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Matemáticas egipcias - 9 - Curso 2010/11

Trabajo realizado por el alumno de Estalmat de 1º de Veteranos, Francisco Jesús Matas Díaz.
Curso 2010-2011

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Matemáticas egipcias - 9 - Curso 2010/11

  1. 1. MATEMÁTICAS<br />EGIPCIAS<br />Francisco Jesús Matas Díaz<br />05/03/11<br />
  2. 2. NOTACIÓN<br />Además de los jeroglíficos, los egipcios utilizaban unos símbolos como representación de los números cardinales.<br />
  3. 3. Para formar el resto de números se disponían los símbolos anteriores en orden decreciente (centenas > decenas > unidades) de manera que sumen dicho número.<br />33 = ∩∩∩III<br />
  4. 4. OPERACIONES BÁSICAS<br />
  5. 5. SUMA<br />En el nuevo número se agrupan todos los símbolos iguales.<br />Si sobrepasan los diez, se cambian por el siguiente símbolo en la tabla.<br />33 + 37 = 70<br /> ∩∩∩III ∩∩∩IIIIIII ∩∩∩∩∩∩IIIIIIIIII<br /> ∩∩∩∩∩∩∩<br /> Signo + => <br />
  6. 6. RESTA<br />El proceso es al revés del de la suma<br />A los símbolos del minuendo les restamos los del sustraendo.<br />Si el número de símbolos del sustraendo supera al del minuendo, un símbolo de la siguiente potencia de 10 se sustituye por diez símbolos más.<br />Signo - => <br />
  7. 7. 43 – 36 = 7<br /> ∩∩∩∩III ∩∩∩IIIIII<br />∩∩∩IIIIIIIIIIIII ∩∩∩IIIIII IIIIIII<br />
  8. 8. MULTIPLICACIÓN<br />Para llevarla a cabo era necesaria una tabla.<br />En la primera columna se escribe la serie F1<br /> (factor 1), 2·F1, 4·F1…<br />En la segunda, la serie 1, 2, 4, 8… An≤F2<An+1.<br />La solución es 2·F1+4·F1+…+An·F1=F1·F2<br />
  9. 9. DIVISIÓN<br />Es el proceso inverso a la multiplicación.<br />En la primera columna se escribe la suma 1, 2, 4, 8…<br />En la segunda, la serie d (divisor), 2d, 4d…An·d<br />Cociente = 1+4+16+…+An.<br />Dividendo = d+4d+16d+…+An.<br />Si fuese inexacto, habría que sumarle al cociente [(Dinex-Dex)/d]. Dex es el dividendo exacto inferior más cercano.<br />
  10. 10. Á L G E B R A<br />
  11. 11. Notación de las fracciones<br />Sólo se pueden expresar fracciones unitarias:<br /> I II = 1/3 ∩ = 1/10<br />A excepción de 2/3 y 3/4 <br />1/2 se escribía de forma distinta: <br />El resto se escribían como suma de fracciones unitarias.<br />
  12. 12. Resolución de ecuaciones lineales<br />Las resolvían por el método de la falsa posición o regula falsi.<br />En primer lugar atribuían un valor falso a la incógnita (para ellos, el montón).<br />Luego, mediante una regla de tres simple se obtiene el valor verdadero del montón.<br />
  13. 13. Ejemplo<br />El siguiente problema aparece en el Papiro Rhind (S. XVII a.C.).<br />“Un montón, sus dos tercios, su mitad, todos juntos hacen trece. ¿Cuál es la cantidad?”.<br />x + (2/3)x + (1/2)x = 13<br />
  14. 14. Sustituimos la x por 18, por ejemplo:<br />18 + (2/3)·18 + (1/2)·18 = 39<br />Y ahora, la regla de tres:<br /> 18 39<br /> x 13<br /> (18·13)/39 = 6.<br />6 es la solución.<br />
  15. 15. Problemas<br />
  16. 16. Problema 24 del Papiro de Rhind.<br />Una cantidad y 1/7 de la misma da un total de 19. ¿Cuál es la cantidad?<br />Es equivalente a la expresión [x + x/7 = 19].<br />Sustituimos x por 14, por ejemplo:<br />14 + 14/7 = 14 + 2 = 16<br />Usamos la regla de tres:<br />(14·19)/16 = 16 + 1/2 + 1/8<br />
  17. 17. Problema del Papiro de Berlín<br />El área de un cuadrado de 100 codos cuadrados es igual a la suma de la de otros 2 cuadrados más pequeños. El lado de uno de ellos es 1/2 + 1/4 del otro. Averigua los lados de los cuadrados.<br />El problema es equivalente a la expresión:<br />x2 + y2 = 100<br />y = (1/2 + 1/4)x<br />Sustituimos:<br />x2 + [(1/2 +1/4)x]2 = 100<br />x2 + (1/4 +1/16 + 1/4)x2 = 100<br />x2 + (1/2 +1/16)x2 = 100<br />
  18. 18. x2= z<br />z + (1/2 +1/16)z = 100<br />Ya lo podemos resolver como una ecuación lineal.<br />z = 16, por ejemplo.<br />16 + 8 + 1 = 25<br />Regla de tres:<br />(16·100)/25 = 64<br />x = 641/2 = 8.<br />y = (1/2 + 1/4)· 8 = 6.<br />
  19. 19. G E O M E T R Í A<br />
  20. 20. Importancia de la geometría. <br />Es seguramente la parte de las matemáticas más importante.<br />Debido a la necesidad de los agrimensores para recalcular las lindes de los campos tras la inundación anual del Nilo.<br />Los escasos datos encontrados (en el papiro de Ahmes y en el de Moscú) no son correctos, sino aproximados.<br />
  21. 21. Cálculo de áreas.<br />
  22. 22. A) Figuras cuadrangulares.<br />Se aplicaba la fórmula:<br />A = [(a+b)/2]· [(c+d)/2]<br />Era exacta para rectángulos, pero sólo aproximada para otros más irregulares.<br />a<br />d<br />c<br />b<br />
  23. 23. B) Triángulo isósceles.<br />Se deduce de la expresión anterior.<br />A = [b/2]· h<br />No se utilizaban los conceptos de base, altura, etc.<br />a<br />c<br />h<br />b<br />
  24. 24. C) Área del círculo: π.<br />Del área del círculo es la parte de la que más se ha escrito.<br />Ahmes realiza una aproximación de 3.1605.<br />Sin embargo, no utilizaban π como una constante.<br />
  25. 25. El mayor éxito de los escribas egipcios fue el cálculo del área del círculo: el sistema empleado era sustraer 1/9 del diámetro y calcular la superficie del cuadrado correspondiente, lo que da ese valor para π de 3'1605, cuando el resto de los pueblos de la época usaban valor 3.<br />
  26. 26. Cálculo de volúmenes<br />
  27. 27. Tronco de pirámide de base cuadrada<br />Empleaban la fórmula:<br />V = (h/3) (a² + ab + b²).<br />h esla altura.<br />a esel lado de la base mayor.<br />b esel lado de la base menor.<br />Era útil para laarquitectura.<br />
  28. 28. Tronco de cono<br />Se empleaba la fórmula:<br />V =  h/12 [ 3/2 (D+d)]²<br />h esla altura.<br />D y d sonlascircunferencias.<br />Los escribas necesitaban conocer la capacidad de los recipientes cilíndricos.<br />El volumen es el área del círculo de la base multiplicado por la altura.<br />Cilindro<br />
  29. 29. Problemas<br />
  30. 30. Problema 50 del papiro de Rhind.<br />Calcular el área de un campo circular cuyo diámetro es 9 jet.<br />Se resuelve considerando su área igual a la de un cuadrado de lado 8/9 el diámetro.<br />A = [d-(d/9)]²<br />A = (9-1)² = 64 jet².<br />
  31. 31. Problema 52 del papiro de Rhind.<br />¿Cuál es el área de un triángulo truncado de 20 jet de lado, 6 jet de base y 4 jet en su línea de sección?<br />Se suma su base a su segmento de corte, obteniéndose 10.<br />Se toma la mitad (5) para formar un rectángulo.<br />Se halla el área del rectángulo:<br />A = 5· 20 = 100 jet².<br />
  32. 32. Problema 10 del papiro de Moscú.<br />Área de una superficie parecida a un cesto de diámetro 4,5.<br />En el papiro se emplea la fórmula:<br />S = [1-(1/9)]²· (2· 4,5)· 4,5 = 32 jet².<br />
  33. 33. Problema 14 del papiro de Moscú.<br />Calcular el volumen de un tronco de pirámide rectangular de altura 6 y bases 2 y 4.<br />Empleamos la fórmula:<br />V = (h/3) (a² + ab + b²)<br />V = (6/3) (2² + 2· 4 + 4²)<br />V = 56 jet3.<br />
  34. 34. Trigonometría<br />
  35. 35. Problema 56 del papiro de Rhind.<br /> ¿Cuál es el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 cubitsde lado en la base?<br />El seqt es la pendiente.<br />Se calcula 1/2 de 360 que da 180.<br />Se divide 250 entre 180, que resulta 1/2 + 1/5 + 1/50.<br />1 cubit = 7 palmos, luego se multiplica 7 por lo anterior y da 5 + 1/25 palmos por codo.<br />
  36. 36. F I N<br />

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