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Expresiones Algebráicas

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  1. 1. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAÌCASEn álgebra se emplean letras para representar números. Mediante letras y símbolos matemáticoslas proposiciones verbales se reducen a proposiciones algebraicas muy cortas. Ejemplo: Sieteveces un numero restado del mismo numero es igual a seis veces dicho numero 7n  n  6n , esdecir, 7n equivale a “siete veces un numero”.Pasar las proposiciones verbales a algebraicas es de suma importancia en la modelaciónmatemática, a continuación se enuncian algunas palabras que denotan operaciones.  ADICIÓN: suma, mas, ganar, aumentar, elevar, expansionar, más que, mayor que, más grande que, agrandar, crecer e incrementar.  SUSTRACCIÓN: diferencia, menos, perder, disminuir, bajar, más bajo que, menos que, menor que, más pequeño que, acortar, depreciar y decrecer  MULTIPLICACIÓN: multiplicado por, veces, producto, dos veces, doble, triple, cuádruple y quíntuplo.  DIVISIÓN: divido por, razón, cociente y mitad.Expresiones algebraicas: Es una combinación de números y letras relacionados con operacionesde suma, resta, multiplicación, división y a veces también por medio de potenciación, radicación, ylogaritmación. 2 x2  4 xy ; 7a 2b  b ;  2x  y  2 ; c3bDos o más expresiones algebraicas unidas con un signo + ó – reciben el nombre de términos. Doso más expresiones algebraicas unidas por una multiplicación reciben el nombre de factores.Ejemplo: 3ab − (a  b)(a  3ab)     Primer término segundo términoTres factores dos factoresTodo término presenta las siguientes partes:Coeficiente: El que precede a la parte literal.Parte Literal: Está representada por una o varias letras.Exponente: Indica cuantas veces se toma como factor la parte literal.
  2. 2. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Exponente  3x 5 Parte literal CoeficienteDe acuerdo al número de términos las expresiones algebraicas pueden ser: x2  y2 MONOMIO: tiene un término Ej. 5x 2 y z 4 ; ab BINOMIO: tiene dos términos Ej. 7 xy  y5 ; pq TRINOMIO: tiene tres términos Ej. x 2  3x  5 POLINOMIO: tiene más de dos términos Ej. 3x3  2 x2  x  12 Recuerden que los términos en un polinomio se identifican porque están separados unos de otros por el signo positivo (+) o el negativo (−).Grado de un término Es la suma de los exponentes del factor literalEjemplo: En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x) En el término 4x2y3 tiene grado 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)Grado de una expresión Es el grado mayor de sus distintos términos.Ejemplo: En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo termino)
  3. 3. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 2 3 3 2 7 En el término 4x y – 4b y z tiene grado 12 (por el grado del segundo término)Términos semejantes: Dos términos son semejantes si la variable contiene el mismo exponente, 3por ejemplo los términos 2x y 5x3 son semejantes, este concepto se puede extender a 2 3 2 3términos que tienen más de una variable, como por ejemplo: ½ x y ; 6x y ; 3 x2 y3 ;x2 y3 son términos semejantesReducción de términos semejantes.Para reducir términos semejantes se suman los coeficientes numéricos de todos los términossemejantes y a continuación se escribe la parte literal común. 3x 2  2 xy  xy 2  x 2  4 xy 2  6 xy  21Ejemplo:  3  1 x2   2  6  xy  1  4  xy 2  21 Reduciendo: 2 x2  4 xy  5xy 2  21Se llama término independiente a aquel que no contiene la variable. En el ejemplo anterior −21es el término independientePolinomio ordenado: Un polinomio está ordenado con respecto a las potencias crecientes de unade sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente mayor o igual que en elanterior.OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAÍCASAnteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adición,sustracción, multiplicación y división. Vamos a trabajar cada operación y aprender un poco más deellas.1. Suma y RestaEn Álgebra, a la hora de efectuar las operaciones de adición y sustracción es de particularimportancia la identificación de los llamados términos semejantes.  Cuando es una suma de monomiosEjemplo: Sumar:  5x 2 y 7 x Observa que, como los términos no son semejantes la suma se deja indicada
  4. 4. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Solución:  5x 2  7 x  5x 2  7 x  Cuando es una suma de polinomios 3 2 1 7 2Ejemplo: Sumar: x  y x  3x 4 3 8 Indicamos la operación de los dos  3 2 1  7 2  binomios agrupando cada uno entreSolución:  x     x  3x   paréntesis 4 3  8  Eliminamos los paréntesis, como el signo 3 2 1 7 2 x   x  3x  que los precede es positivo, no se afecta 4 3 8 ningún término 3 2 7 2 1  x  x    3x  Agrupamos los términos semejantes 4 8  3 Extraemos la variable con su respectivo 3 7  1 exponente como factor dejando los    x 2  3x   4  coeficientes dentro del paréntesis.  8  3 Observe que estos nos indican una suma de fracciones con diferente denominadorLuego el polinomio resultante es: 13 2 1 x  3x  8 3  Cuando es una resta de polinomiosEjemplo
  5. 5. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 3 2 7 1 1 5 Sea A  x  6x  y B  x3  x2  x  determinar: A – B 5 4 5 2 6 3 2 7  1 1 5 A B  x  6x    x 3  x 2  x   5 4  5 2 6 Si eliminamos el paréntesis: 3 2 7 1 1 5 A B  x  6 x   x3  x 2  x  5 4 5 2 6 Agrupamos los términos semejantes: 3 1   1   7 5 A  B   x 2  x 2    6 x  x   x3      5 5   2   4 6 Finalmente, realizadas las adiciones de los términos semejantes y ordenando el polinomio en forma descendente, tenemos: 4 2 11 31 A  B   x3  x  x 5 2 12 2. Multiplicación Para multiplicar expresiones algebraicas, debes observar los siguientes pasos: 1º Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación ) 2º Multiplicar los coeficientes numéricos. 3º Multiplicar las letras (multiplicación de potencias de igual base).  Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios Ejemplos:monomios por monomios monomios por polinomios polinomios por polinomios 2a  3b3a  7b  ( -4a5b4)•( 12ab2)= 4 3 3 7 a b • ( 2 a – a b + 5 b )= 6a2 –14ab –9ab + 21b2 = 7 5 2 4 4 –48 a6b6 14 a b – 7 a b + 35 a b 2 2 6a –23ab +21b
  6. 6. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER  2 2 a 3   5 a 1 5 5a  x  2x 2  2 x  4 ( 6 m5n-3p-4) • ( 5 mn-1p2)=  m    m  m    5   4 2  6 –4 –2 30 m n p 1 3a  4 x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8= m  m 7 a 3 2 x3 –8  3 4   2 3 1 5 4 ( a x + b y – c z ) • (− x y )= m 2   2mn  8n 2 m3  3m2  2   a b    ab   a b 4  3  2 2 2 – ax y – bxy + cxyz ¡Hazlo tú! 3. División Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, sólo que un polinomio es como un grupo de números enteros descompuestos en una adición de muchos sumandos. Los polinomios se disponen como en la división de números y ordenados por sus potencias de mayor a menor. Los términos del cociente se obtienen en varios pasos, parecidos a la división numérica. Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades “dividendo” y “divisor”, se debe buscar otra cantidad llamada “cociente” que multiplicada por el “divisor” nos resulte el “dividendo”. Vamos a explicarlo por medio de un ejemplo: Resolveremos la siguiente división de polinomios paso a paso:  3x 2  10 x3  4 x5  x  6    x2  1  2 x  Se ordenan los dos polinomios tomando en cuenta los exponentes de la variable (x) en orden decreciente y completando con 4 x5  0 x 4  10 x3  3x2  x  6 x2  2x  1 coeficiente cero (0) la potencia faltante. Se divide el primer término del polinomio 4 x5  0 x 4  10 x3  3x2  x  6 x2  2x  1 dividendo entre el primer término del divisor Para efectuar esto se divide el coeficiente 4 x 5  0 x 4  10 x 3  3x 2  x  6 x 2  2x  1 del dividendo entre el del divisor y con la variable se aplica la regla de potencia de un cociente de igual base. 4x3
  7. 7. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER4 x5 4 x5 Este es el primer término del cociente 2  2  4 x 5  2   4 x 3 x 1xSe multiplica el primer término del cociente 4 x5  0 x4  10 x3  3x2  x  6 x2  2 x  1por todos los términos del divisor, a estosproductos se les cambia el signo y seordenan debajo del dividendo según el  4 x5  8 x 4  4 x3 4x3exponente de la variable.Estos productos se resta del dividendo 4 x5  0 x4  10 x3  3x2  x  6 x2  2 x  1  4 x5  8 x 4  4 x3 4x3 8x4  14 x3  3x2  x  6Se repite todo el procedimiento 4 x5  0 x4  10 x3  3x2  x  6 x2  2 x  1considerando que ahora el primer términodel nuevo dividendo es 8x4  4 x5  8 x 4  4 x3 4 x3  8 x 2 8x4  14 x3  3x2  x  6 4 48x 8x   8 x 4  2   8 x 2 x 2 1 x2  8x4  16 x3  8x2 2 x3  5 x 2  x  6Continuamos ahora dividiendo los demás términos 4 x5  0 x4  10 x3  3x2  x  6 x2  2 x  1  4 x5  8 x 4  4 x3 4 x3  8 x 2  2 x  1 8x4  14 x3  3x2  x  6  8x4  16 x3  8x2 2 x3  5 x 2  x  6  2 x3  4 x 2  2 x  x 2  3x  6
  8. 8. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER x2  2x  1  5x  7 El cociente de la división es : 4 x  8x  2 x  1 3 2 Y el residuo:  5x  7 (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar dividiendo por lo que la división es inexacta)VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICASValorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de lostérminos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.Veamos un ejemplo:Hallar el valor numérico de la expresión: 5x y  8xy  9 y considerando x = 2; 2 2 3 y = –1No olvidar: 1º Reemplazar cada variable por el valor asignado. 2º Calcular las potencias indicadas 3º Efectuar las multiplicaciones y divisiones 4º Realizar las adiciones y sustraccionesVeamos el ejemplo propuesto: 5x y  8xy  9 y 2 2 35x 2 y  8xy 2  9 y 3  5  2 2   1  8  2   1  9   1 2 3 = 5  4  (1)  8  2  1  9  (1)  =  20  16  9  27 Es el valor numérico
  9. 9. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER UNIDAD 3 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLESPRODUCTOS NOTABLESTanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasosconducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una reglacuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre deproductos notables.Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación.
  10. 10. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERLos productos notables se repiten con mucha frecuencia en el cálculo algebraico, por lo que resultamuy conveniente conocer su resultado de memoria para poder operar con rapidez.Algunos de ellos son los siguientes:1. Cuadrado de un BinomioRecordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. Elproducto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo deun cuadrado de binomios siempre tiene la misma estructura.Tenemos dos casos.  El cuadrado de la suma de dos cantidades  El cuadrado de la diferencia de dos cantidadesEn ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de estehecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio:“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble delproducto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”La estructura que representa esta fórmula es: ( a  b )2  a 2  2ab  b2Algunos ejemplos:  p  2b   p 2  2( p)(2b)   2b   p 2  4 pb  4b2 2 2   5x  y    5x   2(5x)( y)   y   25x 2  10 xy  y 2 2 2 2 
  11. 11. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER2. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidadesConsideremos el producto de la suma de dos términos “ a  b ” por su diferencia “ a  b ”. Aldesarrollar el producto podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente: ( a  b )( a  b )  a 2  b2Es decir, la suma de dos términos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadradosde los términos. La fórmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue:“El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer términomenos el cuadrado del segundo”Algunos ejemplos:  ( 2 p5  6q4 )( 2 p5  6q4 )  (2 p5 )2  (6q4 )2  4 p10  36q8 2 1 2  1 2 1   2 1   3x   3x      3x   9 x4 2   4  4   4 163. Cubo de un binomioConsideramos también dos casos:  Cubo de la suma de dos cantidades  Cubo de la diferencia de dos cantidadesEn ambos casos se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de estehecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cubo de un binomio:
  12. 12. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER“El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más (o menos) el triple del producto delcuadrado del primer término por el segundo más el triple del producto del primer término por elcuadrado del segundo más(o menos) el cubo del segundo término”La estructura que representa esta fórmula es: ( a  b )3  a3  3a2b  3ab2  b3Algunos ejemplos: 5a b  3a  3 3  (5a 2b)3  3(5a 2b)2 (3a3 )  3(5a 2b)  3a3   (3a3 )3 2 2  = 125a6b3  225a7b2 135a8b  27a9   2x  y  2 3   2 x   3(2 x)2 ( y 2 )  3(2 x)  y   ( y 2 )3 3 2 = 8x3  12 x2 y 2  6 xy 2  y 64. Multiplicación de Binomios con un Término ComúnEste producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma “ a  b ” por “ a  c ”.Al desarrollar el producto se observa que la estructura es la siguiente: a  b a  c  a 2  b  ca  bcLa fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue:“Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el términocomún y más el producto de los términos distintos”
  13. 13. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDEREjemplos: 3  2  5   x  3   x  2  x2  3  2 x  3(2)  x 2  5x  6 , observa que   3 2  6   a  8   a  7   a 2   8  7  a  8(7)  a 2  a  56 , observa que  8  (7)  1   8  (7)   56COCIENTES NOTABLESExistirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues susrespuestas son conocidasDefinición: Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritospor simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos.a. Primer caso: a  b  n n   a  bEn este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número impar.Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x 5 + y5) ÷ (x + y)Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, porx5-1 = x4 A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x 3), peroademás deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3y.Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta queeste desaparezca) y se irá incrementando el grado del exponente del segundo término.(x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3y + x2y2 -xy3 +y4b. Segundo caso: a  b  n n   a  bEn este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un número paro impar.Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x 6 - y6) ÷ (x - y)
  14. 14. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERLa mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en larespuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más).(x6 + y6) ÷ (x + y) = x5 +x4y + x3y2 +x2y3 +xy4+y5c. Tercer caso: a  b n n   a  bEn este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un número par.Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x 4 - y4) ÷ (x + y)Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por 4-1 3x = x A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera). 2En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x ), pero 2además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x yPara los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta queeste desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.(x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2y + xy2 -y3 UNIDAD 4 FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICASFACTORIZACIONFactorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.Cuando realizamos las multiplicaciones: 2 3 2 1. 2x(x – 3x + 2) = 2x – 6x + 4x 2. (x + 7)(x + 5) = x 2 + 12x + 35Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresionesa factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.
  15. 15. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERCASOS DE FACTORIZACIÓN1. FACTOR COMUN1.1 Factor común monomio: Con este método buscamos el factor común de todos y cada unode los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresionesalgebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común.Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y − 24z? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6∙2x + 6∙3y − 6∙ 4z = 6(2x + 3y − 4z) 2Ejemplo 2: ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a − 15ab − 10ac? El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el demenor grado), por lo tanto 5a2 − 15ab − 10ac = 5a∙a − 5a∙3b − 5a · 2c = 5a(a − 3b − 2c) 2 2 2 2Ejemplo 3: ¿Cuál es el factor común en 6x y − 30xy + 12x y ? El factor común es “6xy “porque 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy)1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión.En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio.Pero el resultado será otro polinomio.Ejemplo 1: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y)- Factor común "(x − y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x2 + 3x + 7)
  16. 16. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 2Entonces se obtiene como resultado: (x − y) (5x + 3x +7)Ejemplo 2:Factoriza 2a (m − 2n) − b (m − 2n) =Existe un factor común que es (m − 2n) → 2a (m − 2n) − b (m - 2n) = (m − 2n) (2a − b)1.3 Factor común por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemosuso de los dos métodos anteriores. 4 3 2Ejemplo: 5x y + 3x y −9xy −15xy :Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así:1º 5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y)2º 3x3y − 9xy = 3y (x3 −3y)Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así:5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio.Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS2.1 Trinomio cuadrado perfectoPara que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada yel segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos.Ejemplo:Factorizar 9 x2  30 x  25 21 Halla la raíz principal del primer término 9x ; 3x · 3x
  17. 17. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER2 Halla la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término; −5 · −5 luego la factorización de 9 x  30 x  25   3x  5 3x  5   3x  5  2 22.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que sepueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo: m 4  10m 2 n 2  9n 4Resolviéndolo queda: m 4  10m 2 n 2  9n 4  4m 2 n 2  4m 2 n 2 m 4  6m 2 n 2  9n 4  4m 2 n 2 m 2  3n 2   2mn 2 2Aplicamos diferencia de cuadrados:  m2  3n2    2mn   m2  3n2    2mn    2.3 Trinomio de la forma: x 2n  bx n  cEl trinomio de la forma x 2n  bxn  c se puede descomponer en dos factores binomiales medianteel siguiente proceso:
  18. 18. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDEREjemplo 1:Descomponer x2  6 x  51 Hallar dos factores que den el primer término x ·x2 Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6” 1 y 5 ó -1 y - 5 Pero la suma debe ser +6 luego serán  x  5 x  1 x2  6 x  5   x  5 x  1Ejemplo 2:Factorizar x4  4 x2 y  12 y 2 4 2 21º Hallar dos factores del primer término, o sea x : x ·x2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y 4y · −3y ó −4y · 3y 12y · −y ó −12y · yPero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir: x 4  4 x 2 y  12 y 2   x 2  6 y  x 2  2 y 
  19. 19. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER2.4 Trinomio de la forma ax2n  bx n  cEjemplo:Factorizar 2 x 11x  5 21º El primer término se descompone en dos factores 2x · x2º Se buscan los divisores del tercer término 5 ·1 ó -5 · -13º Parcialmente la factorización sería (2x + 5) (x + 1) Pero no sirve pues da: 2x2 + 7x + 5 Se reemplaza por (2x - 1) (x - 5) 2 y en este caso nos da: 2x - 11x + 5Por lo tanto, 2 x2  11x  5   x  5 2 x  1Vale aclarar que este no es el único método. En la presentación se aplica el método que sugiereBaldor.3. FACTORIZACION DE BINOMIOS3.1 Diferencia de dos cuadrados:Ejemplo:Factorizar 9 x 2  16 y 2Raíz cuadrada del primer término 9 x 2  3x
  20. 20. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDERY raíz cuadrada del segundo término 16 y 2  4 yLuego la factorización de 9 x2  16 y 2   3x  4  3x  4 3.2 Cubo perfecto de un binomioEjemplo: a3  3a 2  3a  1FactorizarTodos los signos de los términos son positivos 3 a3  a : Raíz cubica del primer término del cuatrinomio.3 1  1 : Raíz cubica del cuarto término del cuatrinomio.  3 a 2 1  3a 2 Triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término por la raíz cubica del cuarto: Igual al segundo término del cuatrinomio.3a 1  3a Triplo de la raíz cubica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raízcubica del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio.Por lo tanto: a 3  3a 2  3a  1 Desarrollo de un cubo perfecto de binomios. a 3  3a 2  3a  1  a  1 33.3 Suma o diferencia de cubos perfectos
  21. 21. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER3.3.1 Diferencia de cubos: a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 Ejemplo: 8  x3   2  x   4  2 x  x 2 3.3. 2 Suma de cubos: a3  b3   a  b   a 2  ab  b2 Ejemplo: 27a3  1   3a  1  9a 2  3a  1FRACCIONES ALGEBRAICASDEFINICIONESFracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la formap( x) donde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con q(x) ≠0.q( x)Ejemplos: x5 8  3(a) ( x  3) (b) x    x 3 2x  3  2 2x  3 y 3x  4(c ) (d ) 2 ( x  4, x   2) 7 x  2x  8Simplificación de fracciones algebraicasSimplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínimaexpresión, o sea, una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y sudenominador se pueden dividir por un mismo factor.
  22. 22. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible.  Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible.  Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible. Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 24a3b3 8a 2  3ab3 8a 2 (a)   21ab5 7b 2  3ab 3 7b 2 x 2  7x  12 (b) x 2  16 Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que: x 2  7x  12  ( x  4)( x  3) x 2  16  ( x  4)( x  4) Luego: x 2  7 x  12 ( x  4)( x  3) x 3   x  16 2 ( x  4)( x  4) x4Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicasLa operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste enconvertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menorposible.Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en susfactores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada casoel de mayor exponente
  23. 23. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDEREjemplo:Reducir al mínimo común denominador x 3 2x x3 , 2 , 2 ,x  5 x  6 x  6 x  9 x  3x  2 x  2 2Al factorizar los denominadores obtenemos:( x  2)( x  3), ( x  3)2 , ( x  2)( x  1), ( x  2) ; m.c.m. = ( x  2)( x  3) 2 ( x 1)OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICASEn las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan enaritmética para el cálculo de fracciones numéricas.1. Suma y RestaReglas:  Se simplifican las fracciones, si es posible.  Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador  Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador.  Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el denominador común.  Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere.  Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.Ejemplo: 5a  9b 7a  2b 8a  5b (5a  9b)  (7a  2b)  (8a  5b) 4a  6b     2a  3b 2a  3b 2a  3b 2a  3b 2a  3b Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene: 2(2a  3b) 2 (2a  3b) 5a  9b 7a  2b 8a  5b Entonces:    2 2a  3b 2a  3b 2a  3b
  24. 24. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER2. MultiplicaciónReglas:  Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.  Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.Ejemplo: m2  5m  6 m3  m 7m  21 m 9 2 m  2m  8m 7m2  7 3 2Factoricemos y simplifiquemos(m  3)(m  2) m(m2  1) 7(m  3)   (m  3)(m  3) m(m  2m  8) 7(m 2  1) 2(m  3)(m  2) m(m  1)(m  1) 7(m  3) 1   (m  3)(m  3) m(m  4)(m  2) 7(m  1)(m  1) m4Entonces:m2  5m  6 m3  m 7m  21 1  3   m 9 2 m  2m  8m 7m  7 2 2 m43. DivisiónReglas:  Se multiplica el dividendo por el divisor invertido  Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.Ejemplo: 2x  4 y 6 xy  12 y 2 2 x  4 y 15 x  45 y    5 x  15 y 15 x  45 y 5 x  15 y 6 xy  12 y 2Factoricemos y simplifiquemos
  25. 25. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 2( x  2 y ) 15( x  3 y ) 1   5( x  3 y) 6 y( x  2 y) y 2x  4 y 6 xy  12 y 2 1Entonces:   5 x  15 y 15 x  45 y y4. Operaciones combinadasPara resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugaraquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienenprioridad.Ejemplo:  3x  3 y 6x  6 y  x2  y 2  2    2  x  2 xy  y 2 x  2 y  x  xy  y 2 2Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos. 3( x  y ) 2( x  y ) x2  y2   ( x  y ) 2 6( x  y ) x 2  xy  y 2Factoricemos y simplifiquemos 3( x  y) 2( x  y ) ( x  y )( x  y ) x y   2  2 ( x  y) 6( x  y ) x  xy  y 2 2 x  xy  y 2Entonces:  3x  3 y 6x  6 y  x2  y 2 x y  2   2  2  x  2 xy  y 2 x  2 y  x  xy  y x  xy  y 2 2 2
  26. 26. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

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