Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

KARMAŞIK SAYILAR 1

3,716 views

Published on

KARMAŞIK SAYILAR

Published in: Education
  • Be the first to comment

KARMAŞIK SAYILAR 1

  1. 1. TANIM: x2+1 = 0 denkleminin gerçel sayılarkümesinde çözümü olmadığını biliyoruz.(∆<0)x2 +1 = 0 denkleminin çözülebildiği ve gerçel sayılarkümesini kapsayan daha geniş sayılar kümesi olankarmaşık sayılar kümesini oluşturacağız.Reel sayılar kümesinin kendisi ile çarpımı olan RxRkümesini C ile gösterelim.C = {a + bi ; a,b∈R ve i2 = -1 } kümesine KARMAŞIKSAYILAR kümesi denir.
  2. 2. İ - SAYISININ KUVVETLERİx2 +1 = 0 denkleminde x2 = -1⇒ x = ±√-1 olur. i = √-1alınırsa√-5 = √-1. √5 = i √5√-9 = √9. √-1 = 3ii sayısının herhangi bir kuvveti bulunurken kuvvetin 4 ilebölümündeki kalan i’nin kuvvetine yazılır.
  3. 3. KALAN SONUÇ 0 ise 1 1 ise i 2 ise -1 3 ise -ii2 = i.i = (√-1)(√-1) = -1i3 =i2.i = (-1)i = -ii4 = i2.i2 = (-1)(-1) = 1
  4. 4. ÖRNEKLER1) i21 = ?2) i543 = ?3) P(x) = 4x41 - 3x38 + 7x55 - 5x24 ise P(i) = ?4) P(x) = x3 + x - 1 olduğuna göre P(√-4) = ?
  5. 5. KARMAŞIK SAYILARIN STANDART BİÇİMİElemanları a +bi şeklinde olan kümeye karmaşık sayılarkümesi adı verilir. C ile gösterilir. Her (a,b) karmaşık sayısı a+bi biçiminde yazılır ki bu yazılışa karmaşık sayının standart biçimi denir. z = a+bi şeklinde gösterilir.Herhangi bir z = a+bi karmaşık sayısında a reel sayısına z’nin gerçel (reel) kısmı , b reel sayısına da z’nin sanal (imajiner) kısmı denir. z = a+bi ise Re(z) = a ve Im(z) = b dir.
  6. 6. ÖRNEKLER1) z = 5 ise z = 5 + 0i Re(z) = 5 ve Im(z) = 02) z = 3i ise z = 0+3i Re(z) = 0 , Im(z) = 33) z = (-3-4i).(1+i) = 1-7i Re(z) = 1 , Im(z) = -7
  7. 7. KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ İki karmaşık sayının karşılıklı olarak gerçel ve sanal kısımları kendi aralarında eşitse bu iki karmaşık sayı eşittir denir. z1 = a+bi ve z2 = c+di karmaşık sayıları için; z1 = z2 ⇔ a = b ve c = d dir. ÖRNEKLER1) z1 = 2x+3i+y ve z2 = xi+2+yi karmaşık sayıları eşit olduğuna göre (x,y) sayıları nedir?2) 3x+2y+(2x-y)i = 1-4i eşitliğini sağlayan x ve y sayılarını bulunuz.3) 2i+√5 = 3-2xi+ √20.i-y ise x ve y’yi bulunuz.
  8. 8. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ -z = a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi dir ve z ile gösterilir.z = a+bi - = a-bi ise zÖRNEKLER -1) z = 3+4i ise z = 3-4i2) z = -2-i ise - z = -2+i -3) z = 4 ise z=4 -4) z =-2i ise z = 2i
  9. 9. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİNDE İŞLEMLER TOPLAMA-ÇIKARMAİki karmaşık sayının toplamında ve çıkarmasında, gerçel kısımlarkendi aralarında, sanal kısımlar da kendi aralarında toplanır veçıkarılır.z1= a+bi ve z2= c+di olsun.z1+z2 = (a+c)+(b+d)iz1- z2 = z1+(-z2) = (a-c)+(b-d)iÖRNEKLER1) z1 = 3-2i ve z2 = -4+5i ise z1 + z2 = ?2) z1 = -2+6i ve z1+z = -4i ise z’nin eşiti nedir?
  10. 10. ÇARPMA Normal çarpma işlemi yapılır. İşlem neticesinde i’nin kuvvetlerinin değeri bulunarak yerine konur.z1 = a+bi , z2 = c+di olmak üzere; z1.z2 = (a+bi).(c+di) = (ac-bd)+(bc+ad)iÖRNEKLER1) z1 = 2+3i , z2 = 4-5i ise z1.z2 = ?2) z = (2-7i) ise z2 sayısı nedir?3) √-5. √-8. √-10 = ?4) (1+i)35 sayısını a+bi biçiminde yazınız.
  11. 11. 5) Çözüm kümesi {2-5i , 2+5i} olan ikinci derece denklemi bulunuz?BÖLME İki karmaşık sayının bölümünde pay ile payda paydanın eşleniği ile çarpılır. z1 = a+bi ve z2 = c+di ise z1 = a+bi . c-di = (a+ib)(c+id) z2 c+di c-di c2+d2 ÖRNEKLER1) z1 = 4+3i , z2 =3+2i ise z1/z2 = ?
  12. 12. KARMAŞIK DÜZLEMAnalitik düzlemde x eksenini gerçel (reel) eksen, y-eksenini sanal(imajiner) eksen olarak aldığımızda oluşan düzleme karmaşıkdüzlem denir. Sanal (imajiner) eksen A = 2+3i A 3 Reel eksen 2
  13. 13. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ IzI = I x+yi I = √(x2+y2) dir.Karmaşık düzlemde z = x+yi sayısına karşılık gelen noktanın orjine olanuzaklığına z karmaşık sayısının mutlak değeri (modülü) adı verilir. UYARI A=(x+yi) 1. ∀z∈C için IzI≥0 IzI y 2. Iz1.z2I = Iz1I.Iz2I O x H 3. z1 Iz1| = z2 |z2I
  14. 14. 4. zn = z n 5. z = z = - z = - z 6. | 1/z| = 1 / |z| (z≠0) 7. | | z1| - | z2| | ≤ | z1 + z2| ≤ | z1| +| z2| ÖRNEKLER1. Aşağıdaki karmaşık sayıları düzlemde görüntüleyerek mutlakdeğerini bulunuz. A) z = 2 + 3i B) z = - √5 i C) z= -32. ( -2 + 3i ) • ( 8 +6 i ) = ?3. ( z1 = 5 √ 3 - √ 6 i , z2 = 2 √ 11 + √ 5 i , z3 = 1 +2 √2 i ise z1 =? z z
  15. 15. 4. z = x + y i karmaşık sayısı için z- z = - 1 + 2i ise z = ?5. z, bir karmaşık sayı olmak üzere ; z - 2i = i.z + 1 ise Im (z) = ?
  16. 16. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK Karmaşık düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık; A z1=x1+y1i y1 y2 B z2=x2+y2i x1 x2 | z1-z2 | = |AB| = √(x1-x2)2+(y1-y2)2
  17. 17. z1= 2-4i ve z2 = -4+4i sayıları arasındaki uzaklık; z1 = 2-4i sayısının görüntüsü M1(2,-4) z2 = -4+4i sayısının görüntüsü M2(-4,4)| z1 -z2 | = √(2-(-4))2 + (-4-4)2 = √100 = 10 NOT z0∈C , z0=a+bi y z |z-z0|=r , r∈R , z=x+yi b z0 |z-z0|=r ise | (x+iy)-(a+bi) | = r √(x-a)2+(y-b)2 = r ise a x (x-a)2+(y-b)2 = r2 dir.
  18. 18. 1. | z-z0| = | z-(a+bi)| = r denklemi analitik düzlemde merkezi M(a,b) ve yarıçapı r-olan çember denklemidir.2.| z-z0| = | z-(a+bi)| < r ifadesi merkezi (a,b), yarıçapı r olan çemberiniç bölgesidir.3. |z-z0| = | z-(a+bi)| > r ifadesi merkezi (a,b), yarıçapı r olan çemberin dış bölgesidir. ODAKLAYICI SORU: 1. {z| z∈C ve |z- (2+3i)|=3}Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 2. |z+1+i| ≥ 3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 3. |z-i| > 3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 4. |z+i| ≤ 2 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz.
  19. 19. 5. z0 =3+4i ise A={z| z∈C ve |z- z0|=3} kümesini karmaşık düzlemdegösteriniz6. { z| z∈C ve |z+3i|≤|z+6-5i| } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz.7. x,y∈R olduğuna göre z=x+yi dir. 1≤|z-1+i|≤2 ifadesini karmaşıkdüzlemde gösteriniz.TOPLAMIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ : z1=a+bi z1+z2 ⇒ z1+z2=(a+c)+(b+d)i z2 z2=c+di d0,z1,z2 ve z1+z2 bir parelel kenarın b z1köşeleridir. ca
  20. 20. ÇIKARTMANIN GEOMETRİK GÖSTERİMİz1=a+bi nin görüntüsü A,z2=c+di nin görüntüsü B, z2 d-z2=-c-di dir.z1- z2=(a-c)+(b-d)i b z1 c a0,z1,-z2 ve z1- z2 bir parelel kenarınköşeleridir. z1-z2 -z2
  21. 21. KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) BİÇİMİz=x+yi karmaşık sayısının düzlemdekigörüntüsü M(x,y) ve |OM|=r=|z|=√x2+y2 M z=x+yi r |z |= yOMA ‘de θ . 0 x A xCosθ= ⇒ x=r.Cosθ , (x=|z|.Cosθ) r ySinθ= ⇒ y=r.Sinθ , (y=|z|.Sinθ) rz=x+yiz=rCosθ+r.i.Sin θ= r(Cosθ+i.Sin θ)= r.Cisθz=r(Cosθ+i.Sin θ) veya z=r[Cos(θ+2kπ)+i.Sin(θ+2k π )] ,
  22. 22. ARGÜMENT 0o≤θ≤2Π olmak koşulu ile θ açısına z’nin esas argümenti denir. ve Arg(z)=θ biçiminde yazılır. Arg( z )=Argz-1=2Π-Argzz=x+yi karmaşık sayısının argümentinin esas ölçüsü bulunurkenz=x+yi karmaşık düzlemde işaretlenerek hangi bölgede olduğu araştırılır. I. Bölgede ise Argz=θ II. Bölgede ise Argz=Π-θ III. Bölgede ise Argz= Π+θ IV. Bölgede ise Argz= 2Π-θ
  23. 23. yÖRNEK: zYandaki z karmaşık sayısının kutupsal biçimi; 6r=|z|=6 ve θ=180o-20o=160o olduğundan, 20o xz=6(Cos160o+iSin160o) dır.ODAKLAYICI SORU: 1 √3 z =- + i sayısının esas argümenti nedir ? 2 2 z= 2√2 - 2√2 i sayısının esas argümenti nedir ? z=1- √3 i sayısını kutupsal biçimde yazınız. z =-3√2 +3√6 i ise (-z) sayısını kutupsal biçimde yazınız.z = -2i sayısını kutupsal biçimde yazınız.Arg(z+2)= Π eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının görüntülerini 4çiziniz.

×