Upcoming SlideShare
×

# 7. SINIF MATEMATİK CANAVARI

33,454 views

Published on

7. SINIF MATEMATİK CANAVARI

Published in: Education
1 Like
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

Views
Total views
33,454
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2,695
Actions
Shares
0
93
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### 7. SINIF MATEMATİK CANAVARI

1. 1. 2012-20137. SINIF MATEMATİK CANAVARI YAZAR: FURKAN AYDIN http://matematik-canavari.blogspot.com/ Bu kaynak ücretsiz olarak sunulmuştur. Parayla satılmaz. Öğrencilere yardımcı olmak üzere ders kitapları referans alınarak hazırlanmıştır.
2. 2. 7. SINIF KONULARI1.BÖLÜM .................................................................................................................................................... 7.1.1.Doğrular ve Açılar .......................................................................................................................1 7.1.2.Rasyonel Sayılar 1 .......................................................................................................................5 7.1.3.Tam Sayılar .................................................................................................................................82.BÖLÜM .................................................................................................................................................... 7.2.1.Rasyonel Sayılarla İşlemler ...................................................................................................... 12 7.2.2.Cebirsel İfadeler ....................................................................................................................... 17 7.2.3.Denklemler .............................................................................................................................. 21 7.2.4.Çember ve Daire ...................................................................................................................... 253.BÖLÜM .................................................................................................................................................... 7.3.1.Oran-Orantı ............................................................................................................................. 29 7.3.2.Çokgenler ve Açıları Ölçme ...................................................................................................... 34 7.3.3.Dörtgenlerin Kenar-Açı ve Köşegen Özellikleri ........................................................................ 37 7.3.4.Çokgenlerde Eşlik ve Benzerlik ................................................................................................ 42 7.3.5.Tablo ve Grafikler - Sütun Grafiği - Çizgi Grafiği - Daire Grafiği ............................................... 45 7.3.6.Merkezi Eğilim ve Yayılma Ölçüleri .......................................................................................... 504.BÖLÜM .................................................................................................................................................... 7.4.1.Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler .................................................................................... 52 7.4.2.Doğrusal Denklemler ve Grafikleri-Kartezyen Koordinat Sistemi ............................................ 55 7.4.3.Rasyonel Sayılarla İlgili Problemler Çözme .............................................................................. 59 7.4.4.Faktöriyel ................................................................................................................................. 62 7.4.5.Permütasyon ........................................................................................................................... 63 7.4.6.Ayrık ve Ayrık olmayan Olaylar ve Olasılıkları ......................................................................... 64 7.4.7.Olasılık-Geometri İlişkisi .......................................................................................................... 67 1
3. 3. 5.BÖLÜM .................................................................................................................................................... 7.5.1. Dönüşüm Geometrisi-Yansıma ............................................................................................... 69 7.5.2.Dönme Hareketi, Düzlemde Bir Noktada Şekilleri Belli Bir Açı Döndürme ............................. 72 7.5.3.Süsleme ve Süsleme Kodu ....................................................................................................... 75 7.5.4. Tam Sayıların Kendileriyle Tekrarlı Çarpımı - Üslü Sayılar ...................................................... 78 7.5.5. Örüntüleri Modelleme ve Modelleri Harflendirme ................................................................. 81 7.5.6. Bilinçli Tüketim Aritmetiği Yüzdeler ........................................................................................ 85 7.5.7. Faiz Hesaplama ........................................................................................................................ 886.BÖLÜM .................................................................................................................................................... 7.6.1. Dairesel Silindir ........................................................................................................................ 89 7.6.2. Farklı Yönlerden Görünümleri Verilen Nesneleri Çizme .......................................................... 90 7.6.3. Kenar-Çevre Alan İlişkisi .......................................................................................................... 91 7.6.4. Paralelkenar-Eşkenar Dörtgen-Yamuk .................................................................................... 92 7.6.5.Çember - Daire - Daire Dilimi.................................................................................................... 96 7.6.6.Dik Dairesel Silindirin Alanı ve Hacmi ..................................................................................... 100 2
4. 4. 7.1.1.Doğrular ve Açılar b)İki doğru paralel diğeri dikse “orta dikme” denir.Bir “d” doğrusunadışındaki bir c)Doğrular ikişer ikişer kesiştirilirse oluşannoktadan cisme (aynı düzlemde olmak şartıyla) “üçgen”çizilebilecek en denir.kısa mesafeyeorta dikme denir. AÇILAR (Üç boyutta dikme) 1)Dar Açı: Ölçüsü 0º `den büyük ve 90º`den küçük açılara DAR AÇI denir. 2)Dik Açı: Ölçüsü 90º olan açıya DİK AÇI denir.Paralel doğru :Aralarındaki açıklık hiç 3)Geniş Açı: Ölçüsü 90º`den büyük 180º`dendeğişmeyen ve birbirleri ile kesişmeyen küçük olan açıya GENİŞ AÇI denir.doğrulara paralel doğrular denir. Tren vetramvay yolları, elektrik telleri, bir merdivenin 4)Doğru Açı: Ölçüsü 180º olan açıya DOĞRUkenarları, paralel doğrulara örnek olarak AÇI denir.gösterilir. 5)Tam Açı: Ölçüsü 360º olan açıya TAM AÇI denir. 6)Tümler Açı: İki açının ölçüleri toplamı 90º olan açıya TÜMLER AÇI denir. 7)Bütünler Açı: İki açının ölçüleri toplamı 180ºd1//d2 ise bu açılara BÜTÜNLER AÇI denir. Bir Noktada Kesişen İki Doğrunun Oluşturduğu Açılar:Not: Bir noktadan a)Komşu Açılar: Başlangıç noktaları ve birsonsuz tane doğru kenarları aynı iki veya daha fazla açıya KOMŞUgeçer. AÇILAR denir. b)Komşu Tümler Açılar: Başlangıç noktaları ve bir kenarları aynı, ölçüleri toplamı 90º olan iki farklı açıya KOMŞU TÜMLER*Aynı düzlemde bulunan 3 doğru , AÇILAR denir.a)Aynı noktadan geçiyor ise bu doğrulara“noktadaş doğrular” denir. 1
5. 5. c)Komşu Bütünler Açılar: Başlangıç noktaları Sorularve bir kenarları aynı, ölçüleri toplamı 180º olan açıya KOMŞU BÜTÜNLER 1) AÇILAR denir. d)Ters Açılar: Köşeleri 2)ortak ve kenarlarıbirbirine zıt ışınları olaniki açıya TERS AÇI denir.Ters açıların ölçüleribirbirine eşittir.Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar 3) a)Yöndeş Açılar: Aynı yöne bakan açılarayöndeş açılar denir. Yöndeş açılar birbirineeşittir.b)Dış Ters Açılar: Dışta kalan ve dışa bakanters açılara dış ters açılar denir. Dış tersaçıların ölçüleri birbirine eşittir.c)İç Ters Açılar: İçte kalan ve içi bakan tersaçılara iç ters açılar denir. İç ters açılarınölçüleri birbirine eşittir. 4)d)Karşı Konumlu Açılar: Paralel iki doğruarasında kalan ve karşılıklı olan açılara denir.Karşı konumlu açıların toplamı 180º`dir.a ile z , b ile t iç ters açılardır. 5)y ile d , x ile c dış ters açılardır.a ile t , b ile z karşı konumlu açılardır. 2
6. 6. 6) 10)7) 11)8) 12)9) 3
7. 7. 13) 17) 18)14) I ve II numaralı yerlere ne gelmelidir? 19)Üç doğru düzlemde en az kaç noktada kesişir? En fazla kaç noktada kesişir?15)İki paralel doğru çiziniz ve bu doğrularıkesen biri dik 2 doğru çiziniz.16) 4
8. 8. 7.1.2.Rasyonel Sayılar 1 KESİRLERİN OKUNMASI VE YAZILMASIRasyonel Sayılar, (oranlı sayılar) iki tamsayınınbirbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır.Rasyonel sayılar kümesi, tam sayıların birgenişlemesidir ve ile gösterilir.Aşağıdaki şekilde, bir bütün yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi ¼ olarak görülmektedir. Paydası 10 100 1000 ... gibi 10un kuvvetleriAncak bir parça alınmış olduğundan kalan olan kesirlere ondalık kesir denir.eksiktir. Geriye kalan, dört eşit parçaya Not: Kesirleri ondalık kesire çevirmek içinbölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3de 4 payda 10’un katlarına çevrilir.oranı) veya (kesiri)dir. Bu ¾ ifadesi şeklinde Paydası 10 Olan Kesirler:gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin Ondalık kesrin payındaki sayının birlerüstündeki değere (yani 3e) pay, kesir çizgisinin basamağından sola doğru 1 basamak virgülealtındaki değere (yani 4’e) payda denir. Bu ayrılır.kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diyeokunur.Aşağıda sayı doğrularında işaretlenennoktalara karşılık gelen rasyonel sayıları Paydası 100 Olan Kesirler:kutucuklar içine yazınız. Ondalık kesrin payındaki sayının birler basamağından sola doğru 2 basamak virgüle ayrılır. Not: 2/3 , 8/9 kesirlerini ondalık kesire çevirirsek bazı kısımları devreder. Bu gibi kesirlere devirli ondalık kesir denir. 5
9. 9. Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük 2) Aşağıdaki kesirleri büyükten küçüğe,küçüklük) sıralayınız*Paydaları eşit olan rasyonelsayılar için payı büyük olandaha büyük, payı küçük olandaha küçüktür.*Paylar eşit olduğunda bölünen parça sayısıyani payda büyüdükçe oluşan parça boyutları 3) Aşağıdaki kesirleri ondalıklı ifadeyedaha küçük olacaktır. çeviriniz.*Pay ve paydalar eşit değilse paydalar eşitlenirve sıralama işlemine devam edilir.NOT: Unutmamalıdır ki negatif paylarkarşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin 4) kesirlerini sadeleştirin.karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerininde ele alınması gerekir.“ < ” Küçük işareti “ ≤ “ Küçük eşit“ > ” Büyük işareti “≥” Büyük eşitN: Doğal sayılar, Z: Tam sayılar, Q: Rasyonel 5) ondalıklı ifadeye çeviriniz.sayılar 3 1 5 1 6) 4 ,2 ,8 ,3 rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğruSorular sıralanırsa soldan ikinci rasyonel sayı kaç olur?1) Aşağıdaki şekilleri kesir şeklinde ifadeediniz? = = 7) 3,4343434343434343… sayısını rasyonel ifadeye çeviriniz? = = 6
10. 10. 8) şekli ondalık sayıya çeviriniz? 1 x 59) 4 < 8 < 12 sıralamasının doğru olmasıiçin x yerine doğal sayılardan hangisiyazılmalıdır?10) Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlarınsonuna D ,yanlış olanların sonuna Y yazınız.a) İki rasyonel sayı arasında mutlaka birrasyonel sayı bulunur. ( )b) Her tamsayı aynı zamanda bir rasyonelsayıdır. ( )c)Payı paydasından büyük kesirlere basit kesirdenir.( ) 7
11. 11. 7.1.3.Tam Sayılar Tam Sayılarda İşlemlerin Sayı Doğrusunda Gösterilmesi:Tam Sayılar, (ya da Z) şeklinde gösterilir. Toplarken sağa , çıkartırken solaToplama İşlemi: Ör:(+4)+(-8)=(-4) 1. a+0=a (Birim Eleman) 2. a+b=b+a (Değişme) 3. a+(b+c)=(a+b)+c (Birleşme) 4. a+(-a)=0 (Ters Eleman) İşlem önceliği: Birden fazla işlem karışıkÖR: (+6)+(-2)=+4 verilmişse, önce parantezler, parantez yoksa önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma yapılır. Eşit öncelikli yan yana olursa örneğin çarpma ve bölme, her zaman işleme soldan başlanır.Çıkartma İşlemi: Sorular:ÖR: (-4)-(+3)=(-7) 1) [(8x2)-5]x[(7+4):11+3]=?Çarpma İşlemi:“0”yutan eleman , “1” etkisiz elemanÖr: (-3) x 5Ör: (-3) x (-4) 2)Bölme İşlemi:Ör: (-14) : 7Ör: (8):(2)=+4 8
12. 12. 3) x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere, 7) a=Çarpmaya göre yutan eleman2x+3y=27 koşulunu sağlayan kaç y değeri b=Toplamaya göre etkisiz elemanbulunur? c=Çarpmaya göre birim eleman ise, ac+bc+ac+a+b+c işleminin sonucu kaçtır?4) x ve y birer pozitif tam sayılar olmak üzerex>3 2x+3y=96 olduğuna göre, y ninalabileceği en büyük değer kaçtır? 8) a < b < 0 < c < d <3 olmak üzere, a+b+c’nin pozitif olmadığı biliniyor. O halde a+b+c+d nin en büyük değeri kaçtır?5) a, b, c pozitif tamsayılar olmak üzere3a=5b ve c=2a olduğuna göre, c nin 9)alabileceği en küçük değer kaçtır?6) a, b, c pozitif tamsayılar vea . b = 4 a . c =12 olduğuna göre, a + 10) Çarpma tablosuna göreb+ c toplamının en küçük değeri kaçtır? Sonucu kaçtır? 9
13. 13. 11) 15)12) 16) 17) 4-A SINIFINDAKİ ÖĞRENCİLERİN SINIF BAŞKANLIĞI SEÇİMİ 1214) 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Oya Tunç Murat Sinem Ayça Aşağıdaki soruları yukarıdaki sütun Grafiğine göre cevaplayınız. a) Sınıf başkanlığı için kaç öğrenci aday olmuştur? 10
14. 14. b) En az oyu alan öğrenci ile en fazla oyu 21)alan öğrenci arasında kaç oy fark vardır?c) 4-A sınıfında kaç öğrenci vardır?18) 22) Boşlukları 1den 9 a kadar olan sayılarla doldurunuz? 23) Aşağıda gündüz sıcaklıkları verilen illerin19) Ali 10 liraya 5 kitap alabiliyor.12 lirası istenilen gece sıcaklıklarını bulunuz.olsaydı kaç kitap alabilirdi?20) Ali’nin koyunları ile Veli’nin tavuklarınınsayısı toplam 20 dir. Bu hayvanlarınayaklarının sayıları toplam 50 dir. Koyun ve 24)Çarpımları 18 toplamları -11 olan iki sayınıntavuk sayısını bulunuz? farklarının alacağı değerler toplamı kaçtır? 11
15. 15. 7.2.1.Rasyonel Sayılarla İşlemlerRasyonel Sayılarla Toplama İşlemiPaydalar eşit ise paylar toplanır paydalardanbiri yazılır.Paydaları eşit olmayan rasyonel sayılarınpaydaları eşitlenerek yapılır.Toplama İşleminin Özellikleri  0 etkisiz elemandır. Farkı;Ör:  Ters elemanÖr:  Değişme ÖzelliğiÖr:  Birleşme ÖzelliğiÖr: Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemiPaydalar eşit ise paylar çıkarılır paydalardanbiri yazılır.Paydaları eşit olmayan rasyonel sayılarınpaydaları eşitlenerek yapılır. Yukarıdaki tabloya göre toplama işleminin etkisiz eleman, ters eleman, değişme özelliği, birleşme özelliği olduğunu görebiliriz. 12
16. 16. NOT: Çıkarma İşleminin etkisiz eleman, 2 ile dir.değişme özelliği, birleşme özelliği, terselemanı yoktur. Bölme İşlemiRasyonel Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi Rasyonel sayılarla bölme işlemi yapılırken birinci terim aynen yazılır, ikinci teriminÇarpma İşlemi çarpma işlemine göre tersi, birinci terim ileRasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken çarpılır.paydaki sayıları çarpıp çarpımın payına, Ör:paydadaki sayıları çarpıp çarpımın paydasınayazarız.Rasyonel sayılarla çarpma işleminde aynıişaretli rasyonel sayıların çarpımı pozitif, zıtişaretli rasyonel sayıların çarpımı negatifrasyonel sayıdır.  0 yutan elemandır.Ör:  1 etkisiz elemandır.Ör:  Toplama işlemine göre tersi -1 ile çarpımıdır.Ör:  Değişme Özelliği vardır.Ör:  Birleşme Özelliği vardır.Ör:  Çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliği vardır.Ör:NOT: Çarpımları 1 olan iki rasyonel sayı,çarpma işlemine göre birbirinin tersidir. 13
17. 17. 2. Kutucuğu doldurunuz.NOT: Aynı işaretli rasyonel sayıların bölümüpozitif, zıt işaretli rasyonel sayıların bölümünegatif rasyonel sayıdır.Ör: 3.SORULAR1. 14
18. 18. 4. =? 9. 10.Doğru-Yanlış5. 11.6. 12.7. Yukarıdaki numaralandırılmış kutucuklara özellikler yazılmıştır. Aşağıdaki soruları, kutucuklardaki özelliklerden yararlanarak cevaplayınız. Yukarıdaki kutucukların hangileri rasyonel sayılarda;8. kaçtır? a) 15
19. 19. b)c)ç)d)13.Çarpmaya göre tersini bulunuz.14.Bölme işlemine göre boşlukları doldurunuz. 16
20. 20. 7.2.2.Cebirsel İfadeler ÖR: 5x+3y-4x+2y=(5-4)x+(3+2)y=1.x+5y=x+5yÖR:2x+5-3x ÖR: 9x-7x+3-2y=(9-7)x-2y+3=2x-2y+3-“ax” cebirsel ifadesinde “x”e terim, “a”ya bu ÖR: x-2y+3x+5y+z=(1+3)x+(-2+5)y + z=4x+3y+zterimin kat sayısı denir.-Bir cebirsel ifadede bir değişkenin aynı veya Çarpma ve Bölmefarklı kat sayılara sahip olan terimlerinebenzer terimler denir. Ör: 2 ile (8x-6)yı çarpalımToplama ve ÇıkarmaModel kullanmadan toplayalım Model kullanmadan çarpalımNOT: Benzer terimler toplanırken veyaçıkarılırken içinde bilinmeyen bulunanterimlerin önündeki kat sayılarla işlem(toplama veya çıkarma) yapılır, elde edilen sayıbilinmeyenin kat sayısı olarak yazılır.ÖR: 3x – 2x + 5x= (3-2+5)x=6x 17
21. 21. NOT: Tek terimli bir ifade ile iki terimli birifade çarpılırken çarpma işleminin toplamaveya çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliğiuygulanır. Buna göre birinci ifade ile ikinciifadenin birinci ve ikinci terimleri sıra ileçarpılır.ÖR:ÖR: İfadesini en sade hale getirelim. SORULAR 1.ÖR: =? 2. 3. 4. 18
24. 24. 7.2.3.Denklemler ÖR:İçinde en az bir bilinmeyen ve işlem bulunanifadelere cebirsel ifadeler denir. Cebirselifadelerde kullanılan harflere değişken,denklemlerde kullanılan harflere debilinmeyen adı verilir.Eşit kollu bir terazinin her iki kefesindekiağırlıklar eşit ise terazi dengede olur. Terazininher iki tarafında farklı cebirsel ifadeler olsun.Bu ifadeler eşit ağırlıkta ise terazi dengedeolur.ÖR: 3kg elma=10 adet elma olsun. 3kg karpuz= 1 adet karpuz olsun.Sonuç: 10adet elma =1 adet karpuz (Ağırlık Her iki tarafa 3 taneolarak)NOT: Terazinin her iki tarafına aynı miktardaağırlık eklemek veya çıkartmak terazinindengesini bozmaz. Yani eşitlik değişmez.ÖR:ÖR: 21
25. 25. SORULAR sayfalık kitabını bitiren Semranın ilk günden sonraki günler kaçar sayfa kitap okuduğunu denklem kurarak bulunuz. Sonraki her gün için x sayfadan 5x sayfa okur. 5x+13=158 5x+13-13=158-13a) 5x=145 5x:5=145:5 ise x=29 olur. ÖR:b)c)ç) X=12 olur. Yatak odası= 21m2 Koridor ve banyo-wc=6m2Problemler Mutfak=8m2ÖR: Semra, ilk gün kitabının 13 sayfasınıokudu. Sonraki 5 gün boyunca her gün eşit Salon=48m2miktarda sayfa okudu. 6 gün sonunda 158 22
26. 26. SORULAR 4.1. a=?2. Dikdörtgenin çevresi=? 5. 4 eksiğinin 5 katı 35 olan sayı kaçtır?3. 6. 2 katının 3 eksiği, yarısına eşit olan sayı kaçtır? 23
27. 27. 7. Aralarında üçer yaş fark bulunan kardeşlerinyaşlarının toplamı 99 olduğuna göre en büyükkardeşin yaşını denklem kurarak bulunuz. 10. Bir koşucu, belli bir sürede kaç metre koştuğunu merak ediyor. Aynı gün, belli bir süre tutarak 3 kere koşuyor. Her koşusunda aynı sürede kaç metre koştuğunu kaydediyor ve her koşunun bir önceki koşudan 15,5 m daha fazla olduğunu görüyor. Koşucu, 3 koşu sonunda toplam 247,5 m koştuğuna göre son koşuda kaç metre koşmuştur?8. Mehmet işe gitmek üzere yola çıkmış veevinden 27,5 m uzaklaşmıştır. Bu noktadan,dakikada ortalama 55 m yürüyerek evinin247,5 m uzağına varmıştır. Buna göreMehmet, ilk bulunduğu noktadan bu noktayakaç dakikada ulaşmıştır?9. Üç arkadaş, internet sitesinden aynımatematik kitabı için birer tane siparişverdiler. Tek kolide gelecek bu sipariş için, 5 TLposta ücreti olmak üzere toplam 50 TLödediler. Buna göre bir kitabın kaç TLolduğunu bulunuz. 24
28. 28. 7.2.4.Çember ve Daire DAİREBir düzlemdeki sabit bir noktadan eşit Çemberin kendisi ile iç bölgesinin birleşimineuzaklıktaki noktaların meydana getirdiği daire adı verilir.geometrik şekle çember adı verilir. DÜZLEMDE BİR DOĞRU İLE DAİRENİNÇember veya daireyi iki eş parçaya ayıran DURUMUdoğru parçasına çap denir, Çap, R ile gösterilir. *Hiç ortak noktası olmayabilir.Merkez ile çember üzerindeki bir noktayıbirleştiren doğru parçasına yarıçap denir, r ilegösterilir.Çemberin pergelle çizimi yapılırken saatinakrep veya yelkovanın hareket yönünün aynıveya tersi doğrultusunda hareket edilmesi *Teğet geçebilir.gerekir. Çemberin çizim yönü, kısaca “saatyönü” veya “saat yönünün tersi” olarak ifadeedilir. r=yarıçap *Herhangi iki noktayı kesebilir. Çember ile doğrunun bir noktaları ortak ise biri diğerine teğettir. Çemberin iki noktası arasında kalan parçasınaNot: çember yayı, çember parçası veya kısaca yay denir.“ ” sembolü ile gösterilir.D noktası 25
29. 29. ÖR:Köşesi çemberin merkezi olan açıya merkezaçı denir. Merkez açının ölçüsü 0° ile 180°,çember yayları ise 0° ile 360° arasındadır.Merkez açının içinde kalan çember parçasınaise merkez açının gördüğü yay denir.Merkez açının kenarlarının çemberi veyadaireyi kestiği noktaların arasındaki yaylardanbiri majör (büyük) çember yayı, diğeri minör(küçük) çember yayıdır. Merkez açınıngördüğü yay minör yay olmalıdır. Aynı Yayı Gören Merkez Açı ile Çevre Açı Arasındaki İlişkiÖR: Bir çevre açının ölçüsü, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir. =x ise 2x olur. Yayların ÖlçüsüKöşesi çemberin üzerinde bulunan açıya çevreaçı denir.Çevre açının içinde kalan çember parçasınaçevre açının gördüğü yay denir. 26
30. 30. NOT: Merkez açı, doğru açı ise gördüğü yayayarım çember yayı ya da yarım çember denir.SORULAR 1. Yandaki M merkezli çemberin içindeki noktaları İ kümesi ile, dışındaki noktaları D kümesi ile, üzerindeki noktaları ise Ü kümesiile gösteriniz. 2. Yandaki 3. örüntüde bulunan doğrular ile çemberlerin birbirlerinegöre durumlarını açıklayınız. 27
31. 31. 4. 7.5.6. 28
32. 32. 7.3.1.Oran-OrantıORANa ve b reel sayılarının en az biri sıfırdanfarklı olmak üzere ye a nın b ye oranıdenir.• Oranlanan çokluklardan ikisi aynı andasıfır olamaz. Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür olmalıdır. Doğru orantılı niceliklerde miktarların bölümü • Oranın sonucu birimsizdir. sabit bir sayıdır. a ve b sayıları birbiri ile doğru orantılı ise ⁄ sabit bir sayıdır.ORANTIEn az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani ⁄oranı ile nin eşitliği olan ye orantı denir. Buorantı a : c = b : d biçiminde de gösterilebilir. Başka bir deyişle, x ile y çoklukları doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k . x ifadesine doğru orantının denklemi denir.a ile d ye dışlar, Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynıb ile c ye içler denir. oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk tersİki çokluktan biri artarken diğeri de aynı orantılıdır denir.oranda artıyorsa veya iki çokluktan biriazalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa • İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi tersböyle çokluklara doğru orantılı çokluklar orantılıdır.denir. • Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır.Doğru orantı kısaca “D.O.” ile gösterilir. Ters orantılı niceliklerdeki miktarlarınDoğru orantı ile işlem yaparken orantıdaki çarpımları sabit bir sayıdır. a ve b sayılarıterimler çapraz çarpılır. birbiri ile ters orantılı ise a . b sabit bir sayıdır.• İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru a.b=k (k=Orantı sabiti)orantılıdır.• Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır. Yandaki tabloya göre,Doğru orantının grafiği aşağıdakine benzer.Ör: 1.24=2.12=3.8=4.6=k=24 tür. 29
33. 33. Örnekler 2. Kişi sayısı-Bilet miktarı (DO) Sınav notu-Karne notu(DO) Koltuk miktarı-Yolcu Sayısı(DO) Tuğla Sayısı-Duvar yüksekliği(DO) Kutu Miktarı-Hediye Sayısı(DO) İşçi Sayısı-İş miktarı(DO) Musluk sayısı-Havuzun dolma süresi(TO) İşçi sayısı-işin bitme süresi(TO) Yükseklik-Oksijen miktarı(TO)ProblemlerÖr: Evlerinin mutfağındaki fayanslarıyenileyecek olan Tüzüner ailesi, iki tanesi 12 TL 3.olan fayanslardan 42 tane alacağına görefayanslara kaç Türk lirası ödeyecektir?Fayans sayısı artarsa parada artar –DoğruOrantı2fayans 12TL ise42fayans x TLdir.2.x=42.12 olup x=252 TL dir.Ör: Aynı hızda çalışan 4 işçi 9 günde bir işiyapıyorsa 6 işçi aynı işi kaç günde yapar?İşçi sayısı ile süre- Ters Orantı (Düz Çarpım)4.9=6.x x=6 gün 4.SORULAR1. 30
34. 34. 5. 8.6. 9.7. 10. 31
35. 35. 11. 14. 15.12.13. 16. 32
36. 36. 17.18.19. 33
37. 37. 7.3.2.Çokgenler ve Açıları Ölçme NOT: Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegenler çokgeni (n-2) sayıda üçgeneArdışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru dönüştürür. Bu sebeple üçgenin iç açılarıparçasına köşegen denir. toplamı 180 olduğundan çokgenlerin iç açıları toplamı: (n-2).180 dir. Bu çokgen düzgün birKöşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesindekalan çokgenlere dışbükey çokgenler denir. çokgen ise bir iç açısının ölçüsü : dir.ÖR: NOT: Her çokgenin dış açıları toplamı 360 dır. Düzdün çokgenlerin bir dış açısının ölçüsü Düzgün çokgenlerin bir iç açısıKöşegenlerinin bazıları çokgenin dışında kalançokgene içbükey çokgen denir. ÖR: 12 kenarlı bir düzgün çokgenin iç açılarınınÖR: toplamını ve bir iç açısının ölçüsünü bulalım. Onikigenin içinde 12-2=10 tane üçgen vardır. 10.180=1800 (iç açıları toplamı) ⁄ =150 (bir iç açısı)NOT: Çokgenlerde II.Yolaynı köşeye ait iç vedış açıların toplamı ⁄ =30 (bir dış açısının ölçüsü)180° dir. Bir başkadeyişle bir çokgenin 180-30=150 (bir iç açısı)aynı köşesine ait iç Ör: 20 kenarlı düzgün bir çokgenin,ve dış açılarıbütünlerdir. a)Bir dış açısı: ⁄ =18*Tüm açıları ve kenarları birbirlerine eş olan b)Bir iç açısı: 180-18=162çokgenlere düzgün çokgenler denir. c)İç açıları toplamı: 162.20=3240 Ör: Bir dış açısı: ⁄ =72 Bir iç açısı: 180-72=108 İç açıları toplamı:108.5=540 x+x+130+(x+30)+(x-20)=540NOT: Düzgün çokgenlerin merkezinden geçen 4x+140=540 ise 4x=400 olup x=100köşegenlerin uzunlukları birbirine eşittir. 34
38. 38. SORULAR 4.1. x=?2. 5.3. 35
39. 39. 6. 9. 10.7. 11.8. 36
40. 40. 7.3.3.Dörtgenlerin Kenar-Açı ve Köşegen EŞKENAR DÖRTGENÖzellikleri Bir eşkenar dörtkenarı eşit uzunlukta birParalelkenar, karşılıklı kenarları eşit olan ve iç dörtgendir.açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir. Her eşkenar dörtgen bir paralelkenardır ve dikKarşılıklı kenarları paralel ve uzunlukları eşittir. açılı olanı bir karedir.Paralelkenar : Karşılıklı kenarları paralel olandörtgene paralelkenar denir. Bir dörtgeninkarşılıklı kenarları birbirine paralelse karşılıklı Her eşkenar dörtgende köşeleri birleştiren ikikenarlar birbirine eşittir. çift paralel kenar ve iki köşegen vardır. Eşleşik (benzer) üçgenler kullanılarak, eşkenar dörtgenin bu köşegenlerin her birine göre simetrik olduğu ispatlanabilir. Dolayısıyla her eşkenar dörtgen aşağıdaki özellikleri taşır: 1. Karşı açılar eşittir. 2. Köşegenler birbirine diktir; yani eşkenar dörtgen bir dik köşegenli dörtgendir. 3. Köşegenler açıortaydır. YAMUK 37
41. 41. * Alanını bulmak için bir kenar uzunluğunun karesi alınır. * Köşegenleri birbirini dik ortalar. * Çevresi a.4 veya a+a+a+aya eşittir. * Aynı zamanda bir düzgün çokgendir. DİKDÖRTGEN Dikdörtgen, kenarları ikişer ikişer birbirine dik ve paralel olan dörtgen. Bir dikdörtgende, karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren birbirine dik iki simetri ekseni vardır. Bu eksenlerin kesimKARE noktası aynı zamanda köşegenlerin deBütün kenarları ve açıları (90ar derece) kesim noktasıdır, bu noktaya simetri merkezi denir. Dikdörtgenin dört açısı dabirbirine eşit olan dörtgendir. Aynı zamanda dik açıdır ve köşegenleri birbirine eşittir.dikdörtgendir ve eşkenar dörtgendir. Bu ikiözel dikdörtgenin tüm özelliklerini taşır. Aynı  Dikdörtgenin dört açısı da 90zamanda kare bir düzgün çokgendir. Eski adı derecedir. İç açıları toplamı 360ise murabbadır. derecedir.  Dikdörtgenin karşılıklı kenarları birbirine eşittir.  Dikdörtgen simetrik bir şekildir.  Dikdörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir ve karenin 2 katınınÖZELLİKLERİ görünümündedir.  Dikdörtgen aynı zamanda bir* Dört kenarının da uzunluğu birbirine dörtgendir.eşittir.  Dikdörtgenin iki tane köşegeni* Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir. vardır. Uzunlukları eşittir.* Dört açısı da 90 derecedir.  Dikdörtgenin çevre uzunluğu* İki adet köşegeni vardır. Bu köşegenler Ç=2(a+b) diraynı zamanda açıortaylardır ve uzunlukları  Dikdörtgenin alanı A=a.b dir.birbirlerine eşittir.* Alanının formülü bir kenarı "a" olankarede axadır.* Köşegenlerin kesim noktası 90derecedir.* Köşegenlerin kesiştikleri nokta kareninağırlık merkezidir. 38
42. 42. SORULAR 4.1.2. 5.3. 6. 39
43. 43. 7. 10. 11.8.9. 12. 40
44. 44. 13. 16.14. 17.15. 18. 41
45. 45. 7.3.4.Çokgenlerde Eşlik ve Benzerlik  Kenar uzunlukları ve bu kenarların oluşturduğu açıların ölçüleri eşit olan çokgenlere eş çokgenler denir. Yandaki ABCD  Eş çokgenlerde benzerlik oranı 1’dir. dörtgeninin  Benzer çokgenlerin açıları eş ve aşağıdaki karşılıklı kenar uzunluklarının oranı çokgenlerin hangisi birbirine eşittir. ile eş, hangisi ile  Bu oran “benzerlik oranı” olarak benzer olduğunu adlandırılır. Eş çokgenlerin benzerlik bulalım. oranı 1dir. a) ABCD ve KLMN dörtgenlerinin eş açılarını ve karşılıklı kenar uzunluklarının oranını bulalım: 42
46. 46. İki çokgenin açıları birbirine eş ve benzerlikoranı 1 (karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eş)olduğu için bu iki çokgen birbirine eştir. BunuABCD dörtgeni ≅ KLMN dörtgeni şeklindeyazabiliriz. b) ABCD ve PRST dörtgenlerinin eş açılarını ve karşılıklı kenar uzunluklarının oranını bulalım:ABCD ve PRST dörtgenlerinin açıları eş, kenaruzunlukları orantılı olduğundan bu iki dörtgenbenzerdir. Bunu ABCD yamuğu PRST yamuğuşeklinde yazabiliriz. Dörtgenlerin benzerlikoranı 2’dir.SORULAR1. Aşağıdaki çokgenlerin birbirine eş veyabenzer olup olmadıklarını belirleyiniz. 43
47. 47. 2. 4. Mehmetin 8 cm x 11 cm boyutlarında fotoğrafı vardır. Sınav giriş belgesindeki fotoğraf bölümünün boyutları 4 cm x 6 cm’ dir. Mehmet, fotoğrafı kesmeden ve şekli değişmeyecek şekilde küçültebilir mi? Neden?3.Hangi parçaların eş olduklarını belirleyiniz. 44
48. 48. 7.3.5.Tablo ve Grafikler - Sütun Grafiği -Çizgi Grafiği - Daire GrafiğiSütun GrafiğiÖR: NOT: Çizgi, sütun ve daire grafikleri ile tablolar istatistiksel temsil biçimleridir.Çizgi Grafiği 1- Çizgi Grafiği Toplanan bilgilerin yatay ve dikeyÖR: eksenlerdeki kesişimlerini çizgi yardımı ile birleştirilmesi ile elde edilen grafik çeşididir. Çizgi grafikleri araştırılmak istenen konudaki değişimleri ve gidişatı gösterir ve ileriki durumlar için kestirimdeDaire Grafiği (tahminlerde) bulunulmasına olanak sağlar.ÖR: Örnek bir çizgi grafiği:NOT: Microsoft Excel kullanarak tablolarıgrafiklere rahat bir şekilde çevirebilirsiniz. Busebeple iyi bir excel kullanıcısı olmanız tavsiyeedilir. Ayrıca excel matematikte çok yararlı birprogram olduğu bilinmelidir.Tablo Nasıl Oluşturulur?- Veriler toplanır, Anket, istatistik gibi araştırma sonuçlarını- Elde edilen veriler belirli sıraya göre yazılır, gösteren ve tüm verilerin bir çizgi üzerinde- Uygun bir tablo oluşturulur, kesiştiği grafik türü. Çizgi grafiği okumak için önce grafik üzerinde bir nokta- Tabloya uygun bir başlık yazılır. belirlenir. Bu noktanın yatay ve düşey eksenlerdeki değerlerinden yararlanılır.Tablomuz çetele veya sayı tablosu olabilir.Örnek bir tablo: 45
49. 49. Çizgi Grafiğinin Kullanım Alanları Toplanan bilgilerin sütun şeklindeki grafik ile gösterilmesine sütun grafiği denir.Araştırmalar sonucu elde edilen bilgilerinçizgi ile ifade edilerek gösterilmesine çizgi Bu tip grafikte gösterilmek istenengrafiği denir. Çok yönlü kullanma imkânı değerler sütun veya çubuklarla ifade edilir.olduğu için en çok kullanılan grafiktir. Çizgi grafiğinde olduğu gibi dikey ve yatayHastanelerde, hastaların günlük vücut çizgiler çizilir ve eşit aralıklarla bölünür.sıcaklıkları genellikle bu tür grafiklerle Karşılaştırılacak değerler bu aralıklargösterilir. Bir dikey, bir yatay çizgi çizilir ve üzerinde işaretlenir. Aynı genişliktebunlar eşit aralıklarla bölünür. sütunlar bu işaretlere kadar uzatılır.Aşağıdakileri yapmak istiyorsanız, dağılımgrafiği yerine çizgi grafiğini tercihedebilirsiniz:  Yatay eksen boyunca metin etiketleri kullanma Bu metin etiketleri aylar, üç aylık dönemler ve mali yıllar gibi eşit aralıklı değerleri gösterebilir. Sütun Grafiği Özellikleri:  Yatay eksen boyunca az sayıda sayısal değer kullanma Zaman Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay aralığını, örneğin yılları temsil eden eksende ve düşey eksende ölçülen az sayıda, eşit aralıklı sayısal değerlerin birbirine göre durumları etiketler kullanıyorsanız, çizgi sütunlarla (çubuklarla) belirtilir. Yatay grafiğini kullanabilirsiniz. eksende incelediğimiz bir değere göre, düşey eksendeki değişimi görebiliriz. Yatay eksen boyunca zaman ölçeği kullanma Çalışma sayfasındaki tarihler Sütun Grafiğinin Kullanım Alanları sıralı olmasa veya aynı temel birime sahip olmasa bile, tarihleri gün, ay Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay veya yıl sayısı gibi belirli aralıklarla eksende ve düşey eksende ölçülen veya temel birimlerle kronolojik sırada değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir. Yatay görüntülemek istiyorsanız, çizgi grafiği eksende incelediğimiz bir değere göre, kullanın. düşey eksendeki değişimi görebiliriz.NOT: Çizgi grafiklerinde eksen aralığının  Ürün hasılatlarının yıllara dağılımıyanlış alınması grafiğin yanlış  Fabrikada üretilen ürünlerin üretim miktarları (aya-yıla göre)yorumlanmasına yol açabilir. Resim veya  Bir kentte ya da ülkede yıllaraşekil grafikleri, verilen değerlere uygun bağlı yağışlarçizilmemiş veya yanlış yorumlara yol  Bir okuldan mezun olan öğrenciaçacak şekilde çizilmiş olabilir. Bu yüzden sayısının yıllara göre dağılımıverilen değer ile resmin veya şeklin  Ülkeler arası üretim karşılaştırmasıuygunluğuna dikkat edilmelidir.  Bir forum sitesine günde gelen mesaj sayısının incelenmesi2-Sütun Grafiği 46
50. 50. Daire Grafiği SORULARToplanan bilgilerin amaca uygun, çizilendairenin dilimlere ayrılarak gösterilmesinedaire grafiği denir.Bir bütünün ayrılan çeşitli parçalarını ifadeetmek için daire grafiği kullanılır. Çizilenbir daire üzerinde amaca uygun biçimdeverileri yüzdelerine göre çeşitli parçalarabölünerek, daire grafiği yapılır.Daire grafiğinde tam açı 360 dereceyikullanırız. Bir bütünün tamamını 360dereceye eşitleyip dilimlerin karşılık geldiğiaçıları buluruz. Daire grafiğinde dilimlerbelirlenirken açı ölçüleri önemlidir. Dairegrafiği bir bütünün parçaları hakkında bilgisunmada en güçlü temsil yöntemidir.NOT: Daire grafiğinde dilimlerbelirlenirken açı ölçüleri önemlidir. Dairegrafiğinde daire dilimlerindeki merkezaçıların ölçüleri toplamı 360° dir.NOT: Daire grafiği bir bütünün parçalarıhakkında bilgi sunmada, çizgi grafiği iseartış ve düşüşleri uygulamada en güçlütemsil yöntemidir.NOT: Daire grafiğinde her bir bölgeninmerkez açısının ölçüsünü tamamının 3600olmasından yola çıkarak oran-orantıyoluyla bulabiliriz. 47
51. 51. 48
52. 52. 12.11. 49
53. 53. 7.3.6.Merkezi Eğilim ve Yayılma Ölçüleri Çeyrekler açıklığı = üst çeyrek – alt çeyrek şeklinde hesaplanır.Aritmetik ortalama, ortanca (medyan) ve tepedeğeri (mod) istatistikte yer alan ortalama Çeyrekler açıklığı, uçlarda yer alan verilerdençeşitleridir. daha az etkilendiği için verilerin yayılması hakkında açıklıktan daha iyi bilgi verir.Bu değerler merkezî eğilim ölçüleridir.Aritmetik ortalama duyarlı ortalama ikendiğerleri duyarlı olmayan ortalamalardır.Verilerin yorumlanmasında amaca uygunortalama çeşidi kullanılmalıdır. ARİTMETİK ORTALAMA (A.O.)ORTANCA(MEDYAN) Verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür.Bir veri grubu sıralandığında ortadaki değere NOT: Veri grubunda çok yüksek ve çok düşükortanca adı verilir. değerlerin olması aritmetik ortalamayı etkiler. Bu tür değerler olmadığında aritmetikEğer ortada iki değer varsa yani veri sayısı çift ortalama, var olan durumu ortaya koymadaise ortanca, bu değerlerin aritmetik veya gelecek ile ilgili tahmin yapmadaortalamasıdır. kullanışlı bir ortalama çeşididir. Veri grubundaMOD(TEPE DEĞER) çok yüksek ve çok düşük değerlerin olması durumunda ortanca, aritmetik ortalamadanBir veri grubunda en çok tekrar eden değere daha sağlıklı bilgi verir. Bunun nedeni sözütepe değeri adı verilir. edilen değerlerin ortancayı etkilemesidir.Bir veri grubunun birden fazla tepe değeri ÖR: Aşağıda bir sınıfta bulunan 13 öğrencininolabilir. Tepe değeri hiç olmayabilir. ailelerinin kaçar kişiden oluştuğu gösterilmektedir. 1, 3, 2, 2, 4, 6, 8, 3, 5, 6, 5, 6, 4NOT: Bir veri grubunda en tipik özelliği veya Bu veri grubuna ait tepe değeri, ortanca, aritmetikdeğeri belirlemek istediğimizde tepe değerini ortalama, açıklık ve çeyrekler açıklığını bulunuz.kullanmamız gerekir. Verileri sıralayalım(büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıralamak sonucu değiştirmez)AÇIKLIK 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8 --------------------------------------------------------------------Açıklık, bir veri grubundaki en büyük değer ile 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8en küçük değerin farkıdır. Açıklık bir yayılmaölçüsüdür. Tepe değer: En çok tekrar eden=6 --------------------------------------------------------------------Açıklık = en büyük değer – en küçük değer 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8Çeyrekler açıklığı yayılma ölçüsüdür. Veriler Medyan: Ortadaki= 4 --------------------------------------------------------------------sıralandıktan ve ortanca değeri bulunduktan 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8sonra alt ve üst çeyrekler bulunur. Açıklık: 8-1=7Alt çeyrek, ortancaya göre verilerin altyarısının ortanca değeridir.Üst çeyrek, ortancaya göre verilerin üstyarısının ortanca değeridir. 50
54. 54. 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 8 E)Aritmetik ortalamayı bulunuz.Çeyrekler Açıklığı: 6-3=3--------------------------------------------------------------1+ 2+ 2+ 3+ 3+ 4+ 4+ 5+ 5+ 6+ 6+ 6+ 8=5555:13=4,23Aritmetik Ortalama=4,23Soru1. Bir sınıfta bulunan 18 öğrencinin matematiksınavından aldığı puanlar aşağıda verilmiştir.48, 56, 58, 62, 68, 70, 70, 71, 72, 75, 79, 81,82, 82, 82, 88, 90, 92Bu veri grubuna aitA)Açıklık,B)Çeyrek açıklık,C)Tepe değeri,D)Ortanca değeri 51
55. 55. 7.4.1.Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler SORULAR**Çok adımlı işlemlerde hangi işlemin dahaönce yapılacağı ayraçlarla belirtilir.*Kesir çizgisi kullanılarak verilen işlemlerdeişlem önceliği kesir çizgisine göre belirlenir.ÖR:ÖR:* + * +ÖR: * + * + [ ]ÖR:( )+( ).( )=( )+( )=ÖR: 52
56. 56. 53
57. 57. ÖR: ÖR:9. ise x kaçtır?10. ise x kaçtır? 54
58. 58. 7.4.2.Doğrusal Denklemler ve Grafikleri-Kartezyen Koordinat SistemiÖR: Buket, haftada 10 TL harçlık almaktadır.Tablo ve grafikle bu durumu inceleyelim.Buket’in aldığı harçlık ile zaman arasındakiilişkinin denklemini bulalım: Yol ile ücret arasında doğrusal bir ilişki vardır ve bu ilişkinin denklemi ü=130+y.130’dur. BuHarçlık ile zaman arasında doğrusal bir ilişki denklemi ü-130.y-130=0 şeklinde devardır ve bu doğrusal ilişkinin denklemi gösterebiliriz.p=10.h’tır. Bu denklem p-10.h=0 SONUÇşeklinde de gösterilebilir. Bu tür denklemlerinbelirttiği grafikler, doğrusal grafiklerdir. Doğrusal ilişkiyi ifade eden denklem doğrusal denklemdir. Doğrusal denklem iki değişkendenÖR: Taksi ile yapılan yolculukların ücreti oluşantaksimetre ile belirlenir. Ankara’da taksimetre130 Kr ile açılır ve her kilometrede 130 Kr ax + by + c = 0artar. Açılış ücretini de göz önüne alarakgidilen yol ile ücret arasındaki ilişkiyi bulup şeklinde gösterilebilir. Bu ifadede c sabit sayı,tabloda gösterelim. Daha sonra bu ilişkiyi a ve b kat sayılardır.gösteren denklemi yazıp çizgi grafiğini çizelim: 55
59. 59. Kartezyen koordinat sistemi, iki sayıdoğrusunun sıfır noktasında birbiri ile dikkesişmesi sonucu oluşur. Yatay eksen “xekseni (apsisler ekseni)”, dikey eksen ise “yekseni (ordinatlar ekseni)” olarakisimlendirilir. Koordinat eksenlerinin kesimnoktası ise “başlangıç noktası” veya “orijin”olarak adlandırılır.Kartezyen koordinat sistemindeki herhangi bir x=0 için y değeri bulunur. A(0,y)nokta sıralı ikililerle belirlenir ve her noktayakarşılık gelen bir sıralı ikili vardır. Bir sıralı y=0 için x değeri bulunur. B(x,0)ikilide birinci sayı x eksenindeki, ikinci sayı isey eksenindeki koordinatı gösterir. Bulunan noktalar koordinat düzleminde işaretlenir. Bu noktalar bir doğru yardımıyla birleştirilir. Ör: 6x+2y=0 x=0 için y=0 y=0 için x=0 bulunur. Demek ki doğrumuz orijinden geçiyor. O halde x=1 olsun y= -3 olur. y= 3 için x= -1 olur.ÖR: 56
60. 60. SORULAR 3. Bir karınca, koordinat sisteminde A (4,6) noktasında bulunmaktadır. Karınca, önce dikey olarak aşağı yönde 5 birim, sonra sağına dönerek yatay bir şekilde 7 birim, daha sonra da dikey olarak aşağı yönde 10 birim ilerlemiştir. Karıncanın en son bulunduğu koordinatları belirleyiniz.2. 57
61. 61. 4. Pastacı Ali Usta, yapacağı pastanın 6.Aşağıdaki noktalardan hangisi 2y-4x+6=0kremasında her bardak süt için sütün üç doğrusunun üzerindedir?katından bir bardak fazla şeker kullanıyor.Buna göre; A)(-1,4) B)(1,2) C (0, -3) D) 3,-3)• Yukarıdaki tabloda kullanılması gerekenşeker miktarlarını belirleyiniz.• Süt ve şeker miktarı arasındaki ilişkinincebirsel ifadesini yazınız. Bu ilişki doğrusalmıdır?NOT: Doğrusal denklemlerin grafiklerinde hersıralı ikili bir nokta belirtir ve bu noktalar aynıdoğru üzerindedir. Bu noktalara doğrudaşnoktalar denir.5. A(a,2a+1) noktası y=3x-4 doğrusu üzerindeise a kaçtır? 58
62. 62. 7.4.3.Rasyonel Sayılarla İlgili ProblemlerÇözmeÖr: x=?Cevap: ÖR: Cevap B ÖR: ÖR: 59
63. 63. ÖR: Hangi sayının yarısının yarısının 1 eksiği 13tür? x=56ÖR: SORULAR 1.ÖR: 2. 60
64. 64. 3.4.5. 61
65. 65. 7.4.4.Faktöriyel *3!-2!+4!=Tanım *6!-5!=1den nye kadar (veya nden geriye doğru 1e *1!+2!+3!+4!+5!=kadar) olan doğal sayıların çarpımı “n! (nfaktöriyel)” biçiminde gösterilir. S2.=n.(n-1)...3.2.1n!=1.2.3…(n-1).n0!=1 olarak kabul edilir.Örnekler:4!=1x2x3x4=248!=1x2x3x4x5x6x7x8 S3.5!=1.2.3.4.51!=12!=1.24!=4.3!12!=12.11! S4.12!=12.11.10!=132.10!7!=7.6.5.4!=210.4!n!=1.2.3.4. … .nn!= n.(n-1)! S5.n!= n.(n-1).(n-2)!(2n)!= (2n). (2n-1)!(2n)!= (2n). (2n-1).(2n-2)!SORULAR*5!=*7!= S6.*3!+2!=* 0!+0!-1!= 62
66. 66. 7.4.5.Permütasyon A kümesinin elemanları arasından a ve b yi ayırırsak kalan elemanlardan oluşturacağımızPermütasyon denilince akla “sıralama” 3lü permütasyonlar P(3,3)=6 olur.gelmelidir. Buna göre 5 elemanlı A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin tamamından a ve b ninÖR: Bir olimpiyat oyununda, erkekler 110 m bulunmadığı durumu çıkartırsak sorudaengelli yarışına 8 atlet katılıyor. Bu yarışta ilk istenen şartı sağlarız.üç sıralama kaç değişik şekilde gerçekleşebilir? P(5,3)-P(3,3)=60-6=54 olur.Çözüm: SORULAR8 yarışmacından biri birinci, kalan 7yarışmacıdan biri ikinci ve kalan 6 1. 3 farklı pantolon,5 farklı ceket ve 4 farklıyarışmacıdan biri de üçüncü olur. Bu durumda gömleği olan bir kişi bir pantolon, bir ceket veilk üç sıralama, 8.7.6=336 şekilde olabilir. bir gömleği kaç farklı şekilde giyebilir?Bu hesaplamayı faktöriyel kullanarak tekrarifade edelim. 2. 1,4,8,9 rakamlarıyla kaç tane 4 basamaklı doğal sayı yazılır ? 3. P(n,2)=P(n,3) olduğuna göre n kaçtır?SONUÇ:n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzerennin rli permütasyonlarının (dizilişlerinin)sayısı “P(n,r)” şeklinde gösterilir. 4. 2233444 sayısının rakamları yerÖR: değiştirilerek kaç farklı yedi basamaklı sayı yazılır?(Not: Bu soru tekrarlı Permütasyon ile çözülür.)ÖR: A=,1,2,3,4,5- A kümesinin elemanlarıkullanılarak rakamları farklı, a) 2 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? P(5,2)= 20 5. 4 erkek ve 5 kız yuvarlak bir masa etrafında b) 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? kaç değişik biçimde oturabilir?(Not: Bu soru P(5,3)= 60 Dairesel Permütasyon ile çözülür.)Ör: A={a,b,c,d} kümesinin üçlüpermütasyonlarının kaçında a veya b 6. FURKANkelimesinin harflerinin yerleribulunur? değiştirilerek yazılabilecek altı harfli kelimelerden kaç tanesinde her R harfinden hemen sonra A harfi gelir? 63
67. 67. 7.4.6.Ayrık ve Ayrık olmayan Olaylar veOlasılıklarıÖrnek: “KALEMLİK” kelimesinin her harfi eşitözellikteki kâğıt parçalarına yazılarak harflerbir torbaya atıldığında bir harfin çekilmesiolayı ile ilgili örnek uzay,Ö = ,K, A, L , E, M, L, İ, K- olur.“KALEMLİK” kelimesinin harflerinden oluşanevrensel küme E = ,K, A, L, E, M, İ- olarak ifade ÖR: Atılan bir zarın üst yüzeyine gelecekedilir. sayıların 3ten büyük veya çift gelme olasılığını bulunuz? E={1,2,3,4,5,6}Olasılık Teorisi’nde olayları ifade ederken A={4,5,6}listeleme yöntemi kullanıldığında “Kümeler B={2,4,6}Teorisi’nin tam tersine her bir eleman yazılır. A n B={4,6}Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar O(AUB)= O(A) + O(B) - O(A n B)A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşiyorsa O(AUB)= 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6 = 2/3böyle olaylara ayrık olmayan olaylar adıverilir.Ayrık olmayan olayların kesişim kümesi boş ÖR: Bir kutuda 1den 10a kadarküme değildir. numaralandırılmış 10 kart vardır. Kutudan rastgele seçilen bir kartın 2 veya 8 numaralıs(A∪B) = s(A) + s(B) – s(A∩B) olur. kart olması olasılığı kaçtır? O(AUB)= O(A) + O(B) O(AUB)= 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5 ÖR: Hilesiz bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 3ten büyük ve çift sayı olma olasılığı kaçtır? A={4,5,6} B={2,4,6} AnB={4,6 } ise A ile B olayları ayrık olmayan birer olaydır.A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşmiyorsa O(AUB)=O(A)+O(B)-O(AnB) ile olasılığıböyle olaylara ayrık olaylar adı verilir. hesaplanır.Ayrık olayların kesişim kümesi boş kümedir. O(AUB)=3/6+3/6-2/6=4/6=2/3A∩B = ∅ veya AUB={2,4,5,6} s(AUB)=4 o(AUB)=4/6=2/3s(A∪B) = s(A) + s(B) olur. Ör: Zarın bir kez atılması deneyine ilişkin olarak aşağıdaki olaylar düşünülecek olursa; 64
68. 68. A = çift sayı elde edilmesi = ,2, 4, 6- ç. Seçilen öğrencinin 4C sınıfından olma veya erkekB = tek sayı elde edilmesi = {1, 3, 5} öğrenci olma olasılığını hesaplayınız.C = 5’den küçük sayı elde edilmesi = ,1, 2, 3,4} bu olaylara ilişkin olarak, a) A ve B olayları ayrık mıdır? b) A ve C olayları ayrık mıdır? d. Seçilen öğrencinin 4A sınıfından bir erkek öğrenci olma olasılığını hesaplayınız.SORULAR1. Cuma günleri yapılan törende bayrağıgöndere çekmek için 4. sınıflardan bir öğrenciseçilecektir. 4. sınıflarla ilgili tablodan e. Seçilen öğrencinin 4A veya 4C sınıfından bir erkek öğrenci olma olasılığını hesaplayınız.yararlanarak aşağıdaki soruları yanıtlayınız. 4A 4B 4C KIZ 20 13 24 ERKEK 12 19 8a. Seçilen öğrencinin 4A sınıfından olma veya erkeköğrenci olma olayının çeşidi nedir? 2.Bir kutuda 1den 10a kadar numaralandırılmış 10 kart vardır. Kutudan rastgele seçilen bir kartın 2 veya 5 ten küçük numaralı kart olması olasılığı kaçtır?b. Seçilen öğrencinin 4A ve 4B sınıfından olmaolayının çeşidi nedir?c. Seçilen öğrencinin 4B sınıfından bir kız öğrenciolma olasılığını hesaplayınız. 65
69. 69. 3. Hilesiz bir zar atılıyor. Zarın üst yüzüne a) Hakanın açtığı kartın kırmızı renkli veya çiftgelen sayının 3ten büyük ve çift sayı olma sayılı olma olasılığı nedir?olasılığı kaçtır?4. İlker ve Aysun, oynayacakları bir oyun için,alfabedeki harfleri aynı özelliklere sahip küçükkâğıtlara yazıp katlayarak bir torbanın içineatıyorlar. Kurala göre isminin harflerini ilktamamlayan kişi oyunu kazanacaktır. Bunagöre Aysun, torbada bütün harfler varken birharf çektiğinde, bu harfin “a” veya “y” gelmeolasılığı nedir? b) Sevginin açtığı kartın mavi renkli veya tek sayılı olma olasılığı nedir?5. Hakan ve Sevgi aralarında “hafıza oyunu”oynuyorlar. 16 kartla oynanan bu oyununamacı, aynı sayıyı gösteren iki kartıeşleştirmektir. Kartların şekilleri aşağıdakigibidir.Buna göre; 66
70. 70. 7.4.7.Olasılık-Geometri İlişkisi b) 6’yı vurma olasılığı nedir?ÖR: c) 4u vurma olasılığı, 10u vurma olasılığından yüzde kaç daha fazladır?30 Ağustos Zafer Bayramında gösteri yapanparaşütçülerin iniş yapacakları alan yukarıdakigibidir. Bir paraşütçünün bu bölgedeki kırmızıboyalı alana inme olasılığı nedir?SORULAR1. Yanda, kenaruzunlukları 2 cmkısaltılarak iç içe 2. Yanda boyutlarıçizilmiş verilen dikdörtgenlerkarelerden prizması şeklindeki biroluşan platform, kutu, masanın üzerinehedef vurma atılıyor. A, B ve Coyunu için bölgelerinin kutunun üst yüzüne gelmekullanılmaktadır. Buna göre platformu tutan olasılıklarını hesaplayınız.bir atış yapıldığında;a) 12’yi vurma olasılığı nedir? 67
71. 71. Yanda 6. Kutu atıldığında üste gelen yüzeyin yeşil ve verilen mavi olmama olasılığı kaçtır?dikdörtgenler prizması şeklindeki kutununkarşılıklı yüzleri aynı renktedir. Buna göre 3, 4,5 ve 6. soruları yanıtlayınız.3.Bu kutu atıldığında üste gelen yüzeyin yeşilolma olasılığı kaçtır?4.Kutu atıldığında üste gelen yüzeyin maviolma olasılığı kaçtır?5. Kutu atıldığında üste gelen yüzeyin kırmızıolmama olasılığı kaçtır? 68
72. 72. 7.5.1. Dönüşüm Geometrisi-Yansıma Ör: Aşağıdaki yansımaları verilmiş şekilleri inceleyelim.Bir nesnenin bir doğruya göre simetriğineyansıma (ayna simetrisi) denir. Not: Şekillerin görünüşü ile kendilerinin aynaya(doğruya) olan uzaklıkları eşittir. BuNot: Bir şeklin kendisi ile yansıması eştir. sebeple şeklin üzerinden alacağımız herhangi bir noktanın doğruya uzaklığı ile yansımasının uzaklığı eşittir. SORULAR 1. Aşağıdaki şekillerden hangisi yansıma simetrisine sahiptir?ÖR:Yanda verilen sayıların önce yatay eksene göreyansımasını sonra yatay eksendeki şeklin dikeyeksene göre yansımasını bulunuz.Bu şeklinde(yatay yansımadaki) dikey eksenegöre yansıması ise aşağıdaki gibidir. 69
73. 73. 2. Aşağıdaki şekillerin yansımasını çiziniz. 5. Aşağıda verilen TUR kelimesinin önce 1 numaralı doğruya göre simetrisini çiziniz. Oluşan şeklin 2 numaralı doğruya göre simetrisini çiziniz. Son elde ettiğiniz şeklin 3 numaralı doğruya göre simetrisini çiziniz. Yaptığınız işlemlerden yararlanarak bir şeklin tek sayıda ve çift sayıda doğruya göre simetrisi alındığında elde edilen görüntülerin arasındaki ilişkiyi açıklayınız.3. Aşağıdaki şekillerden hangisi yansımasimetrisine sahiptir?4. Aşağıdaki şekillerden hangisi yansımasimetrisine sahip değildir?a) b) 6.c) d) Ambulans taşıtının önündeki “AMBULANS” ve itfaiye araçlarındaki “İTFAİYE” yazılarının niçin ters yazıldığını açıklayınız. 70
74. 74. 7. Aşağıdaki şekillerin yansımasını çiziniz.8. Aşağıdaki şekillerden hangisi yansımasimetrisine sahiptir?9. Yandaki şeklinyansımasınıçiziniz. 71
75. 75. 7.5.2.Dönme Hareketi, Düzlemde Bir Örneğin;Noktada Şekilleri Belli Bir Açı Döndürme Karenin en küçük dönme simetri açısı 360:4=90 derece olduğundan dönme simetrisiBir şeklin boyutu ve biçimi değişmeden, yeri ve vardır.duruşunun değişmesi sonucu oluşan harekete Düzgün altıgenin en küçük dönme simetri açısıdönme hareketi denir. 360:6=60 derece olduğundan dönme simetrisi vardır.Döndürülen şeklin biçim ve boyutu değişmez. Eşkenar üçgenin en küçük dönme simetri açısıDönme hareketi sonucunda şeklin duruşu ve 360:3=120 derece olduğundan dönmeyeri değişir. simetrisi vardır.Bir şekil, bir nokta etrafında döndürüldüğünde Buradan anlaşıldığı üzere düzgün çokgenlero nokta dönme hareketinin merkezi olur. yani eşkenar üçgen, kare, düzgün altıgen, düzgün beşgen dönme simetrisine sahiptir veSaatteki akrep ve yelkovanın bağlı olduğu pim, en küçük dönme simetri açısı vardır.salıncaktaki oturağı taşıyan iplerin veyazincirlerin bağlandığı yer dönme hareketinin ÖR: Yanda verilen şeklin saatmerkezidir. Yelkovanın ilk durumu ile son yönünde 3 kez döndürülerekdurumunun oluşturduğu açıya dönme açısı elde edilmiş görüntülerini inceleyelim.denir.Çeyrek dönme 90 derecelik dönmedir.Yarım dönme 180 derecelik dönmedir.Tam dönme 360 derecelik dönmedir.180 derecelik dönmeye merkezil dönme veya SORULARnoktaya göre simetride denir. 1. Aşağıdaki figürlerin, O noktasının etrafındaNOT: Bir şekil kendi merkezi etrafında 360 verilen açıya göre, saat yönünde çevrilmişdereceden küçük açı ile döndürüldüğünde en hâllerini çiziniz.az bir kez kendisi ile çakışıyorsa bu şekildönme simetrisine sahiptir.Dönme simetrisinde verilen geometrik şeklinen küçük dönme simetri açısı bulunurken:Verilen şeklin tam ortasına dönme merkeziişaretlenir. Verilen geometrik şeklin kaç eşitkenarı varsa ya da kaç tane birbirine eşit farklıyönlü yüzü varsa dönme simetri sayısı budur.Ve 360 derece bu kenar sayısına bölünerek enküçük dönme simetri açısı bulunur. Yanidönme simetri sayısı kenar sayısına eşitolacak. Ama kenarları birbirine eşit düzgünçokgen tarzındaki şekiller için. 72
76. 76. 2. 5. Yandaki şeklin döndürülmüş hali hangisi olamaz?3. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?I. Döndürülen şeklin biçim ve boyutudeğişmez.II. Döndürülen şeklin duruşu ve yeri değişmez.III. Çeyrek dönme 90° lik dönme, yarım dönmeise 180°lik dönmedir.IV. 180° lik dönme merkezil dönmedir.4. Aşağıdaki şekillerden hangisi diğer şekillerindöndürülmüşü ile elde edilemez? 6. Yukarıdaki şekillerin numaralarını, aşağıda verilen açıklamalardan uygun olanının karşısına yazınız. 73
77. 77. a) Doğru simetrisi: 9.b) Dönme simetrisi:c) 60o deki dönme simetrisi:ç) 120o deki dönme simetrisi:d) 72o deki dönme simetrisi:e) 90o deki dönme simetrisi:f) 180o deki dönme simetrisi:7.8. 74
78. 78. 7.5.3.Süsleme ve Süsleme Kodu Eşkenar üçgenin bir iç acısı 60o, Karenin bir iç acısı 90o, Düzgün altıgenin bir iç acısı 120oÖR: Yamuk ve paralelkenarlar ile desenler olduğundan süsleme oluşturarak noktalı üzerinde seçtiğimiz her kâğıda bir süsleme bir kösede oluşan yapalım. Süslemede açıların ölçülerinin çokgenler arasında toplamı, boşluk kalmaması 60o+90o+120o+90o=360o gerektiğinden, yamuk ve dir.paralelkenar şekilleri ile yandaki gibi birsüsleme yapabiliriz. Yaptığımız süslemeyiaşağıdaki gibi değişik renklere boyayarak farklı ÖR: Aşağıdaki süslemenin kodunu bulunuz.görünümler elde edebiliriz. Cevap: 6;4;3;4  Süsleme yapılabilmesi için her bir köşede oluşan acıların ölçülerinin toplamı 360o olmalıdır. ÖR: Aşağıdaki süslemenin kodunu bulunuz.  Bir süslemede, her köşedeki düzgün Cevap: çokgensel bölgelerin kenar sayıları “ süslemenin kodu” dur. 6;6;6ÖR: Örüntü bloklarından Ör: altıgen, kare ve eşkenar üçgenin Modeliyle yansıma, öteleme ve ucunu birden dönme hareketlerini kullanarak kullanarak bir süsleme yapalım. süsleme yapalım.Yaptığımız süslemeye ait kodu bulalım:Süslemeyi yandaki gibi yapabiliriz. Seçtiğimizher köşe etrafında, iki adet kare (kenar sayısı 4ve 4), birer adet eşkenar üçgen (kenar sayısı 3)ve birer adet düzgün altıgen (kenar sayısı 6)vardır. 75
79. 79. 4.SORULAR1. Süslemenin kodunu bulunuz.2. Aşağıdaki süslemelerdeki yansımalarıbulunuz.3. Aşağıdaki süslemede öteleme, yansıma yada dönme hareketlerinden hangisi vardır? 5. Yandaki kutucuklardaki harflerden hangisi veya hangileri; 76
80. 80. a)b)c)6. Aşağıdaki süslemenin kodunu bulunuz. 77
81. 81. 7.5.4. Tam Sayıların Kendileriyle Tekrarlı 10’un pozitif kuvvetleri:Çarpımı - Üslü Sayılar 101=10Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına o 102=100sayının kuvveti denir. Yapılan bu tekrarlıçarpma işleminin sonucunu bulmaya ise 103=1000kuvvet alma işlemi denir. Kuvvet ile üs eşkavramlardır. Negatif bir tam sayının tek kuvvetleri daima negatif sayıdır. (-2)1=-2 (-2)3=-8 Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri daima pozitif sayıdır.NOT: Sıfır hariç her sayı için n0 = 1’dir. (-2)2=4NOT: Negatif bir tam sayının tek kuvvetinin (-2)4=16değeri negatiftir. Negatif bir tam sayının çiftkuvvetinin değeri pozitiftir.NOT: 10’un pozitif kuvvetleri bulunurken 1yazılır. 1’in sağına 10’un kuvveti kadar 0yazılarak sonuç bulunur.NOT: Negatif sayıların üssünü alırken sayınınparantez içinde olup olmaması önemlidir.Negatif sayı parantez içinde değilken üssüalınıyorsa sadece sayının kuvveti alınır ve (–)işareti sayının önüne yazılır.ÖRNEKLERa.a.a.a.a…..a=an (n tane a’nın çarpımı)(a=taban, n=üs veya kuvvet)3x3x3x3x=34 (4 tane 3’ün yan yana yazılıpçarpılmasıdır.)Sıfırın sıfırdan farklı bütün kuvvetleri 0’aeşittir.01=005=0 78
82. 82. SORULAR 5.1. 6.2. 7.3. 8.4. 79
83. 83. 9. 13.10. 14.11.12. 80
84. 84. 7.5.5. Örüntüleri Modelleme ve ModelleriHarflendirme“n” harfi, örüntüdeki sayıların sırasını veyayerini belirten işaret, sembol veyanotasyondur. Bu yüzden n’ye örüntünün n. ÖR:sayısı, temsilci sayısı veya genel sayısı denir.Bir örüntüde, istenen sıradaki sayıyı bulmakiçin örüntü ilişkisinin harfli ifadesindeki harfinyerine hangi sıradaki sayı bulunmakisteniyorsa o sıra sayısı yazılır.Örnek: Örüntü ilişkisi 3n + 2 olan örüntüde 4.sırada bulunan sayı3n + 2 = 3 . 4 + 2 = 14’tür. SORULAR 1. Aşağıdaki küpler arasındaki ilişkinin kuralını bulunuz.Buna göre örüntüdeki herhangi bir sıradabulunan sayı, bulunduğu sıra sayısının 2katından 2 fazlası hesaplanarak bulunur.ÖR: 2.Model: Sizde 18, 50 ve 90. Terimleri bulun. 81
85. 85. 3. 5.4.Örüntülerin kurallarını bulunuz. 6. 7. 82
86. 86. 8. 13.9. 14.10. 15.11. 16.12. 17. 83
87. 87. 18. 22.19. 23. 24.20. 25.21. 26. 84