Matemáticas egipcias - 8 - Curso 2010/11

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Trabajo realizado por el alumno de Estalmat de 1º de Veteranos, Víctor Antonio Gutiérrez Martínez.
Curso 2010-2011

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Matemáticas egipcias - 8 - Curso 2010/11

  1. 1. Trabajo Historia EsTalMat.<br />Víctor Antonio<br /> Gutiérrez Martínez<br />28/02/11<br />
  2. 2. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipcio como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a las matemática helénica. El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el imperio árabe como parte de las matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.<br />El texto matemático más antiguo descubierto es el papiro de Moscú, que data del Imperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 a. C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy se llaman problemas con palabras o problemas con historia, que tienen la intención aparente de entretener. Se considera que uno de los problemas es de particular importancia porque ofrece un método para encontrar el volumen de un tronco.<br />A) Algebra Egipcia<br />
  3. 3. El papiro de Rhind (hacia 1650 a. C. ) es otro texto matemático egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y geometría. En resumen, proporciona fórmulas para calcular áreas y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias. También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos,13 incluyendo números compuestos y primos; media aritmética, geométrica y armónica; y una comprensión simple de la criba de Eratóstenes y la teoría de números perfectos, a saber, del número 6). El papiro también muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden, así como series aritméticas y series geométricas.<br />Además, tres elementos geométricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de la geometría analítica: primero y más importante, cómo obtener una aproximación de π con un error menor del 1%; segundo, un antiguo intento de cuadrar el círculo; y tercero, el uso más antiguo conocido de un tipo de cotangente.<br />Finalmente, el papiro de Berlín (hacia 1300 a. C. ) muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación cuadrática<br />
  4. 4. Con el método del «regula falsi» (regla falsa o de la falsa posición).<br /> Primero, daban como <br />solución un número al azar.<br />Después lo comparaban con el<br />resultado que debía dar y que<br />figuraba en el enunciado del<br />problema.Luego ajustaban<br />la solución errónea que les <br />daba con la correcta mediante <br />una proporción y obtenían <br />la solución correcta.<br />¿Cómo resolvían ecuaciones lineales los egipcios?<br />
  5. 5. Como por ejemplo :<br />Si a un número le sumo su tercera parte y su doble nos da 40. ¿Cuál es ese número? <br />( Sería resolver 𝒙 +𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 = 𝟒𝟎).1.- Damos una solución "al azar" sea el 3 ( solución falsa).2.- A 3 le sumo su tercera parte, 1, y le sumo su doble, 6, nos da 3 + 1 + 6 = 10 ( resultado falso).3.- Pero debería dar 40 ( resultado correcto ) que es 4 veces más que el falso.4.- Luego "la solución correcta" debe ser 4 veces más que "la solución falsa".5.- Es decir 3 · 4 = 12 que es la solución correcta.<br /> <br />
  6. 6. En cálculo numérico, el método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.<br />Durante muchos siglos los métodos aritméticos fueron<br />utilizados en la resolución de problemas (entre ellos aquellos<br />para cuya solución había que plantear y resolver una ecuación<br />lineal). Sin embargo, con la aparición del álgebra, los métodos<br />algebraicos fueron sustituyendo paulatinamente a éstos hasta<br />relegarlos a meros métodos de aproximación. Este es el caso<br />de la regla de falsa posición, utilizada hasta el siglo XVIII.<br />¿En qué consiste el método de «regula falsi»?¿Hasta qué siglo se siguió utilizando?<br />
  7. 7. Problema 24 del Papiro de Rhind: Calcula el valor del aha si el aha y una séptima parte del aha es 19.<br />𝒙+ 𝒙𝟕=𝟏𝟗<br />Cambiamos x por un número cualquiera (7 en este caso) : <br />𝟕+𝟕𝟕=𝟖<br />como 8 tiene que ser multiplicado por (2 + 𝟏𝟒+ 𝟏𝟖) para conseguir 19:<br />8 · (2 + 𝟏𝟒 + 𝟏𝟖) = 16 + 2 + 1 = 19<br />entonces nuestro número (7) tiene que ser multiplicado por (2 + 𝟏𝟒 + 𝟏𝟖) para llegar a la solución:<br />7 · (2 + 𝟏𝟒 + 𝟏𝟖) = 14 + 𝟕𝟒 + 𝟕𝟖 = 16´625<br /> <br />Resolución de los problemas 24 y 30 del Papiro de Rhin<br />
  8. 8. Problema 30 del Papiro de Rhin:  Resuelve la ecuación: <br />𝑥+23𝑥+12𝑥+17𝑥=37<br />Tomamos un número cualquiera(esta vez el 42) y lo cambiamos por la x:<br />𝟒𝟐+𝟐𝟑·𝟒𝟐+𝟏𝟐·𝟒𝟐+𝟏𝟕·𝟒𝟐=𝟗𝟕<br />Como a 97 hay que multiplicarlo por (𝟏𝟒+ 𝟏𝟖)para obtener 37:<br />𝟗𝟕·𝟏𝟒+ 𝟏𝟖=𝟐𝟒,𝟐𝟓 +𝟏𝟐,𝟏𝟐𝟓 ≈𝟑𝟕<br />Multiplicamos nuestro numero (42) por (𝟏𝟒+ 𝟏𝟖) para obtener la solución:<br />𝟒𝟐·𝟏𝟒+ 𝟏𝟖=𝟏𝟎,𝟓+𝟓,𝟐𝟓=𝟏𝟓,𝟕𝟓<br /> <br />
  9. 9. Problema del Papiro de Berlín: "El área de un cuadrado de 100 codos cuadrados es igual a la suma de la de otros 2 cuadrados más pequeños. El lado de uno de ellos es 𝟏𝟐+𝟏𝟒 del otro. Averigua los lados de los cuadrados".<br />𝒙𝟐+ 𝒚𝟐=𝟏𝟎𝟎𝒚=𝟏𝟐+𝟏𝟒𝒙con x e y los lados del cuadrado buscados.<br />Primero se sustituye la «y» de la primera ecuación por la de la segunda.<br />𝒙 · 𝒙+𝟏𝟐+𝟏𝟒·𝒙· 𝟏𝟐+𝟏𝟒·𝒙=𝟏𝟎𝟎<br />Despejamos 𝒙, que nos daría (8), y después haríamos 𝟏𝟐+𝟏𝟒𝒙 que nos daría la solución de 𝒚,(6).<br /> <br />Resolución de un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas del Papiro de Berlín.<br />
  10. 10. La Geometría en el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, comentando que los egipcios habían inventado la geometría y la habían enseñado a los griegos.<br />Por la naturaleza del país, cuyas inundaciones anuales les obligaba a medir periódicamente los lìmites de las parcelas cultivables, tuvieron que resolver desde muy antiguo problemas de geometría.<br />GeometríaEgipcia.<br />
  11. 11. Calculaban correctamente superficies de cuadriláteros, triángulos y tenían una buena aproximación al área del círculo.<br />Igual que la aritmética, era una ciencia eminentemente práctica que ofrecía soluciones concretas a diversos problemas. Los papiros de textos de matemática que han perdurado, destinados a la educación de los escribas, no dan justificación alguna de los métodos de cálculo empleados, limitándose a explicar las operaciones que hay que realizar.<br />
  12. 12. Dado que la sociedad era principalmente agrícola, tras<br />la subida anual del Nilo, había que volver a asignar a cada persona la misma superficie de tierra que tenía antes de la inundación. Este hecho dio lugar a que se tuviera que saber calcular el área de distintas superficies.<br />Calculo de Áreas. Necesidad de los agrimensores para calcular las lindes de los campos tras la inundación anual del Nilo.<br />
  13. 13. Cálculo del área de un rectángulo de 1000 codos de largo por 10 de ancho.<br />Á𝒓𝒆𝒂 = 𝟏𝟎𝟎𝟎· 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒐𝒅𝒐𝒔𝟐<br />𝑨𝒓𝒆𝒂 = 𝒃𝒂𝒔𝒆 · 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂<br />Calcular el área de un triángulo de 10 unidades de altura y 4 de base. <br />                                                        Á𝒓𝒆𝒂 =𝟏𝟎·𝟒𝟐=𝟐𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔<br />Á𝒓𝒆𝒂 =𝑩𝒂𝒔𝒆·𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂𝟐 <br /> <br />
  14. 14. Volumen de un granero rectangular de longitud 10 codos, anchura 10 codos y altura 10 codos.<br />𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒐𝒅𝒐𝒔<br />𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝒍𝒐𝒏𝒈·𝒂𝒏𝒄· 𝒂𝒍𝒕<br /> <br />Cálculo de volúmenes de figuras geométricas muy básicas.<br />
  15. 15. Volumen de un granero de base circular de diámetro 9 y altura 10.<br />𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏=𝟐𝟓𝟔𝟖𝟏·𝟗𝟐𝟐·𝟏𝟎=𝟔𝟒𝟎 𝒄𝒐𝒅𝒐𝒔𝟑<br />𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 =𝟐𝟓𝟔𝟖𝟏·𝒓𝟐·𝒉<br />Calcular el volumen de una pirámide truncada de lados 2 y 4 y altura 6.<br /> 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 =𝟔·(𝟐𝟐+𝟐·𝟒+𝟒𝟐) 𝟑=𝟓𝟔<br />𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏=𝒉.(𝒂𝟐+𝒂𝒃+𝒃𝟐)𝟑<br /> <br />
  16. 16. Problema 50 del Papiro de Rhind: "Calcular el área de un campo circular cuyo diámetro es 9 jet".<br />El mayor éxito de los escribas egipcios fue el cálculo del área del círculo: el sistema empleado era sustraer 1/9 del diámetro y calcular la superficie del cuadrado correspondiente, lo que da un valor para π de 3'1605<br />𝟗−𝟗·𝟏𝟗 =𝟖 // 𝟖·𝟖=𝟔𝟒 𝒋𝒆𝒕𝟐<br />El Área del campo circular era de 64 je𝒕𝟐<br /> <br />Resolución de los problemas 50 y 52 del Papiro de Rhind<br />
  17. 17. Problema 52 del Papiro de Rhind: "¿Cuál es el área de un triángulo truncado de 20 jet de lado, 6 jet de base y 4 jet en su línea de sección?«<br />Para resolver este problema <br />hay que observar que un <br />triángulo truncado forma un<br />trapecio con B (6), b (4) y h (20).<br /> Los egipcios seguramente <br />sumarían 1 al menor (4) y restarían<br />1 al mayor (6) formando un <br />rectángulo de 20 x 5 jets siendo <br />más fácil para ellos resolver <br />el problema. 20 · 5 = 100 𝐣𝐞𝐭𝟐<br />𝑨=𝑩+𝒃·𝒉𝟐= 𝟔+𝟒·𝟐𝟎𝟐=𝟏𝟎𝟎 𝒋𝒆𝒕𝟐<br /> <br />
  18. 18. Problema 10 del Papiro de Moscú: "Calcular el área de una superficie que en principio parece un cesto de diámetro 4,5".<br />Á𝑟𝑒𝑎=2·𝜋·𝑟2<br />2·25681·2+142=259281=32 <br /> <br />Resolución de los problemas 10 y 14 del Papiro de Moscú.<br />
  19. 19. Problema 14 del Papiro de Moscú: "Calcular el área de la figura, que parece ser un trapecio isósceles". (Realmente se refiere a un tronco de pirámide cuadrangular).<br />Base mayor = 4 .<br />Base menor = 2.<br />Altura = 6.<br />𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏=𝒉·(𝒂𝟐+𝒂𝒃+𝒃𝟐)𝟑<br />𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 =𝟔·(𝟒𝟐+𝟒·𝟐+𝟐𝟐) 𝟑=𝟓𝟔<br />Si consideramos que B=0 obtendríamos el volumen de una pirámide . 𝑽=𝒉·𝒂𝟐+𝒂·𝟎+𝟎𝟑 ; 𝑽=𝒉·𝒂𝟐𝟑<br /> <br />
  20. 20. La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea realizó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Ptolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.<br />Trigonometría egipcia<br />
  21. 21. El tratado de la esféricas de Menelao, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a Claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 - h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. “Si un triángulo ABC, plano o esférico, es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L, M, N se tiene: en el plano<br />Por otra parte, Menelao escribió sus libros sobre las cuerdas de la circunferencia. Este trabajo puede ser que tuviera modelos que se remontaba a Hiparco, astrónomo del s. II a de C. Si bien la terminología griega se resiente de esta tradición, la atención de las matemáticas fue atraida como muy tarde desde Menelao hacia “La semicuerda del arco doble” nuestro seno, que desde entonces tiene un papel fundamental.<br />El movimiento de la trigonometría griega mejor conservado es el conjunto formado por los capítulos IX y XI del primero libro de la Sintaxis Matemática o Almagesto de Claudio Ptolomeo.<br />
  22. 22. Problema 56 del Papiro de Rhind: "¿Cuál es el seqt de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 cubits de lado en la base?".<br />𝐬𝐞𝐪𝐭=𝟐𝟓𝟎𝟐+𝟑𝟔𝟎𝟐𝟐  <br />𝒔𝒆𝒒𝒕=𝟗𝟒𝟗𝟎𝟎=𝟑𝟎𝟖,𝟎𝟔<br /> <br />Resolución del problema 56 del Papiro de Rhin.<br />
  23. 23. Hoy que todo se hace con la ayuda del ordenador, parece impensable creer que hace miles de años una civilización que escribían en pieles de animales, pudiesen tener unas matemáticas tan "exactas", teniendo en cuenta que no disponían apenas de herramientas.Un claro ejemplo son las Pirámides Egipcias, consideradas una de las siete maravillas del mundo.También habría que destacar que en esa época con guerras, hambres... Se dieran cuenta de la importancia del aprendizaje y pasaran su cultura de profesores a alumnos como bien muestra el Papiro de Rhind. Fueron los "descubridores" de la matemática que luego aprendieron los griegos hasta llegar a nosotros. Para mí, que consiguieran aprender a hacer unos símbolos para los números y sumar ya es asombroso y además consiguieron resolver ecuaciones con varias incógnitas. Claro que los métodos de ahora son más "fáciles" y exactos, pero ser capaz de resolver ecuaciones que yo, en 3ª de la ESO, he aprendido solo hace 3 años es verdaderamente sorprendente.<br />Comentario Final.<br />

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