Factorización y fracciones algebraicas

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Factorización y fracciones algebraicas

  1. 1. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER UNIDAD 4 FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICASFACTORIZACIONFactorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.Cuando realizamos las multiplicaciones: 2 3 2 1. 2x(x – 3x + 2) = 2x – 6x + 4x 2 2. (x + 7)(x + 5) = x + 12x + 35Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresionesa factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.CASOS DE FACTORIZACIÓN1. FACTOR COMUN1.1 Factor común monomio: Con este método buscamos el factor común de todos y cada unode los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresionesalgebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común.Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y − 24z? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y − 6· 4z = 6(2x + 3y − 4z)Ejemplo 2: ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a2 − 15ab − 10ac? El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de menor grado), por lo tanto 5a2 − 15ab − 10ac = 5a·a − 5a·3b − 5a · 2c = 5a(a − 3b − 2c)Ejemplo 3: ¿Cuál es el factor común en 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 ? El factor común es “6xy “porque 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy)1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión.En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio.Pero el resultado será otro polinomio.Ejemplo 1: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y) - Factor común "(x − y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x2 + 3x + 7) Entonces se obtiene como resultado: (x − y) (5x2 + 3x +7)Ejemplo 2: Factoriza 2a (m − 2n) − b (m − 2n) = Existe un factor común que es (m − 2n) → 2a (m − 2n) − b (m - 2n) = (m − 2n) (2a − b)1.3 Factor común por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemos uso delos dos métodos anteriores. Ejemplo: 5x4y + 3x3y −9xy −15xy2:
  2. 2. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así: 1º 5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y) 2º 3x3y − 9xy = 3y (x3 −3y) Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así: 5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio. Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS2.1 Trinomio cuadrado perfectoPara que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada yel segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos.Ejemplo:Factorizar 9 x 2 − 30 x + 25 ° 21° Halla la raíz principal del primer término 9x ; 3x · 3x ° 25 con el signo del segundo término; −5 · −52° Halla la raíz principal del tercer término luego la factorización de 9 x − 30 x + 25 = ( 3 x − 5 )( 3 x − 5 ) = ( 3 x − 5 ) 2 22.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que sepueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo: m 4 − 10m 2 n 2 + 9n 4Resolviéndolo queda: m 4 − 10m 2 n 2 + 9n 4 + 4m 2 n 2 − 4m 2 n 2 m 4 − 6m 2 n 2 + 9 n 4 − 4 m 2 n 2 (m 2 − 3n 2 ) − (2mn ) 2 2Aplicamos diferencia de cuadrados: ( m 2 − 3n 2 ) + ( 2mn )  ( m 2 − 3n 2 ) − ( 2mn )    2.3 Trinomio de la forma: x 2n + bx n + cEl trinomio de la forma x 2n + bx n + c se puede descomponer en dos factores binomiales medianteel siguiente proceso:Ejemplo 1:Descomponer x2 + 6x + 5 °1° Hallar dos factores que den el primer término x·x °2° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
  3. 3. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 1 y 5 ó -1 y - 5 Pero la suma debe ser +6 luego serán ( x + 5)( x + 1)⇒ x + 6 x + 5 = ( x + 5 )( x + 1) 2Ejemplo 2:Factorizar x + 4 x y − 12 y 4 2 2 4 2 21º Hallar dos factores del primer término, o sea x : x ·x2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y 4y · −3y ó −4y · 3y 12y · −y ó −12y · yPero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir: x 4 + 4 x 2 y − 12 y 2 = ( x 2 + 6 y )( x 2 − 2 y )2.4 Trinomio de la forma ax 2n + bx n + cEjemplo:Factorizar 2 x − 11x + 5 21º El primer término se descompone en dos factores 2x · x2º Se buscan los divisores del tercer término 5·1 ó -5 · -13º Parcialmente la factorización sería (2x + 5) (x + 1) 2 Pero no sirve pues da: 2x + 7x + 5 Se reemplaza por (2x - 1) (x - 5) 2 y en este caso nos da: 2x - 11x + 5Por lo tanto, 2 x 2 − 11x + 5 = ( x − 5 )( 2 x − 1)Vale aclarar que este no es el único método. En la presentación se aplica el método que sugiereBaldor.3. FACTORIZACION DE BINOMIOS3.1 Diferencia de dos cuadrados:Ejemplo:Factorizar 9 x 2 − 16 y 2Raíz cuadrada del primer término 9 x2 = 3xY raíz cuadrada del segundo término 16 y 2 = 4 yLuego la factorización de 9 x 2 − 16 y 2 = ( 3x + 4 )( 3x − 4 )3.2 Cubo perfecto de un binomioEjemplo:Factorizar a 3 + 3 a 2 + 3a + 1
  4. 4. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERTodos los signos de los términos son positivos 3 a 3 = a : Raíz cúbica del primer término del cuatrinomio.3 1 = 1 : Raíz cúbica del cuarto término del cuatrinomio. ( )3 a 2 (1) = 3a 2 Triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto: Igual al segundo término del cuatrinomio.3(a )(1) = 3a Triplo de la raíz cúbica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raízcúbica del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio.Por lo tanto: a 3 + 3a 2 + 3a + 1 Desarrollo de un cubo perfecto de binomios. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = (a + 1) 33.3 Suma o diferencia de cubos perfectos3.3.1 Diferencia de cubos: a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )Ejemplo: 8 − x3 = ( 2 − x ) ( 4 + 2 x + x2 )3.3. 2 Suma de cubos: a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )Ejemplo: 27 a 3 + 1 = ( 3a + 1) ( 9a 2 − 3a + 1)FRACCIONES ALGEBRAICASDEFINICIONESFracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma p( x) donde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con q( x)q(x) ≠ 0.Ejemplos: x+5 8  3(a) ( x ≠ 3) (b) x ≠ −  x −3 2x + 3  2 2x − 3y 3x + 4(c ) (d ) 2 ( x ≠ 4, x ≠ − 2) 7 x − 2x − 8Simplificación de fracciones algebraicasSimplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínimaexpresión, o sea, una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y sudenominador se pueden dividir por un mismo factor.
  5. 5. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible. • Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible. • Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible. Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 24a 3b 3 8a 2 ⋅ 3ab3 8a 2 (a) = = 21ab5 7b 2 ⋅ 3ab3 7b 2 x 2 − 7x + 12 (b) x 2 − 16 Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que: x 2 − 7x + 12 = ( x − 4)( x − 3) x 2 − 16 = ( x + 4)( x − 4) Luego: x 2 − 7 x + 12 ( x − 4)( x − 3) x−3 = = x − 16 2 ( x + 4)( x − 4) x+4Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicasLa operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste enconvertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menorposible.Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en susfactores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada casoel de mayor exponenteEjemplo:Reducir al mínimo común denominador x 3 2x x+3 , 2 , ,x + 5x + 6 x + 6x + 9 2 x + 3x + 2 x + 2 2Al factorizar los denominadores obtenemos: ( x + 2)( x + 3) , ( x + 3)2 , ( x + 2)( x + 1) , ( x + 2) ; m.c.m. = ( x + 2)( x + 3) 2 ( x + 1)OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICASEn las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan enaritmética para el cálculo de fracciones numéricas.
  6. 6. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER1. Suma y RestaReglas: • Se simplifican las fracciones, si es posible. • Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador • Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador. • Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el denominador común. • Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere. • Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.Ejemplo: 5a − 9b 7 a − 2b 8a − 5b (5a − 9b) + (7 a − 2b) − (8a − 5b) 4a − 6b + − = = 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene: 2(2a − 3b) =2 (2a − 3b) 5a − 9b 7 a − 2b 8a − 5b Entonces: + + = 2 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2. Multiplicación Reglas: • Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible. • Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores. Ejemplo: m 2 − 5m + 6 m3 − m 7 m + 21 m −9 2 m + 2 m − 8m 7 m 2 − 7 3 2 Factoricemos y simplifiquemos (m − 3)(m − 2) m(m 2 − 1) 7(m + 3) ⋅ ⋅ = (m + 3)(m − 3) m(m + 2m − 8) 7(m 2 − 1) 2 (m − 3)(m − 2) m(m + 1)(m − 1) 7(m + 3) 1 ⋅ ⋅ = (m + 3)(m − 3) m(m + 4)(m − 2) 7(m + 1)(m − 1) m+4 Entonces: m 2 − 5m + 6 m3 − m 7 m + 21 1 ⋅ 3 ⋅ = m −9 2 m + 2 m − 8m 7 m − 7 2 2 m+4
  7. 7. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER3. DivisiónReglas: • Se multiplica el dividendo por el divisor invertido • Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.Ejemplo: 2x − 4 y 6 xy − 12 y 2 2 x − 4 y 15 x + 45 y ÷ = • 5 x + 15 y 15 x + 45 y 5 x + 15 y 6 xy − 12 y 2Factoricemos y simplifiquemos 2( x − 2 y ) 15( x + 3 y ) 1 • = 5( x + 3 y ) 6 y ( x − 2 y ) y 2x − 4 y 6 xy − 12 y 2 1Entonces: ÷ = 5 x + 15 y 15 x + 45 y y4. Operaciones combinadasPara resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugaraquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienenprioridad.Ejemplo:  3x − 3 y 6x − 6 y  x2 − y 2  2 ÷  • 2  x + 2 xy + y 2 x + 2 y  x − xy + y 2 2Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos. 3( x − y ) 2( x + y ) x2 − y2 • • 2 ( x + y ) 2 6( x − y ) x − xy + y 2Factoricemos y simplifiquemos 3( x − y ) 2( x + y ) ( x − y )( x + y ) x− y • • 2 = 2 ( x + y ) 6( x − y ) x − xy + y 2 2 x − xy + y 2Entonces:  3x − 3 y 6x − 6 y  x2 − y 2 x− y  2 ÷  • 2 = 2  x + 2 xy + y 2 x + 2 y  x − xy + y x − xy + y 2 2 2

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