Arboles con raiz

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Arboles con raiz

  1. 1. ÁRBOL CON RAÍZ : DEFINICIÓN Sea A un conjunto y T una relación en A . Se dice que T es un árbol si posee un vértice vo en A con la propiedad de que existe una única trayectoria de vo hacia cualquier otro vértice de A pero no existe una trayectoria de vo a v o . Notación:  Se dice que T es un árbol con raíz y se denota (T, vo)  vo se denomina raíz del árbol T  Cualquier otro elemento de A es un vértice en T. Observación: 35 T se representa por su Digrafo Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
  2. 2. EJEMPLO v9 v11 v4 v5 v0 v3 v1 v8 v2 v6 v10 v7 36
  3. 3. DISEÑO DE UN ÁRBOL CON RAÍZ◦ Se ubica a la raíz vo , de la cual se dirá que esta en el nivel 0.◦ Ninguna arista entra a vo pero pueden salir varias, que se trazan hacia abajo. Los vértices terminales de las aristas que comienzan en vo son los vértices del nivel 1◦ Cada vértice del nivel 1 no tienen otras aristas que entren en él, pero cada uno de estos vértices pueden tener varias aristas que salen de él. Se trazan las aristas que salen del nivel 1 hacia abajo y terminan en vértices que estarán en el nivel 2◦ Y asi sucesivamente con cada nivel….◦ . 3 Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
  4. 4. EJEMPLO v0 v1 v2 v3 v4 v6 v9 v5 v8 v7 38 v10 v11
  5. 5. MAS DEFINICIONES El nivel de un nodo está dado por el número de aristas que deben ser recorridos para llegar a él desde el vértice raíz. La altura de un árbol es el nivel más grande del mismo. Un vértice X se dice padre de otro vértice Y cuando existe una trayectoria de longitud 1 que sale de X y termina en Y, el que a su vez se dice hijo de X. Por ejemplo vo se dice padre de todos los vértices del nivel 1 Los vértices hijos del mismo padre se dicen hermanos Un vértice X se dice descendiente de otro Y cuando existe una trayectoria de cualquier longitud que comienza en X y termina en Y. En ese caso se dice que Y es antecesor de X Un vértice se dice hoja cuando no tiene hijos Un árbol se dice ordenado cuando los hijos de cada vértice están 39 linealmente ordenados de izquierda a derecha
  6. 6. PROPIEDADES DE LOS ÁRBOLESTEOREMA 1:Sea (T, vo) un árbol con raíz. Entonces: a) No existen ciclos en T. b) vo es la única raíz en T. c) Cada vértice en T distinto de vo tiene grado interno (grado de entrada) uno y vo tiene grado interno cero. 40 Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
  7. 7. DEMOSTRACIÓNa) Suponga que existe un ciclo q en T, que comienza y termina en v. Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte Por definición de árbol existe una trayectoria p de vo a v. Entonces q p (composición de p con q) es una trayectoria de vo a v diferente de p, lo que contradice la definición de árbol. La contradicción proviene de haber supuesto la existencia del ciclo q. Por lo tanto , no existen ciclos en T 41
  8. 8. b) Supongamos que existe otra raíz de T llamada v’o , entonces existe una trayectoria p de v’o a vo y considerando que vo es raiz, una trayectoria q de vo a v’o Entonces q  p (composición de p con q) es un ciclo de v’o a v’o, lo que, por definición, es imposible. Entonces se concluye que vo es la única raíz. Demostración de c): queda para el alumno 42 Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
  9. 9. TEOREMA 2: Sea (T, vo) un árbol con raíz sobre un conjunto A. a) T es una relación arreflexiva : (a,a) T , a A b) T es asimétrica: a, b  A , (a,b)T  (b,a)  T c) T es atransitiva: a, b,c  A , (a,b)T  (b,c)T  (a,c)T 43 Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
  10. 10. SUBÁRBOLSea (T,vo) un árbol con raíz sobre A y sea v A.Sea B el conjunto que consta de v y todos sus hijos. SeaT(v) el árbol obtenido de T de la siguiente manera: seeliminan todos los vértices que no sean hijos de v y todaslas aristas que comienzan o terminan en un vértice de estetipo. Se obtiene el siguiente resultadoTEOREMA 3Si (T, vo) es un árbol con raíz y vT, entonces T(v) tambiénes un árbol con raíz v. 44Se dice que T(v) es el subárbol de T que comienza en v.
  11. 11. T(v1) vo v1 T(v2) v3 v2 T(v7) v4 v5 v6 v7 T(v8) v8 v10 v11 v9 v14 v15 v17 v12 v13 v16 v13 v18 v19 45 v20
  12. 12. Árboles n-ariosSea nN.Un árbol T es un n-árbol (o árbol n-ario) si cada vértice tiene a losumo n hijos.Se dice que T es un n-árbol Completo si todos los vértices de T,distintos de las hojas, tienen exactamente n hijos.Árboles binariosUn árbol T es un árbol binario si cada vértice tiene a lo sumo 2 hijosUn árbol T es un árbol binario completo si cada vértice exactamente2 hijos 46
  13. 13. EJEMPLOS Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte 3-ario 2-ario o binario binario completoLos árboles binarios son muy importantes, ya que existen métodos eficientespara implementarlos y hacer búsquedas en ellos.Además es posible reorganizar cualquier árbol con raíz como un árbol 47binario
  14. 14. ÁRBOL BINARIO POSICIONAL Cada vértice tiene a lo sumo 2 hijos los cuales tienen una posición definida: izquierda o derecha.
  15. 15. ÁRBOLES ETIQUETADOS Para muchos usos de los árboles en las ciencias de la computación, es útil etiquetar los vértices o aristas de un digrafo. Los arboles binarios etiquetados sirven, por ejemplo, para representar operaciones binarias. +  a b x y p q 48 a+b xy pq
  16. 16. PROCEDIMIENTO PARA ENCONTRAR EL ÁRBOL ETIQUETADO DE UNA EXP. ALGEBRAICA◦ Se etiqueta la raíz con el operador principal de la expresión.◦ Se etiqueta a los hijos izquierdo y derecho de la raíz mediante el operador principal de las expresiones para los argumentos de la izquierda y derecha, respectivamente.◦ Si un argumento es cte o variable, se lo utiliza para etiquetar el vértice descendiente que corresponde.◦ Se continúa con este proceso hasta concluir con la expresión 49
  17. 17. EJEMPLOEl siguiente árbol corresponde a la expresión (3 – (2 * x)) + ((x – 2) + (3 + x)) Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte + - + 3 * - + 2 50 x x 2 3 x
  18. 18. EJERCICIO PARA EL ALUMNOConfeccionar el árbol correspondiente a las siguientesexpresiones algebraicas y responder Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º partea) ¿Cuál es la altura de cada uno de ellos?b) Los vértices hojas pueden estar etiquetados con operadores? 51c) Dar el nivel de cada operación en ambos casos
  19. 19. BÚSQUEDA EN ÁRBOLES BINARIOS POSICIONALES Llamamos así al proceso mediante el cual se visita cada vértice de un árbol en un orden específico Sea T un árbol binario posicional con raíz v. Designaremos con vI al hijo izquierdo y con vD al hijo derecho, donde uno o ambos pueden estar ausentes. Entonces, si existe vI, el subárbol T(vI) es el subárbol izquierdo de T y si existe vD, el subárbol T(vD) es el subárbol derecho de T 52 Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
  20. 20. BÚSQUEDA EN PREORDENSea T un árbol binario posicional con raíz v: Paso 1: Visitar v (anotar) Paso 2: Si existe vI, entonces aplicar este algoritmo a T(vI) Paso 3: Si existe vD, entonces aplicar este algoritmo a T(vD) Paso 4: Fin del algoritmo 53
  21. 21. BÚSQUEDA EN ENTREORDEN Sea T un árbol binario posicional con raíz v: Paso 1: Si existe vI, entonces aplicar este algoritmo a T(vI) Paso 2: Visitar v Paso 3: Si existe vD, entonces aplicar este algoritmo a T(vD) Paso 4: Fin del algoritmo 54 Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
  22. 22. BÚSQUEDA EN POSTORDEN Sea T un árbol binario posicional con raíz v: Paso 1: Si existe vI, entonces aplicar este algoritmo a T(vI) Paso 2: Si existe vD, entonces aplicar este algoritmo a T(vD) Paso 3: Visitar v Paso 4: Fin del algoritmo 55 Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte
  23. 23. EJEMPLO Sea T el árbol binario posicional etiquetado cuyo digrafo es el siguiente: A Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte B C D E F G H I J K L El recorrido en preorden genera la siguiente sucesión: ABDHEIJCFKGL El recorrido en entreorden genera la siguiente sucesión: HDBIEJAFKLCLG 56 El recorrido en posorden genera la siguiente sucesión: HDIJEB KFLGCA
  24. 24. NOTACIONES PREFIJAS (O POLACA) , INFIJASY POSFIJAS Cuando se aplica el algoritmo de búsqueda en preorden a un árbol correspondiente a una expresión algebraica, el Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte resultado de la búsqueda se llama forma prefija (o polaca) de la expresión algebraica dada. Si se aplican los algoritmos de entreorden y postorden, se obtienen las notaciones infija y posfija, respectivamente, de la expresión algebraica. La primera es la más usada. La segunda tiene el inconveniente de necesitar paréntesis para evitar ambigüedades 57
  25. 25. EJEMPLO / Obtener las expresiones prefija, infija y posfija x + - correspondiente al 1 * 2 Unidad 4: Grafos y Arboles _ 2º parte siguiente árbol Z 3El recorrido en preorden genera la forma prefija de la expresión: /+x1 – *z32El recorrido en entreorden genera la forma infija de la expresión : (x + 1) / ((z * 3) – 2)El recorrido en postorden genera la forma posfija de la expresión : 58 x 1+ z3 *2 – /
  26. 26. ENLACES DE INTERES http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_ grafos http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_de_expan si%C3%B3n http://decsai.ugr.es/~jfv/ed1/tedi/cdrom/docs/arb_B B.htm http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/estru1/54.htm http://mate.cucei.udg.mx/matdis/6arb/6arb2.htm 80

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