1. 経路積分と確率過程
第1回文献紹介勉強会
2014/08/26 @Fringe81
Masakazu Sano / 佐野正和/ @Masa_S3
Fringe81 inc.
1

2. 本日のお題
• 自己紹介(10minくらい？)
• 前半：スライド(0.5h)
 イントロダクション-- トピック選択の動機--
 確率過程を覗いてみる
 ちょっと経路積分を覗いてみる
 後半の予告
• 休憩(10min)
• 後半：ホワイトボード(1.5h)
 確率過程量子化
経路積分からKolmogorov forward / backward equationを導出
 金融工学への応用ブラックショールズ方程式・解の導出
 例：コール・オプション
 時間方向差分の取り方と超対称量子力学との関係(時間があれば)
超対称量子力学のハミルトニアン/ウィッテン指数
 予測方程式(アイデアベース・時間があれば)
 まとめ・議論
2

3. イントロダクショントピック選択の動機
 予測分析は重要
 例えばネット広告の例
 入札単価や日予算などを調整して配信調整する。
 調整を繰り返し、目的達成を目指す。
 目的は顧客数最大化だったり、獲得効率最大化だったりさまざま。
 配信調整をより良くするために、パラメータ変動を予測したい。
 CV(コンバージョン)予測、UU（ユニークユーザ）予測、消化額予測、
CTR(click through rate)予測、CPC(入札単価)予測。。。
 クライアントの売上げアップ、認知アップ
3

4. イントロダクショントピック選択の動機
 予測分析は重要
 数値の推移はある程度の傾向を持ちつつも、ランダム性を持つ。
 例えばデータが平均値を中心に上下に揺れ動く。
 完全にランダムではなく、数値の変動が複数間で連動している場合もあ
る。
 外的影響が加わる場合もある。
 与件の変更、クリエイティブの追加、キャンペン構造の変更など。
 このようなランダムネスのダイナミクスをモデル化する枠組みの一つに確
率過程論がある。
 確率過程論を数学的に厳密に扱うと、抽象性が高く応用するのに苦労す
る。
 精度の高いモデルを作るためには、実用的で簡単、汎用的に確率過程
を扱える手法がほしい。
4

5. イントロダクショントピック選択の動機
そもそも、確率過程ってどうなの？使えそうなの？
5

6. イントロダクショントピック選択の動機
 確率過程って使えそうなの？
 確率過程は金融工学、時系列分析、最適制御、複雑系、グラフ分析、状態
空間モデル、など幅広い応用面で使われている。
数期先の予測値も使って精度の高い分類器を作りたい。
 たとえばCVユーザを分類するため、実績データに加え確率過程から得られた数
期先の予測行動履歴も使う。
 これを実現させるためには高い精度の予測値が必要。
過去データ予測データ
分類器
ユーザ
期待できそうだけれど、でもなんか難しそう。。。
CVユーザ
非CVユーザ
6

7. イントロダクショントピック選択の動機
 確率過程の理論面
 実際、確率過程を数学的厳密に定式化すると非常に抽象的（応用への障
壁が高い）。
 できれば確率過程を出来るだけ簡単に扱いたい(多少数学的厳密さに目を
つむっても)。
 物理数学っぽくしたい。
 経路積分表示で確率過程を定式化すると、問題を扱いやすくできる（物理
屋にはわかりやすい）[7]。
 非常に簡潔！！！
7

8. イントロダクショントピック選択の動機
 確率過程の理論面
 ちなみに経路積分は大学で普通に習う線積分のことではありません！！！
 経路積分= 確率(マルコフ過程)
 経路積分では、偏微分方程式から確率を求めるより広いクラスの確率を定義できる。一般的。
 計算機に乗せられるように離散化された定式化が必要⇒できる。
 応用例もあるので実用面（最適化）への活用を期待できる(制御理論、フィ
ルター理論[8, 9])。
 経路積分で確率過程を解釈してみよう！！
8

9. 確率過程を覗いてみる
9

10. 確率過程
• ランダムに対象が動く過程（ウィーナー過程）。
• 例：ブラウン運動
• 溶液中に浮遊する微粒子がランダムに運動。
• 株価の動き等もランダム性を持つ。
10

11. 確率過程
• 確率微分方程式
ゆらぎ
平均的軌道
• 絵で見るとわかりやすそうですが。。。
11

12. 確率過程
• よく考えると扱うのが難しいそうなことに気づく。
• 軌道はギザギザ。
• 連続だけれど滑らかではない。
• 安易に微分ができない。
• 運動を記述するとき方程式に微分がたくさん出てくるけどど
うするの？
12

13. 確率過程
• 確率変数に依存する関数の満たすべき方程式を求める際
には伊藤の公式を使う。
• この公式を数学的厳密に証明も含めて理解しようとすると
かなり難しい。
• 実用上、割り切って公式を使えるが、なにかもやもやする。
伊藤の公式
？
13

14. 確率過程
• 例えば伊藤の公式を使うとブラック・ショールズ偏微分方程式
を求めることができる。一方で偏微分方程式は一般に解くの
が難しい。
• 期待値の評価でどういう分布を使っているか見た目からすぐ
分からない（評価するためにギルサノフの定理や測度変換と
か必要）。
偏微分方程式(ブラック・
ショールズ偏微分方程式)
解
伊藤の公式
14

15. 確率過程
• 経路積分は逆のアプローチ。
• 後半で説明する手法を使うと、比較的簡単に経路積分表
示（解）を得られる。
• 経路積分を使う場合、抽象的な測度変換などの操作をあ
からさまに使う必要がない。
• 高次のオーダーの効果も自然に含まれている。
解（経路積分表示）
偏微分方程式を満たす。
15

16. ちょっと経路積分を覗いてみる
16

17. 経路積分(Path integral)[1]
17
•素粒子物理学で誕生
•Richard Feynman(ノーベル賞学者)が発明(1948)。
•現代素粒子物理学では必要不可欠。
•粒子が通過するあらゆる経路の可能性を考慮して、
もっとも起こりうる軌道(ダイナミクス)を求める。
wikipedia
マクロ
この軌道のみ起こる
ミクロ
実現確率：低
実現確率：低
実現確率：高

18. 経路積分(Path integral)[1]
• 注意：経路積分は大学初年度に習う線積分ではありません。
• 線積分：積分領域(パス、区間)が決まっている。固定。
• 経路積分；積分領域は変数が取りうる領域全て。
• 経路積分が求めているのは確率。
18
線積分
経路積分
軌道の長さが無限大まで考える。

19. 経路積分の考え方
• 経路を細かく切って運動を数珠つなぎに考える。
• 十分小さく時間間隔を区切れば、直前の情報にのみ依存していると考
えても不自然ではない。遠い記憶は忘れている。
• マルコフ過程。
•
19
19

20. 経路積分の考え方
20
時間
座標
1つのパスの実現確率
Markov過程

21. 経路積分の考え方
21
時間
座標
粒子が位置する座標範囲の可能性は
あらゆる経路の寄与を含めた実現確率

22. 経路積分の考え方
22
時間
座標
最も起こりうる軌道(解)が求まる
この部分を最大化する

23. 経路積分の考え方
23
時間
座標
確率が最大化される経路
• 例を考えてみましょう。
• 正規分布

24. 経路積分
• μ = 0の場合
ユークリッド化自由シュレディンガー方程式
＝ 確率分布の満たす方程式
➞上記方程式はKolmogorov equation(Markov過程が満たす方程式)
24

25. 経路積分
• μ = 0の場合
•一言でいえば、経路積分から始めると確率をデザインできる。
•軌道が求まる（エントロピー最大）
•確率過程を記述する道具として扱いやすい。
25

26. 後半の予告
26

27. 後半の予告
• マルコフ過程に焦点を当てる。
• 経路積分からKolmogorov forward / backward equationを導出。
 参考文献[1, 2, 3]
• 金融工学への応用ブラックショールズ方程式の解の導出。
 参考文献[4, 5]
• 時間方向差分の取り方と超対称量子力学との関係(時間があれ
ば)
 参考文献[6]
• 予測方程式(アイデアベース・時間があれば)
27

28. 後半の予告(付録)
28

29. 後半(確率過程量子化)のおおまかな流れ
• モデル作成レシピ
 材料：離散確率微分方程式を用意(ランジェバン程式)。
 拘束条件として確率微分方程式を課す。
中点処理(これをしないと偏微分
方程式をうまく導出できない)
スーパーポテンシャル
連続理論の場合はFaddeev-Popov行列式に対応
29

30. 後半(確率過程量子化)のおおまかな流れ
• モデル作成レシピ続き
 経路積分形式。
 経路積分が満たす偏微分方程式を得る(Kolmogorov forward
(backward) equation)
拘束条件を掛けて先にη積分を実行
30

31. 参考文献
1. 九後汰一郎,ゲージ場の量子論〈1〉(新物理学シリーズ) ,培風館(1989/07)
2. G. Parisi and N. Sourlas, Supersymmetric Field Theories and Stochastic Differential Equations,
Nucl.Phys. B206 (1982) 321
3. Michio Masujima, Path Integral Quantization and Stochastic Quantization (Springer Tracts in
Modern Physics) , Springer (2000/1/15)
4. J. Dash, Path Integrals and Options, Part I, CNRS Preprint CPT88/PE.2206. , 1988
5. J. Dash, Quantitative finance and risk management : a physicist’s approach, World Scientific Pub.,
2004.
6. 坂本眞人,別冊数理科学量子力学から超対称性へ2012年12月号,サイエンス社(2012/12/17)
7. Yu Nakayama, Gravity Dual for Reggeon Field Theory and Non-linear Quantum Finance,
Int.J.Mod.Phys.A24:6197-6222,2009
8. H.J. Kappen, A linear theory for control of non-linear stochastic systems,
10.1103/PhysRevLett.95.200201
9. Bhashyam Balaji, Universal Nonlinear Filtering Using Feynman Path Integrals I: The Continuous-
Discrete Model with Additive Noise, Aerospace and Electronic Systems, IEEE Transactions on
(Volume:48 , Issue: 3 )
31