Este documento presenta la solución numérica de la ecuación de Laplace para el potencial eléctrico mediante el método de diferencias finitas. Se discretiza la región en una malla de puntos y se plantean ecuaciones para cada nodo aproximando las derivadas parciales. Se resuelven las ecuaciones mediante un programa en Matlab para obtener los valores del potencial eléctrico en cada punto.

1. 1
Universidad Politécnica Salesiana.
Teoría Electromagnética
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE
LAPLACE, POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
Guamán E. Telmo/ Quizhpi C. Mateo/ Velecela C. Juan
Abstract — this paper presents the solution the Laplace
equation using a numerical method for electric potential in a
certain region of space, knowing their behavior on the border
of the region.
En el caso bidimensional tratamos la placa como una
malla de puntos discretos.
1. Introducción
En este documento de tipo educativo se presenta la
solución de la ecuación de Laplace mediante un método
numérico conocido como diferencias finitas, para
potenciales eléctricos en cierta región del espacio,
conociendo su comportamiento o valor en la frontera de
dicha región.
De igual manera se procederá a graficar de las líneas de
flujo magnético que se producen en dicha región.
2. Objetivos
o
o
o
o
Determinar el número de ecuaciones adecuadas
de potencial eléctrico.
Definir o plantear las ecuaciones
correspondientes a cada punto de la región.
Obtener las soluciones de los potenciales en
cada punto.
Graficar las líneas de flujo.
Luego aproximamos las derivadas parciales en cada
punto de la malla transformando la ecuación diferencial
en una ecuación algebraica.
Las diferencias centrales basadas en la malla de la
figura anterior son:
x
3. Marco Teórico
La ecuación de Laplace, se utiliza para modelar diversos
problemas que tienen que ver con el potencial de una
variable desconocida.
Expresión de la ecuación de Laplace para potencial
eléctrico.
V
x
2
2
V
y
2
0
3.2 Solución numérica
La solución numérica, se basa en el método de
diferencias finitas.
y
2V ( i , j )
1 j)
2
x
V(i, j
V
3.1 Ecuación de Laplace
2
V(i
V
1)
V(i
2V ( i , j )
2
y
1, j )
2
V(i, j
1)
2
Las cuales tienen errores de O
x
2
y O
y
2
:
Sustituyendo en la ecuación de Laplace para el
potencial
V(i
1, j )
2V ( i , j )
x
V( i
V( i , j
1, j )
2V ( i , j )
1)
2
y
V( i , j
En la malla cuadrada de la figura anterior, x
Reagrupando términos la ecuación nos queda:
V( i
1, j )
V( i
1, j )
V( i , j
1)
V( i , j
1)
1)
2
4V ( i , j )
y
0
0

2. 2
Universidad Politécnica Salesiana.
Esta relación, que satisface para todos los puntos
interiores de la placa, se conoce como ecuación
Laplaciana en diferencias.
3.2 Condiciones frontera
Debemos además especificar las condiciones de frontera
en los extremos de la placa para obtener una solución
única.
El caso más simple es aquel donde el potencial eléctrico
en la frontera es un valor fijo, a este tipo de condición se
la conoce como “condición de frontera de Dirichlet”.
Otro tipo de condición es la “condición de frontera de
Neumann” la cual tiene como dato la derivada en la
frontera. [1]
4. Metodología
4.1 Identificación
→ Primero debemos definir el punto inicial y tratar a la
figura como una malla de puntos discretos; para nuestra
figura hemos considerado adecuado tomar al punto
ubicado en el extremo superior izquierdo como el punto
de coordenadas (1,1) al cual denominaremos como V1,
de igual manera se va dando denominaciones a cada
punto coordenado de forma esquemática o secuencial;
como se observa en la siguiente figura:
Teoría Electromagnética
→ Ahora procedemos a obtener las ecuaciones
correspondientes a cada nodo, mediante la ecuación
definida con anterioridad:
V( i
1, j )
Nodo 1:
V 2 V13
V( i
4V1
1, j )
V( i , j
1)
220
Nodo 2:
V1 V 3
V14
4V 2
100
Nodo 3:
V2 V4
V15
4V 3
100
Nodo 4:
V3 V5
V16
4V 4
100
Nodo 5:
V4 V6
V17
4V 5
100
Nodo 6:
V5 V7
V18
4V 6
100
Nodo 7:
V 6 V8
V19
4V 7
100
Nodo 8:
V7 V9
V 20
4V 8
100
Nodo 9:
V 8 V10
V 21
4V 9
100
V( i , j
1)
4V ( i , j )
0

3. 3
Universidad Politécnica Salesiana.
Nodo 10:
V 9 V11
V 22
Nodo 11:
V10 V12
V 23
Nodo 12:
V11 V 24
4V12
4V10
Teoría Electromagnética
Nodo 28:
V18 V 27
4V11
4V 28
0
V 30
V 37
4V 29
0
V 38
4V 30
20
Nodo 31:
V 23 V 32
200
V 36
Nodo 30:
V 20 V 29
100
V 29
Nodo 29:
V19 V 28
100
V 39
4V 31
20
Nodo 32:
V 24 V 31
V 40
4V 32
100
Nodo 13:
V1 V14
V 25
4V13
120
Nodo 14:
V 2 V13
V15
V 26
4V14
Nodo 15:
V 3 V14
V16
4V15
60
Nodo 33:
V 25 V 34
V 41
4V 33
120
Nodo 16:
V 4 V15
V17
4V16
60
Nodo 34:
V 26 V 33
V 42
4V 34
60
Nodo 17:
V 5 V16
V18
V 27
4V17
0
Nodo 35:
V 27 V 36
V 45
4V 35
60
Nodo 18:
V 6 V17
V19
V 28
4V18
0
Nodo 36:
V 28 V 35
V 37
V 46
4V 36
0
Nodo 19:
V 7 V18
V 20
V 29
4V19
0
Nodo 37:
V 29 V 36
V 38
V 47
4V 37
0
Nodo 20:
V 8 V19
V 21
V 30
4V 20
0
Nodo 38:
V 30 V 37
V 48
4V 38
20
Nodo 21:
V 9 V 20
V 22
4V 21
20
Nodo 39:
V 31 V 40
V 51
4V 39
20
Nodo 22:
V10 V 21
V 23
4V 22
20
Nodo 40:
V 32 V 39
V 52
4V 40
100
Nodo 23:
V11 V 22
V 24
V 31
Nodo 41:
V 33 V 42
V 53
4V 41
120
Nodo 24:
V12 V 23
V 32
4V 24
100
Nodo 42:
V 34 V 41
V 43
V 54
Nodo 25:
V13 V 26
V 33
4V 25
120
Nodo 43:
V 42 V 44
V 55
4V 43
60
Nodo 26:
V14 V 25
V 34
4V 26
60
Nodo 44:
V 43 V 45
V 56
4V 44
60
Nodo 45:
V 35 V 44
V 46
V 57
Nodo 27:
V17 V 28
V 35
4V 27
4V 23
60
0
0
4V 42
4V 45
0
0

4. 4
Universidad Politécnica Salesiana.
Nodo 46:
V 36 V 45
Nodo 47:
V 37 V 46
Nodo 48:
V 38 V 47
Nodo 49:
V 48 V 50
Nodo 50:
V 49 V 51
Nodo 51:
V 39 V 50
Nodo 52:
V 40 V 51
Nodo 53:
V 41 V 54
Nodo 54:
V 42 V 53
Nodo 55:
V 43 V 54
Nodo 56:
V 44 V 55
Nodo 57:
V 45 V 56
Nodo 58:
V 46 V 57
Nodo 59:
V 47 V 58
Nodo 60:
V 48 V 59
Nodo 61:
V 49 V 60
V 47
V 48
V 49
V 61
V 62
V 52
V 64
4V 53
V 55
V 56
V 57
V 58
V 59
V 60
V 61
V 62
V 58
V 59
V 60
4V 49
4V 50
V 63
4V 52
Teoría Electromagnética
0
Nodo 64:
V 52 V 63
V 68
4V 64
100
0
Nodo 65:
V 59 V 66
V 69
4V 65
140
0
Nodo 66:
V 60 V 65
V 70
4V 66
60
20
Nodo 67:
V 63 V 68
V 71
4V 67
60
20
Nodo 68:
V 64 V 67
V 72
4V 68
100
4V 51
Nodo 69:
V 65 V 70
V 73
4V 69
140
Nodo 70:
V 66 V 69
V 74
4V 70
60
Nodo 71:
V 67 V 72
V 77
4V 71
60
140
Nodo 72:
V 68 V 71
V 78
4V 72
100
140
Nodo 73:
V 69 V 74
V 79
4V 73
140
140
Nodo 74:
V 70 V 73
V 75
V 80
140
Nodo 75:
V 74 V 76
V 81
4V 75
60
140
Nodo 76:
V 75 V 77
V 82
4V 76
60
0
Nodo 77:
V 71 V 76
V 78
V 83
0
Nodo 78:
V 72 V 77
V 84
4V 78
60
Nodo 79:
V 73 V 80
4V 79
60
Nodo 80:
V 74 V 79
V 81
4V 80
120
Nodo 81:
V 75 V 80
V 82
4V 81
120
4V 46
4V 47
4V 48
0
100
260
4V 54
4V 55
4V 56
4V 57
4V 58
V 65
V 66
4V 61
Nodo 62:
V 50 V 61
V 63
4V 62
Nodo 63:
V 51 V 62
V 64
V 67
4V 59
4V 60
4V 63
0
4V 74
4V 77
100
260
0
0

5. 5
Universidad Politécnica Salesiana.
Teoría Electromagnética
→ Con lo cual obtuvimos los siguientes resultados:
Nodo 82:
V 76 V 81
V 83
4V 82
120
Nodo 83:
V 77 V 82
V 84
4V 83
120
Nodo 84:
V 78 V 83
4V 84
220
→ Entonces armamos el sistema de matrices Ax=B
Como el sistema de matriz es de 84x84; realizamos un
programa en matlab que nos permita obtener las
soluciones de forma inmediata empleado el método de
Eliminación de Gauss.
Seudocódigo del programa en matlab.
disp('Solucion Numerica de la Ecuacion de
Laplace');
ls;
A = xlsread('Laplace.xlsx'); %Importamos
la matriz de Coeficientes desde Excel
B = xlsread('Laplace.xlsx',2);
%Importamos la matriz de Terminos
Independientes desde Excel, Hoja 2
[n,m] = size(A);
C = [A,B];
disp('La Matriz resultante es: ');
%Matriz Aumentada
disp(C);
for k=1:(n-1)
%Eliminacion hacia Abajo
for i=(k+1):n
m(i,k)= C(i,k)/C(k,k);
for j=k:(n+1)
C(i,j)=(C(i,j)-(m(i,k)*C(k,j)));
end
end
end
for i=n:-1:1
%Sustitucion hacia Arriba
s = 0;
for b = (i+1):n
s = s + (C(i,b)*X(b));
end
X(i) = (C(i,n+1)-s)/(C(i,i));
end
disp('Matriz de Soluciones');
disp(X);
%Soluciones
disp('Las soluciones son: ');
%Imprimimos las Soluciones V
for i=1:n
Xi = X(1,n);
fprintf('nV%g', i);
disp(X(i));
end
V1 = 103.1692
V2 = 95.3165
V3 = 90.8177
V4 = 89.2299
V5 = 89.3010
V6 = 88.7244
V7 = 86.6095
V8 = 83.1525
V9 = 79.9485
V10 = 80.8699
V11 = 86.4455
V12 = 93.2115
V13 = 97.3603
V14 = 87.2791
V15 = 78.7244
V16 = 76.8010
V17 = 79.2495
V18 = 78.9872
V19 = 74.5610
V20 = 66.0520
V21 = 55.7715
V22 = 57.0855
V23 = 71.7007
V24 = 86.4006
V25 = 78.9930
V26 = 77.7150
V27 = 71.9089
V28 = 73.4140
V29 = 66.5954
V30 = 50.7229
V31 = 56.8711
V32 = 80.6902
V33 = 98.6118
V34 = 84.5878
V35 = 74.9719
V36 = 76.1645
V37 = 67.6837
V38 = 50.2442
V39 = 55.0933
V40 = 79.4892
V41 = 110.8664
V42 = 102.0243
V43 = 92.1919
V44 = 89.7921
V45 = 91.8143
V46 = 88.5883
V47 = 77.7308
V48 = 62.5701
V49 = 47.7506
V50 = 47.8984
V51 = 64.0130
V52 = 82.1734
V53 = 122.8294
V54 = 120.4513
V55 = 116.9513
V56 = 115.1621
V57 = 113.9050
V58 = 108.6436
V59 = 92.0812
V60 = 74.5548
V61 = 60.5338
V62 = 59.8298
V63 = 70.8871
V64 = 85.1911
V65 = 107.3954
V66 = 83.0343
V67 = 74.5144
V68 = 87.7041
V69 = 114.4660
V70 = 90.1870
V71 = 79.4665
V72 = 91.1109
V73 = 120.2817
V74 = 103.2477
V75 = 89.1517
V76 = 86.5384
V77 = 92.2408
V78 = 97.2728
V79 = 123.4130
V80 = 113.3704
V81 = 106.8208
V82 = 104.7611
V83 = 105.6854
V84 = 105.7395
→ Ahora procedemos a obtener las gráficas de las líneas
de flujo y de las superficies equipotenciales, de igual
manera desarrollaremos un programa en matlab, el cual
nos permita obtener dichas gráficas.

6. 6
Universidad Politécnica Salesiana.
 Curvas de nivel
 Líneas de Flujo
Teoría Electromagnética

7. 7
Universidad Politécnica Salesiana.
 Superficies Equipotenciales
Teoría Electromagnética

8. 8
Universidad Politécnica Salesiana.
Teoría Electromagnética
Tabla de potenciales en porcentaje según la posición cartesiana.
y/x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
0
0
0
0
160
120
120
120
120
120
120
220
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
120
0
0
0
0
0
140
0
0
0
0
0
140
0
0
0
0
0
140
140
140
140
140
140
140
122,8 120,5 117,0 115,2 113,9 108,6
110,9 102,0 92,2 89,8 91,8 88,6
98,6 84,6 60,0 60,0 75,0 76,2
79,0 77,7 60,0 60,0 71,9 73,4
97,4 87,3 78,7 76,8 79,2 79,0
103,2 95,3 90,8 89,2 89,3 88,7
100
100
100
100
100
100
7
120
123,41
120,28
114,47
107,40
92,1
77,7
67,7
66,6
74,6
86,6
100
8
120
113,37
103,25
90,19
83,03
74,6
62,6
50,2
50,7
66,1
83,2
100
9
120
106,82
89,15
60,00
60,00
60,5
47,8
20,0
20,0
55,8
79,9
100
10
120
104,76
86,54
60,00
60,00
59,8
47,9
20,0
20,0
57,1
80,9
100
11
120
105,69
92,24
79,47
74,51
70,9
64,0
55,1
56,9
71,7
86,4
100
12
120
105,74
97,27
91,11
87,70
85,2
82,2
79,5
80,7
86,4
93,2
100
Potenciales representación porcentual
250
200
200-250
150
150-200
100-150
100
50-100
0-50
50
9
6
0
0
1
2
3
3
4
5
6
7
8
9
10
0
11
12
13
13
120
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100

9. 9
Universidad Politécnica Salesiana.
5. Conclusiones
Luego de la realización de este proyecto podemos
concluir que:
El proyecto en sí fue algo tedioso,
específicamente al momento de plantear las
ecuaciones para los puntos, lo cual fue un
proceso sencillo, pro que tomó tiempo, también
al momento de armar la matriz en Excel.
Es bastante conveniente pasar las ecuaciones a
una hoja de cálculo en Excel para de allí poder
importar al programa en matlab directamente y
mandar a ejecutar para una rápida obtención de
las soluciones.
Podemos constatar que los potenciales
obtenidos nos ayudan a identificar la manera en
que está distribuido el mismo sobre la región.
Si se hubiese tomado mayor número de
divisiones, el cálculo hubiera resultado mucho
mejor, pero también más tedioso, sin embargo
los resultados obtenidos fueron suficientes para
establecer las líneas de flujo y las superficies
equipotenciales, lo cual era el objetivo d este
proyecto.
6. Referencias
[1] APPLIED NUMERICAL METHODS USING
MATLAB, Won Young Yang.
[2] CLASSICAL ELECTRODYNAMICS, John
Davis Jackson, John Wiley & Sons, Inc., Publication
Teoría Electromagnética