Zaverecny ukol

260 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
260
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Zaverecny ukol

  1. 1. Závěrečný úkol KPIMatěj Klusáček, 324101Téma jsem si vybral proto, že mnoho lidí nerozumělo tématu mé bakalářské práce a chtěljsem to zkusit odborně, ale zároveň pochopitelně vysvětlit. Narozdíl od skutečněodborného matematického textu jsem se snažil vynechávat složité symbolické zápisy,definice a důkazy, místy text mírně přesahuje do populárně-naučného stylu. Zastávám alenázor, že alespoň ze začátku si to jako autor mohu dovolit. Proto mírně chytlavý začátek,který má zaujmout. Název prošel postupným ubíráním odborných termínů tak, aby zaujal iodborníky z jiných odvětví.Anotace:Text se zabývá otázkou, jaké grafy (tj. body spojené čarami) lze nakreslit tak, aby sežádné dvě spojnice nekřížily. Takto nakreslené grafy mají několik výhod – předevšímněkteré algoritmy z oblasti dopravy, chemie či sociálních sítí s nimi pracují rychleji. V textujsou představeny matematické charakteristiky zmíněných grafů a také jedna z pokročilýchkonstrukcí, jak křížení odstranit. Závěrem je nastíněn současný stav výzkumu v tétooblasti teorie grafů.Klíčová slova: graf, rovinný graf, planární obal, nakreslení grafu
  2. 2. O (NE)KŘÍŽENÍ CESTStarobylé město Královec se pyšnilo sedmi mosty. Ještě v osmnáctém století si místníobyvatelé lámali hlavy, zda lze najít takovou procházku, která by vedla po každém mostěprávě jedenkrát. Tato stará hádanka dala vzniknout novému matematickému oboru – teoriigrafů. Obr. 1. Mosty v KrálovciZmíněný obor se zabývá výpočty nad grafy – grafem je v tomto případě nějaká množinabodů vzájemně propojených spojnicemi. Na obrázku lze vidět problém mostů v Královci ajeho zjednodušený přepis do řeči teorie grafů. Jednotlivé kousky pevniny jsou body(vrcholy), mosty pak tvoří spojnice (hrany) mezi nimi. Přesně takové struktury majív dnešní době nespočetné využití (především v navigačních systémech, sociálních sítích,chemii a dopravě). Existují grafy jednoduché s nemnoha body a naopak sítě nesmírněsložité s velkým množstvím vrcholů a hran, které se často kříží.V tomto textu se zaměříme právě na problém křížících se hran. Existují případy nakreslenígrafů, v nichž se hrany kříží, ačkoli to není nutné. Představme si čtyři body uspořádané dočtverce. Každý bod je propojený s každým, tedy vzniká jakýsi čtverec s kříženímuprostřed. Nicméne pokud jednu z diagonálních hran nakreslíme tak, že povede z jednohodo druhého bodu okolo, odstraníme křížení, přičemž struktura grafu zůstane zachována.Pokud bychom si představili pět bodů, kde jsou všechny vzájemně spojené, už se námnakreslení bez křížení nepovede. Proč je to důležité? Grafy, které je možné nakreslit bezkřížení, se nazývají rovinné a jsou z pohledu matematiky velmi důležité – některéalgoritmy s nimi pracují rychleji než na grafech nerovinných.Nejdříve se podíváme na podmínky, které musí být splněny, aby byl graf rovinný. V druhé
  3. 3. části práce pak prezentujeme jeden nápad, jak z některých nerovinných grafů udělatrovinné s podobnými vlastnostmi.Kdy je graf rovinný? Jak již bylo zmíněno výše, rozhodně to nesmí být graf na pětivrcholech, které jsou vzájemně úplně propojené (takovému grafu se říká K 5 ). Stejně takjakýkoliv graf, který v sobě K 5 obsahuje, nemůže být rovinný. Druhý z takových malýchgrafů, který zabraňuje rovinnosti, je graf na šesti vrcholech, které jsou rozděleny na dvěpoloviny (tři a tři). Každý vrchol je spojen se všemi vrcholy z druhé poloviny a zároveň neníspojen s žádným vrcholem své poloviny. Takový graf je nazýván K 3,3 . A to je vše.Matematicky lze dokázat, že rovinné jsou právě ty grafy, které v sobě neobsahují žádný zedvou zmíněných zakázaných grafů - K 5 a K 3,3 .Důležitá je ještě správná definice pojmu „obsahovat“. Definujme ho takto: Graf G obsahujegraf H právě tehdy když můžeme H dostat z g aplikováním libovolného počtu následujícíchoperací: – odebrání hrany či vrcholu – sloučení dvou sousedních (tedy spojených hranou) vrcholů do jednoho (tak, že původní hrany obou vrcholů nyní vychází z nového vrcholu)Tím jsme charakterizovali třídu grafů, které rovinné jsou, i třídu těch, které nikoliv. Obr.2. Nerovinné grafy K 5 a K 3,3Zajímavý koncept nadále rozšiřující otázku rovinnosti grafů předložil v roce 1988 SeyiaNegami[3]. Jednalo se o takzvaný planární (neboli rovinný) obal – graf, který jestrukturálně velmi podobný nějakému nerovinnému grafu, nicméně neobsahuje žádnékřížení hran. Co ale znamená „strukturálně velmi podobný“? Nejdříve postupně očíslujmelibovolně vrcholy grafu G, kterému budeme konstruovat planární obal. Nyní použijmematematickou definici: Graf H je planárním obalem grafu G, pokud je rovinný a zároveň lzekaždému vrcholu z H přiřadit číslo takové, že sousedí (je spojen hranou) se stejně
  4. 4. očíslovanými vrcholy jako původní vrchol stejného čísla v G. Co to znamená? Intuitivně sicelou konstrukci lze představit tak, že pokud bychom se nalézali v libovolném vrcholu apodívali se na své nejbližší sousedy, pak bychom nepoznali, zda jsme v G či v H. Nejlépeto ilustruje obrázek níže. Obr.3. Planární obal grafu K 5 a samotný K 5Přirozená otázka zněla: Jak popsat třídu těch grafů, kterým lze sestrojit planární obal?Motivací je opět fak, že na planárním obalu (tedy rovinném grafu) mohou některé algoritmyfungovat lépe a rychleji než na původním narovinném grafu. Negami ve stejném rocepublikoval domněnku, která říká, že graf má planární obal pouze tehdy, pokud lze nakreslitbez křížení hran na tzv. projektivní rovině. Projektivní rovina je typ povrchu, který nelzenakreslit ve 3D zobrazení – jedná se o jakousi zkroucenou pneumatiku, která procházísama sebou. Tato teze nicméně stále není zcela dokázaná, pěkné shrnutí dosavadníhovýzkumu a dostupných poznatků můžeme nalézt v odborném článku Petra Hliněnéhoz roku 2008[1].V současné době je nejrozsáhlejší výzkum zaměřen na efektivní hledání zakázanýchnerovinných grafů ve velkých grafech (tedy efektivní zjišťování rovinnosti), stejně jakopokračují studie planárních obalů a také ještě mírně rozšířenějšího konceptu (takzvanýchplanárních emulátorů). Vše je ale jen nepatrných kouskem koláče zvaného Teorie Grafů,který díky mostům v Královci upekl teprve před dvěma stoletími slavný matematikLeonhard Euler, když si mosty schematicky překreslil a následně problém vyřešil. Jak užasi tušíte, procházka po všech mostech možná není.
  5. 5. Obr. 4. Některé zajímavé grafy a jejich vlastnosti související s rovinností
  6. 6. Seznam použité literatury[1] HLINĚNÝ, Petr. 20 Years of Negami’s Planar Cover Conjecture. Graphs andCombinatorics. 2010, č. 26, s. 525-536.[2] Mathematics of Michigan [online]. [cit. 2013-01-05].Dostupné z: http://www.math.lsa.umich.edu/[3] NEGAMI, Seyia. Graphs Which Have No Finite Planar Covering, Bulletin of the Instituteof Math, Academia Sinica 1988, č. 16, s. 378–384.[4] PICKOVER, Clifford A. Matematická kniha: od Pythagora po 57. dimenzi : 250 milníkův dějinách matematiky. 1. vyd. v českém jazyce. Praha: Argo, 2012, 542 s. Zip (Argo:Dokořán). ISBN 978-80-257-0705-0.Krátké hodnocení zdrojů:[1]– kvalitní erudovaný autor (v oboru jeden z největších odborníků)– článek vyšel v odborném periodiku– článek používá odborné termíny (navíc je psán v angličtině)– článek obsahuje poměrně aktuální informace– informace jsou přesné a pořádně matematicky dokázané[2]– kvalitní univerzita nabízející dobré online kurzy– erudovaní autoři kurzů– pěkně a názorně vysvětlené– přesné informace– aktuální informace[3]– kvalitní erudovaný autor (v oboru jeden z největších odborníků)– informace jsou přesné a pořádně matematicky dokázané– článek vyšel v odborném periodiku– článek používá odborné termíny (navíc je psán v angličtině)– velmi pěkně strukturovaný článek (kapitoly, tvrzení, důkazy)[4]– kvalitní autor– pěkně a názorně vysvětlené– dobře členěné, vzájemné odkazy– přesné informace– ne zcela dostačující hloubka je nahrazena odkazy na další související materiály

×