Calculo vectorial

36,208 views

Published on

1 Comment
8 Likes
Statistics
Notes
  • POR FAVOR ESTA PROPUESTA DE NEGOCIO, ESCRIBA EN MI ESPALDA ID si está interesado.
    ------------------------------------

    Feliz mes nuevo abundante de noviembre,

    Hola.

    ¿Cómo estás hoy?
    Espero que estés bien y que todo está bien con usted? gracias God.My nombre es jenifer PETERSON. (estoy buscando una buena relación y además que tenga propuesta de negocios con usted) si lo desea. por favor, escríbeme mensaje a mi buzón de correo electrónico
    Thanks,>

    jeniferpeterson1 en / yh / dt / cum
    ---------------------

    PLEASE THIS BUSINESS PROPOSAL, WRITE ON MY ID BACK IF INTERESTED.
    ------------------------------------

    Happy abundant new month of November,

    Hello.

    how are you today?
    I hope you are fine and all is well with you ? thank God.My name is JENIFER PETERSON .(i am looking for a good relationship and also to have business proposal with you )if you want. please write me message to my email box
    THANKS,>

    jeniferpeterson1 at / yh / dt / cum
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
No Downloads
Views
Total views
36,208
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
13
Actions
Shares
0
Downloads
912
Comments
1
Likes
8
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Calculo vectorial

  1. 1. CALCULO VECTORIAL . E:E: KASSIR .Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, enero de 2009.
  2. 2. ii
  3. 3. ÍNDICE GENERALIntroducción VII1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 1 1.1. El espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Subespacios de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Producto punto y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5. Producto vectorial, rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6. Super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.8. Conceptos básicos de topologia en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 49 2.1. Funciones de variable real y valor vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4. Geometría de campos escalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.6. Limites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.7. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.8. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913. DIFERENCIABILIDAD 105 3.1. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4. Funciones implicitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.5. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.6. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 iii
  4. 4. iv ÍNDICE GENERAL4. INTEGRALES MULTIPLES 149 4.1. Integrales dobles sobre rectángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.2. Integral doble sobre regiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.3. Cambio de coordenadas en integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.4. Aplicaciones de las integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.5. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4.6. Cambio de coordenadas en integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.7. Aplicaciones de las integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935. INTEGRALES DE LINEA 205 5.1. Integral de línea de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.3. Integral de lìnea de campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 5.4. Trabajo, ‡ y circulación. . . . . . . . . . . . ujo . . . . . . . . . . . . . . . 219 5.5. Teorema fundamental del cálculo para integrales de lìnea. . . . . . . . . . . 221 5.6. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286. INTEGRALES DE SUPERFICIE 241 6.1. Super…cies paramétrizadas y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.2. Integrales de super…cie de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 6.3. Integrales de super…cie de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.5. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260A. Apendice 271Afterword 273
  5. 5. Prefaciov
  6. 6. vi ÍNDICE GENERAL
  7. 7. Introducciónvii
  8. 8. viii INTRODUCCIÓN
  9. 9. CAPÍTULO 1 GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO Es el mejor de los buenos quien sabe que en esta vida todo es cuestión de medida: un poco más, algo menos... A. MACHADO, CXXVI "Proverbios y cantares", XII 1
  10. 10. 2 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO En los cursos anteriores de cálculo se consideraron funciones de variable real y valor real,o sea funciones de…nidas sobre subconjuntos de la recta real. El cálculo vectorial considerafunciones de…nidas en espacios vectoriales euclidianos. Sin embargo muchas aplicacionesprácticas requieren de la rica estructura geométrica del espacio euclidiano. En este capítulo se tratará el espacio euclidiano en detalle, como una condición parapoder iniciar un curso básico de cálculo para funciones de varias variables. La belleza y lapotencia del álgebra lineal se vera con mayor claridad cuando visualisemos Rn como unespacio vectorial. El estudio de los espacios vectoriales no es tan diferente del estudio deRn , ya que a partir de la geometria en R2 y R3 podemos visualizar muchos conceptos. Seinicia con los conceptos de punto y vector en Rn , coordenadas, planos coordenados hastallegar a la topología básica de Rn .1.1. El espacio vectorial Rn El conjunto Rn es la coleción de todas las n-tuplas ordenadas de números reales y estadeterminado por Rn = f(x1 ; x2 ; :::; xn )jxi 2 Rg:Recordando que el producto cartesiano delos conjuntos A y B no vacios es por de…nición el conjunto A B de parejas ordenadas(a; b) tales que a 2 A y b 2 B, podemos ver que Rn es el producto cartesiano R R ::: R(n veces). La idea de emplear un número para situar un punto sobre una recta fue conocida porlos griegos. En 1637 Rene Descartes 1 utilizo un par de números para situar un punto en elplano y una terna de números para situar un punto en el espacio. En el siglo Arthur Cayleyy H.G. Grassman extendierón esta idea a n-tuplas de números reales. La representacióngeométrica de R, es el conjunto de los puntos P de una recta identi…cados medianteun único número real x, luego de determinar una unidad de longitud. De igual formala representación geométrica de R2 , es el conjunto puntos P de un plano identi…cadosmediante una única pareja ordenada de números reales (x1 ; x2 ), escogiendo un punto …jo0 llamado origen y dos rectas dirigidas que pasan por 0 y son perpendiculares llamadas 1 René Descartes. Nacio el 31 de marzo de 1596 en La Haye (Touraine) actual Descartes y murio el 11 de febrero, de 1650 en Estocolmo Considerado el primer …lósofo moderno, utilizó la ciencia y las matemáticas para explicar y pronosticar acontecimientos en el mundo físico. Su famosa frase Çogito, ergo sum"("Pienso, luego existo") fue el punto de partida que le llevó a investigar las bases del conocimiento. Lo inquietaron los métodos de los geómetras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas y se propuso corregirlos mediante el manejo de líneas y …guras tridimensionales en una grá…ca. Dibujaba la grá…ca marcando unidades en una línea horizontal (eje x) y una línea vertical (eje y); así, cualquier pun- to de la grá…ca podía describirse con dos números. Aunque conservaba las reglas de la geometría euclidiana, combinaba el álgebra y la geometría, consideradas en- tonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemática llamada geometría analítica.
  11. 11. 1.1. EL ESPACIO VECTORIAL RN 3ejes de coordenadas x1 y x2 , aunque es más familiar usar para los puntos y los ejes x yy, en lugar de x1 y x2 . Los dos ejes de coordenadas dividen el plano cartesiano en cuatropartes llamadas cuadrantes. Las coordenadas cartesianas del punto P estan formadas porla pareja ordenada (a; b) en donde a se denomina abscisa y es la distancia perpendiculardirigida de P al eje x, luego su proyección en el eje x es un punto Q(a; 0), y b se denominaordenada y es la distancia perpendicular dirigida de P al eje y, luego su proyección enel eje y es un punto R(0; b). Tambien la representación geométrica de R3 , es el conjuntopuntos P del espacio identi…cados mediante una única terna ordenada de números reales(x1 ; x2 ; x3 ), escogiendo un punto …jo 0 llamado origen y tres rectas dirigidas que pasanpor 0 y son perpendiculares entre si, llamadas ejes de coordenadas x1 ; x2 y x3 ;aunque esmás familiar usar para los puntos y los ejes x, y y z, en lugar de x1 , x2 y x3 . Los tresejes de coordenadas determinan tres planos coordenados xy (o z = 0), xz (o y = 0 ) yyz (o x = 0), que dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes. Para un puntoP (a; ; b; c), a, b y c son las distancias dirigidas del punto P a los planos coordenados xy,xz y yx respectivamente y su proyección en estos planos son los puntos (a; 0; 0), (0; b; 0) y(0; 0; c) obtenidolos en forma geometrica trazando una perpendicular desde el punto hastael plano coordenado. Aunque no se puedan gra…car todos los casos, es posible imaginar larepresentación geometrica Rn , como el conjunto de puntos P en Rn identi…cados medianteuna n-tupla ordenada de números reales (x1 ; x2 ; :::; xn ),.xi se denomina coordenada i-esimao la componente i-esima de P . Se adoptara la convencion de usar letras en negrita paradenotar n-tuplas en y letras ordinarias para denotar simplemente numéros reales. El conjunto Rn está dotado de dos operaciones algebraicas suma y producto por escalar.Dados dos puntos X = (x1 ; x2 ; :::; xn ) y Y = (y1 ; y2 ; :::; yn ) de Rn ; su suma X + Y estade…nida por X + Y = (x1 ; x2 ; :::; xn )+ (y1 ; y2 ; :::; yn ) = (x1 + y1 ; x2 + y2 ; :::; xn + yn ) y dadok 2 R, el multiplo escalar kX esta de…nido por, kX = k(x1 ; x2 ; :::; xn ) = (kx1 ; kx2 ; :::; kxn ),geometricamente kX es una translación del punto X.Ejemplo 1.1.1 Si P (2; 1; 3) y Q(0; 1; 1) entonces: P + Q = (2; 1; 3) + (0; 1; 1) = (2 + 0; 1 1; 3 + 1) = (2; 0; 2), P Q = (2; 1; 3) (0; 1; 1) = (2 0; 1 + 1; 3 1) = (2; 2; 4), 2P = 2(2; 1; 3) = (4; 2; 6) 5Q = 5(0; 1; 1) = (0; 5; 5)
  12. 12. 4 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO Frecuentemente los elementos de Rn se denominan vectores. Ademas un vector es sim-plemente una n- tupla ordenada de números reales representado por P Q donde P y Q sonpuntos de Rn , tales que P es el punto inicial de v y Q es el punto …nal de v, numericamentev = [qi pi ] para i = 1; 2; ::::n. Si P = 0 se dice que v esta anclado en el origen y v dedenomina vector posición del punto P:Notación 1 v = [vi ] con i = 1; 2; 3; :::; n Diferentes representaciones del vector [1; 2] Geometricamente v + w Geometricamente kvEjemplo 1.1.2 El vector v con punto inicial P (2; 3; 1) y punto …nal Q( 1; 1; 2) es iguala v = [( 1; 1; 2) (2; 3; 1)] = [ 1 2; 1 3; 2 1] = [ 3; 2; 1] Dos vectores v y w son iguales si vi = wi para todo i = 1; 2; ::::n y dos vectoresson equivalentes si tienen igual dirección, longitud y sentido, sin importar la posición quetengan. Igual que en puntos el conjunto de vectores de Rn está dotado de dos operacionesalgebraicas, llamadas suma vectorial y producto por escalar, dados dos vectores v =[v1 ; v2 ; :::; vn ] y w = [w1 ; w2 ; :::; wn ] de Rn ; su suma v + w esta de…nida por, v + w =[v1 ; v2 ; :::; vn ] + [w1 ; w2 ; :::; wn ] = [v1 + w1 ; v2 + w2 ; :::; vn + wn ] y dado k 2 R, el multiplo
  13. 13. 1.1. EL ESPACIO VECTORIAL RN 5escalar kv esta de…nido por kv = [kv1 ; kv2 ; :::; kvn ]. El número real k se denomina escalar.Geometricamente v y kv son paralelos, si k es positivo entonces kv tiene igual direccióny sentido que v y si k es negativo kv tiene igual dirección y sentido contrario que v. Nota: v w es una abreviación de v + ( w) y ( w) es una abreviación de ( 1)wEjemplo 1.1.3 Si v = [4; 2; 1; 0] y w = [2; 0; 1; 1] entonces v + w = [4; 2; 1; 0] + [2; 0; 1; 1] = [4 + 2; 2 + 0; 1 1; 0 + 1] = [6; 2; 0; 1], v w = [4; 2; 1; 0] [2; 0; 1; 1] = [4 2; 2 0; 1 + 1; 0 1] = [2; 2; 2; 1], 4v = 4[4; 2; 1; 0] = [16; 8; 4; 0] 2w = 2[2; 0; 1; 1] = [ 4; 0; 2; 2]Ejemplo 1.1.4 Para que valores de k los vectores [ 3; 5] y [k ; 10 ] son iguales. Por igualdad de vectores 3 = k y 5 = 10 ; 1 1 como = 2 entonces 3 = k luego k = 6 2 Un espacio vectorial es un conjunto V no vacio con dos aplicaciones + : V V ! Vy : R V ! V V , tal que para todo v; w; u de V satisface las siguientes propiedades. (i) v + w 2 V (ii) (v + w) + u = v + (w + u) (iii) 90 2 V; v + 0 = 0 + v = v (iv)9 v 2 V; v + ( v) = ( v) + v = 0 (v) v + w = w + v (vi) kv 2 V para todo k 2 R (viii) (k + l)v = kv + lv para todo k; l 2 R (ix) (kl)v = k(lv) para todo k; l 2 R (x) 1v = v Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores. Rn con la suma usual y el producto por escalar usual es un espacio vectorial.Ejemplo 1.1.5 El conjunto V = C[0; 1] de las funciones continuas de valor real de…nidasen el intervalo [0; 1] con f (0) = 0 y f (1) = 0, con la suma usual y el producto por escalarentre funciones, es un espacio vectorial, pues si f 2 V y g 2 V, entonces f +g es continuay f (0)+g(0) = f (1)+g(1) = 0. luego 0 2 V, ademas f es continua y f (0) = f (1) = 0Ejemplo 1.1.6 El conjunto V = f5g con la suma y producto usuales en R no es espaciovectorial ya que 5 + 5 = 10 2 V. =
  14. 14. 6 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO Ejercicios sección 1.1 1. Suponga que empezamos un recorrido en el origen moviendonos a lo largo del eje x 5 unidades en dirección positiva, luego nos movemos 4 unidades en dirección paralela al eje y positivo, y por ultimo nos movemos 3 unidades hacia abajo. Cuales son las coordenadas de nuestra posición? 2. Determine cual de los siguientes puntos P (1; 2; 3), Q(2; 1; 5), R(0; 3; 6) y S(8; 5; 2) a) Esta mas cerca del plano xy. b) Esta en el plano yz. c) Esta mas lejos del plano xz 3. Cuales son las proyecciones del vector v = [1; 2; 2] en los planos coordenados. Trace un paralelepipedo con aristas en estas proyecciones, un vértice en el origen, otro en el extremo del vector v y halle las coordenadas de los otros vértices. 4. Cuales de las siguientes cantidades son vectores y cuales son escalares. a) El número de estudiantes de un curso de cálculo vectorial. b) La cantidad de información que viaja por Internet c) La trayectoria seguida por un automovil que sale de Bogota a Cali. 5. Cual es la relación entre el vector v = [xi ] y el punto p = (xi ) para i = 1; 2; :::; n 6. Para los vectores dados v y w determine v + w, v w, 3v, 2v 5w. a) v = [1; 2] y w = [3; 5] b) v = [0; 2; 3] y w = [ 6; 1; 7] c) v = [ 1; 2; 3; 4] y w = [2; 4; 6; 8] 7. Si P; Q; R; S son cuatro puntos diferentes de Rn determine de manera gra…ca. a) QR + RS b) P Q + QR + RS c) P Q RS 8. Utilizando los vectores de la …gura, trazar los siguientes vectores a) v + w b) v w c) 2v + 3w
  15. 15. 1.1. EL ESPACIO VECTORIAL RN 7 9. Si x y y son dos puntos de Rn y * una operacón de…nida en Rn tal que x y = (xi yi ) con x = (x1 ; x2 ; :::; xn ) ; y = (y1 ; y2 ; :::; yn ) ; i = 1; 2; :::; n : Demuestre o refute los siguientes enunciados a) * es conmutativa en Rn b) * es asociativa en Rn c) Existe elemento neutro e en Rn tal que para todo x 2 Rn ; e x=x e=x 1 d) Para todo x existe x 2 Rn , tal que x x 1 =x 1 x=e e) Si z x=z y con z 2 Rn diferente de e; entonces x = y 10. Determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. a) El conjunto de números reales x; y ; con las siguientes operaciones, x + y = M CD(x; y) y x y = mcm(x; y). b) El conjunto de funciones de valores reales con primera derivada continua de…nidas en el intervalo [0; 1], con las siguientes operaciones, (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) ( f )0 (x) = (f 0 (x)) c) El conjunto de matrices de 2 2 tales que a11 = 1, con la suma y el producto por escalar usual en matrices. 11. Determine si existe un espacio vectorial con exactamente. a) Cero elementos b) Un elemento c) Dos elementos 12. Suponga que si u es un elemento de un espacio vectorial V , demuestre que si u+u = 0 entonces u = 0 13. Es posible encontrar dos espacios vectoriales diferentes que posean el mismo elemento cero. Justi…que su respuesta. 14. Uso de tecnologia (CAS) a) Gra…que varios puntos en R2 y en R3 . b) Gra…que varios vectores en R2 y en R3 15. Utilizando un CAS construya la función Resultante(v; w) tal que dados v y w de R2 gra…que v; w y v + w
  16. 16. 8 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO1.2. Subespacios de Rn En está sección consideraremos subconjuntos de un espacio vectorial denominadossubespacios vectoriales que conservan la estructura del espacio vectorial. Un tratamientosin usar coordenadas de los conceptos de espacio vectorial aparecio en 1.862 en la versióndel Ausdehnungslehre de .Hermann Grassmann2 , en el aparecen las ideas basicas de lateoria de espacios vectoriales incluyendo las nociones de subespacio, combinaciones lineales,independencia lineal y base. Como todo subespacio vectorial H es un espacio vectorial debe contener al vectorcero, entonces para determinar si H es subespacio vectorial, primero se debe veri…car si elvector cero esta en H. Todos los espacios vectoriales poseen cierto tipo de subconjuntosque tambien son espacios vectoriales denominados subespacios vectoriales. Si H es un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V se dice que H es subespaciovectorial de V si: (i) 8h1 , h2 2 H, h1 + h2 2 H (ii) 8k 2 R; kh 2 H El espacio vectorial V contiene dos subespacios 0 y V , llamados subespacios triviales.Los subespacios de V diferentes de 0 y V , se llaman subespacios propios.Ejemplo 1.2.1 El conjunto de todos los puntos de Rn con la última coordenada cero(x1 ; x2 ; :::; xn 1 ; 0) es un subespacio vectorial de Rn y es igual a Rn 1Ejemplo 1.2.2 El conjunto S1 = ffxn jn 2 Ngjxn ! 1 si n ! 1g no es subespaciovectorial de el espacio vectorial de todas las sucesiones de números reales S. La sucesión0 = fxn = 0jn 2 Ng no pertenece a S1 pues no converge a 1. La suma de dos sucesionesconvergentes a 1 es una sucesión que converge a 2. Si la sucesión x = fxn jn 2 Ng convergea 1, entonces la sucesión y = f xn jn 2 Ng no pertenece a S1 pues converge a 1 Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V: Entonces H1 H2 es unsubespacio vectorial de V . Pero veamos que si H1 y H2 son dos subespacios de un espaciovectorial V , no necesariamente H1 [ H2 es un subespacio vectorial de V . 2 Hermann Gunter Grassmann Nacio en Stettin, 15 de abril de 1809 y murio el 26 de septiembre de 1877, fue un lingüista y matemático alemán, también fue físico, humanista, erudito y editor. Evidentemente, la in‡uencia de su padre en esta vía fue muy importante, y pudo haber llegado a ser profesor de matemáticas, pero ya se había decidido a llevar a cabo investigaciones matemáticas por su cuenta. Entre los muchos temas que abordó Grassman está su ensayo sobre la teoría de las mareas. Lo elaboró en 1840, tomando com base la teoría de la Méchanique analytique de Lagrange y de la Méchanique céleste de Laplace, pero exponiendo esta teoría por métodos vectoriales, sobre los que trabajaba desde 1832. Este ensayo, publicado por primera en los Collected Works de 1894-1911, contiene el primer testimonio escrito de lo que hoy se conoce como álgebra lineal y la noción de espacio vectorial.
  17. 17. 1.2. SUBESPACIOS DE RN 9Ejemplo 1.2.3 Si H1 = f(x; y) 2 R2 jy = x2 g y H2 = f(x; y) 2 R2 jy = x3 g sonsubespacios de R2 , H1 [ H2 no es un subespacio vectorial de R2 , veamos que (2; 4) 2 H1 y que (2; 8) 2 H2 , pero (2; 4) + (2; 8) = (4; 12) 2 H1 [ H2 por que (4; 12) 2 H1 y (4; 12) 2 H2 . = = = Si v1 ; v2 ; :::; vn son vectores de un espacio vectorial V , entonces cualquier expresion de laforma 1 v1 + 2 v2 +:::+ n vn ; donde i 2 R se denomina combinacion lineal de v1 ; v2 ; :::; vn :Si w es una combinación lineal de v1 ; v2 ; :::; vn , entonces esa combinación puede no serúnica. Si S es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1 ; v2 ; :::; vn ,entonces Ses generado por v1 ; v2 ; :::; vn . Si v1 ; v2 ; :::; vn son vectores de un espacio vectorial V , elespacio generado por fv1 ; v2 ; :::; vn g es el conjunto de todas las combinaciones linealesde v1 ; v2 ; :::; vn : El generador de un conjunto V es el mínimo número de vectores que logenera.Es decir si se agregan vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjuntogenerador. Si w es una combinación lineal de v1 ; v2 ; :::; vn y cada vi es combinación linealde u1 ; u2 ; :::; uk entonces w es combinación lineal de u1 ; u2 ; :::; ukEjemplo 1.2.4 En el conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual a n todo poli-nomio se puede escribir como combinación lineal de los monomios 1; x; x2 ; :::; xnEjemplo 1.2.5 Veri…que que si v1 ; v2 ; :::; vn ,vn+1 son n+1 vectores de un espacio vectorialV y si v1 ; v2 ; :::; vn , genera a V entonces v1 ; v2 ; :::; vn ,vn+1 tambien genera a V . Sea v 2 V , entonces existen escalares 1; 2 ; :::; n tales que v = 1 v1 + 2 v2 + ::: + n vn Si n+1 = 0 entonces v = 1 v1 + 2 v2 + ::: + n vn + n+1 vn+1 luego v1 ; v2 ; :::; vn ,vn+1genera a V .Propiedad 1.2.1 Si v1 ; v2 ; :::; vn son vectores de un espacio vectorial V , entonces genfv1 ; v2 ; :::es un subespacio vectorial de V . Si S = fv1 ; v2 ; :::; vp g y T = fw1 ; w2 ; :::; wp g son subconjuntos de un espaciovectorial V , se dice que S y T son equivalentes si Gen(S) = Gen(T ) Los vectores v1 ; v2 ; :::; vn , se dice que son linealmente independientes si ninguno deellos es combinación lineal de los otros, en caso contrario se dice que son linealmentedependientes. El siguiente teorema demuestra que un conjunto de vectores v1 ; v2 ; :::; vn , son lineal-mente independientes.Teorema 1.2.1 Los vectores v1 ; v2 ; :::; vn son linealmente dependientes si y sólo si exis-ten números reales a1 ; a2 ; :::; an no todos cero, tales que a1 v1 + a2 v2 + ::: + an vn = 0
  18. 18. 10 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANODemostración. Supongamos que a1 6= 0; a2 a3 an entonces v1 = v2 v3 ::: vn a1 a1 a1 por lo tanto v1 ; v2 ; :::; vn son linealmente dependientes Si por el contrario v1 = b2 v2 + ::: + bn vn tenemos que a1 v1 + a2 v2 + ::: + an vn = 0con a1 = 1 6= 0 y bi = ai para i > 1.Teorema 1.2.2 Un conjunto de m vectores en Rn es linealmente dependiente si m > n cg(x) g(x)Ejemplo 1.2.6 Si f y g son funciones de C 1 [0; 1] y W (f; g)(x) = veamos cg 0 (x) g 0 (x)que si f y g son linealmente dependientes, entonces W (f; g)(x) = 0 para todo x 2 [0; 1]: Supongamos que f (x) = cg(x) para algun c 2 R cg(x) g(x) entonces f 0 (x) = cg 0 (x) luego W (f; g)(x) = =0 cg 0 (x) g 0 (x) C 1 [0; 1] conjunto de funciones con primera derivada continua de valor real de…nida enel intervalo [0; 1] y se denomina Wronskiano de f y g.Teorema 1.2.3 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn gen-era a Rn . La dimensión de V se denota dimV . La dimensión de Rn es igual a n. Un conjunto de vectores fv1 ; v2 ; :::; vn g es una base del espacio vectorial V si : (i) fv1 ; v2 ; :::; vn g es linealmente independiente (ii) fv1 ; v2 ; :::; vn g genera a V . Si el espacio vectorial V tiene una base …nita, entonces la dimensión de V es el númerode vectores de esa base y V se llama espacio vectorial de dimensión …nita. De otra formaV se llama espacio vectorial de dimensión in…nita. Si V = 0 entonces dimensión de Ves igual a cero. La dimensión de Rn es igual a n. La dimensión de V se nota dim V .Cualquier espacio vectorial que contenga un subespacio vectorial de dimensión in…nita esde dimensión in…nita. El conjunto de vectores e1 = (1; 0; :::; 0); e2 = (0; 1; :::; 0); :::; en = (0; 0; :::; 1) es unconjunto linealmente independiente, que genera a Rn por lo tanto constituye una base enRn : Esta base se denomina base canónica de Rn .Ejemplo 1.2.7 El conjunto f1; x; x2 ; x3 g constituye una base para P3 , llamada base canóni-ca .Teorema 1.2.4 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn esuna base de Rn .
  19. 19. 1.2. SUBESPACIOS DE RN 11Teorema 1.2.5 Si un espacio vectorial V tiene una base de dimensión …nita, entoncescualquier otra base de V tiene el mismo número de vectores.Propiedad 1.2.2 Cualquier espacio vectorial V que contiene un subespacio vectorial dedimensión in…nita, es de dimensión in…nita. Si V es un espacio vectorial de dimensión …nita y si B = fv1 ; v2 ; :::; vn g es una basede V , entonces para cada vector v 2 V existen escalares c1 ; c2 ; :::; cn tales que v =c1 v1 + c2 v2 + ::: + cn vn , luego (c1 ; c2 ; :::; cn ) es el sistema de coordenadas del vector vrelativo a la base B.Ejemplo 1.2.8 Utilizando la base f(1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g, hallar las coordenadas deun vector (x; y; z) Debemos hallar escalares c1 ; c2 y c3 tales que (1; 0; 0)c1 + (1; 1; 0)c2 + (1; 1; 1)c3 =(x; y; z) cuya solución es (x y; y z; z) 0 0 0 Si B1 = fv1 ; v2 ; :::; vn g y B2 = fv1 ; v2 ; :::; vn g son bases de un espacio vectorialV , en las que cada vector v 2 V se podra expresar en dos sistemas de coordenadas. Sise conocen los vectores de la base B2 en función de los vectores de la otra base B1 , seraposible encontrar las ecuaciones del cambo de coordenadas 0 Pn vj = qij vi para j = 1; 2; :::; n, i=1 entonces el sistema de coordenadas (c1 ; c2 ; :::; cn ), se podra representar en función de 0 0 0(c1 ; c2 ; :::; cn ) de la siguiente manera Pn 0 ci = qij vj para i = 1; 2; :::; n j=1 Matricialmente se puede expresar de 3 siguiente manera X = QX 03 2 3 2 la 2 0 c1 c1 q11 q12 : : : q1n 6 c2 7 6 c0 7 6 q21 q22 : : : q2n 7 6 7 6 2 7 6 7 donde X = 6 . 7 ; X0 = 6 . 7 y Q = 6 . . 5 . 5 . . ::: . 7 . . 5 4 . 4 . 4 . . . 0 cn cn qn1 qn2 : : : qnn es una matriz invertible, llamada matriz de cambio de coordenadas. Ejercicios sección 1.2. 1. Determine si el conjunto H es subespacio del espacio vectorial V . a) V = Pn , H = fp 2 P j p(0) = 0g, Pn : Conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n b) V = C 1 [0; 1], H = ff 2 C 1 [0; 1]jjf ’ = 0g, C 1 [0; 1] : conjunto de funciones (0) con primera derivada continua de valor real de…nida en el intervalo [0; 1]
  20. 20. 12 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO c) V = C[a; b]; H = ff jf (x) 0, para todo xg 2. Sean V = M22 (el conjunto de matrices de 2 2) H1 = fA 2 M22 : a11 = 0g y H2 = fA 2 M22 : a11 = a22 , a12 = a21 g Demuestre que H1 H2 es subespacio de V. 3. De un ejemplo de dos subespacios vectoriales H1 y H2 de V; tal que H1 [ H2 sea subespacio vectorial de V . 4. Determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado. a) En R2 ; (1; 2); (2; 1) b) En P2 ; 1 x; 2 x2 2 1 0 2 0 0 2 0 c) En M22 ; ; ; ; 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 0 5. Muestre que si u y v estan en genfv1 ; v2 ; :::; vn g , entonces U + V y V tambien 0 0 0 estan en genfv1 ; v2 ; :::; vn g 6. Determine si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o independi- ente. a) (1; 0; 1); (0; 1; 1); (1; 1; 0) b) En P2 ; 1 x; x c) En C[0; 1]; Senx; Cosx 7. Determine para que valor(es) de son linealmente dependientes los vectores (1; 2; 3); (2; 1; 4) y (3; ; 4). 8. Considere el espacio vectorial de las funciones de variable real t. Muestre que la siguientes parejas de funciones son linealmente independientes. a) 1; t b) et ; t c) Sent; Cost 9. Demuestre que si S es linealmente independiente entonces cualquier conjunto no vacio que resulte de S eliminando vectores es linealmente independiente. 10. Encuentre una base y su dimensión, para el subespacio vectorial H dado. a) H = f(x; y; z): x = 2t; y = t; z = 5t ; t 2 Rg b) H = fD 2 M33 jD es diagonalg
  21. 21. 1.3. PRODUCTO PUNTO Y ORTOGONALIDAD 13 c) H = fp 2 P3 : p(0) = 0g 11. Veri…que que el conjunto f(1; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 0)g es una base de R3 y exprese el vector (x; y; z) en terminos de esta base. 12. Para que valor(es) de los vectores ( ; 1; 0); (1; 0; ) y ( ; 1; ), constituyen una base para R3 . 13. Encontrar las coordenadas del vector v relativo a la base S. a) S = f(2; 1; 0); ( 3; 3 1); ( 2; 1: 1)g, v = (4; 13; 6). 1 1 1 1 0 1 0 0 1 4 b) S = ; ; ; ,v= 1 1 0 1 0 1 0 1 2 2 c) S = f1 + 2x x2 ; 1 3x; 2g; v = 3 2x2 0 0 0 14. Si S = fv1 ; v2 ; :::; vn g es una base de un espacio vectorial V y x = a1 v1 + a2 v2 + ::: + an vn y y = b1 v1 + b2 v2 + ::: + bn vn , vectores arbitrarios de V , encuentre las coordenadas de x + y y de kx (k 2 R) relativo a la base S. 15. Uso de tecnologia (CAS) a) Dependencia o independencia.. b) Dimensión. 16. Utilizando un CAS construya una función COORDENADAS que determine las co- ordenadas de un vector relativo a una base.1.3. Producto punto y ortogonalidad Para obtener una estructura geometrica más completa de Rn que incluya los conceptosde distancia, ángulos y ortogonalidad, debemos dotar a Rn de un producto interior. El producto interior en un espacio vectorial V es una aplicación <; >: V V ! R,que asocia a cada par de vectores v y w de V un número real < v; w >, que satiface lassiguientes condiciones: (i) hv,vi 0 (ii) hv,wi = hw,vi (iii) hkv + lw,ui = khv,ui + lhw,ui Para todo v; w y u 2 V y k; l 2 R El producto interno en Rn de…nido de la siguiente forma Pn hv,wi = vi wi = v1 w1 + v2 w2 + ::: + vn wn con i = 1; 2; :::; n y denotado v w se i=1denomina producto punto, o producto escalar, o producto euclidiano en Rn
  22. 22. 14 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANOEjemplo 1.3.1 Si v = [5; 8] y w = [ 4; 3] , v w = (5)( 4) + (8)(3) = 20 + 24 = 4 Todo productop interior h; i en V satisface las siguientes desigualdades. p jhv; (i) p wij hv; vi hw; p para todo v; w de V , desigualdad de Schwarz wi, p (ii) hv + w, v + w > hv; vi + hw; wi para todo v; w de V , desigualdad deMinkowski 3 . La norma de un vector también se conoce p como el módulo. A partir del productointerno la norma de v esta determinada por kvk= hv, v > y se denomina norma asociadaal producto interior. Dos vectores son equivalentes, si tienen igual longitud, dirección ysentido. A partir del producto interno podemos determinar la longitud o medida de un vectorv 2 Rn , denominada la norma vectorial de v, como una aplicación k k : V ! R, quea cada vector v del espacio vectorial V le asocia un número real no negativo kvk, quesatisface las siguientes condiciones : (i) kvk 0 (ii) kkvk = jkj kvk (iii) kv + wk kvk + kwk Para todo v y w 2 V y k 2 R rn n P 2 En el espacio vectorial R , la norma de…nida de la siguiente forma kxk = xi con i=1i = 1; 2; :::; n se denomina norma vectorial euclidianaEjemplo 1.3.2 Las siguientes son normas vectoriales en Rn : Pn P n kxk1 = maxfjxi jg, kxk1 = jxi j,kxk2 = x2 para i = 1; 2; :::; n i i=1 i=1 Rb En C[0; 1] de…nimos el producto interior f g = a f (x)g(x)dx , en particular en C[0; 1] R1 x4 1sean f (x) = 2x y g(x) = x2 entonces f g = 0 2x3 dx = j1 = 0 2 2 3 Hermann Minkowski (22 de junio de 1864 - 12 de enero de 1909) fue un matemático alemán de origen judío que desarrolló la teoría geométrica de los números, nació en Aleksotas, Rusia (actualmente Kaunas, Lituania), y cursó sus estudios en Alemania en las universidades de Berlín y Königsberg, donde realizó su doctorado en 1885. Durante sus estudios en Königsberg en 1883 recibió el pre- mio de matemáticas de la Academia de Ciencias Francesa por un trabajo sobra las formas cuadráticas. Impartió clases en las universidades de Bonn, Göttingen, Königsberg y Zúrich. En Zúrich fue uno de los profesores de Einstein. Minkowski exploró la aritmética de las formas cuadráticas que concernían n variables. Sus investigaciones en este campo le llevaron a considerar las propiedades geométricas de los espacios n dimensionales. En 1896 presentó su geometría de los números, un método geométrico para resolver problemas en teoría de números.
  23. 23. 1.3. PRODUCTO PUNTO Y ORTOGONALIDAD 15 p R1 podemos determinar la norma de g por kgk = g g, entonces g g = 0 x4 dx =x5 1 1 1 j0 = , luego kgk = p 5 5 5 Una aplicación d : Rn Rn ! R es una distancia en Rn si dados x, y, z 2 Rn , satisfacelas siguientes condiciones (i) d(x; y) = 0 si y solo si x = y (ii) d(x; y) 0 (iii) d(x; y) d(x; z) + d(z; y) (iv) d(x; y) = d(y; x) Si v es un vector de R2 y el ángulo que forma v con el eje X positivo entoncesv = [Cos ; Sen ]. Si kvk = 1 el vector v se denomina unitario. Si k k es una normaen Rn , la aplicación d(x; y) = kx yk es una distancia en Rn denominada distanciaeuclidiana.Ejemplo 1.3.3 Hallar la distancia del punto p = (2; 3; 1) al punto q = ( 1; 0; 1):Esequivalente a hallar la norma del vector pq p d(p; q) = kp qk = k(2; 3; 1) ( 1; 0; 1)k = k(3; 3; 0)k = 18Teorema 1.3.1 Sea el ángulo entre dos vectores u y v de Rn , entonces u v = kuk kvk cosDemostración. Considerando un triángulo de lados u y v; por la ley de los cosenos kv uk2 = kuk2 + kvk2 2 kuk kvk Cos luego 2 kuk kvk Cos =kuk2 +kvk2 kv uk2 = u u+v v (v u) (v u) = 2u v Por lo tanto v w = kvk kwk Cos pEjemplo 1.3.4 Calcular el ángulo positivo que forma el vector v = [ 3; 1] con el eje Xpositivo Como v no es unitario construimos un vector unitario con la misma dirección de v, "p # p p v [ 3; 1] 3 1 3 1 = = ; luego cos = y sen = por lo tanto = kvk 2 2 2 2 2 6Ejemplo 1.3.5 Suponga que v es un vector …jo de longitud 3 y w es un vector cualquierade longitud 2. Cuales son los valores máximo y mínimo de v w y en que posiciones de vy w se dan estos resultados. v w = kvk kwk Cos = 3 2Cos = 6Cos :Máximo valores 6 cuando Cos = 1 o sea = 0. Mínimo valor es 6 cuando Cos = 1 o sea = Dos vectores no nulos v y w de un espacio vectorial V se dice que son ortogonales sihv; wi = 0: Un conjunto de vectores no nulos v1 ; v2 ; :::; vn de V se dice que es ortogonal sihvi ,vj i = 0, para i 6= j: Si cada vector v i es unitario se dice que el conjunto es ortonormal.Una base ortogonal es una base formada con vectores ortogonales. Una base ortonormales una base formada con vectores ortonormales.Ejemplo 1.3.6 La base canonica de Rn es un conjunto ortonormal en Rn .
  24. 24. 16 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANOEjemplo 1.3.7 Si v y w son vectores ortogonales de Rn tales que kvk = 3 ; kwk =7: Calcule kv + wk y kv wk Como v y w son ortogonales entonces v w = 0 y kv + wk2 = (v + w) (v + w) = v v + 2v w + w w = kvk2 + kwk2 = (3)2 + (7)2 =9 + 49 = 58, p entonces kv + wk = 58 de igual forma kv wk2 = (v w) (v w) = kvk2 +kwk2 = (3)2 + (7)2 =p + 49 = 58, 9 luego kv wk = 58Teorema 1.3.2 Todo conjunto ortogonal …nito de vectores no nulos es linealmente inde-pendiente.Demostración. Supongamos que a1 v 1 + a2 v 2 + ::: + an v n = 0 entonces para cualquiervi a1 (v 1 v i ) + ::: + ai (v i v i ) + ::: + an (v n v i ) = 0 vi = 0 a1 0 + a2 0 + ::: + ai kv i k + ::: + an 0 = 0 ai kv i k = 0, como v i 6= 0 , kv i k > 0 entonces ai = 0Teorema 1.3.3 Si B = fv 1 ; v 2 ; :::; v n g es una base de un espacio vectorial V con productointerior h:i, entonces para cada un vector u 2 V tal que u = c1 v 1 + c2 v 2 + ::: + cn v n ; con1 i n. u vi (i) ci = si la base es ortogonal vi vi (ii) ci = u v i si la base es ortonormalEjemplo 1.3.8 Encontrar las coordenadas de u = (0; 1; 2; 3) en R4 relativas a la base ortogonal B =f(1; 1; 1; 1); ( 1; 1; 1; 1); ( 1; 1; 1; 1); ( 1; 1; 1; 1)g u vi Como ci = y v i v i = 4 para i = 1; 2; 3; 4, vi vi 6 3 calculamos u v1 = (0; 1; 2; 3) (1; 1; 1; 1) = 6 enonces c1 = = , 4 2 u v 2 =(0; 1; 2; 3) ( 1; 1; 1; 1) = 4 ,enonces c2 = 1, 2 1 u v 3 = (0; 1; 2; 3) ( 1; 1; 1; 1) = 2 , entonces c3 = = 4 2 u v 4 = (0; 1; 2; 3) ( 1; 1; 1; 1) = 0;entonces c4 = 0, 3 1 por lo tanto u = v1 + v2 + v3 2 2Propiedad 1.3.1 Proyección de un vector en otro vector Si v y w son vectores no nulos de Rn , entonces la proyeccion de v en w es un vector v wcon la dirección de w igual a Pr oyw v = w kwk2 v w Tambien es igual a Pr oyw v = w w w
  25. 25. 1.3. PRODUCTO PUNTO Y ORTOGONALIDAD 17Ejemplo 1.3.9 La proyección del vector v = [2; 6] sobre el vector w = [1; 3] es igual 16 8 24a Pr oyw v = [1; 3] = ; 10 5 5Propiedad 1.3.2 Sean v y w vectores no nulos de Rn , entonces (i) Pr oyw v = 0 si v y w son ortogonales (ii) Pr oyw v es paralelo a w (iii) v Pr oyw v es ortogonal a Un vector v se puede expresar como la suma de un vector paralelo a un vector u y unvector ortogonal a u, de la siguiente manera v = proyu v + (v proyu v)Ejemplo 1.3.10 Exprese el vector v = [2; 1; 3] como la suma de un vector paralelo au = [3; 1; 0] y un vector ortogonal a u: 5 3 1 Como u v = 5 y u u = 10 entonces proyu v = [3; 1; 0] = ; ;0 , 10 2 2 5 1 3 3 1 v proyu v = [2; 1; 3] [3; 1; 0] = ; ; 3 luego [2; 1; 3] = ; ;0 + 10 2 2 2 2 1 3 ; ; 3 2 2 Ejercicios 1.3. 1. Determine cual de los siguientes puntos p = (1; 2; 3), q = (2; 1; 5), r = (0; 3; 6) y s = (8; 5; 2) a) Esta mas cerca del eje y. b) Esta mas lejos del eje x c) Esta mas lejos del origen 2. Calcule el producto interior entre los vectores u y v a) u = [3; 4] y v = [2; 3] b) u = [12; 3] y v = [ 1; 5] c) u = [2; 1; 1] y v = [ 1; 0; 2] 3. Si v es el vector que va de (0; 0) a (3; 4) y w el vector que va de (2; 1) a (5; 5): Demuestre que v = w Rb 4. Demuestre que hf; gi = a f (x)g(x)dx de…ne un producto interno en C[a,b]. 5. Para el producto interno de…nido en el ejercicio anterior si f (x) = x y g(x) = Senx en C[0; 2 ] halle
  26. 26. 18 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO a) hf; gi b) kf k c) kgk 6. Hallar un vector v de longitud dada, con la misma dirección del vector u. a) kvk = 3 y u = [1; 1] p b) kvk = 2 y u = [3; 3] c) kvk = 6 y u = [1; 1; 1] 7. Demuestre que kxk = maxfjxi jg es una norma en Rn . 8. Para que valor(es) de los vectores u y v son ortogonales. a) u = [3; 4] y v = [1; ] b) u = [ 2; 1] y v = [ ; 2] c) u = [ 1; 1] y v = [ ; 5] 9. Demuestre que si v es ortogonal a u y w, entonces v es ortogonal a u + w para cualesquiera y . 10. Para que valor(es) de el ángulo entre v = [2; 5] y u = [ ; 1] es igual a a) 3 b) 4 2 c) 3 11. Halle el ángulo formado por la diagonal de un cubo y una de sus aristas. 12. Hallar la proyección de u en v a) u = [2; 3] y v = [5; 1] b) u = [2; 2] y v = [5; 0] c) u = [2; 1; 2] y v = [0; 3; 4] 13. Para las funciones f (x) = x y g(x) = Senx en C[0; 2 ] halle a) Proyg f b) Proyf g c) Proyf f
  27. 27. 1.4. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 19 14. Si kvk = 3 y 2 < s < 1 determine ksvk 15. Uso de tecnologia (CAS) a) Producto punto b) Norma c) Distancia. 16. Utilizando un CAS construya una función llamada proyeccion(u; v) que determine la proyección de u en v.1.4. Transformaciones lineales y matrices En esta sección introducimos una clase importante de aplicaciones entre espacios vecto-riales, aquellas que son lineales. Ya que una de las ideas centrales del cálculo multivariadoes la aproximación no lineal por medio de aplicaciones lineales. En el año 1.918 en Space-time-Matter Hermann Weyl4 dio la de…nición abstracta de transformación lineal. Dados V y W dos espacios vectoriales y T una aplicacion de V en W , se dice que Tes una transformación lineal si y solamente si : (i) 8v 1 ; v 2 2 V T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v 2 ) (ii) 8v 2 V y 8 2 R T ( v) = T (v) Ademas se cumplen las siguientes propiedades (i) T (0V ) = 0W (ii)8v 1 ; v 2 2 V T (v 1 v 2 ) = T (v 1 ) T (v 2 ) (iii) 8v 1 ; v 2 ; :::; v n 2 V T (v 1 + v 2 + ::: + v n )Ejemplo 1.4.1 Sea C[a; b] el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo[a; b] y sea C (1) [a; b] el conjunto de todas las funciones continuas con primera derivadacontinua en el intervalo [a; b], entonces la aplicación T : C[a; b] ! C (1) , de…nida porT (f ) = f 0 es lineal, ya que T (f + g) = (f + g)0 = f 0 + g 0 y T ( f ) = ( f )0 = f 0 . 4 Hermann Weyl (1.885-1.955) Nacido: 9 de Noviembre de 1885 en Elmshorn (cer- ca de Hamburgo), Alemania. Fallecido: 8 de Diciembre de 1955 en Zürich, Suiza, fue educado en las Universidades de Munich y Göttingen, obtuvo su doctorado en esta última, bajo la supervisión de David Hilbert. Después de presentar su tesis doctoral, ’Singuläre Integralgleichungen mit besonder Berücksichtigung des Fourierschen In- tegraltheorems’ le fue concedido el título en 1908. Fue en el mismo Göttingen donde , él desempeñó su primer cargo docente. Matemático y …sico autor de importantes in- vestigaciones sobre la teoria de las ecuaciones integrales y diferenciales, en el campo de la relatividad y la mecanica cuantica. En el año 1.918 en Space-time-Matter dio la de…nición abstracta de transformación lineal.
  28. 28. 20 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANOEjemplo 1.4.2 Sea Mn n el conjunto de las matrices de n n, entonces la aplicaciónT : Mn n ! R, de…nida por T (A) = det(A) no es lineal, ya que de manera general eldeterminante de una suma no es la suma de los determinantes. Las transformaciones lineales se denominan tambien operadores lineales si V = W . Elnúcleo de la transformación T; denotado por Ker T; es el conjunto de vectores v i 2 V cuyaimagen es 0 2 W , y la imagen de la transformación T , denotada por Im T , es el conjuntode vectores wj 2 W tales que wj = T (v i ) para algun v i 2 V . Es decir KerT = fvi 2 V jT (vi ) = 0W g y Im T = fwj 2 W jT (vi ) = wj , para vi 2 V gEjemplo 1.4.3 Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal tal que T (1; 0) = (2; 7) yT (0; 1) = ( 3; 2); halle una expresión general para T (x; y): Como T es lineal T (x; 0) = xT (1; 0) = x(2; 7) = (2x; 7x) y T (0; y) = yT (0; 1) = y( 3; 2) = ( 3y; 2y), entonces T (x; y) = T (x; 0) + T (0; y) = (2x 3y; 7x + 2y) A la dimensión del nucleo de T se le llama nulidad de T; y a la dimensión de su imagense le llama rango de T .Teorema 1.4.1 Nulidad y rango de una transformación lineal. Si T es una transforma-cion lineal de V en W. Entonces (i) Nulidad de T = (T ) = dim(ker T ) (ii) Rango de T = (T ) = dim(Im T ) El siguiente teorema relaciona la nulidad y el rango de una transformación lineal T :Rn ! Rm , con la dimensión del espacio euclidiano RnTeorema 1.4.2 Sea T : Rn ! Rm una transformación lineal, entonces dim(Ker) +dim(Im) = n Veremos ahora que dada cualquier transformación lineal T de Rn en Rm existe unamatriz A de m n tal que T (x) = Ax. Tomando la base canonica de Rn tenemos que losvectores T (ei ) determinan las columnas de la matriz A.Teorema 1.4.3 Sea T : Rn ! Rm una transformación lineal, entonces existe una únicamatriz AT de m n tal que T (x) = AT x para todo x 2 RnDemostración. Por contradicción supongamos que existe una matriz B de m n tal queT (x) = Bx, por lo tanto AT x = Bx, luego AT x Bx = (AT B)x = 0 donde 0 es la matrizcolumna nula para todo x entonces (AT B)ei = 0 para todo i = 1; 2; :::; n, por lo tanto la columna i-esima deAT B es 0, para todo i, entonces AT B es la matriz cero de m n de esta manera AT = B
  29. 29. 1.4. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 21Ejemplo 1.4.4 Para la transformación lineal T : R3 ! R2 , determinada por T (x; y; z) =(x + y; y + z) determine su matriz AT . Para obtener AT primero se halla T (ei ) para i = 1; 2; 3, 1 1 0 con estos vectores como columna se construye la matriz, luego AT = 0 1 1 Una transformación lineal T : Rn ! Rm con n = m se denomina operador lineal.Si T : Rn ! Rn es un operador lineal, se dice que el número real es un valor propiode T si existe un vector no nulo v 2 Rn tal que T (v) = v. Al vector v se le denominavector propio de T asociado al valor propio . Si A es una matriz cuadrada de orden n, supolinomio carateristico esta determinado por p( ) = det(A I), p( ) es un polinomio envariable de grado n. Los valores propios de una matriz cuadrada A de orden n son lasraices de su polinomio carateristico p( ). Si A es una matriz cuadrada de orden n y v es unvector no nulo de Rn tal que Av = v entonces v es un vector propio de A. Para calcularvalores y vectores propios primero se encuentra p( ) = det(A I), luego se hallan susraices y por último se resuelve el sistema homogéneo (A i )v = 0. 3 3Ejemplo 1.4.5 Para la matriz A = encuentre su polinomio característico y sus 5 1valores y vectores propios. 3 3 Hallamos primero el polinomio característico p( ) = = 2 4 12, 5 1 los valores propios de A son las raices de p( ), o sea 2 y 6. Para hallar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo (A I)v = 0 paracada , 3 3 x1 0 3 si = 2 entonces el sistema = tiene por solución x1 =- x2 ,luego 5 1 x2 0 5si x2 = 1 " 3 # 3 entonces x1 = ,entonces v1 = 5 5 1 3 3 x1 0 y si = 6 entonces el sistema = tiene por solución x1 = x2 , 5 5 x2 0 1 luego si x2 = 1 entonces x1 = 1,entonces v2 = 1 Ejercicios 1.4 1. Demuestre que la transformación dada es lineal a) T : R3 7! R2 , tal que T (x; y; z) = [x; y; 0] , proyección. b) T : Mmn ! Mnm , tal que T (A) = At Transposición.
  30. 30. 22 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO c) T : R ! P3 , tal que T (a) = a + ax + ax2 + ax3 2. Demuestre que la transformación dada no es lineal. a) T : Rn ! R, tal que T (x; y; z) = xyz b) T : C[0; 1] ! C[0; 1], tal que T (f ) = f 2 c) T : C[0; 1] ! R, tal que 3. Sea T : R2 ! R3 una transformación lineal tal que : T (1; 0) = (2; 1; 5) y T (0; 1) = (3; 2; 5). Halle una expresión general para T (x; y) . 4. Demuestre que si T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W;entonces T1 + T2 es una transformación lineal de V en W . 5. Encuentre la nulidad y el rango de la transformación lineal dada. a) T : R2 ! R ; T (x; y) = x + y b) T : Mnn ! Mnn ; T (A) = At + A c) T : R ! P2 ; T (k) = k + kx + kx2 6. Si T :V ! W es una transformación lineal, en donde dimension de V es igual a n, demuestre que nulidad(t)+rango(t) = n 7. Obtenga la matriz AT , que represente la transformación dada. a) T : R2 ! R2 ; tal que T (x; y) = (ax + by; cx + dy), con a; b; c y d números reales. b) T : P2 ! P3 , tal que T (p) = xp(x) c) T : Mmn ! Mnm , tal que T (A) = At 8. Dada la matriz AT encuentre el valor de la transformación lineal T en el vector indicado. 3 0 a) AT = , T (2; 3) 0 1 7 5 b) AT = ; T ( 1; 1; 1) -10 -8 0 1 1 2 0 c) AT = @1 1 1 A, T (1; 2; 3) 3 0 1 9. Para la matriz A dada determine su polinomio característico y sus valores y vectores propios.
  31. 31. 1.5. PRODUCTO VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS. 23 7 5 a) 10 8 1 2 b) 1 2 0 1 2 0 0 c) @ 1 1 2A 1 0 1 10. Demuestre que el termino independiente del polinomio caracteristico de la matriz A, es detA. 11. Si T : V ! W es una transformación lineal y si u 2 V es combinación lineal de v 1 ; v 2 ; :::; v n 2 V entonces T (u) 2 W es una combinación lineal de T (v 1 ); T (v 2 ); :::; T (v n ) 12. Demostrar que T (x; y) = [ex ; ey ] no es lineal. 13. Uso de tecnologia (CAS). a) Polinomio caracteristico b) Valores propios c) Vecores propios 14. Utilizando un CAS construya una funciòn MATRA que determine la mariz de una transformaciòn lineal.1.5. Producto vectorial, rectas y planos. En el plano R2 se utiliza el concepto de pendiente para hallar la ecuación de unarecta, a partir de dos puntos diferentes sobra ella. En el espacio tambien puede hallarse laecuación de una recta si se conocen dos puntos diferentes sobre ella, pero ahora se utilizael concepto de dirección (dada por un vector5 v de R3 no nulo ) . 5 William Rowan Hamilton (1805-1865), matemático y astrónomo británico, cono- cido sobre todo por sus trabajos en análisis de vectores y en óptica. Nació en Dublín y estudió en el Trinity College. En 1827, sin haber obtenido su título, fue nombrado profesor de astronomía, y al año siguiente astrónomo real para Irlanda. Hamilton pasó el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio de Dunsink, cerca de Dublín. En el campo de la dinámica, introdujo las funciones de Hamilton, que expresan la suma de las energías cinética y potencial de un sistema dinámico; son muy importantes en el desarrollo de la dinámica moderna y para el estudio de la teoría cuántica.
  32. 32. 24 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO El producto exterior, cruz o vectorial en R3 , es una función de R3 R3 en R3 , que acada par de vectores v y w de R3 les asocia un vector v w que satisface las siguientescondiciones (ii) u v = v u (iii) (ku) v = k(u v) (iv) u (kv + lw) = k(u v) + l(u w) Para todo v; w y u 2 R3 y k; l 2 R. Algebraicamente v w = [v2 w3 v3 w2 ; v3 w1 v1 w3 , v1 w2 v2 w1 ] , v = [v1 ; v2 ; v3 ] yw = [w1 ; w2 ; w3 ] i j kEjemplo 1.5.1 Si v = [2; 3; 1] y w = [1; 2; 1] entonces v w = 2 3 1 = 1 2 1[ 1; 1; 1] Dos vectores no nulos v y w de R3 se dice que son paralelos si v w = 0.Teorema 1.5.1 Sea el ángulo entre dos vectores u y v de R3 entonces ku vk =kuk kvk sen : El área de un paralelogramo que tiene lados adyacentes u y v es igual a ku vk : Siu; v y w son tres vectores que no estan en el mismo plano, entonces forman los lados deun paralelepipedo cuya base es un paralelogramo de área kv wk entonces el volumendel paralelepipedo es igual a j(u v)wjEjemplo 1.5.2 Calcule el volumen del paralelepipedo determinado por los vectores [1; 1; 0]; [3; 2; 0]y [0; 7; 3]. Haciendo u = [1; 1; 0], v = [3; 2; 0] y w = [0; 7; 3] i j k u v= 1 1 0 = [ 1; 0; 5], luego j(u v)wj = j[ 1; 0; 5][0; 7; 3]j = 15 3 2 0 Si p = (x1 , y1 , z1 ) y q = (x2 , y2 , z2 ) son dos puntos diferentes de una recta L, entoncesel vector v = pq = [x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ] = [a; b; c] es un vector contenido en la rectaL, llamado vector director de la recta y si r = (x, y, z) es un punto cualquiera de L,entonces v = jj pr luego tv = pr (t 2 R), por lo tanto 0r = 0p + tv determina la ecuacionvectorial de la recta L . Tambien se puede escribir como or = op + t(oq op). Por igualdadde vectores x = x1 + ta ; y = y1 + tb ; z = z1 + tc determinan las ecuaciones paramétricas x x1 y y1 z z1de la recta L. Si a; b y c son diferentes de cero = = determinan las a b cecuaciones simétricas de la recta L. El conjunto de puntos (x; y; z) obtenidos para valores de t en el intervalo [0; 1] deter-mina el segmento de recta que une el punto p con el punto q.
  33. 33. 1.5. PRODUCTO VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS. 25Ejemplo 1.5.3 Hallar las ecuación de la recta L que pasa por los puntos p = (1; 3; 4) yq = (2; 1; 1) El vector v = pq = [1; 2; 5] es director de la recta L , luego [x; y; z] = [1; 3; 4] + t[1; 2; 5] es la ecuación vectorial de L, y x = 1 + t, y = 3 2t, z = 4 5t son las ecuaciones parametricas de L x 1 y 3 z 4 y = = son las ecuaciones simétricas de L 1 2 5Teorema 1.5.2 Demostrar que el conjunto H = [(x; y; z)jx = at, y = bt, z = ct cona; b; c 2 Rg es subespacio vectorial de R3 .Demostración. H consta de los vectores de R3 que estan sobre una recta que pasa porel origen, sean v 1 = (at1 ; bt1 ; ct1 ) 2 H y v 2 = (at2 ; bt2 ; ct2 ) 2 H entonces v 1 +v 2 = (a(t1 +t2 ); b(t1 +t2 ); c(t1 +t2 )) 2 H y kv 1 = (k(at1 ); k(bt1 ); k(ct1 )) 2H, luego H es subespacio vectorial propio de R3 : Dos rectas L1 y L2 de R3 , se dicen que son sesgadas si no se intersectan y no sonparalelas. Si L1 y L2 son dos rectas de R3 , entonces: L1 es paralela a L2 si sus vectoresdirectores son paralelos, L1 es ortogonal a L2 si sus vectores directores son ortogonales.yel angulo entre L1 y L2 es igual al angulo entre sus vectores directores. y+3 z+2Ejemplo 1.5.4 Halle el punto intersección entre las rectas L1 : x 1 = = y 2 1 x 17 z+8L2 : =y 4= . 3 1 Utilizando la ecuación paramétrica de las rectas L1 : x = 1 + t; y = 3 + 2t; z = 2y L2 : x = 17 + 3s; y = 4 + s; z = 8 s Igualando x, y y z tenemos 2 t = 8 s; resolviendo el sistema s = 5 y t = 1, luego x = 2; y = 1; z = 3 por lo tanto el punto intersección es 2; 1; 3)
  34. 34. 26 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANOTeorema 1.5.3 La distancia entre una recta L y un punto q (que no esta en L) esta kpq vkdeterminada por d = donde v es el vector director la recta L y p es un punto kvkcualquiera de L.Demostración. Sea d la distancia entre q y la recta dada,. entonces d = kpqk sen donde es el ángulo entre v y pq. Luego kvk kpq vk sen = kpq vk. kpq vk Por lo tanto d = kpqk sen = . kvkEjemplo 1.5.5 Calcular la distancia entre el punto q = (10; 3; 2) y la recta x = 4 2t,y = 3 + t y z = 1 + 5t. El vector director de la recta es v = [ 2; 1; 5];haciendo t = 0 hallamos un punto p dela recta, k[7; 16; 6]k p = (4; 3; 1) y pq = [6; 0; 7] entonces pq v = [7; 16; 6] por lo tantod = =p k[ 2; 1; 5]k 341 p 30 Una recta L de Rn que pasa por el punto p = (p1 ; p2 ; :::; pn ) y cuyo vector director esv = [v1 ; v2 ; :::; vn ] esta determinada por el conjunto de puntos x 2 Rn tales que: x = p + tv, t 2 R, determina la ecuación vectorial de L y xi = p + tvi para i = 1; 2; :::; ndetermina las ecuaciones paramétricas de L Si p = (xo ; yo ; zo ) es un punto y n = [a; b; c] un vector dado no nulo, entonces elconjunto de puntos q = (x; y; z) tales que pq n = 0 determina un plano, luego [x xo ; yyo ; z zo ] [a; b; c] = 0 realizando el producto punto obtenemos la ecuación general de unplano ax + by + cz = d donde d = axo + byo + czo , el vector n se denomina vector normaldel plano.Ejemplo 1.5.6 Si p = (0; 0; 0) ; q = (1; 2; 3) y r = ( 2; 3; 3) construimos los vectores pqy pr, pq = [1; 2; 3]; pr = [ 2; 3; 3] para obtener un vector normal al plano hacemos
  35. 35. 1.5. PRODUCTO VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS. 27 i j k n = pq pr = 1 2 3 = [ 3; 9; 7], luego [x + 2; y 3; z 3] [ 3, 9,7] = 0 2 3 3 Si 1 y 2 son dos planos, entonces: 1 es paralelo a 2 si sus normales son paralelas. 1 es ortogonal a 2 si sus normales son ortogonales. El ángulo entre 1 y 2 es igual alángulo entre sus normales.Ejemplo 1.5.7 Encuentre todos los puntos intersección entre los plano x y + z = 2 y2x 3y + 4z = 7. Las coordenadas de cualquier punto (x; y; z) sobre la recta intersección de estos dos planos debelas ecuaciones x y + z = 2 y 2x 3y + 4z = 7. Resolviendo el sistema obtenemos x = 1 + z;y = 3 + 2z; z cualquier valor Si z = t obtenemos la ecuación paramétrica de la recta intersecciónx = 1 t; y = 3 + 2t; y z =Teorema 1.5.4 La distancia entre un plano y un punto q (que no esta en ) esta jpq njdeterminada por d = , donde n es la normal del plano y p es un punto del plano. knkDemostración. La distancia entre q y el plano es igual a la norma de la proyección depq en la normal n; entonces si q = (x0 ; y0 ; z0 ) y ax + by + cz = d es la ecuación del plano entonces encontramos un punto q del primer plano haciendo x = 0 y z = 0 entonces y = 6, la normal del segundo p plano es [6; 2; 4] y d = 6 0 + 12 + 0 12 3 14 luego d = p =p = 62 + ( 2)2 + 42 56 7 Ejercicios 1.5 1. Calcule el producto exterior entre los vectores u y v a) u = [3; 4; 1] y v = [2; 3; 0] b) u = [12; 3; 0] y v = [ 1; 5; 2] c) u = [2; 1; 1] y v = [ 1; 0; 2] 2. Demuestre que si es el ángulo entre dos vectores u y v de R3 , entonces kv wk = kvk kwk Sen
  36. 36. 28 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 3. Suponga que u es un vector …jo de longitud 3 en dirección del eje x positivo y v es un vector cualquiera en el plano xy de longitud 2. a) Cuales son los valores máximos y mínimos de ku vk b) Que dirección toma ku vk a medida que v gira 4. Si u + v + w = 0 demuestre que u v=v w=w u 5. Hallar la ecuación de la recta con las condiciones dadas. a) Pasa por el punto p = (2; 1; 1) y un vector director es el vector pq donde q = (3; 4; 2) b) Pasa por el punto (2; 1; 4) y es paralela a la recta x = 3t; y = 2+4t y z = 2t c) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta x = 2+t , y = 1 t y z = 3t 6. Halle la distancia del origen a la recta dada. a) x = 3t; y = 2 + 6t y z = 1 + t b) Pasa por los puntos p = (1; 1; 3) y q = (2; 4; 5) 7. Halle la distancia entre las rectas a) L1 : y L2 : 8. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2, 1, 5) y (8,8,7) es paralela a la recta que pasa por los puntos (4,2, 6) y (8; 8; 2) 9. Halle la ecuación del plano con las condiciones dadas. a) Pasa por el punto p = (2; 5; 6) y es paralelo al plano XZ b) Pasa por el origen y es perpendicular al plano 4x y+z =9 c) Pasa por los puntos p = (1; 1; 0) y q = (3; 2; 4) ; y el vector v = [7; 1; 3] es paralelo a el. 10. Halle la distancia entre los dos planos a) 1 : 2x y + 3z = 4 y 2 : 4x 2y + 6z = 5 11. Veri…que que la recta se encuentra contenida en los planos 1 : 5x + y + z = 0 y 2 : 2x + 3y 2z = 5 12. Halle el punto intersección entre el plano 2x 2y + z = 12 y la recta 13. Encuentre el áangulo entre los planos 1 :x y+z =2 y 2 : 2x 3y + 4z = 7
  37. 37. 1.6. SUPERFICIES 29 14. Determine dos planos diferentes cuya intersección es la recta x = 1 + t, y = 2 t, z = 3 + 2t 15. Uso de tecnologia (CAS) a) Producto vectorial b) Gra…que las siguientes rectas c) Gra…que los siguientes planos. 16. Utilizando un CAS construya una funciòn llamada DISTPR distancia de un punto a una recta.1.6. Super…cies En la sección anterior se consideraron las primeras super…cies denominadas planos, enesta sección consideraremos los tipos más particulares de super…cies, como conjuntos depuntos (x; y; z) que satisfacen una ecuación cartesiana y cuya intersección con un planoen la mayoría de los casos es una cónica de Apolonio6 . Una super…cie generada por una recta (generatriz) que se mueve a lo largo de unacurva plana (directriz) se denomina cilindro. La recta no esta contenida en el mismoplano que contiene la curva. 6 APOLONIO DE PERGA Nació : Alrededor del 262 A.C. en Perga, Gre- cia Ionia (Ahora Turquía). Falleció alrededor del 190 A.C en Alejandría, Egipto. Apolonio fue conocido como “El gran geómetra” Su famoso libro . “Secciones Cónicas” introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola es- piral. Estudió en Alejandría y luego visitó Pérgamo en donde han sido construidas una biblioteca y una universidad semejantes a la de Alejan- dría. Mientras, Apolonio, “El gran geómetra” estuvo en Perga, escribió la , primera edición de su famoso libro “Secciones Cónicas” que consta de 8 li- , bros. Hubo otras aplicaciones hechas por Apolonio, usando su conocimiento sobre los conos, para resolver problemas prácticos. Desarrolló el hemiciclo, un reloj solar que marcaba las líneas de las horas en la super…cie de una sección cónica proporcionando mayor precisión.
  38. 38. 30 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANOPropiedad 1.6.1 Para cilindros En el espacio la grá…ca de una ecuación en dos variables de las tres variables x; y yz es un cilindro, cuyas generatrices son paralelas al eje de la variable que no aparece. (1) Cilindro circular recto, si la directriz es un circulo (2) Cilindro parabólico, si la directriz es una parabola (3) Cilindro elíptico, si la directriz es una elipse (4) Cilindro hiperbólico, si la directriz es una hipérbola Una super…cie generada por una curva plana (generatriz) que gira alrededor de unarecta …ja (eje),que esta en el mismo plano de la curva, se denomina super…cie de revolu-ción. Si se gira la grá…ca de una función (radio) alrededor de uno de los ejes coordenados,entonces la ecuación de la super…cie de revolución resultante tiene una de las siguientesformas. (a) y 2 + z 2 = (r(x))2 Si el giro es alrededor del eje X (b) x2 + z 2 = (r(y))2 Si el giro es alrededor del eje Y (c) x2 + y 2 = (r(z))2 Si el giro es alrededor del eje ZPropiedad 1.6.2 Clasi…cación de las super…cies de revolución según su generatriz (1) Paraboloide de revolución, si la generatriz es una parabola (2) Elipsoide de revolución, si la generatriz es una elipse (3) Hiperboloide de revolución, si la generatriz es una hiperbolaEjemplo 1.6.1 Hallar la ecuación de la super…cie de revolución generada al girar la curvaz = x2 alrededor del eje Z. Trace la grá…ca El radio es r = x , luego los circulos son de la forma x2 + y 2 = r2 p entonces como x = z la ecuación de la super…cie de revolución es igual a z = x2 +y 2 Una super…cie determinada por una ecuacion polinomial de segundo grado en tresvariables, se denomina cuadrica. donde a; b; c; d; e; f; g; h; i y j son números reales y x e y son variables El lugar geometrico de todos los puntos interseccion entre una super…cie y un planocoordenado, se denomina traza.
  39. 39. 1.6. SUPERFICIES 31 TIPOS DE CUADRICAS (1) ESFERA x2 + y 2 + z 2 = r 2 Traza paralela al plano xy : x2 + y 2 = k 2 (Circulo) Traza paralela al plano xz : x2 + z 2 = k 2 (Circulo) Traza paralela al plano yz : y 2 + z 2 = k 2 (Circulo) (2) ELIPSOIDE Traza paralela al plano xy : (Elipse) Traza paralela al plano xz : (Elipse) Traza paralela al plano yz : (Elipse) (3) PARABOLOIDE Traza paralela al plano xy : (Elipse) Traza paralela al plano xz : (Parábola) Traza paralela al plano yz : (Parábola)
  40. 40. 32 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO (4) PARABOLOIDE HIPERBOLICO Traza paralela al plano xy : (Hipérbola) Traza paralela al plano xz : (Parábola) Traza paralela al plano yz : (Parábola) (5) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA (O MANTO) Traza paralela al plano xy : (Elipse) x2 z 2 Traza paralela al plano xz : = k (Hipérbola) a2 c2 2 2 y z Traza paralela al plano yz : 2 = k (Hipérbola) b c2 Si z = 0 entonces x2 y 2 = 0 son dos rectas. (6) HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS (O MANTOS) Traza paralela al plano xy : (Elipse) Traza paralela al plano xz : (Hipérbola) Traza paralela al plano yz : (Hipérbola) (7) CONO Traza paralela al plano xy : (Elipse) Traza paralela al plano xz : (Hipérbola) Traza paralela al plano yz : (Hipérbola)
  41. 41. 1.6. SUPERFICIES 33 Nota : En algunos casos en que dos valores de a; b; c son iguales las trazas no son elipsessi no cí¬ rculos.Ejemplo 1.6.2 Gra…que las trazas de la super…cie z = x2 y 2 , identi…que la super…cie ytrace su grá…ca. Si x = k, z = k 2 x2 las trazas son parabolas; si y = k, z = x2 k 2 las trazas sonparabolas y si z = k, k = x2 y 2 las trazas son hiperbolas. por lo tanto la super…cie es unparaboloide hiperbolico (silla de montar). Muchas aplicaciones reales tienen que ver con super…cies cuadricas.Geodesia, topogra…ay cartogra…a.Antenas y radares. Cupulas
  42. 42. 34 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO Ejercicios 1.6 1. Gra…car los cilindros determinados por las ecuaciones dadas. a) y = jxj b) z = Seny c) l4x2 + 9z 2 = 1 2. Hallar la ecuación de la super…cie de revolución generada al girar la curva dada alrededor del eje especi…cado. Trace la grá…ca a) xy = 1 eje y b) z = Lny eje z c) y = Senx eje x 3. Trace las trazas de las super…cies dadas en los planos x = k, y = k y z = k. Identi…que la super…cie y trace su grá…ca. a) z = y 2 b) 9x2 y2 z2 = 9 c) 4x2 + 9y 2 + 36z 2 = 36 4. Relacione la ecuación con la grá…ca. a) x2 + 2z 2 = 1 b) x2 + y 2 z2 = 1 c) x2 y2 + z2 = 1
  43. 43. 1.7. COORDENADAS CILINDRICAS Y COORDENADAS ESFERICAS 35 4 4 4 -4 2 -4 -4 2 -4 -4 2 -4 0 z -2-20 0 -2 0 z -2-20 -2 0 z -2-20 -2 -4 2 -4 20 -4 20 2 2 2 y4 4x y4 4 x y4 4x A. B. (x2 +y 2 ) 5. Demuestre que la super…cie con ecuación z = e es una super…cie de revolución y trace su grá…ca. 6. Halle la ecuacion del paraboloide que tiene vertice en (0 ,0 ,2) y abre hacia abajo , si su interseccion con el plano XY determina un circulo de radio 4 7. Halle la ecuacion del cono tal que las curvas de nivel en el plano XY son las rectas x = 2y 8. Halle la ecuación de una esfera si los extremos de su diametro son los puntos (1; 2; 3) y ( 2; 4; 5) 9. Muestre que la interseccion de la super…cie x2 4y 2 9z 2 = 36 y el plano x +z = 9 es una elipse 10. Determine los valores de k para los cuales la interseccion del plano x + ky = l y el hiperboloide eliptico de dos hojas y 2 x2 z 2 = l es : a) Una elipse b) Una hiperbola 11. Determine una ecuación para la super…cie que consta del conjunto de puntos p(x; y; z) tales que la distancia de p al eje X sea el doble de la distancia de p al plano Y Z. 12. Uso tecnologia (CAS). Construya una función llamada trazas(s; v; i; n), que permita gra…car las trazas de una super…cie.1.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas Un sistema de coordenadas es una forma sistemática para representar un punto enalgún espacio especi…cando solo algunos números. Como vimos en la sección 1.1. el sistemade coordenadas mas familiar es el sistema de coordenadas rectangulares. En R3 funcionaespeci…cando las coordenadas x, y y z que representan las distancias en los ejes x, y y zrespectivamente. Las coordenadas rectangulares a veces resultan extremadamente difíciles
  44. 44. 36 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANOcuando se trata de de…nir ciertas formas comunes, como cilindros, super…cies de revolucióny esferas. Una segunda forma para determinar la ubicación de un punto en tres dimensioneses utilizando coordendas cilindricas, convirtiendo a coordenadas polares dos de las trescoordenadas rectangulares. El caso más usual es hacer polares en xy;luego la altura delplano xy es z. Uno de los primeros matemáticos que utilizo coordenadas cilindricas fuePierre simon de Laplace.7Propiedad 1.7.1 Construcción de las coordenadas cilindricas. Si p = (x; y; z) es un puntode R3 que determina un vector op, asociamos a el la terna (r; ; z) tal que (r; ) son lascoordenadas polares de la proyeción de p en el plano XY y z es la distancia dirigida delplano XY a p, entonces kproyXY opk = r, x = r cos , y = rsen y z = z, donde es elángulo entre proyXY op y el eje X: p Para convertir de coordenadas rectangulares a cilindricas empleamos r = x2 + y 2 , ytan = y z = z. Las coordenadas cilindricas son una combinación de las coordenadas xpolares en el plano con un eje coordenado. pEjemplo 1.7.1 Sea p = (1; 1; 2) un punto en coordenadas rectangulares entonces parahallar sus coordenadas cilindricas proyectamos el punto p en el plano xy y obtenemos el ppunto q = (1; 1), entonces r = 2 y = tan 1 1 = , por lo tanto las coordenadas p p 4cilindricas de p son ( 2; ; 2) 4 7 Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normandía); 23 de marzo de 1749 - París; 5 de marzo de 1827) astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la Transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Al cumplir los 19 años, principalmente por la in‡uencia de d’Alembert, fué designado para cubrir una plaza de matemáticas en la Escuela Real Militar de París, bajo la recomendación de d’ Alembert. En 1973, llegó a ser miembro de la Academia de Ciencias de París. En 1785, actuando como miembro del tribunal del Cuerpo de Artillería Real, examinó y aprobó al joven de 16 años Napoleón Bonaparte. Durante la Revolución Francesa, ayudó a establecer el Sistema Métrico. Enseñó Cálculo en la Escuela Normal y llegó a ser miembro del Instituto Francés en 1795. Bajo el mandato de Napoleón fué miembro del Senado, y después Canciller y recibió la Legión de Honor en 1805.
  45. 45. 1.7. COORDENADAS CILINDRICAS Y COORDENADAS ESFERICAS 37 En coordenadas cilindricas r = k determina un cilindro circular recto de radio k, r = 0determina el eje z; = k determina un plano que forma un ángulo k con el eje z yz = k determina tambien un plano.entonces z = x2 + y 2 que representa la ecuación de unparaboloide.Ejemplo 1.7.2 Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares equivalente a la pecuación z = r2 y representar su grá…ca. Como en coordenadas cilindricas r = x2 + y 2entonces z = r2 = x2 + y 2 representa la ecuación de un paraboloide. Las coordenadas cilindricas son utiles en problemas que tienen simetria alrededor deun eje, el paso a seguir es seleccionar un eje coordenado de manera que coincida con el ejede simetria. Si er ; e ; ez son los vectores ortonormales unitarios que determinan la dirección enque se mide cada una de las coordenadas cilindricas r; ; z entonces er = [cos ; sen ; 0],e = [ sen ; cos ; 0], ez = [0; 0; 1]Propiedad 1.7.2 Construcción de coordenadas esfericas. Si p = (x; y; z) es un punto deR3 que determina un vector op, asociamos a el la terna ( ; ; ) tal que = jjopjj determinala distancia del punto p al origen , determina el angulo entre el eje z y op, y determinael angulo entre proyXY op y el eje X (igual que en cilindricas) entonces x = sen cos , py = sen cos , z = cos , donde r = jjproyXY opjj y = x2 + y 2 + z 2 :
  46. 46. 38 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO Las coordendas esfericas tambien estan relacionadas con las coordenadas polares en elplano. pEjemplo 1.7.3 Sea un p = (1; 1; 2) punto de cuyas coordenadas rectangulares entoncespara hallar sus coordenadas esfericas.hallamos la norma del vector posición como =p 4 = 2, = y = cos 1 1 = 0, por lo tanto las coordenadas esfericas de p son (2; ; 0) 4 4 En coordenadas esfericas = k determina una esfera de radio k, = k determina unsemicono, = k determina un plano que forma un ángulo k con el eje z.Ejemplo 1.7.4 Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares equivalente a laecuación = 4 cos y representar su grá…ca. Multiplicando a ambos lados de la ecuaciónpor obtenemos obtenemos 2 = 4 cos pero 2 = x2 + y 2 + z 2 y 4 cos = 4z entoncesx2 + y 2 + z 2 = 4z por lo tanto completando cuadrado en z obtenemos x2 + y 2 + (z 2)2 = 4que determina una esfera de centro (0; 0; 2) y radio 2 Las coordenadas esfericas son utiles en problemas que tienen simetria alrededor de unpunto, el paso a seguir es seleccionar el punto de manera que coincida con el origen. Si e ; e , e ; son los vectores ortonormales unitarios que determinan la dirección en quese mide cada una de las coordenadas esfericas ; ; entonces e = [sen cos ; sen sen ; cos ],e = [ sen ; cos ; 0], e = [cos cos ; cos sen ; sen ] Ejercicios 1.6 1. Encuentre las coordenadas rectangulares y coordenadas esfericas del punto p dado en coordenadas cilindricas. a) (2; =3; 2) b) (1; =4; 2) c) (4; 5 =4; 0) 2. Encuentre las coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas del punto p dado en coordenadas rectangulares.
  47. 47. 1.7. COORDENADAS CILINDRICAS Y COORDENADAS ESFERICAS 39 a) (2; 2; 1) p b) (1; 3; 2) c) ( 3; 2; 1) 3. Encuentre las coordenadas rectangulares y coordenadas cilindricas del punto p dado en coordenadas esfericas. a) (2; =6; =4) b) (6; =4; 0) c) (9; ; =4) 4. Escriba la ecuación dada en coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas. a) x2 + y 2 + z 2 2z = 0 b) 6x = x2 + y 2 c) y = xz 5. Escriba la ecuación dada en coordenadas rectangulares a) r = 3 b) r = 4Cos c) = =4 d) Sen = 2 6. Trace la grá…ca del sólido descrito por las desigualdades dadas en coordenadas cilin- dricas. a) 0 2 , 0 r 1, r z 1 2 b) 0 =2, 0 r 2, r z 4 7. Trace la grá…ca del sólido descrito por las desigualdades dadas en coordenadas es- fericas. a) 0 =2, 0 =2 , 1 2 b) 0 2 , 0 =4, 0 1 c) 0 2 , =2 , 0 2 8. Gra…que e identi…que la super…cie dada en coordenadas cilindricas a) r = 2 cos
  48. 48. 40 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO b) r = 6sen c) r = 1 + cos 9. Gra…que e identi…que la super…cie dada en coordenadas esfericas a) = 2 cos b) tan2 =1 c) =1 cos 10. Utilizando un CAS gra…que los siguientes puntos en a) Coordendas cilindricas b) Coordenadas esfericas.1.8. Conceptos básicos de topologia en Rn En la Geometría euclídeana8 dos objetos serán equivalentes mientras podamos trans-formar uno en otro mediante isometrías (rotaciones, traslaciones, re‡ exiones, etc), es decir,mediante transformaciones que conservan las medidas de ángulo, longitud, área, volumeny otras. Si se desea abordar de manera adecuadamente la diferenciabilidad para funcionesde varias variables se deben tener claros los conceptos de limites y continuidad para estetipo de funciones. Uno de los conceptos de mayor di…cultad en funciones de varias variableses el de limite ya que este concepto se de…ne sobre subconjuntos de Rn y no como se hacepara funciones de variable real y valor real, sobre subconjuntos de la recta real, muchasveces estos subconjuntos son intervalos. Decir que el limite de una función f : I R ! R en un punto a (que puede o no estaren I) existe y es igual a L, signi…ca que si x esta cerca de a entonces f (x) esta cerca de L.Aqui el concepto de cercania sobre un subconjunto de la recta real esta determinado por 8 Euclides de Alejandría (s. IV-III a. C.) fue un matemático griego, al pare- cer era ateniense y probablemente fue alumno de la Academia. Hacia el año 300 a.C. (bajo el reinado del primer Ptolomeo), era profesor en la escuela matemática de Alejandría, de la cual probablemente fue su fundador. Se le considera como el gran sistematizador de la matemática en el mundo antiguo, ya que en sus trece libros de los Elementos expone la geometría como un sis- tema formal axiomático-deductivo, que consta de de…niciones, postulados, y teoremas demostrados. Este texto ha servido de modelo en la posteridad a to- do sistema axiomático. pero su gran importancia deriva del método axiomático utilizado, que han convertido a este libro en el texto cientí…co más traducido y editado de toda la historia y que apareció, durante más de dos mil años,como modelo de rigor cientí…co. La introducción de cambios en el quinto postulado de Euclides propicióla aparición de geometrías « no-euclidianas» , como las de Riemann y Lobatchevski, por ejemplo. Otrasobras de Euclides son Tratado de geometría; Fenómenos; Datos, etc.
  49. 49. 1.8. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOGIA EN RN 41una vecindad de centro a y radio . Para funciones de varias variables estas vecindadesestan determinadas por lo que se denominara bola abierta. Una vecindad de un puntoa 2 Rn es el conjunto de puntos x 2 Rn tales que jjx ajj < para algun 2 R+ yse denomina n-bola abierta de centro a y radio . Notada B(a; ) = fx 2 Rn : kx ak< g. Las bolas abiertas de R son los intervalos abiertos de centro a y extremos a ,a + ;las bolas abiertas de R2 son las circunferencias abiertas de centro (a; b) y radio , ylas bolas abiertas de R3 son las esferas abiertas de centro (a; b; c) y radio .Ejemplo 1.8.1 Escriba explicitamente como conjunto de puntos la bola B((1; 2; 3); 1),utilizando la de…nición de bola abierta vemos que el centro es igual a (1; 2; 3) y el radio esigual a 1, luego (x 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 = 1 es la forma explicita. Si U Rn y a 2 Rn , se dice que x0 es un punto interior de U si existe un número real > 0 tal que B(a, ) U . Cada uno de los puntos a de U puede ser rodeado por una bolaB(a; ) U . El conjunto de todos los puntos interiores de U se denomina interior de Uy se nota Int U o U o . Evidentemente U o U . Si U Rn y a 2 Rn , se dice que a es unpunto exterior de U si existe un número real > 0 tal que B(a, ) U c . Cada uno de lospuntos a de U puede ser rodeado por una bola B(a; ) U c . El conjunto de todos lospuntos exteriores de U se denomina exterior de U y se nota Ext U . Si U Rn y a 2 Rn ,se dice que a es un punto frontera de U si para todo número real > 0, B(a; ) U 6= yB(a; ) U c 6= . El conjunto de todos los puntos frontera de U se denomina la fronterade U y se nota F ront U o @U . Un punto interior de U necesariamente es un punto de U ,y un punto exterior de U es un punto de U c . Sin embargo, un punto frontera puede serde U o de U c . Si U Rn y x0 2 Rn , se dice que x0 es un punto adherente de U si paratodo número real > 0, B(x0 ; ) U 6= . El conjunto de todos los puntos adherentesde U se denomina la adherencia de U y se nota Adh U o U . Evidentemente U U y enconsecuencia U o U . Si U Rn y x0 2 Rn , se dice que x0 es un punto de acumulaciónde U si para todo número real > 0, B(x0 ; ) U 6= y B(x0 ; ) U 6= fx0 g. Elconjunto de todos los puntos de acumulacion de U se llama derivado de U y se notaDer U o U ’ Evidentemente U ’ U . Si U . Rn y x0 2 Rn , se dice que x0 es un puntoaislado de U si existe un número real > 0 tal que B(x0 ; ) U = fx0 g. El conjunto detodos los puntos de aislados de U se llama aislado de U y se nota Aisl U . Si x0 2 U noes un punto de acumulación de U entonces x0 es un punto aislado de U: EvidentementeAislU U . Un conjunto U Rn se dice que es acotado si existe un número real > 0tal que U B(x0 ; ) para algun x0 2 Rn elegido arbitrariamente. Un conjunto U Rnse dice que es abierto si todos sus puntos son interiores (o sea U = U o ) y se dice que escerrado si su complemento es abierto(U = Rn U o sea si U = U ). Un conjunto U Rnse dice que es compacto si es cerrado y acotado.Ejemplo 1.8.2 Clasi…car el conjunto U = f(x; y)j 1 x2 + y 2 < 4g vemos que es elconjunto de puntos (x; y) que estan entre las circunferencias x2 + y 2 = 1 (con frontera) yx2 + y 2 = 2 (sin frontera). Como U tiene puntos frontera que no son interiores entoncesU no es abierto, ademas el complemento de U tiene frontera entonces U tampoco escerrado.por lo tanto U no es ni abierto ni cerrado.

×