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ポワソン分布の分布感をつかむ

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2015年7月26日に開催された魁!!広島ベイズ塾での発表資料です。

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ポワソン分布の分布感をつかむ

  1. 1. ポワソン分布の分布感をつかむ 徳岡 大 ベイズ塾「分布感をつかむ」 2015 年 7 月 26 日
  2. 2. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 概要 結果的にポワソン分布のことが書いてある豊田本の要約なってしま いました。 1 ポワソン分布の定義 2 ポワソン分布の解釈 3 ポワソン分布の適用 2 / 15
  3. 3. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 ポワソン分布の定義 ポワソン分布とは 2 項分布の試行数(n)× 成功確率(θ)を一定の値 λ に保った状態 で n を無限大に,θ を 0 に向けて極限をとる場合に従う確率関数 f (x|λ) = e−λλx x! 各パラメタの制約や意味 λ: 確率分布の平均,平均 = 分散 x:0 ≤ x ≤ ∞, x は整数 3 / 15
  4. 4. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 ポワソン分布の定義 ポワソン分布を描いてみる R のコード ### poisson curve x <- rep(0:20) prob <- dpois(x, 2) plot(x, prob, type = "b", ylim = c(0, 0.3), lty = 3) par(new=T) prob <- dpois(x, 5.5) plot(x, prob, type= "b", ylim = c(0, 0.3), col = "green", lty = 5) par(new=T) prob <- dpois(x, 11.1) plot(x, prob, type= "b", ylim = c(0, 0.3), col = "blue", lty = 1) 4 / 15
  5. 5. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 ポワソン分布の定義 ポワソン分布を描いてみる 黒線(λ = 2),緑線(λ = 5.5),青線(λ = 11.1) 5 / 15
  6. 6. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 ポワソン分布の定義 ポワソン分布の適用例 いろいろと適用可能 単位時間当たりの 破産件数流れ星の数 交通事故数 昆虫の産卵数 窓口への来客数 固定電話着信数 綴りを間違える回数 単位面積あたりの レストランの軒数 爆弾命中数 6 / 15
  7. 7. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 ポワソン分布に基づく具体的な確率の解釈 誰かがレポートを提出した次の 10 秒間に何人が提出するか (λ = 0.8 の場合) 7 / 15
  8. 8. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 ポワソン分布に基づく具体的な確率の解釈 確率関数へのあてはめ ### compute probability # in case of x = 0 a <- 2.718281^(-0.8)*0.8^0/1 # in case of x = 1 b <- 2.718281^(-0.8)*0.8^1/1 # in case of x = 2 c <- 2.718281^(-0.8)*0.8^2/(2*1) # in case of x >= 3 1-(a+b+c) 誰かがレポートを提出した次の 10 秒間に何人が提出するか λ = 0.8 の場合 0 人の確率は 0.449,1 人の確率は 0.359,2 人の確率は 0.144, 3 人以上の確率は 0.047 8 / 15
  9. 9. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 1 つのポワソン分布を用いた推測 ポワソン分布を用いた推測 例題 流れ星を 5 分ごとに 10 回観測した結果,観測個数は 1, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 1 だった。次の 5 分間で流れ星が 2 個観測できる確率は? だいたいこんな感じ λ = 5/10 = 0.5 なので,x ∼ poisson(0.5) から 2 個観測できる確 率を評価。ポワソン分布の確率関数にあてはめて計算可能 9 / 15
  10. 10. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 1 つのポワソン分布を用いた推測 MCMC で解くなら stan code(nagareboshi.stan) data{ int<lower=0> N; int<lower=0> x[N]; } parameters{ real<lower=0> lambda; } model{ x ~ poisson(lambda); } generated quantities{ real<lower=0, upper=1> p; real sqrt_lambda; p <- exp(-lambda) * pow(lambda, 2) * falling_factorial(1,2); sqrt_lambda <- sqrt(lambda); } 10 / 15
  11. 11. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 1 つのポワソン分布を用いた推測 MCMC で解くなら R のコード model <- stan_model(file = "nagareboshi.stan") fit <- sampling(model, data = dat, iter = 100000, chain = 1, warmup = 5000, seed = 123) print(fit, digit=3) 推定結果から,2 個観測できる確率は 95%の確率で 2∼21% 11 / 15
  12. 12. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 2 つのポワソン分布を用いた推測 ポワソン分布を用いた推測 例題 下の表は 1 ヶ月間の取材でウミガメにであった数。A 島より B 島の ほうがウミガメに出会える確率は高いと判断してよいか 1 日にウミガメに出会った数 0 匹 1 匹 2 匹 3 匹 A 島 25 4 1 0 B 島 16 11 1 2 だいたいこんな感じ A 島では 1 日平均 0.20 匹(λA = 0.20),B 島では 0.67 匹 (λB = 0.67) 12 / 15
  13. 13. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 2 つのポワソン分布を用いた推測 確率分布はだいたいこんな感じ R のコード y <- rep(0:4) prob <- dpois(y, 0.2) plot(y, prob, type = "b", ylim = c(0, 0.8)) par(new=T) prob <- dpois(y, 0.67) plot(y, prob, type = "b", lty=2, ylim = c(0, 0.8)) 13 / 15
  14. 14. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 2 つのポワソン分布を用いた推測 MCMC で解くと stan code(umigame.stan) data{ int<lower=0> N; int<lower=0> x1[N]; int<lower=0> x2[N]; } parameters{ real<lower=0> lambdA; real<lower=0> lambdB; } model{ x1 ~ poisson(lambdaA); x2 ~ poisson(lambdaB); } generated quantities{ real delta; real p_delta; delta <- lambdaB - lambdaA; p_delta <- step(delta); } 14 / 15
  15. 15. ポワソン分布の定義 ポワソン分布の解釈 ポワソン分布の適用 2 つのポワソン分布を用いた推測 MCMC で解くと 差の母数は 95%の確率で 10∼78%の間にある B のほうが大きい確率も 99.5%で成立 15 / 15

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