cliffs n Londres l Sydney H Toronto HNueva Delhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiro
  4. 4. ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o rn&odo, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOSOWS3, respecto a la primera edición en espafiol por: PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A. Enrique Jacob No. 20, Col. El Conde C.P. 53500 NauCalPan de Juarez . Edo. de México. Miembro de la- Camara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1524 Traducido de la tercera edición en ingl6s de APPLIED DIFFERENTIAL EQUATIONS Copyright @ MCMLXXXI by Prentice-Hall Inc. ISBN O-13-234997-3 3456789012 E.C.-BE 86123457gO Impreso en México Printed in Mexico u oc1 PROGRAMAS EDUCATIVOS, S.A. Calz. de Chabacano 65 Local A Col. Asturias Del. Cuauhtkmoc looo 1994 q 0L
  5. 5. Ami madre
  6. 6. contenido . . PREFACIO XIII parte Z ecuaciones diferenciales ordinarias 1 CAPITULO UNO ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL 2 1. Conceptos de ecuaciones diferenciales 3 1.1 Algunas definiciones y observaciones 3 1.2 Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial y de frontera 7 1.3 Soluciones generales y particulares 15 1 .4 Soluciones singulares 20+ 2. Observaciones adicionales relacionadas con las soluciones 23 2.1 Observaciones sobre existencia y unicidad 23 2.2 Campo de direcciones y el método de las isoclinas 28 CAPITULO DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLES DE ALTO ORDEN 3 4 1. El m6todo de separación de variables 35 2. El método de latransformación de variables 38 2 . 1 L a e c u a c i ó n homog6nea 38 2.2 Otras transformaciones especiales 39 3. La idea intuitiva de exactitud 41 4. Ecuaciones diferenciales exactas 43 5. Ecuaciones hechas exactas por un factor integrante apropiado 48 5.1 Ecuaciones hechas exactas por factores integrantes que involucran una variable 49 vii
  7. 7. 5.2 La ecuación de primer orden lineal 53 5.3 El método de inspección 56 6. Ecuaciones de orden superior al primero que se resuelven fácilmente 57 6.1 Ecuaciones inmediatamente integrables 58 6.2 Ecuaciones con una variable ausente 58+ 7 . La ecuacián de Clairaut 60 64 8. Revisión de métodos importantes CAPITULO TRES APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SIMPLES DE ORDEN SUPERIOR 70 1. Aplicaciones a la mecánica 71 1.1 Introducción 71 1.2 Las leyes del movimiento de Newton 71 2. Aplicaciones a los circuitqs eléctricas 82 2.1 Introducción 82 2.2 Unidades 84 2.3 La ley de Kirchhoff 84 3. Trayectorias ortogonales y sus aplicaciones 89 4. Aplicaciones a la química y a las mezclas químicas 95 5. Aplicaciones a flujo de calor de estado estacionario 101 6. Aplicaciones a problemas misceláneas de crecimiento y decaimiento 106 7. El cable colgante 1 ll 8. Un viaje a la Luna 116 9. Aplicaciones a‘cohetes 120 10. Problemas de física que involucran geometria 123 ll. Problemas misceláneas en geometría 132 12. La deflección de vigas 137 13. Aplicaciones a biología 148 13.1 Crecimiento biológico 148 13.2 Un problema en epidemiología 153 13.3 Absorción de drogas en órganos o células 156 14. Aplicaciones a la economía 159 14.1 Oferta y demanda 159 14.2 Inventarios 162 CAPITULO CUATRO ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 166 1. La ecuación diferencial Ilneal general de orden n 167 2. Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones lineales 171 3. iCómo obtener -Ia solución complementaria? 173 3.1 La ecuación auxiliar 173 3.2 El caso de raíces repetidas 175 3.3 El caso de raíces imaginarias 178 3.4 Independencia lineal y wronskianos 181 4. iCómo obtener una solución particular? 192 4.1 Método de IOS coeficientes indeterminados 192 4.2 Juswicación al método de coeficientes indeterminados. El método Aniquilador 194 4.3 Excepciones en el método de los coeficientes 196 4.4 Casos donde funciones más complicadas aparecen en el lado derecho 199VIII
  8. 8. 4.5 El m&odo de variación de parámetros 2024.6 Métodos abreviados involucrando operadores - 2075. Observaciones relacionadas con ecuaciones con coefici.entes variables . las cuales se pueden transformar en ecuaciones lineales con coeficientes constantes: La ecuación de Euler 2156. Repaso de métodos importantes 218 CAPITULO CINCO APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 2231. Movimiento vibratorio de sistemas mecánicos 2241.1 El resorte vibrante. Movimiento armónico simple 2241.2 El resorte vibrante con amortiguamiento. Movimiento sobre amortiguado y críticamente amortiguado 2321.3 El resorte con fuerzas externas 2401.4 El fenómeno de resonancia mecánica 2432. Problemas de circuitos eléctricos 1 2463. Problemas misceláneas 2503.1 El péndulo simple 2503.2 Oscilaciones verticales de una caja flotando en un líquido 2523.3 U n p r o b l e m a e n cardiografía 2533.4 Aplicación a la economía 255 CAPITULO SEIS SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR TRANSFORMADAS DE LAPLACE 2601. Introducción al método de las transformadas de Laplace 2611.1 Motivación para las transformadas de Laplace 2611.2 Definición y ejemplos de la transformada de Laplace 2621.3 Propiedades adicionales de las transformadas de Laplace 2651.4 La función Gamma 2661.5 Observaciones concernientes a la existencia de las transformadas d e Laplace 2671.6 La función salto unidad de Heaviside 2692. Funciones impulso y la función delta de Dirac 2733. Aplicación de las transformadas de Laplace a ecuaciones diferenciales 2783.1 Solución de ecuaciones diferenciales sencillas. Transformadas inversas d e Laplace 2783.2 Algunos métodos para hallar transformadas inversas d e Laplace 2793.3 Observaciones concernientes a la existencia y unicidad de las transformadas inversas de Laplace 2874. Aplicaciones a problemas físicos y biológicos 2904.1 Aplicaciones a circuitos eléctricos 2904.2 Una aplicación a la biología 2934.3 El problema tautócrono-Aplicación de una ecuación integral en mecánica 2944.4 Aplicaciones involucrando la función delta 2984.5 U n a a p l i c a c i ó n a l a t e o r í a d e c o n t r o l a u t o m á t i c o y servorr,ecanismos 299 CAPITULO SIETE SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES USANDO SERIES 3041. Introducción al uso de serles 3051.1 Motivación para soluciones con series 305 iX
  9. 9. 1.2 Uso de la notacibn sumatoria 307 1.3 Algunas preguntas de rigor 311 1.4 El m6todo de la serie de Taylor 317 1.5 M é t o d o d e iteracih d e Picard 319 2. El m&odo de Frobenius 322 2.1 Motivación para el método de Frobenius 322 2.2 Ejemplos usando el mkodo de Frobenius 326 3. Soluciones con series de algunas ecuaciones diferenciales importantes 338 3.1 La ecuación diferencial de Bessel 338 3.2 Ecuación diferencial de Legendre 348 3.3 Otras funciones especiales 350 CAPITULO OCHO FUNCIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE 353 + - 1. Funciones ortogonales 354 1 .l Funciones como vectores 354- 1.2 Ortogonalidad 356- 1.3 Longitud o norma de un vector. Ortonormalidad 357- 2. Problemas de Sturm-Liouville 361-2.1 Motivación para los problemas de Sturm-Liouville. Eigenvalores y Eigenfunciones 361 2.2 Una aplicación al pandeo de vigas 368 3. Ortogonalidad de las funciones de Bessel y Legendre 371 3.1 Ortogonalidad de las funciones de Bessel 371 3.2 Ortogonalidad de las funciones de Legendre 376 3.3 Funciones ortogonales misceláneas 378 4. Series ortogonales 380 4.1 Introducción 380 4.2 Series de Fourier 385 4.3 Series de Bessel 403 4.4 Series de Legendre 408 4.5 Series ortogonales misceláneas 411 5. Algunos tópicos especiales 414 5.1 Ecuaciones diferenciales así mismo adjuntas 414 5.2 El m&odo de ortonormalización de Gram-Schmidt 417 CAPITULO NUEVE LA SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 420 1. Solucibn numérica de y’=f(x. y) 421 1.1 El método de pendiente constante o método de Euler 422 1.2 El método de pendiente promedio o método modificado de Euler 425 1.3 Diagramas de computador 427 1.4 AnBlisis de errores 428 1.5 Algunas guías prácticas para la solución numérica 431 2. El método de Runge-Kutta 433
  10. 10. parte II sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias CAPITULO DIEZ SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES 4381. Sistemas de ecuaciones diferenciales 4391.1 Motivación para los sistemas de ecuaciones diferenciales 4391.2 Método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales 4411.3 El uso de operadores en la eliminación de incógnitas 4431.4 Métodos abreviados de operador 4462. Soluciones de sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias 4483. Ecuaciones diferenciales expresadas como sistema de primer orden 4494. Aolicaciones a la mecánica 4524.1 El vuelo de un proyectil 4524.2 Una aplicación a astronomía 4614.3 El movimiento de satélites y mísiles 4654.4 El problema de las masas vibrantes 4705. Aplicaciones a las redes ekctricas 4766. Aplicaciones a la biología 4816.1 Concentración de una droga en un sistema de dos compartimientos 4816.2 El problema de epidemia con cuarentena 4847. El problema depredador-presa: Un problema en ecología 4887.1 Formulación matemática 4897.2 Investigación de una solución 4907.3 Algunas aplicaciones adicionales 4978. Solución de sistemas lineales por transformadas de Laplace 4989. Método de las soluciones complementaria y particular 5009.1 iCómo encontramos la solución complementaria? 5029.2 iCómo encontramos una solución particular? 5069.3 Resumen del procedimiento 507 CAPITULO ONCE METODOS DE EIGENVALORES DE MATRICES PARA SISTEMAS + DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 51Q1. El concepto de una matriz 5111.1 Introducción 5111.2 Algunas ideas simples 5111 .3 Vectores fila y columna 5 121 .4 Operaciones con matrices 5142. Ecuaciones diferenciales matriciales 5213. La solución complementaria 5223.1 Eigenvalores y eìgenvectores 5233.2 El caso de eigenvalores reales distintos 5243.3 El caso de eigenvalores repetidos 5263.4 El caso de eigenvalores imaginarios 5273.5 Un problema algo más complicado 529 Ki
  11. 11. 3.6 Independencia lineal y wronskianos 532 4. La solución particular 533 5. Resumen del procedimiento 534 6. Aplicaciones usando matrices 535 7. Algunos tópicos especiales 539 7.1 Ortogonalidad 539 7.2 Longitud de un vector 541 7.3 Eigenvalores y eigenvectores de matrices reales simétricas 542 ecuaciones dijkrenciales parciales C A P I T U L O D O C E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S PAFWALES EN GENERAL 550 1. El concepto de una ecuación diferencial parcial 551 1.1 Introducción 551 1.2 Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales parciales sencillas 551 1.3 Significado geométrico de las soluciones general y particular 554 1.4 Ecuaciones diferenciales parciales que surgen de la eliminación de funciones arbitrarias 555 2. El método de separación de variables 560 3. Algunas ecuaciones diferenciales parciales importantes que surgen de problemas físicos 569 3.1 Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones. La cuerda vibrante 569 3.2 Problemas que involucran conducción o difusión de calor. 573 3.3 P r o b l e m a s q u e i n v o l u c r a n p o t e n c i a l elbctrico o g r a v i t a c i o n a l 577 3.4 Observaciones sobre la deducción de ecuaciones diferenciales parciales 578 CAPITULO TRECE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA USANDO SERIES DE FOURIER 581 1. Problemas de valor de frontera que involucran conducción de calor 582 1.1 El problema de Fourier 582 , 1.2 Problemas que involucran fronteras aisladas 588 1.3 T e m p e r a t u r a d e e s t a d o e s t a c i o n a r i o e n u n a p l a c a semi-infinita 590 1.4 Interpretación de difusión de la conducción de calor 593 2. Problemas de valor de frontera que involucran movimiento vibratorio 59? 2.1 El problema de la cuerda vibrante 597 2.2 La cuerda vibrante con amortiguamiento 6oF 2.3 Vibraciones de una viga 603 3. P r o b l e m a s d e v a l o r d e f r o n t e r a q u e i n v o l u c r a n l a e c u a c i ó n d e Laplace 607 4. Problemas misceláneas 615 4.1 La cuerda vibrante bajo la gravedad 615 4.2 Conducción-de calor en una barra con condiciones no cero en los extremos 617Xii
  12. 12. 4.3 La cuerda vibrante con velocidad inicial no cero 619 4.4 Vibraciones de una piel de tambor cuadrada: Un problema que involucra series dobles de Fourier 620 4.5 Conducción de calor con radiación 625 CAPITULO CA TORCE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA . 4 USANDO FUNCIONES DE BESSEL Y DE LEGENDRE 632 1. Introducción 633 2. Problemas de valor de frontera que conducen a funciones de Bessel 633Y-2.1 El Laplaciano en coordenadas cilíndricas 633- 2.2 Conducción de calor en un cilindro circular 634- 2.3 Conducción de calor en un cilindro radiante 637- 2.4 Vibraciones de una piel de tambor circular 638 3. Problemas de valor de frontera que conducen a funciones de Legendre 646- 3.1 El Laplaciano en coordenadas esféricas 646- 3.2 Conducción de calor en una esfera 648- 3.3 Potencial eléctrico o gravitacional debido a una esfera 651 4. Problemas misceláneas 655 4.1 El problema de la cadena vibrante 655 4.2 P o t e n c i a l ektrico debido a un alambre circular uniformemente cargado 659 4.3 El problema de la bomba atómica 662 APENDICE DETERMINANTES A-l RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS A-7 TABLAS: DE TR A S FO R M A D A S . .; DE INTEGRALES. T-l BIBLIOGRAFIA B-l MATEMATICOS QUE HICIERON APORTES. . M-l INDICE I-1 X,II
  13. 13. pre fado El propósito de este libro es el de proporcionar una introducción a las ecua- ciones diferenciales y sus aplicaciones para los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas. Para alcanzar este propósito, el libro ha sido escritocon los siguientes objetivos: 1. Demostrar cómo las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en lasolución de variados tipos de problemas -en particular, mostrar al estudiante cómo (a) traducir problemas a un lenguaje de ecuaciones diferenciales, estoes, establecer la formulación matemática de problemas; (b) resolver la ecua-ción diferencial resultante sujeta a condiciones dadas; y (c) interpretar lassoluciones obtenidas. Problemas elementales de muchos campos diferentes eimportantes se explican en relación a su formulación matemática, solución, einterpretación. Las aplicaciones están ordenadas de modo tal que los tópicosde mayor interés a los estudiantes o al profesor pueden escogerse sin dificultad. 2. Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un entendimiento delos tópicos y se desarrolle un interés. Esto se hace por medio de ayudas comoejemplos, preguntas y problemas para discusión. 3. Proporcionar relativamente pocos métodos de resolver ecuaciones dife-renciales que pueden aplicarse a un grupo grande de problemas. Se ha enfa-tizado en un número mínimo de métodos básicos que el estudiante encuentranormalmente en la práctica; otros métodos menos utilizados que sin embargoson de interés se pueden encontrar en los ejercicios. 4. Proporcionar al estudiante que desee investigar métodos e ideas másavanzados, o problemas y técnicas más complicados una oportunidad para quelo haga. Esto se hace al ofrecer cerca de 2.2K1 ejercicios ordenados en dificul-tad. Los ejercicios tipo A son en su mayoría fáciles, requieren poca originali-dad y están diseñados para propósitos de práctica. Los ejercicios tipo B en-vuelven computaciones algebraicas más complicadas o mayor originalidad que xv
  14. 14. la del grupo A. Los ejercicios tipo C están dirigidos principalmente a comple-mentar el material del texto; ellos exigen un alto grado de originalidad y cono-cimiento, diseñados para desafiar al estudiante. 5. Unificar la presentación a través de un enfoque ordenado y lógico, ha-ciendo énfasis en conceptos generales en vez de hacerlo en detalles aislados.Por ejemplo, después de introducir el muy simple método de separación de va-riables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, se introducenlos conceptos de transformación de variables y los de hacer una ecuación exac-ta al multiplicar por un factor integrante apropiado. Estos conceptos se usanluego en la solución de otros tipos de ecuaciones. 6. Separar la teoría de las ecuaciones diferenciales de sus aplicacionespara dar amplia atención a cada una. Esto se consigue presentando la teoríay aplicaciones en capítulos separados, particularmente en los primeros capí-tulos del libro. Esto se hace por dos razones. Primero, desde un punto de vistapedagógíco, parece no aconsejable mezclar teoría y aplicaciones en las etapasiniciales puesto que el principiante generalmente encuentra difícil la formu-lación matemática de problemas aplicados; cuando él se ve forzado a hacerlo,además de aprender técnicas de solución, generalmente ningún tema se do-mina. Al tratar teoría sin aplicaciones y luego ampliar gradualmente a las apli-caciones (al mismo tiempo que se revisa la teoría), el estudiante puede apren-der mejor ambos tópicos puesto que la atención así se concentra en sólo unaspecto a la vez. Una segunda razón para separar teoría y aplicaciones es lade facultar a los profesores que deseen presentar un mínimo de aplicacionesde hacerlo tan fácilmente sin tener que estar en la difícil posición de tenerque “saltar” capítulos. El libro está dividido en tres partes principales. Parte 1 trata de las OXU-ciones diferenciales ordinarias, Parte II con sistemas de ecuaciones diferen-ciales ordinarias y Parte III con ecuaciones diferenciales parciales. ES útildiscutir los capítulos en cada parte. Parte 1, ecuaciones diferenciales ordinarias. El Capítulo uno da una pre-sentación general a las ecuaciones diferenciales incluyendo la motivación porproblemas de valor inicial y de frontera junto con tópicos relacionados. En elCapítulo dos se discuten métodos para resolver algunas ecuaciones de primerorden y simples de alto orden. Estos métodos se aplican en el Capítulo tres acampos tales como física (incluyendo mecánica, electricidad, flujo de calor,etc.), química, biología y economía. El Capítulo cuatro discute métodos basi-COS para resolver ecuaciones diferenciales lineales mientras que el Capít,ulocinco usa estos métodos en problemas aplicados. En el Capítulo seis se presenta la transformada de Laplace y se hacenaplicaciones a ecuaciones diferenciales e integrales. Entre los tópicos consi-derados están la función gamma, funciones de impulso y la función delta deDirac, el problema tautócrono y servomecanismos, El Capítulo ocho, el cual es opcional, introduce la idea de funciones orto-gonales y problemas de Sturm-Liouville usando generalizaciones a partir devectores en dos y tres dimensiones. Algunos tópicos tratados en este capítuloson eigenvalores y eigenfunciones, y series ortogonales incluyendo series deFourier y de Bessel. En el capítulo final de la Parte 1, Capítulo nueve, se presenta una intro-ducción a varios métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.xvi
  15. 15. En este capítulo se incluye una discusión de diagramas de computador y ele- mentos de análisis de errores. Parte II, sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. ESta parte con- siste de dos capítulos. El primero de estos, el Capitulo diez, tiene e] propósito de servir de introducción general y de ofrecer varios métodos pars resolver ecuaciones diferenciales simultáneas junto con aplicaciones tales como el mo- vimiento planetario y de satélites, vibraciones, electricidad y biología. Incluí- dos en este capítulo están los principios elementales del análisis del plano de fase y estabilidad motivados por el problema del depredador-presa en ecología. El segundo capítulo, Capítulo once, el cual es otro capítulo opcional, dis- cute métodos matriciales para resolver sistemas lineales. Este capítulo mues-tra cómo conceptos teóricos importantes tales como eigenvalores y ortogonali- dad surgen de manera natural en el proceso de solución. Parte III, ecuaciones diferenciales parciales. Esta parte está compuesta de tres capítulos. El primero de estosel Capítulo doce, intenta servir de una introducción general a algunas de las ideas concernientes a las ecuaciones diferenciales parciales. Estas incluyen deducciones de ecuaciones importan- tes que surgen en varios campos tales como conducción de calor, vibración yteoría de potencial. El segundo capítulo, Capítulo trece, presenta métodos deseries de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Finalmen-te, el Capítulo catorce, el cual es opcional explora métodos para resolver ecua-ciones diferenciales parciales usando funciones de Bessel y de Legendre. Unaspecto importante de este capítulo es el problema de la bomba atómica el cualse trata junto con otros tipos de problemas más convencionales y relat,ivamen-te inofensivos dados en los Capítulos doce y trece. Los capítulos han sido escritos y ordenados para proporcionar un máximode flexibilidad. Por ejemplo, los Capítulos seis y once se pueden omitir sin nin-guna pérdida de continuidad si ell profesor decide no cubrir las transformadasde Laplace o métodos matriciales. Similarmente, en el Capítulo diez el métodode la solución complementaria-particular para resolver sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales se ilustra sin el uso de matrices mientras que en el Ca-pítulo once se trata con matrices. Así, el profesor puede usar uno u otro o am-bos para demostrar sus relaciones. Como otro ejemplo, en el Capítulo trece, elcual presenta métodos de series de Fourier para resolver ecuaciones diferen-ciales parciales, las series de Fourier se introducen en una manera histórica,esto es, como Fourier pudo haberlas descubierto. Como resultado, est,e capítu-lo es esencialmente independiente del Capítulo ocho, el cual trata con funcio-nes y series ortogonales, proporcionándole al profesor la opcibn de omitir ente-ramente el Capítulo ocho. En casos donde pudiera existir alguna duda, loscapítulos y secciones de capítulos han sido marcados con un diamante paraindicar que son opcionales. Sin embargo, los capítulos y secciones que han si-do marcados como opcionales (tales como los concernientes a las transforma- ‘.das de Laplace, métodos numéricos y aplicaciones particulares), no han sidomarcados como tales debido a que el cubrimiento u omisión de los tópicos in-cluidos generalmente dependerán de la clase de curso que se ofrezca, Ios t.ópi-cos a considerar, etc. Debido al alto grado de flexibilidad, el libro se puede usar en una varie-dad de cursos empezando desde un curso de uno a dos semestres e incluyen-do sólo ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones diferenciales ordina-rias y parciales. El diagrama en la pagina xvi, el cual indica secuencias XVII
  16. 16. posibles de capítulos, puede ser útil al profesor en la planeación de un curso. Por ejemplo, en un curso semestral que cubra ecuaciones diferenciales ordi- narias y parciales, una posible secuencia de capítulos es 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 13. Una doble flecha indica que los capítulos se pueden intercambiar. Así, por ejemplo, el Capítulo siete si se desea podría preceder al Capítulo seis. El autor desea aprovechar esta oportunidad para expresar sus agradeci- mientos a Esther y Meyer Scher por su continuado interés y estímulo; al gru- po asesor de la Prentice Hall, especialmente a Leslie Nade11 y E3ob Sickles, por su excelente cooperación; y a los siguientes profesores de matemáticas quienes revisaron el manuscrito y proporcionaron muchas sugerencias útiles: Ebon E. Betz, United States Naval Academy; E. E. Burniston, North Carolina State University; John Burns, Virginia Polytechnic Institute and State Uni- versity; Ronald Hirschorn, Queen’s University; James Hurley, University of Connecticut; R. N. Kesarwani, University of Ottawa; Anthony L. Peressini, University of Illinois; William L. Perry, Texas A & M University; Daniel Sweet, University of Maryland; Henry Zatzkis, New Jersey Institute of Technology. * * * Fue un gran placer enterarme de la traducción al idioma Español de mi libro Ecuaciones diferenciales aplicadas, tercera edición. Espero que esto dará una oportunidad a otros de disfrutar la belleza del tema de las ecuaciones dife- renciales y sus numerosas aplicaciones. Murray R. Spiegel XVIIIh ‘te--.- ^-
  17. 17. POSIBLES SECUENCIAS DE CAPITULOS 1. Ecuscionss diferenciales sn general2. Ecuaciones 3. Aphcacioner dediferenciales de ec”acio”** Dife-primer orden y c rencmlesde primeramples de altoorden orden y emplesde orden supermr 1 l 6. Funcionesorto-9. La soluci6n “U- gonalss y probls-m6rics de .cu.cio- 4 c - masde Sturm-nes diferenciala L,O”“i,k l 11. MOtodosde e,gwwaloresde matrices para Yr mrnas de ecuacic- nerdifsrencialss lineales 13. Sotuciones de problemas de valor de frontera. uw”do series de Fourier L l I t l I l 14. Solucionesds problemas de valor de frontera umdo funaoneíds hs- d Y Legendra xix
  18. 18. diferenciales ordinarias
  19. 19. uno ecuaciones diferenciales en general 1. CONCEPTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 Algunas definiciones y observaciones 1.2 Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial y de frontera 1.3 Soluciones generales y particulares 1.4 Soluciones singulares + 2. OBSERVACIONES ADICIONALES EN RELACION A LAS SOLUCIONES 2.1 Observaciones sobre existencia y unicidad 2 . 2 C a m p o d e d i r e c c i o n e s y e l m é t o d o d e l a s isoclinas2 .
  20. 20. Conceptos de ecuaciones diferenciales 1.1 ALGUNAS DEFINICIONES Y OBSERVACIONES El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz en elsiglo 17 proporcionó el ímpetu para los grandes avances que siguieron en lasmatemáticas, ciencias, e ingeniería. Una de las más importantes y fascinan-tes ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para las formulacio-nes matemáticas y soluciones de variados problemas en estas áreas se llamaecuaciones diferenciales, las cuales estudiaremos en este libro. Con el obje-to de seguir adelante, necesitamos primero algunas definiciones.Definición 1. Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra de-rivadas de una función desconocida de una o más variables. Si la funcióndesconocida depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadasson derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial or-dinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una va-riable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación sellama una ecuación diferencial parciul.* L1.vEjemplo 1. La ecuación -=2x+> 0 y’ =2x + y (1) dxen la cual y es una función desconocida de una sola variable x es una ecua-ción diferencial ordinaria. Frecuentemente escribimos y = f(x) y llamamos ax la variable independiente, y y, la cual depende de x, la variable dependien-te. Por brevedad podemos denotar el valor de y en x por y(x), y sus derivadassucesivaspory’(x), y ” ( x ) , , osimplementey’,y”,. d2XEjemplo 2. L a e c u a c i ó n --2$--15x=0 (2) dt2en la cual x es una función desconocida en una sola variable t es una ecua-ción diferencial ordinaria. Podemos escribir x = g(t), donde t es la variableindependiente y x la variable dependiente. Por brevedad podemos denotarel valor de x en t por x(t), y también podemos denotar las derivadas por x’(t),x ” ( t ) , ., 0 s i m p l e m e n t e x ’ , x ” , 2 2Ejemplo 3. La ecuación g+2+ (3)en la cual V es una función desconocida en dos variables x y y es una ecua-ción diferencial parcial. Podemos escribir V= F(x, y), donde x y y son va-riables independientes y V es la variable dependiente. Por brevedad podemosdenotar el valor de V en x y y por V(x, y). *Excluimos de la clase de ecuaciones diferenciales aquellas que son identidades tales co1110 Ecuaciones diferenciales en genarel 3
  21. 21. Definición 2. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la deri- vada más alta que aparece en la ecljación. Ejemplo 4. La derivada más alta que aparece en la ecuación (1) es dy/ dx, la cual es de primer orden, esto as, de orden 1. Por tanto, la ecuación di- ferencial es una ecuación de orden 1, o una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Ejemplo 5. L a d e r i v a d a m á s a l t a q u e a p a r e c e e n e c u a c i ó n ( 2 ) e s dLx/ ’ dtz, la cual es de segundo orden, esto es, orden 2. La ecuación diferencial es por tanto de orden 2, o una ecuación diferencial ordinaria de segundo or- den. Ejemplo 6. La derivada más alta que aparece en ecuación (3) es îi2V/Ox2 0 i2Vliy2, a m b a s s o n d e s e g u n d o orden. Por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial parcial ‘de segundo orden. O~semm¿h 1. Una ecuación diferencial ordinaria d e orden 11 puede expresarse como g(x, y, y,, J”‘, . . , 2.‘“‘) = 0 (4) Si podemos resolver esta ecuación por la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones de orden n tomanalo la siguiente forma: p) = F-(x, j’, y, . > 4”” - l)) (5) Ejemplo 7. La ecuación de primer orden (y’)” + xy’ -y = 0 (6) es equivalente a las sigüientes dos ecuaciones de primer orden y’ = &p-Tq - XI), 2“ = -&/TT-q + s) (7) Observación 2. Adicionalmente a su orden, es útil clasificar una ecua- ción diferencial ordinaria como una (ecuación diferencial lineal o no-lineal de acuerdo a la siguiente. Definición 3. Una ecuación diferencial ordinaria lineal es una ecuación que puede ser escrita -en la forma a,(x)y’“~ + a,(x)J’“- l’ + . . + an-,(X)J” + U,(X)J~ = F(s) (8) d o n d e F(x) y los coeficientes a , ( x ) , a, (x),. , a , ( x ) son funciones dadas de x y a,(x) no es idéntica a cero.* Una ecuación diferencial que no puede escribirse en la forma (8) se llama una ecuación diferencial no-lineal. Ejemplo 8. Las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordina- rias lineales. Ejemplo 9. La ecuación (6) o las dos ecuaciones equivalentes (7) son no- lineales. *En álgebra OU + ¿IL’ donde a y b no dependen de u o de LJ frecuentemente se llama una fun- ción lineal de u y U. La terminología linevzl cen la Definición 3 está inspirada en una generaliza- ción de esta idea debido a que el lado izquierdo de (8) es una función lineal de J’, y ‘, , J (“). 4 Capítula uno1
  22. 22. Las ideas presentadas en las Observaciones 1 y 2 también se pueden ex-tender a las ecuaciones diferenciales parciales. Como tendremos ocasión deobservar a lo largo de este libro, las ecuaciones diferenciales lineales son ‘engeneral más fáciles de manejar que las ecuaciones no lineales.Definición 4. Una solución de una ecuación diferencial es cualquier fun-ción que satisface la ecuación, esto es, la reduce a una identidad.Ejemplo 10. Las funciones definidas por X= eS 1 y x = e-3 f son dos so-luciones de la ecuación (21, puesto que la sustitución de éstas conducen res-pectivamente a 25P - 2(5P) - 15f? = 0, ge-31 - 2(-3r-3’) - 15p-3’ = 0las cuales son identidades. Otra solución es x = 0, y pueden existir otras. IDeh e c h o x=c,e”‘+~,e-~’ d o n d e cl y cp son constantes arbitrarias es unasolución.Ejemplo ll. La función definida por V= e”xsen 231 es unn solución de ((3)puesto que dV ¿F v 3lJ p ,,’ d.- = 38’ sen 2y, a-2 = 9~“” sen 2y, F = 2e3-’ cos s, p = - 4e.j 1 sen 2yde modo que al sustituir encontramos la identidad 9e3”sen2y + 2( -4e3’sen2y) = e3xsen?4.. Observación 3. En los Ejemplos 10 y Il las soluciones se dieron sinrestricciones sobre los valores-que asumen las variables independientes. Al-gunas veces, sin embargo, debemos restringir tales valores, como por ejemplocuando queremos que los valores de la función sean reales o tengan otraspropiedades. Por ejemplo, si f(x) = V9 - ~2, entonces para que f(x) sea realdebemos tener - 3 5 x 5 3. Tales valores constituyen lo que se llama el do-minio de la función. Cuando no se especifica el dominio, como muchas ve-ces ocurre, asumimos que el dominio es el conjunto de todos los valores paralos cuales las operaciones indicadas producen resultados con sentido. Así,por ejemplo, si una función se define por f(x) = 1/(x - 3), entonces el domi-nio es el conjunto de todos los valores de x excepto 3, esto es x.+ 3, puestoque la división por cero carece de sentido.Ejemplo 12. La función definida por y = fl- es una solución de y’= -5. Ypuesto que (10)y al sustituir en la ecuación diferencial (9) se obtiene una identidadSin embargo, es claro que si deseamos que la función sea real y la derivada .(10) exista debemos restringir x al dominio -3< x<3; esto es, debemos (ex-cluir x = - 3 y x = 3. Así podemos decir que y = m es una solución de Ecuaciones diferenciales en genera/ 5
  23. 23. (9) sobre el intervalo - 3 < x < 3. Otros dominios podrían también tomarse.Por ejemplo, las funciones definidas por y = m, 0 3 x < 3, o y = m,l< x: < 2 son también soluciones de (9). Observaciones similares pueden hacerse para funciones de dos o másvariables. Por ejemplo, si V= V9 - (x2 + yz ), entonces para que V y sus deri-vadas parciales con respecto a x y y existan y sean reales, se debe restringirz JJ y de modo que ~2 +yz < 9, dominio que geométricamente representa el in-terio,r de un círculo de radio 3 en el plano xy y con centro en el origen. Bbseruación 4. En todos los ejemplos anteriores tratamos con solucio-nes 8-n las cuales la variable dependiente fue resuelta explicitamente en tér-minos de las variables independientes, y por esta razón nos referimos a lasfunciones como funciones explícitas. Corno se aprendió en cálculo, sin em-bargo, podemos tener funciones definidas implícitamente por ecuaciones queinvolucran las variables dependientes e independientes, en cuyo caso ellasse refieren como funciones implícitas.Ejemplo 13. Dada la relación xs +y j = 9 entre x y y, podemos considerara y alefinida implícitamente como una función de X. De hecho, notando quela relación es equivalente a y = t /9 - ~2, podemos ver que una de éstases la misma que aparece en la relación del Ejemplo 12. Esta situación nos in-dica el hecho de que al tratar con funciones implícitas se puede requerir in-vestigación adicional para determinar la función especificada que se desea,puesto que se pueden incluir muchas funciones. Note que si diferenciamosxi + yZ = 9 implícitamente, considerando a y como una función de X, obte-nemos: 2x + 2yy’ = 0 0y’= -2 (111 Yla cual concuerda con (9). El hecho de que debemos ser cuidadosos sobre loque cestamos haciendo puede ilustrarse al notar que x2 +y’ = -9 tambiénsatisface formalmente a (ll), pero ella ni siquiera define a y como una fun-ción real de X.Ejemplo 14. Asuma que y3 - 3s + 3y = 5 (12)defin.e a y (implícitamente) como una función de X. Entonces esta funciónsería una solución de y” zzz -$( y’)” (13)puesto que al diferenciar (12) con respecto a x encontramos y’= ’ y = -2Y (14) y” (y’ + ll”de m.odo que la sustitución de las derivadas dadas por (14) en (13) producela identidad - - ?Y I 3 (y2 + ,)” = -2) (151 m (>-La pregunta de si (12) realmente sí define a y como una función de x requie- ’re mayor investigación, pero hasta que tal decisión se obtenga ella se puedereferiir como a una solución formal.. .6 Capítulo uno
  24. 24. 1.2 EJEMPLOS SENCILLOS DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE FRONTERA Muy frecuentemente, especialmente en problemas aplicados, una ecua- ción diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la función desconocida debe satisfacer. Como un ejemplo sencillo, considere el siguiente PROBLEMA PARA DISCUSION Una partícula P se mueve a lo largo del eje x (Figura 1.1) de tal manera quesu aceleración en cualquier tiempo t 2 0 está dado por a = 16- 24t. (a) En-cuentre la posición x de la partícula medida del origen 0 a cualquier tiempot > 0, asumiendo que inicialmente (t = 0) está localizada en x = 2 y está via-jando a una velocidad u = - 5. (b) Trabaje parte (a) si solamente se sabe quela partícula está localizada inicialmente en x = 2, y en x = 7 cuando t = 1 +X 0 P Figura 1.1 Para formular matemáticamente este problema, recordemos primero delcálculo que la velocidad y aceleración de una partícula que sè mueve a lo lar-go del eje x están dadas respectivamente por dx d*x v=z Y a=JpEntonces de la primera frase del enunciado del problema se tiene d*x _ = 16 - 24t (17) dt*la cual es la ecuación diferencial requerida para el movimiento.Solución a la Parte (a) Las condiciones sobre la función x dadas en parte(a) son x = 2, v = -5 en t = 0 esto es, x(O) = 2, x’(0) = - 5 (18)Se debería notar que el significado del signo menos en u = - 5 es de que lapartícula está viajando inicialmente hacia la izquierda. Si integramos (17)una vez, encontramos dx - = 16t - 12t2 + c1 (19) dtdonde c1 es una constante arbitraria. Esta constante puede determinarsede la segunda condición en (18) con t = 0 en (19). Encontramos - 5 = 0 + cr ,esto es, c1 = - 5, de modo que dx - = 16t - 12t* - 5 (20) dtLa integración de (20) da x = 8t2 - 4t3 - 5t + c2 (21)donde c2 es otra constante arbitraria que puede determinarse de la primeracondición en (18) con t = 0 en (21). Encontramos 2 = Cl + c:, o cO = 2. Así x = Sr2 -- 4t3 - 5t + 2 (2.2) Ecuaciones diferenciales en general 7
  25. 25. la cual es la ley requerida de movimiento permitiéndonos determinar la po- sición en cualquier tiempo r > 0; por ejemplo, al tiempo t = 1, x = 1, al tiem- po t = 2, x = -8, etc. Solución a la Parte (b) En esta parte todavía tenemos la misma ecuación di- ferencial (17) para el movimiento, pero las condiciones han cambiado a s=2ent=O, x=7ent= 1 0 x(0) = 2, x(l) = 7 (23) En este caso integramos (17) como antes para obtener (19). Sin embargo, puesto que no tenemos una condición para dx/dt, no podemos todavía de- terminar c , , y por tanto debemos integrar (19) para obtener x = 8t2 - 4t3 + c,t + c2 (24) Podemos ahora usar las dos condiciones en (23) para hallar las dos constan- tes arbitrarias en (24). Esto conduce a 2 = 0 + c2, 7 = B(l)2 - 4(l)” + c, + c2 0 c, =l, cz =2 de modo que x = 8r2 - 4t3 + t + 2 (25) Las formulaciones matemáticas de las partes (a) y (b) en el problema anterior son, respectivamente, (al $= 16-24t, X(0) = 2, s’(0) = - 5 (F-C (b) dtz= 16-24t, x(0)=2,x(l)= 7 Una diferencia importante entre ellas es que en (a) las condiciones sobre la función desconocida x y sus derivadas x’ o dx/dt están especificadas en un ualor de la variable independiente (en este caso t = 0), mientras que en (b) las condiciones sobre la función desconocida x se especifican en dos valores de la variable independiente (en este caso t = 0 y t = 1). Los dos tipos de pro- blemas presentados en (a) y (b), respectivamente, se llaman problemas de valor inicial y problemas de valor de frontera. Debemos así hacer las siguien- tes- definiciones. Definición 5. Un problema de valor inicial es un problema que busca deter- minar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la varia- ble independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Definición 6. Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones so- bre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera. Considere el siguiente ejemplo ilustrando las observaciones anteriores, EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente en cual- quier punto (x, y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5). 8 Capítulo unoL
  26. 26. Figura 1.2Solución Puesto que la pendiente de una curva en cualquier punto (x, y)de ella está dada por dy/dx, del enunciado del problema se tiene (28)una ecuación diferencial de primer orden. Puesto que la curva debe pasarpor el punto (2, 5), y=5 cuando x=2 estoes, y(Z)=5 (29)El problema de resolver (28) sujeta a (29) es un problema de valor inicial. La integración de (28) da y = x2 + c (30)donde c es una constante arbitraria. Usando la condición (29) en (30) se ob-tiene 5 = (2)2 + c de modo que c = 1. Así la curva requerida está dada pory=x”+l (31) Gráficamente, (30) representa una familia de euruas en el plano zy, cadamiembro de ella está asociado con un valor particular de c. En la Figura 1.2 semuestran algunos de estos miembros para c = 0, - 1, 1, 2. Puesto que c pue-de variar, frecuentemente se llama un parámetro para distinguirlo de las va-riables principales x y y. La ecuación diferencial (28) que es satisfecha portodos los miembros de la familia frecuentemente se llama la ecuación. dife-rencial de la familia. Observación 5. La misma terminología usada en este ejemplo puedetambién usarse en el problema de la página 7. Así, (24) representa una fami-lia de curvas en el plano tx, cada miembro de la cual está asociado con valo-res particulares de los dos parámetros c 1 y cq , mientras que (17) es la ecua-ción diferencial de la familia. Para especificar el número de parámetrosinvolucrados, algunas veces hablamos de una familia de curvas de un par-á-metro, una familia de curvas de dos parámetros, etc. Las soluciones cerres- Ecuaciones diferenciales en general 9
  27. 27. pondientes a las ecuaciones diferenciales pueden entonces referirse comola solución con un parámetro (o la familia de soluciones con un parámetro),la solución con dos parámetros (o lla familia de soluciones con dos paráme-tros), etc. También podemos referirnos a estas curvas como curvas solución. En el proceso de la formulación matemática de problemas aplicados, pue-den surgir muchas clases de ecuaciones diferenciales, como veremos en fu-turos capítulos. En la siguiente lista vemos una pequeña muestra de ellas. d2x -= -kx (32) dt2 d2y dy xlix’+~+xy=o (33) dv VfM-=v2 (34) dM Ely”“’ = w(x) (35) sen 20t (36) y” = ; JW (37) a2v d2V a2v Jjp+&-T+s= (38) g=k[$-$+$; (39) S2Y a2Y -= al-..- (4) it2 2x2 a4cp a”q5 r:x4+2- + * = F(x, y) sx2cy2 cy (41) La ecuación (32) es famosa en el campo de la mecánica en conexión conel movimiento armónico simple, como en las oscilaciones pequeñas de un pén-dulo simple. Elia podría, sin embargo surgir en muchas otras conexiones. La ecuación (33) surge en mecánica, calor, electricidad, aerodinámica,análisis de esfuerzos y en muchos otros campos. La ecuación (34) surgió en un problema de vuelo de cohete. La ecuación (35) es una ecuación impcrtante en ingeniería civil en la teo-ría de deflexión o doblamiento de vigas. La ecuación (36) puede surgir en la determinación de la corriente I comouna función del tiempo t en un circuito de corriente alterna, pero también po-dría surgir en mecánica, biología, y economía. La ecuación (37) surge en conexión con un problema de suspensión decables. La ecuación (38) podría-surgir en problemas de electricidad, calor, aero-dinámica, teoría de potenciales, y èn muchos otros campos.10 Cbpítulo uno
  28. 28. La ecuación (39) surge en la teoría de conducción de calor, como también en la difusión de neutrones en una pila atómica para la producción de ener- gía nuclear. También surge en la teoría de movimiento browniano. La ecuación (40) surge en conexión con la vibración de cuerdas, como también en la propagación de señales eléctricas. La ecuación (41) es famosa en la teoría de análisis de esfuerzos. Estas son solo una pequeña parte de las muchas ecuaciones que podrían surgir en algunos de los campos de los cuales están tomadas. Exámenes de ecuaciones tales como éstas por matemáticos puros, matemáticos aplicados, físicos teóricos y aplicados, químicos, ingenieros, y otros científicos a través de los años han conducido a la conclusión de que existen ciertos métodos de- finidos por medio de los cuales muchas de estas ecuaciones pueden resolver- se. Tales ecuaciones y métodos junto con los nombres de las personas asocia- das con ellas se darán a lo largo del libro.* A pesar de todo lo que se conoce, sin embargo, muchas ecuaciones permanecen sin solución, algunas de ellas de gran importancia. Gigantescas máquinas modernas de cálculo actualmen- te están siendo ocupadas en determinar soluciones a tales ecuaciones vita- les para la investigación relacionada con seguridad nacional, planeación eco- nómica, e ingeniería aeroespacial así como también en muchos otros campos. Uno de los objetivos de este libro es ofrecer una introducción a algunos de los problemas importantes que surgen en la ciencia y la ingeniería con los cuales la mayoría de científicos deberían estar familiarizados. Para conse- guir este objetivo, será necesario demostrar cómo uno resuelve las ecuacio- nes que surgen como resultado de las formulaciones matemáticas de estosproblemas. El estudiante debiera siempre recordar que hay tres etapas en la solución teórica de problemas científicos. 1. Formulación rrktemática del problema científico. Las leyescientíficas, que por supuesto están basadas en experimentos u observacio-nes, están traducidas en ecuaciones matemáticas. En muchos casos un mo-delo matenático se usa para aproximarse a la realidad física. Así, per ejem-plo, al tratar con el movimiento de un planeta, tal como la tierra, alrededordel Sol, podemos considerar a la Tierra y al Sol como partículas (o puntos demasa). Sin embargo, en un estudio de la rotación de la tierra sobre sus ejes,tal modelo es claramente inapropiado, de tal modo que podemos considerara la tierra como una esfera o aún más precisamente como un esferoide ova-lado. 2. Solución de las ecuaciones. Las ecuaciones formuladas en Etapa1 necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema, pa-ra determinar la incógnita, o incógnitas, involucradas. Los procedimientos -usados pueden producir una solución exacta o, en casos donde solucionesexactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente,para elaborar los cálculos numéricos se recurre al uso de calculadoras. Elproceso de obtener soluciones frecuentemente conduce a preguntas de natu-raleza puramente matemática que algunas veces tienen mayor interés queel problema científico original. De hecho, muchos de los avances en las ma-temáticas fueron obtenidos como un resultado de los intentos de resolverproblemas en la ciencia y la ingeniería. *En la contraportada del frente del texto se da una lista de referencias de algunos de loscontribuidores importantes a la teoría y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales en general 11
  29. 29. 3. Interpretación científica de la solución. Con el uso de las solucio- nes conocidas, el científico puede ser capaz de interpretar lo que está suce- diendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer gráficas o tablas y comparar Ia teoría con los experimentos. Puede incluso basar investigación posterior en tales interpretaciones. Por supuesto que, si encuentra que los experimentos u observaciones no están de acuerdo con la teoría, debe revi- sar el modelo matemático y su formulación matemática hasta que se consi- ga un acuerdo razonable. Cada una de estas etapas es importante en la solución final de un pro- blema aplicado y, por esta razón, enfatizaremos todas las tres etapas en es- te libro. Puesto que, como uno podría esperar, las ecuaciones diferenciales par- ciales son mucho más complicadas que las ecuaciones diferenciales ordina- rias, la mayor parte de este libro, esto es, los once capítulos en las Partes I y II, se dedican a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones diferenciales parciales se tratan en los tres capítulos de la Parte III. Así, a menos que se diga lo contrario, cuando nos refiramos a una ecuación dife- rencial implicaremos una ecuación diferencial ordinaria. EJERCICIOS A 1. Complete la siguiente tabla. (W y” - 4y’ - 5y = e3x au a2u au (4 -=4=+ay ( d ) (+$;+&$-3t te) d2x 3x = sen y p- I I - (h) (2x + y)dx + (x - 3y)dy = 0 6) y” + xy = sen y” a27- d2T <?‘T (3 3++++-0 - CX + 12 Capítulo unoL - ^”
  30. 30. 2. Haga una tabla similar a la anterior para las ecuaciones diferenciales (32)-(41) de la página 10 y complete la tabla. 3. iCuáles de las ecuaciones diferenciales ordinarias en la tabla del Ejercicio 1 son lineales y cuáles son no-lineales? 4. Trabaje el Ejercicio 3 para la tabla construida en el Ejercicio 2. 5. Muestre que cada una de las funciones definidas en la Columna 1, con una ex- cepción, es una solución de la correspondiente ecuación diferencial en la Colum- na II, sujeta a las condiciones dadas, si hay alguna. 1 II (a) J’ = e-* + x - 1. J” + J‘ = X; J’(0) = 0. (,,, I‘ = Ae”” + Be-z” _ $-l !“’ - 3J,’ - 10~. = 61,‘. cl’., ( c ) s = 8 cos 3t + hsen3t. -=-9s:r=X.~j:=lXaf=O. dt2 (d) 8‘~” - 27~,~ = 0. (?.‘)3 = J’; y(O) = 0. (?‘y -2 / te) Y(‘i, t) = 4sen(2x - 3t). 9 T = 4 ‘;;; : Y(rr, 0 ) = 0 (Y (f) J’ = c,em2x + c# + (.++ J“” ~ 2~“’ - 5J” + 6J, = 0 (g) J‘ = As3 + Bsm4 - f. S2J” + 2s)” ~~ 12! = 2-Y’. (h) 1 + i2y + 4~ = 0. J”’ = 2x( Jy: y’(0) = 0. J”‘(0) = $ (i) .Y? - y3 = c. J‘ tl‘c + (2s - 3J.)d. = 0 . 6. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de modo que su velocidad instantánea está dada como una función del tiempo t por u = 12 - 3tL Al tiempo t = 1, está localizada en x = - 5. (a) Establezca un problema de valor inicial que describa el movimiento. (b) Resuelva el problema en (a). (c) Determine dónde estará la par- tícula en los tiempos t = 2 y t = 3. (d) Determine los tiempos cuando la partícula está en el origen. Al hacer esto , iqué supuestos se están haciendo? (e) Describa el movimiento de la partícula usando un gráfico u otro medio. 7. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de modo tal que su aceleración instan- tánea está dada como una función del tiempo t por a = 10 - 12t’. En los tiempos t = 2 y t = 3, la partícula está localizada en x = 0, y x = - 40 respectivamente. (a) Establezca la ecuación diferencial y condiciones asociadas que describen el mo- vimiento. iE problema es de valor inicial o de frontera? (b) Solucione el proble- ma en (a). (c) Determine la posición de la partícula en t = 1. (d) Dibuje aproxi- madamente el gráfico de x contra t y úselo para describir el movimiento de la partícula. 8. Trabaje el Ejercicio 7 si la partícula está inicialmente en x = 3 y tiene una veloci- dad v= -6. 9. La pe,ndiente de una familia de curvas en cualquier punto (x, y) del plano xy está dada por 4- 2x. (a) Establezca la ecuación diferencial de la familia. (b) Determi- ne una ecuación para aquel miembro particular de la familia que pasa por el pun- to (0, 0). (c) Dibuje varios miembros de la familia incluyendo al hallado en (b).10. Trabaje el Ejercicio 9 si la pendiente está dada por 4e-2”. Ecuaciones diferenciales en general 13
  31. 31. 11. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial o de frontera. En cada caso dé una interpretación física o geométrica posible. (a) 2 = 3 sen x, y(n) = - 1. (b) ; = 4e-’ - 2, x = 3cuando t=O dx (c) $ = 8 - 4t + t2, x = l,z = -3 cuando t=O. (d)$=gJ’ü, s(4) = 16. (e) y” = 12x(4 - x), Y(0) = 7, y(1) = 0.12. En cada uno de los aparies siguientes se da una ecuación diferencial para una familia de curvas. Obtenga las curvas solución para cada familia y dé el número de parámetros involucrados. Halle los miembros particulares de cada familia que satisfagan las condiciones dadas. (a) y’ = -4/x*, y(1) = 2. (b) y” = 1 - cos x, y(0) = 0, y’(0) = 2. (c) y’f = JGTi, y(0) = 5, y(4) = -3. EJERCICIOS B1. Una partícula se mueve a lo largo del eje x de modo que su velocidad en cualquier tiempo t 10 está dada por u = l/(t’ + 1). Asumiendo que inicialmente se encuen- tra en el origen, muestre que la partícula nunca pasará a n = if/2.2. iPara qué valores de la constante m la función y = emx será una solución a ca- da una de las siguientes ecuaciones diferenciales? (a) y’ - 2y = 0. (b) JI” + 3~’ - 4y = 0. (c)y”’ - 6Y” + lly’ - 6y = 0.3. &El método del Ejercicio 2 podría funcionar para hallar soluciones a xuy “- xy ’ + y = O? Explique. De sus conclusiones, ipuede usted sugerir una clase de ecuacio- nes diferenciales que sikmpre tengan soluciones de la forma y =emx?4. (a) Si y = Y, (le) y y = Y, (x) son dos soluciones dey ” + 3y’ - 4y = 0 muestre que y = c 1 Y, (x) +c, Yz (x) es también una solución, donde c, y c2 son constantes ar- bitrarias. (b) Use el resultado de(a) para hallar una solución de la ecuación di- ferencial que satisfaga las condiciones y (0) = 3, y ‘(0) = 0.5. Si y = Y1 (x) y y = Y2 (x) son soluciones de y “+y’ = 0, y = Y, (x) + Yz (x), jes también una solución? Compare con el Ejercicio 4 .y discuta. iPuede usted carac- terizar el tipo de ecuación diferencial que tenga la propiedad descrita en el Ejer- cicio 4?6. Muestre que una solución de y ’ = 1+ 2ny sujeto a y(l) = 0 es y = 8’ JT e-‘* dt.7. Es 1~2 +yz - 6x + 1Oy + 34 = 0 una solución a la ecuación diferencial g = 3-x ? Yf58. La ecuación diferencial de una familia de curvas en el plano xy está dada por 1 ns f = -24~0s~. (a) Halle una ecuación para la familia y dé el número de parámetros involucra- dos. (b) Halle un miembro de esta familia que pase por los puntos (0, - 4), (1, 0), y que tenga una pendiente de 6 en el punto donde x = 1.9. iEs posible que la ecuación diferencial de ima familia con tres parámetros sea de orden 4? Explique. EJERCICIOS C1. En la ecuación dy/& + &/dy = 1I, icuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable independiente en la ecuación Capítulo uno
  32. 32. 2. Muestre que la ecuación de primer orden xy(y ‘)s - (x2 +yi )y ’ + xy = 0 es equiva- lente a dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Muestre que y = cx y x2 - yz E c, donde G es cualquier constante, son soluciones de la ecuación. 3. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones e interprete geométricamente: ta) $ =Y, Y (0) = 1; (b) g = ey, y(l) =O; (c) g = secy, y(O) = 0. (Sugerencia: ES- criba cada ecuación diferencial en términos de dr/dy en vez de dy/dx.) 4 . ( a ) M u e s t r e q u e d2L. = d2x dx 3 es una identidad. (Sugerencia: Derive am- __ dx2 dy2 i( dy > bos lados de dy/dx = l/dx/dy con respecto a x.) (b) Use el resultado en (a) pa- ra transformar la ecuación diferencial con variable independiente y, en una con variable independiente n. iPuede usted obtener la solución de esta ecuación? 5. Muestre que x = a(s -seno), y= u(l- cos 8), donde a es cualquier constante distinta de cero, es una solución de 1+ (y ‘)’ + 2yy” = 0. 1.3 SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES En páginas 8-9 consideramos una ecuación diferencial la cual tenía unasolución que involucraba una constante arbitraria (o parámetro) la cual sepodía determinar a partir de una condición dada. En forma similar, en laspáginas 7-8 consideramos una ecuación diferencial de segundo orden la cualtenía una solución que involucraba dos constantes arbitrarias (parámetros)las cuales se podían determinar a partir de dos condiciones dadas. Suponga ahora que nos dan un problema de valor inicial o de fronteraque busca determinar la solución de una ecuación diferencial de orden n sa-tisfaciendo n condiciones especificadas. Para conseguir esto sería bueno sipudiéramos hallar una solución de la ecuación diferencial que contuviera nconstantes arbitrarias, para luego usar las n condiciones y encontrar las nconstantes, y así obtener la solución requerida. Como una ilustración, con-sideremos el siguiente PROBLEMA PARA DISCUSION Resuelva el problema de valor inicial 2 + y =0, y(O)=3, y’(O) = - 4. (42) ’ Para satisfacer las dos condiciones iniciales’en (421, es natural para no-sotros busca: una solución a la ecuación diferencial en (42), que esperamostenga dos constantes arbitrarias, y luego usar las’ dos condiciones para de-terminar estas constantes. Hasta el momento, por supuesto, no sabemos có-mo determinar tal solución, y los métodos para hacerlo deben dejarse paraun capítulo posterior. Suponga, sin embargo, que por algún medio (tales comopor conocimiento previo o usando error y ensayo) lleguemos a y=Acosx+Bsenx (43) Ecuaciones diferenciales en general 15
  33. 33. la cual tiene las dos constantes arbitrarias A y B que se necesitan y que pue-de verificarse como una solución. Usando la primera condición de (42) en (43),esto es, y(O) = 3, o y = 3 cuando x = 0, encontramos A = 3, de modo que (43)se convierte en: y = 3 cos x + B senx (44)Para hallar B primero tomamos la derivada en (44) para obtener y’= -3senx+Bcosx (45)Luego usando la segunda condición de (42) en (45), esto es, y ‘(0) = - 4 o y ’ ti - 4cuando x = 0, encontramos B = - 4. La solución requerida está así dada por y = 3 cos x - 4 senx (46)Ahora en general una ecuación de orden n tendrá una solución que involu-cra n constantes arbitrarias, y debido a su especial importancia para noso-tros le damos el nombre especial de solución general.* Una solución parti-cular obtenida de esta solución general al seleccionar los valores particularesde las constantes arbitrarias (por ejemplo para satisfacer condiciones dadas)se llama entonces una solución particular.Ejemplo 15. En el problema (42) de la página 15, y =A cos x + B sen x esla solución general, mientras que y = 3 sen x - 4 sen x es una solución parti-cular.Ejemplo 16. En el Ejemplo ilustrativo 1, páginas 8-9, y = ~2 + c es la solu-ción general dey ’ = 2x, mientras que y = ~2 + 1 y y = ~2 - 3 son soluciones par-ticulares.Ejemplo 17. Para la e’cuación diferencial g = 3~“~ (47)y = (x + c)~ es la solución general, y y = (X - 2)3 es una solución particular.Ejemplo 18. Para la ecuación diferencial y ’ = 4y (48)y =AeB+zX no es la solución general puesto que la podemos escribir comoy = (AeB)e*x o y = cezx, la cual es una solución pero tiene sólo urzaconstante, mientras que la ecuación diferencial es de orden 2.* Sin embargo,el estudiante puede mostrar fácilmente por sustitución directa que y=cle2x + c2e-2x con las dos constantes c,, c2 es una solución de (48) y espor tanto su solución general. La solución general de una ecuación diferencial puede ocurrir en formaimplícita. Para examinar esta situación consideremos el siguiente PROBLEMA PARA DISCUSION Resuelva dy - &, z- Y(l) = 2. ‘Úna justificación teórica para usar el término de solución general está dada en la referen-cia [13] de la Bibliografia. De ahora en adelante números en corchetes cuadrados se referirána la Bibliografía. *Si una relación involucra un conjunto de constantes que no pueden remplazarse por unconjunto menor, las constantes algunas veces se dice que son esenciales.16 Capítulo uno
  34. 34. Una solución es y2 - xy = c (50)tal como puede verificarse por diferenciación implícita de (50). Puesto que(50) involucra una constante arbitraria, nos referimos a ella como la solucióngeneral. Para obtener la solución particular que satisfaga y(l) = 2, sustitui-m o s x5 1, y = 2 en (50) y encontramos c = 2. Así y2 - XJ = 2 (51) La solución requerida al problema de valor inicial está en (51). Para mos-trar explícitamente esto solucionemos (51) para y en términos de x por la fór- _ I.mula cuadrática para obtener X+JFT% Y= (52) 2Probando la condición y = 2 cuando X= 1 en (52) muestra que debemos ex-cluir el signo menos en (52). La solución requerida es por tanto y = gx + Jrn> (53) Es de interés interpretar el resultado gráficamente. Las curvas descritaspor (52) se muestran en la Figura 1.3. Aunque ambas curvas representan cur-vas solución a la ecuación diferencial (49), sólo una de ellas satisface la con-dición y(1) = 2, esto es, pasa por el punto (1, 2). Es también de interés notarque para puntos en la recta y = x/2 que separa las dos curvas, el denomi-nador a la derecha de la ecuación diferencial en (49) es cero. Los comentarios anteriores sugieren lo siguiente. Dado el problema devalor inicial Y’ = FC.% Y), Y(Xo) = Yo (54) Y Figura 1.3 Ecuaciones diferenciales en general 17
  35. 35. que involucra una ecuación diferencial de primer orden, tratamos de hallaruna solución que contiene una constante arbitraria llamada la solución ge-neral. Esto puede ocurrir en cualquiera de. las formas y = f(x, 4 U(x, Y) = c, G(x, y, c) = 0 (55)la primera representando a una función explícita, y las dos últimas a funcío-nes implícitas. La constante c se determina entonces de modo que se satis-faga la condición dada en (54). Las extensiones a ecuaciones de alto ordense hacen fácilmente. El problema de hallar soluciones generales de ecuaciones diferencialesserá tratado en capítulos posteriores. Un problema más simple es el proble-ma inverso de hallar la ecuación diferencial a partir del conocimiento de susolución general, esto es, “dada la respuesta, hallar el problema”. Para moti-var el procedimiento, consideremos el siguiente PROBLEMA PARA DISCUSION Encuentre una ecuación diferencial que tenga como solución general y = ce -2x + 3x - 4 (56)Diferenciando (56) se obtiene y’ = -2ce-‘” + 3 (57)Eliminemos ahora c entre las ecuaciones (56) y (57). Podemos hacer esto yasea resolviendo c en una ecuación y sustituir en la otra, o más fácil en estecaso multiplicar la ecuación (56) por 2 y sumar la ecuación (57). El resultado es y’ + 2y = 6x - 5 (58)Como chequeo podemos süstituir (56) en (58) para hallar la identidad y’ + 2y = -2ce-2” + 3 + 2(cep2” + 3x - 4) = 6x - 5Así, (58) es la ecuación diferencial de primer orden requerida teniendo a (56)como su solución general. De acuerdo a la página 9, podemos imerpretar (56)como una familia de curvas de un parámetro, y llamar (58) la ecuación dife-rencial de la familia. La misma idea se puede usar con soluciones generales que contienenmás de una constante arbitraria, simplemente diferenciando tantas vecescomo existan constantes arbitrarias y luego usar estos resultados para elimi-nar todas las constantes arbitrarias. Ilustremos el procedimiento con algunosejemplos. EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Encuentre una ecuación diferencial cuya solución sea y = c, x + c2 x3.Solución. Puesto que hay dos const.antes arbitrarias c r y c2, tenemos quediferenciar dos veces, obteniendo y = c,x + c2x3, y’ = CI + 3c2x2, y” = 6czx (59)Ahora eiiminemos las constantes arbitrarias. Para esto, resolvamos cL enla última ecuación de (59). Encontramos c2 = g. (60)18 Capítulo uno
  36. 36. Usando esto en la segunda ecuación de (59) da y ’ = c , + xy “/2, de modo que c 1 = y’ ~ $l (61)Finalmente, usando (60) y (61) en la primera ecuación de (59), tenemos y+4)x+(x~)(~), (62)la cual al simplificarla se reduce a la ecuación diferencial de segundo ordenrequerida. X2$’ - 3xy’ + 3 y = 0 (63) Chequeo. x2y” - 3xy’ + 3y = x2(6c2x) - 3x(r, + 3~~x7 + 3(c,x + c2x3) = 0Note que y=c,x+c,x3 representa gráficamente a una familia de curuasde dos parámetros en el plano xy, y (63) es la ecuación diferencia1 de esta fa-milia. Observación 6. Si nos dan una solución que contiene n constantes ar-bitrarias, frecuentemente es fácil obtener una ecuación diferencial de ordenmayor a n que tenga esta solución. Así, en el Ejemplo ilustrativo 2, y = c, x +c2x3 sería una solución de la ecuación de cuarto grado y(r”)= 0. Por supues-to que ésta no es la solución general de esta ecuación. Cuando buscamos laecuación diferencial que tenga una solución general dada (por ejemplo y =c r x + ~~3~3 ) buscamos aquella del menor orden, esto es, de orden igual alnúmero de constantes arbitrarias (en este caso dos). - EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Encontrar una ecuación diferencial para la familia de círculos con radio1 y centro en cualquier punto del plano xy.Solución. La ecuación de un círculo con centro en (A, B) y radio 1 es (x - A)Z + (y - B)2 = 1 (64) Aquí tenemos dos parámetros o constantes arbitrarias A y B. Lo quebuscamos es la ecuación diferencial cuya solución general esté dada por (64),para lo cual podemos usar el mismo procedimiento dado anteriormente. Di-ferenciando (64) con respecto a x, Z(‘c - A) + 2(v - B)y’ = 0 (65) 4Resolviendo para (X -A) y sustituyendo en (64), tenemos (y - Q2(Jq2 + (y - B)Z = 1 (66)donde hemos tenido éxito en eliminar a A. Para eliminar a B, resolvamos pa-ra (y -B) para obtener y - B = +[1 + (y’)y’2 (67)Diferenciando y simplificando esta última ecuación se obtiene Ecuaciones diferenciales en general 1g

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