Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

7 สามัญ คณิต

  • Login to see the comments

  • Be the first to like this

7 สามัญ คณิต

  1. 1. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 1 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) วันเสาร์ที 5 มกราคม 2556 เวลา 11.00 - 12.30 น. ตอนที 1 แบบระบายตัวเลขทีเป็นคําตอบ จํานวน 10 ข้อ ข้อละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน 1. จํานวนเต็มทีสอดคล้องกับอสมการ ሺ௫ାଵሻሺ௫ିଷሻ ௫ሺଶ௫ାଵሻ ≤ 0 มีทังหมดกีจํานวน 2. กําหนดให้ ܲሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ݔ‬ଷ + ܽ‫ݔ‬ଶ + ܾ‫ݔ‬ + 12 เมือ ܽ และ ܾ เป็นจํานวนจริง ถ้า 2i เป็นคําตอบของสมการ ܲሺ‫ݔ‬ሻ = 0 แล้ว ܲሺ1ሻ มีค่าเท่ากับเท่าใด 3. กําหนดให้ ܽ และ ܾ เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A และมุม B ของรูปสามเหลียม ABC ตามลําดับ ถ้า 2ܾ = 3ܽ และ B෡ = 2A෡ แล้ว cos A มีค่าเท่ากับเท่าใด
  2. 2. 2 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 4. ถ้า ‫ݑ‬ത = 2ଓ̅ + ଔ̅ − 3݇ത และ ‫̅ݒ‬ × ‫ݓ‬ഥ = ଓ̅ + 2ଔ̅ + 4݇ത แล้วค่าของ ሺ‫̅ݒ‬ × ‫ݑ‬തሻ ∙ ‫ݓ‬ഥ เท่ากับเท่าใด 5. ถ้า ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ สอดคล้องกับระบบสมการ และ ൥ 1 −2 3 ܽ 1 −3 0 ܾ 2 −5 5 ܿ ൩ ~ ൥ 1 −2 3 9 0 1 3 5 0 0 1 2 ൩ แล้ว ܿ มีค่าเท่ากับเท่าใด 6. ሺlog଻ 625ሻሺlogହ 343ሻ มีค่าเท่ากับเท่าใด ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ + 3‫ݖ‬ = ܽ ‫ݔ‬ − 3‫ݕ‬ = ܾ 2‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 5‫ݖ‬ = ܿ
  3. 3. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 3 7. ตารางแจกแจงความถีสะสมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึงเป็นดังนี ถ้าสุ่มนักเรียนมาหนึงคนจากกลุ่มนี ความน่าจะเป็นทีจะได้นักเรียนทีได้คะแนนสอบในช่วง 50 – 59 คะแนน เท่ากับ เท่าใด 8. ต้องการสร้างจํานวนทีมี 7 หลัก จากเลขโดด 7 ตัว คือ 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 โดยให้เลข 3 สองตัวอยู่ติดกัน จะสร้างได้ ทังหมดกีจํานวน 9. ถ้า ܽ௡ = ௡య ௡మାଶ − ௡మ ௡ାଷ เมือ ݊ = 1, 2, 3, … แล้ว ∞→n lim ܽ௡ มีค่าเท่ากับเท่าใด คะแนนสอบ ความถีสะสม (คน) 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 ขึนไป 10 35 80 145 185 195 200
  4. 4. 4 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 10. ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ଷ + 3‫ݔ‬ଶ − 9‫ݔ‬ + 1 บนช่วง [−1, 2] มีค่าเท่ากับเท่าใด ตอนที 2 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก จํานวน 20 ข้อ ข้อละ 4 คะแนน รวม 80 คะแนน 11. ถ้า ܵ = { ‫ݔ‬ | ‫ݔ‬ เป็นจํานวนเต็มทีสอดคล้องกับอสมการ log ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ − 15ሻ ≤ 2 } แล้วจํานวนสมาชิกของเซต ܵ เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 10 2. 12 3. 14 4. 24 5. 26 12. กําหนดให้ ܽ เป็นจํานวนเต็มบวก ถ้า ห.ร.ม. ของ ܽ และ 2520 เท่ากับ 60 และ ค.ร.น. ของ ܽ และ 420 เท่ากับ 4620 แล้ว ܽ อยู่ในช่วงในข้อใดต่อไปนี 1. [200, 350ሻ 2. [350, 500ሻ 3. [500, 650ሻ 4. [650, 800ሻ 5. [800, 950ሻ
  5. 5. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 5 13. กําหนดให้ ܲሺ‫ݔ‬ሻ เป็นหพุนามดีกรี 4 ซึงมีสัมประสิทธิเป็นจํานวนจริงและสัมประสิทธิของ ‫ݔ‬ସ เท่ากับ 1 ถ้า ‫ݖ‬ଵ และ ‫ݖ‬ଶ เป็นรากที 2 ของ 2i และเป็นคําตอบของสมการ ܲሺ‫ݔ‬ሻ = 0 ด้วย แล้ว ܲሺ1ሻ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 3 2. 5 3. 7 4. 9 5. 10 14. ในระบบพิกัดฉากทีมี O เป็นจุดกําเนิด วงรีรูปหนึงมีสมการเป็น ሺ௫ିଷሻమ ଽ + ሺ௬ିହሻమ ଶହ = 1 ถ้า Fଵ และ Fଶ เป็นจุด โฟกัสของวงรีรูปนี โดยที OFଵ > OFଶ แล้วระยะทางจากจุด Fଶ ไปยังเส้นตรงทีผ่านจุด Fଵ และ ሺ0, 5ሻ เท่ากับข้อ ใดต่อไปนี 1. ଵଽ ହ หน่วย 2. ଶଵ ହ หน่วย 3. ଶଶ ହ หน่วย 4. ଶଷ ହ หน่วย 5. ଶସ ହ หน่วย 15. กําหนดให้ A, B และ C เป็นจุดในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ จงพิจารณาข้อความ 4 ข้อความต่อไปนี (ก) ABሬሬሬሬሬԦ + BCሬሬሬሬሬԦ + CAሬሬሬሬሬԦ = 0ሬԦ (ข) หABሬሬሬሬሬԦ ∙ BCሬሬሬሬሬԦห ≤ หABሬሬሬሬሬԦหหBCሬሬሬሬሬԦห (ค) ABሬሬሬሬሬԦ × BCሬሬሬሬሬԦ = CAሬሬሬሬሬԦ × BAሬሬሬሬሬԦ (ง) ABሬሬሬሬሬԦ ∙ ൫BCሬሬሬሬሬԦ × CAሬሬሬሬሬԦ൯ = CAሬሬሬሬሬԦ ∙ ൫ABሬሬሬሬሬԦ × BCሬሬሬሬሬԦ൯ จํานวนข้อความทีถูกต้องเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 0 (ไม่มีข้อความใดถูกต้อง) 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4
  6. 6. 6 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 16. กําหนดให้ ߙ, ߚ ∈ [−ߨ, 0] ถ้า sin ߙ + sin ߚ = − ଶ ଷ และ cos ߙ + cos ߚ = ଶ √ଷ แล้ว ߙ + ߚ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. − గ ଺ 2. − గ ଷ 3. − ଶగ ଷ 4. − ସగ ଷ 5. − ହగ ଷ 17. ผลบวกของคําตอบทังหมดของสมการ |‫ݔ‬ଶ + 5‫ݔ‬ + 5|ሺ௫ିହሻ = 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. −5 2. − ହ ଶ 3. 0 4. ହ ଶ 5. 5 18. ผลบวกของคําตอบทังหมดของสมการ 4௫ + 2ସ = 65ሺ2௫ିଵ ሻ เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. −2 2. − ଵ ଶ 3. ଷ ଶ 4. 2 5. 4
  7. 7. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 7 19. กําหนดระบบสมการ ถ้า ܵ = { ሺܽ, ܾ, ܿሻ | ሺܽ, ܾ, ܿሻ เป็นคําตอบของระบบสมการทีกําหนด โดยที ܽ, ܾ, ܿ เป็นจํานวนเต็ม ซึงอยู่ในช่วง [−10, 10] } แล้วจํานวนสมาชิกของเซต ܵ เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 13 2. 14 3. 15 4. 16 5. 17 20. นักเรียนห้องหนึงมีจํานวน 30 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้เกรด A 5 คน ได้เกรด B 15 คน และได้เกรด C 10 คน ถ้าสุ่มนักเรียน 3 คนจากห้องนีแล้ว ความน่าจะเป็นทีจะได้นักเรียนอย่างน้อย 1 คนทีได้เกรด A เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. ସସ ଶ଴ଷ 2. ହହ ଶ଴ଷ 3. ଺଺ ଶ଴ଷ 4. ଻଻ ଶ଴ଷ 5. ଼଼ ଶ଴ଷ 21. อายุการใช้งานของถ่านไฟฉายชนิดหนึงมีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ ߤ นาที และส่วนเบียงเบน มาตรฐานเท่ากับ ߪ นาที ถ้า ܽ เป็นจํานวนจริงทีทําให้ถ่านไฟฉายทีใช้งานได้นานระหว่าง ߤ − ܽߪ และ ߤ + ܽߪ นาที มีจํานวน 34% แล้วถ่านไฟฉายทีใช้งานได้นานระหว่าง ߤ − 2ܽߪ และ ߤ + 2ܽߪ นาที มีจํานวนคิดเป็น เปอร์เซ็นต์เท่ากับข้อใดต่อไปนี เมือกําหนดตารางแสดงพืนทีใต้เส้นโค้งปกติดังนี 1. 58.5 2. 62 3. 64 4. 68 5. 81 2‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ + 3‫ݖ‬ = 28 2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ = 12 ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ = 10 ܼ 0.215 0.34 0.44 0.68 0.88 0.99 พืนที 0.085 0.133 0.17 0.25 0.31 0.34
  8. 8. 8 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 22. ข้อมูลชุดที 1 คือ ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , … , ‫ݔ‬ଽ โดยที ‫ݔ‬௜ = 3 − ௜ ହ ทุก ݅ ข้อมูลชุดที 2 คือ ‫ݕ‬ଵ , ‫ݕ‬ଶ , ‫ݕ‬ଷ , … , ‫ݕ‬ଽ โดยที ‫ݕ‬௝ = |ܽ − ݆| ทุก ݆ เมือ ܽ เป็นจํานวนจริงทีทําให้ 9 1= ∑ i ሺ‫ݔ‬௜ − ܽሻଶ มีค่าน้อยทีสุด ถ้า ܾ เป็นจํานวนจริงทีทําให้ 9 1= ∑ j |‫ݕ‬௜ − ܾ| มีค่าน้อยทีสุด แล้ว ܾ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5 23. กําหนดให้ฟังก์ชัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 2‫ݔ‬ + 5 และความชันของเส้นโค้ง ‫ݕ‬ = ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ทีจุด ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ใดๆ คือ 3‫ݔ‬ଶ ถ้ากราฟของฟังก์ชัน ݂ และ ݃ ตัดกันทีจุด ሺ1, 2ሻ แล้ว ቀ ௙ ௚ ቁ ᇱ ሺ1ሻ เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. −5 2. −2 3. 1 4. 2 5. 5 24. กําหนดให้ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ เป็นฟังก์ชันซึงมีอนุพันธ์ทีทุกจุด และ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ൞ |௫ାଵ| ଵି௫మ ; ‫ݔ‬ < −1 ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ; −1 ≤ ‫ݔ‬ ≤ 2 √2‫ݔ‬ − 3 ; ‫ݔ‬ > 2 ถ้า ݂ ต่อเนืองทีทุกจุด แล้ว 2 1− ∫ ݃ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. − ଷ ଶ 2. − ଵ ଶ 3. 0 4. ଵ ଶ 5. ଷ ଶ
  9. 9. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 9 25. กําหนดให้ ܽ௡ = ௡ ଵାଷାହା⋯ାሺଶ௡ିଵሻ และ ܾ௡ = ௡ ଶାସା଺ା⋯ାଶ௡ จะได้ว่าอนุกรม ∞ = ∑ 1n ሺܽ௡ − ܾ௡ሻ เป็นอนุกรมดังข้อใดต่อไปนี 1. มีผลบวกเท่ากับ − ଵ ଶ 2. มีผลบวกเท่ากับ 0 3. มีผลบวกเท่ากับ 1 4. มีผลบวกเท่ากับ ଵ ଶ 5. ลู่ออก 26. กําหนดให้ ܵ = {−3, −2, −1, 1, 2, 3} และ ‫ܯ‬ = ൝ ൥ ܽଵ ܽଶ ܽଷ 0 ܽସ ܽହ 0 0 ܽ଺ ൩ อ ܽ௜ ∈ ܵ , 1 ≤ ݅ ≤ 6 ൡ สุ่มหยิบเมทริกซ์จากเซต ‫ܯ‬ มา 1 เมทริกซ์ ความน่าจะเป็นทีจะได้เมทริกซ์ ซึงมีค่าดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์นัน เท่ากับ 27 หรือ −27 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. ଶ ଺య 2. ସ ଺య 3. ଺ ଺య 4. ଼ ଺య 5. ଵ଴ ଺య 27. ถ้า ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ เป็นเซตของจํานวนเชิงซ้อน โดยที ‫ܣ‬ = { ‫ݖ‬ | |‫ݖ‬ − 1| + |‫ݖ‬ − 5| = 6 } และ ‫ܤ‬ = ൛ ‫ݖ‬ ห ห|‫ݖ‬ − 1| − |‫ݖ‬ − 7|ห = 4 ൟ แล้วจํานวนสมาชิกของ ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 5. มากกว่าหรือเท่ากับ 4
  10. 10. 10 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 28. กําหนดลําดับซึงประกอบด้วยจํานวนเต็มบวกทุกจํานวนทีหารด้วย 5 ไม่ลงตัว เรียงจากน้อยไปหามาก ถ้าผลบวก ݊ พจน์แรกของลําดับนีเท่ากับ 9000 แล้ว ݊ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 100 2. 110 3. 120 4. 130 5. 140 29. กําหนดให้ ‫ܣ‬ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ‫ܤ‬ = ቄ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ቚ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ܽ‫ݔ‬ଶ + ܾ‫ݔ‬ + ܿ เมือ ܽ, ܾ, ܿ ∈ ‫ܣ‬ቅ สุ่มหยิบ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ มาหนึงตัวจากเซต ܵ ความน่าจะเป็นทีจะได้ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ซึง 1 0 ∫ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬ มีค่าเป็นจํานวนเต็ม เท่ากับข้อใด ต่อไปนี 1. ଵ ଵଶ 2. ଶ ଵଶ 3. ଷ ଵଶ 4. ସ ଵଶ 5. ହ ଵଶ 30. กําหนดให้กราฟของ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ݂ เป็นดังรูป นักเรียนคนหนึงได้สรุปว่า ݂ ต้องเป็นดังข้อความต่อไปนี (ก) ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −‫ݔ‬ เมือ 2 < ‫ݔ‬ < 3 (ข) ݂ เป็นฟังก์ชันลด เมือ 0 < ‫ݔ‬ < 2 (ค) ݂ มีจุดตําสุดสัมพัทธ์ทีจุด ‫ݔ‬ = 4 (ง) ݂ มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ทีจุด ‫ݔ‬ = 1 จํานวนข้อความทีนักเรียนคนนีสรุปได้อย่างถูกต้อง เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 0 (ไม่มีข้อความใดถูก) 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4 Y X 1 2 6543 1 −1 ‫ݕ‬ = ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ
  11. 11. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 11 เฉลย 1. 4 7. 0.2 13. 2 19. 1 25. 3 2. 25 8. 720 14. 5 20. 5 26. 4 3. 0.75 9. 3 15. 4 21. 2 27. 4 4. 8 10. 12 16. 2 22. 3 28. 3 5. 17 11. 1 17. 1 23. 4 29. 2 6. 12 12. 4 18. 5 24. 5 30. 3 แนวคิด 1. 4 มี −1, 1, 2, 3 ทังหมด 4 จํานวน 2. 25 แทน ‫ݔ‬ = 2i ได้ −16i − 4ܽ + 2ܾi + 12 = 0 → ሺ−4ܽ + 12ሻ + ሺ−16 + 2ܾሻi = 0 + 0i ส่วนจริง = −4ܽ + 12 = 0 และ ส่วนจินตภาพ = −16 + 2ܾ = 0 → ܽ = 3 , ܾ = 8 แทน ‫ݔ‬ = 1 ได้ 2 + 3 + 8 + 12 = 25 3. 0.75 จากกฎของ sin จะได้ ௔ ୱ୧୬ ୅ = ௕ ୱ୧୬୆ → ୱ୧୬୆ ୱ୧୬୅ = ௕ ௔ = ଷ ଶ → ଶ ୱ୧୬୅ ୡ୭ୱ ୅ ୱ୧୬ ୅ = ଷ ଶ → cos A = ଷ ସ 4. 8 จากสมบัติ จะได้ ሺ‫̅ݒ‬ × ‫ݑ‬തሻ ∙ ‫ݓ‬ഥ = ሺ‫ݓ‬ഥ × ‫̅ݒ‬ሻ ∙ ‫ݑ‬ത = −൫ଓ̅ + 2ଔ̅ + 4݇ത൯ ∙ ൫2ଓ̅ + ଔ̅ − 3݇ത൯ = −ሺ2 + 2 − 12ሻ = 8 5. 17 จากความรู้เรืองการแก้สมการด้วยเมทริกซ์แต่งเติม จะได้ ว่าระบบสมการนีจัดรูปได้เป็น จะได้ ‫ݖ‬ = 2 → ‫ݕ‬ = −1 → ‫ݔ‬ = 1 → ܿ = 2ሺ1ሻ − 5ሺ−1ሻ + 5ሺ2ሻ = 17 6. 12 = ሺlog଻ 5ସሻሺlogହ 7ଷሻ = ሺ4 log଻ 5ሻሺ3 logହ 7ሻ = 12 7. 0.2 ช่องทีให้มา เป็นความถีสะสม → 50 – 59 มี 185 – 145 = 40 คน จํานวนนักเรียนทังหมด = ความถีสะสมชองสุดท้าย = 200 คน → ความน่าจะเป็น = ସ଴ ଶ଴ = 0.2 8. 720 เอา 3 สองตัวมัดติดกันเป็นเลขใหม่ 1 ตัว → กลายเป็นมีเลข 6 ตัว สลับได้ 6! 3 สองตัว สลับในมัดไม่ได้ เพราะซํากัน → จํานวนแบบ = 6! = 720 + − + − + 0 3− ଵ ଶ −1 ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ + 3‫ݖ‬ = 9 ‫ݕ‬ + 3‫ݖ‬ = 5 ‫ݖ‬ = 2
  12. 12. 12 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 9. 3 ܽ௡ = ௡రାଷ௡యି൫௡రାଶ௡మ൯ ሺ௡మାଶሻሺ௡ାଷሻ = ଷ௡యିଶ௡మ ሺ௡మାଶሻሺ௡ାଷሻ → ∞→n lim ܽ௡ = ଷ ሺଵሻሺଵሻ = 3 10. 12 ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ = 3‫ݔ‬ଶ + 6‫ݔ‬ − 9 = 0 → 3ሺ‫ݔ‬ − 1ሻሺ‫ݔ‬ + 3ሻ = 0 → ‫ݔ‬ = 1, −3 → แทน 1, −1, 2 ݂ሺ1ሻ = 1 + 3 – 9 + 1 = −4 , ݂ሺ−1ሻ = −1 + 3 + 9 + 1 = 12 , ݂ሺ2ሻ = 8 + 12 − 18 + 1 = 3 11. 1 ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ − 15ሻ ≤ 10ଶ → ‫ݔ‬ଶ − 15‫ݔ‬ − 100 ≤ 0 → ሺ‫ݔ‬ − 20ሻሺ‫ݔ‬ + 5ሻ ≤ 0 → ‫ݔ‬ ∈ [−5, 20] หลัง log > 0 → ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ − 15ሻ > 0 → ‫ݔ‬ ∈ ሺ−∞,0ሻ ∪ ሺ15, ∞ሻ อินเตอร์เซกกันเหลือ −5, −4, −3, −2, −1, 16, 17, 18, 19, 20 ทังหมด 10 ตัว (เครดิต : ขอบคุณ คุณ Piyapan Sujarittham ทีช่วยตรวจสอบคําตอบ) 12. 4 ค.ร.น. 4620 = 2ଶ ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 , 420 = 2ଶ ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 → ܽ ต้องมี 2ஸଶ ∙ 3ஸଵ ∙ 5ஸଵ ∙ 7ஸଵ ∙ 11ଵ ห้ามมีตัวอืน ห.ร.ม. 60 = 2ଶ ∙ 3 ∙ 5 , 2520 = 2ଷ ∙ 3ଶ ∙ 5 ∙ 7 → ܽ ต้องมี 2ଶ ∙ 3ଵ ∙ 5ஹଵ มีตัวอืนได้ แต่ต้องไม่มี 7 รวมสองอัน ได้ ܽ = 2ଶ ∙ 3ଵ ∙ 5ଵ ∙ 11ଵ = 660 13. 2 2i = 2 cis 90° → ‫ݖ‬ଵ, ‫ݖ‬ଶ = √2 cis 45° , √2 cis 225° = 1 + i , −1 − i คอนจูเกต 1 – i , −1 + i เป็นรากของ ܲሺ‫ݔ‬ሻ = 0 ด้วย ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ܽሺ‫ݔ‬ − 1 − iሻሺ‫ݔ‬ − 1 + iሻሺ‫ݔ‬ + 1 + iሻሺ‫ݔ‬ + 1 − iሻ สปส ‫ݔ‬ସ = 1 → ܽ = 1 → ܲሺ1ሻ = ሺ1 − 1 − iሻሺ1 − 1 + iሻሺ1 + 1 + iሻሺ1 + 1 − iሻ = ሺ−iሻሺiሻሺ2 + iሻሺ2 − iሻ = 5 14. 5 ศกวงรี = ሺ3, 5ሻ รีแนวตัง ܿ = √25 − 9 = 4 → Fሺ3, 5±4ሻ → Fଵሺ3, 9ሻ, Fଶሺ3, 1ሻ เส้นตรง คือ ௬ିହ ௫ି଴ = ଽିହ ଷି଴ → 3‫ݕ‬ − 4‫ݔ‬ − 15 = 0 → ตอบ |ଷሺଵሻିସሺଷሻିଵହ| √ଷమାସమ = ଶସ ହ 15. 4 ก จริง เพราะวนกลับมาทีเดิม ข. หABሬሬሬሬሬԦ ∙ BCሬሬሬሬሬԦห = ቚหABሬሬሬሬሬԦหหBCሬሬሬሬሬԦห cos ߠቚ = หABሬሬሬሬሬԦหหBCሬሬሬሬሬԦห|cos ߠ| ≤ หABሬሬሬሬሬԦหหBCሬሬሬሬሬԦห จริง ค. ABሬሬሬሬሬԦ × BCሬሬሬሬሬԦ = ABሬሬሬሬሬԦ × ൫BAሬሬሬሬሬԦ + ACሬሬሬሬሬԦ൯ = ൫ABሬሬሬሬሬԦ × BAሬሬሬሬሬԦ + ABሬሬሬሬሬԦ × ACሬሬሬሬሬԦ൯ = ABሬሬሬሬሬԦ × ACሬሬሬሬሬԦ = BAሬሬሬሬሬԦ × CAሬሬሬሬሬԦ = −൫CAሬሬሬሬሬԦ × BAሬሬሬሬሬԦ൯ ผิด ง. จริง จากสมบัติในเรืองปริมาตรของทรงสีเหลียมหน้าขนาน 16. 2 2 sin ఈାఉ ଶ cos ఈିఉ ଶ = − ଶ ଷ , 2 cos ఈାఉ ଶ cos ఈିఉ ଶ = ଶ √ଷ จับหารกันได้ tan ఈାఉ ଶ = − ଵ √ଷ ఈାఉ ଶ ∈ [−ߨ, 0] → ఈାఉ ଶ = − గ ଺ → ߙ + ߚ = − గ ଷ
  13. 13. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 13 17. 1 ฐานเป็น −1 ไม่ได้ เหลือ 2 แบบ คือ ฐาน = 1 กับ ሺเลขชีกําลัง = 0 และ ฐาน ≠ 0ሻ ฐาน = 1 ได้ ‫ݔ‬ଶ + 5‫ݔ‬ + 5 = ±1 → ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݔ‬ + 4ሻ = 0 หรือ ሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ‫ݔ‬ + 3ሻ = 0 (เลขชีกําลัง = 0 และ ฐาน ≠ 0) ได้ ‫ݔ‬ = 5 → ตอบ ሺ−1ሻ + ሺ−4ሻ + ሺ−2ሻ + ሺ−3ሻ + ሺ5ሻ = −5 (เครดิต : ขอบคุณ คุณ Piyapan Sujarittham ทีช่วยตรวจสอบคําตอบ) 18. 5 2ଶ௫ − ଺ହ ଶ ሺ2௫ሻ + 16 = 0 → 2ሺ2ଶ௫ሻ − 65ሺ2௫ሻ + 32 = 0 → ሺ2ሺ2௫ሻ − 1ሻሺ2௫ − 32ሻ = 0 → ‫ݔ‬ = −1, 5 19. 1 จับสองอันล่างลบกันได้ ‫ݔ‬ = 2 แทนจะได้ ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ = 8 → ได้ ሺ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ሻ = ሺ−2, 10ሻ, ሺ−1, 9ሻ, … , ሺ10, −2ሻ รวมมี ሺ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ሻ ทังหมด 13 ตัว 20. 5 ܲሺอย่างน้อย 1 คน ได้ Aሻ = 1 – ܲሺไม่มีใครได้ Aሻ = 1 − ൫మఱ య ൯ ൫యబ య ൯ = 1 − ଶହ×ଶସ×ଶଷ ଷ଴×ଶଽ×ଶ଼ = 1 − ଵଵହ ଶ଴ଷ = ଼଼ ଶ଴ଷ 21. 2 จะได้จาก ߤ ถึง ߤ + ܽߪ มีพืนที ଷସ% ଶ = 0.17 → ‫ݖ‬ = 0.44 แปลง ߤ + ܽߪ เป็นค่ามาตรฐานได้ ሺఓା௔ఙሻିఓ ఙ = ܽ ดังนัน ܽ = 0.44 แปลง ߤ + 2ܽߪ เป็นค่ามาตรฐานได้ ሺఓାଶ௔ఙሻିఓ ఙ = 2ܽ = 0.88 → พืนที = 0.31 = 31% ดังนัน จาก ߤ − 2ܽߪ ถึง ߤ + 2ܽߪ จะมีข้อมูล = 2×31% = 62% 22. 3 ∑ሺ‫ݔ‬௜ − ܽሻଶ จะน้อยสุดเมือ ܽ = ‫̅ݔ‬ → จากสมบัติ ‫̅ݔ‬ จะได้ ‫̅ݔ‬ = 3 − ప̅ ହ = 3 − ଵ ହ ቀ ଵାଶା⋯ାଽ ଽ ቁ = 2 = ܽ แทนค่า ܽ จะได้ข้อมูลชุด 2 คือ 1, 0, 1, 2, 3, … , 7 ∑ห‫ݕ‬௝ − ܾห จะน้อยสุดเมือ ܾ = Med → เรียงข้อมูลชุด 2 ได้ 0, 1, 1, 2, 3, 4, … , 7 Med = ตัวที ଽାଵ ଶ = ตัวที 5 = 3 23. 4 ได้ ݂ሺ1ሻ = ݃ሺ1ሻ = 2 และ ݂ᇱሺ1ሻ = 2ሺ1ሻ + 5 = 7 และ ݃ᇱሺ1ሻ = 3ሺ1ଶሻ = 3 ቀ ௙ ௚ ቁ ᇱ ሺ1ሻ = ௚ሺଵሻ௙ᇲሺଵሻି௙ሺଵሻ௚ᇲሺଵሻ ൫௚ሺଵሻ൯ మ = ଶሺ଻ሻିଶሺଷሻ ଶమ = 2 24. 5 ݂ ต่อเนือง จะได้ ݃ሺ−1ሻ = −−→ 1 lim x |௫ାଵ| ଵି௫మ = −−→ 1 lim x ିሺ௫ାଵሻ ଵି௫మ = −−→ 1 lim x ିଵ ଵି௫ = − ଵ ଶ และจะได้ ݃ሺ2ሻ = ඥ2ሺ2ሻ − 3 = 1 ดังนัน 2 1− ∫ ݃ᇱሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬ = ݃ሺ2ሻ − ݃ሺ−1ሻ = 1 − ቀ− ଵ ଶ ቁ = ଷ ଶ
  14. 14. 14 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 25. 3 ܽ௡ = ௡ ೙ మ ሺଵାଶ௡ିଵሻ = ଵ ௡ , ܾ௡ = ௡ ೙ మ ሺଶାଶ௡ሻ = ଵ ௡ାଵ , ∞ = ∑ 1n ሺܽ௡ − ܾ௡ሻ = ଵ ଵ − ଵ ଶ + ଵ ଶ − ଵ ଷ + ଵ ଷ − ଵ ସ + … = 1 26. 4 มี ܽ௜ 6 ตัว เป็นได้ตัวละ 6 แบบ → ݊ሺܵሻ = 6଺ เมทริกซ์สามเหลียมจะมี det = ผลคูณเส้นแทยงมุม → ܽଵܽସܽ଺ = 27, −27 → ܽଵ, ܽସ, ܽ଺ = 3, −3 ตัวละ 2 แบบ ส่วน ܽଶ, ܽଷ, ܽହ เป็นอะไรใน 6 แบบก็ได้ → ตอบ ଶయ଺య ଺ల = ଼ ଺య 27. 4 ให้ ‫ݖ‬ = ‫ݔ‬ + ‫݅ݕ‬ → ‫ܣ‬ คือ ඥሺ‫ݔ‬ − 1ሻଶ + ‫ݕ‬ଶ + ඥሺ‫ݔ‬ − 5ሻଶ + ‫ݕ‬ଶ = 6 → ผลรวม ระยะจาก ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ไป ሺ1, 0ሻ และ ሺ5, 0ሻ = 6 → กราฟเป็นวงรีแนวนอน มีโฟกัสที ሺ1, 0ሻ, ሺ5, 0ሻ ศกሺ3, 0ሻ , ܿ = 2 , ܽ = ଺ ଶ = 3 , ܾ = √3ଶ − 2ଶ = √5 ‫ܤ‬ คือ ቚඥሺ‫ݔ‬ − 1ሻଶ + ‫ݕ‬ଶ − ඥሺ‫ݔ‬ − 7ሻଶ + ‫ݕ‬ଶቚ = 4 → ผลต่าง ระยะจาก ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ไป ሺ1, 0ሻ กับ ระยะจาก ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ไป ሺ7, 0ሻ = 4 → กราฟเป็นไฮเพอร์โบลาแนวนอน มีโฟกัสที ሺ1, 0ሻ, ሺ7, 0ሻ ศกሺ4, 0ሻ , ܿ = 3 , ܽ = ସ ଶ = 2 , ܾ = √3ଶ − 2ଶ = √5 วาดรูป ‫ܣ‬ กับ ‫ܤ‬ จะเห็นว่ามีจุดตัด 3 จุด ดังนัน ݊ሺ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ሻ = 3 (เครดดิต : ขอบคุณ คุณ Watchara Kanchananit ทีช่วยบอกจุดทีผมพิมพ์ผิดในข้อสอบ) 28. 3 ตัวทีหารด้วย 5 ไม่ลงตัว มี 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, … จับกลุ่ม 4 ตัวได้ ሺ1, 2, 3, 4ሻ, ሺ6, 7, 8, 9ሻ, ሺ11, 12, 13, 14ሻ, … → 10, 30, 50, … จะหาว่า 10 + 30 + 50 +… กีตัว ถึงจะ ≥ 9000 (เพราะยังไม่แน่ว่าจับกลุ่ม 4 ตัวได้ลงตัว) จะได้ ௞ ଶ ሺ2ሺ10ሻ + ሺ݇ − 1ሻ20ሻ ≥ 9000 → ݇ ≥ 30 พอดี → ݊ = 4ሺ30ሻ = 120 29. 2 1 0 ∫ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬ = ௔௫య ଷ + ௕௫మ ଶ + ܿ‫ݔ‬ อ 1 0 = ௔ ଷ + ௕ ଶ + ܿ → 3|ܽ และ 2|ܾ ܽ ได้ 2 แบบ {3, 6} และ ܾ ได้ 3 แบบ {2, 4, 6} และ ܿ เป็นอะไรก็ได้ 6 แบบ → ଶ×ଷ×଺ ଺×଺×଺ = ଵ ଺ 30. 3 ก. ที 2 < ‫ݔ‬ < 3 → ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ = −1 → ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −‫ݔ‬ + ܿ → ก ผิด ข. ที 0 < ‫ݔ‬ < 2 → ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ เป็นบวกในช่วง ሺ0, 1ሻ → ݂ሺ‫ݔ‬ሻ เป็นฟังก์ชันเพิมในช่วง ሺ0, 1ሻ → ข ผิด ค. ที ‫ݔ‬ = 4 → ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ เปลียนจาก ลบ → ศูนย์ → บวก ดังนัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ เปลียนจาก ลด → วกกลับ → เพิม ดังนัน ‫ݔ‬ = 4 เป็นจุดตําสุดสัมพัทธ์ → ค ถูก ค. ที ‫ݔ‬ = 1 → ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ เปลียนจาก บวก → ศูนย์ → ลบ ดังนัน ݂ሺ‫ݔ‬ሻ เปลียนจาก เพิม → วกกลับ → ลด
  15. 15. วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ (ม.ค. 56) 15 ดังนัน ‫ݔ‬ = 1 เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ → ง ถูก

×