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4to Trabajo de Matematica Aplicada II - Series de Fourier - UNTECS

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19 Ejercicios resueltos de Series de Fourier - Matematica Aplicada II - UNTECS

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4to Trabajo de Matematica Aplicada II - Series de Fourier - UNTECS

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONALTECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMAINGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES IV INFORME DE MATEMATICA APLICADA II -SERIES DE FOURIER- Alumnos: CAHUANA GOMEZ GUSTAVO ANTONIO CONCHA SANDOVAL MARVIN THOMAS QUINTANA PENA EMERSON PANTA VASQUEZ LUIS MIGUEL POCCO TAYPE, JUAN ALBERTO 2011 – II
  2. 2. SERIES DE FOURIER 1) Hallar la serie de Fourier de las siguientes funciones: ( ) 2Sol. ( ) ∑ ( ( ) ( )) ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ( ))| ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ( ))| ( ( ) ) ( ( ))
  3. 3. * + { * + ( ) ( ) 2) Hallar la serie de Fourier de la siguiente función: 1-- 𝜋 𝜋 -1--Sol.a) ∫ ( ) (∫ ∫ ∫ ) . /b) ∫ ( ) (∫ ∫ ∫ )
  4. 4. ( 0 1 0 1 ) ( * ( * {c) ∫ ( ) (∫ ∫ ∫ ) (0 1 0 1 ) ( * {( ) ( ) ∑( ) ( ) ( ) 3) Sea la función :
  5. 5. Hallar la serie de Fourier:Sol.Calculamos: ∫ ( ) ∫ ( | ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ( )| ) ( . /) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ( )| ) . . / / ( . /)Luego: * + * + { * + * + * + { * + : ( ) ( )
  6. 6. 4) Sea la función : 1 π πSol.Calculo de a0a0 = ∫ ( ) = (∫ ∫ ∫ )a0 = ( . / )= = ∫ ( ) ( ) = (∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ) ( ) = ( ) = ( . / ( ))Para n un número par: a n = 0Para n sean los números impares se tiene: = ; n = 1, 5, 9, 13 = ; n = 3, 7, 11, 15Calculo de
  7. 7. = ∫ ( ) ( ) = (∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ) ( ) = ( ) =0Reemplazando en la serie de Fourier los valores: ( ) ∑( ( ) ( ))Rpta: ( ) ( ) 5) Sea la función :Sol. ∫ ( ) (∫ ∫ + . / ∫ ( ) ( ) (∫ ( ) ∫ ( ) +
  8. 8. ( . / . /) ∫ ( ) ( ) (∫ ( ) ∫ ( ) + ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) * 6) Sea la función : 1 𝜋 𝜋 -1Sol.a) ∫ ( ) (∫ ∫ ) (, - , - )b) ∫ ( ) (∫ ∫ ) ( 0 1 0 1 *
  9. 9. . 0 1 /c) ∫ ( ) (∫ ∫ ) (0 1 0 1 * ( * { ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) 7) Sea la función: f(x) = π πSabemos que:F(x) = , -π πDonde: * + { * +Luego:f(x) = ( )Hallamos: π π ∫ ( ) π π π
  10. 10. π ∫ ( ) ( ( ) ( ) ( ) π π π π ( π)) cos(n π) π ∫ ( ) ( ( ) ( ) ( )) π π πLuego: Rpta: 0 8) Sea la función: ( ) 2Calculo de a0a0 = ∫ ( ) = a0 = (∫ ∫ )=a0 =Calculo = ∫ ( ) ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) ) ( ) ( ) = (∫ ( ) )= ( ) = ( ( ))Si n es par: =0Si n es impar: =Calculo de
  11. 11. = ∫ ( ) ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) ) (I) ( ) ( ) ( )∫ ( ) =( ) =( ) ( )∫ ( ) = (II) ( ) ( )∫ ( ) =( ) =( ) ) (III)(III) y (II) en (I): ( ) ( ) = ( )Si n es par: = ( )=Si n es impar: = ( )=Reemplazando en la serie de Fourier los valores: ( ) ∑( ( ) ( )) ( ) ( * ( *( * ( )
  12. 12. 9) Encontrar la Serie de Fourier: π ( ) { πSol.Hallamos: ∫ ∫ π π= - (∫ ( ) ∫ ( ) ) π π ( ( ) ( ) ( )π π ( ( ) * πDonde: * + { * +Luego: Rpta: F(x) = - + (Cosx + ) 10) Sea la función : -x 𝜋 𝜋 𝜋
  13. 13. Sol.a) ∫ ( ) (∫ ∫ ) ( , - *b) ∫ ( ) (∫ ) ( ([ ] )+ ( ) {c) ∫ ( ) ∫ ([ ] ) { ( ) ∑ ) ( ) ( * ( *
  14. 14. 11) Sea la función : ( ) ( ) 2Sol.Calculemos:a0= ∫ ∫= ∫ ( ) ∫ ( )= ∫ ( ) ∫ ( )bn = , ( ) -Donde: * { *Luego: ( ) ( *12) Sea la función: ( ) 2Sol.Calculo de = ∫ ( ) = (∫ ( ) ∫ ) = ∫ =0
  15. 15. Calculo de = ∫ ( ) ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) ) = ∫ ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) ) ( ) ( ) = . ( ) / = ( ( ) )+ ( ( ) ) ( ) ( )Si n es un número par: = 0Si n es un número impar: = = ( ) ( ) ( )( )Calculo de = ∫ ( ) ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) ) = ∫ ( ) = (∫ ( ) ∫ ( ) ) =0Reemplazando en la serie de Fourier los valores: ( ) ∑( ( ) ( )) ( ) ( )
  16. 16. 13) Sea la función: ( ) 2 Sol.a0 = ∫ ( ) (( ) ) (( ) )an = ∫ ( ) [ . ( ) ( ) /] (( ) ) (( ) )an = . ( ) ( ) ( ) ( ) / ( )π ( )π ( * ( ) ( )Para a1 = ( )Hacemos lo mismo en bn: ( )π ( )π ( * ( ) ( )Para n=1: . /Luego: ( ) ( *
  17. 17. 14) Sea la función : 1 𝜋 𝜋 -1Sol.a) ∫ [ ]b) ∫ ( ) (∫ ) ( [ ] ( *c) ∫ ( ) ∫ ( [ ] ( * 0 ( )1 ,( )- ( ) ( ) { ( )
  18. 18. ( ) ∑ ( ) ( * 15) Sea la función: ( )Sol. ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( )Por ORTOGONALIDAD, sabemos que si ‘n’ es diferente a ‘m’ entonces saldrá 0.Pero no será así cuando n = m = 2. Donde al final sale 1.Entonces al reemplazar en Fourier, sale: 1 · cos(2x) = cos2x ( ) ∑( ) ( )
  19. 19. 16) Sea la función: ( ) πSol.Se observa que no se toma:El recorrido total π πPor lo que vamos a duplicar los coeficientes de Fourier: ( ) ∑ ( ( ) ( )) (I)Calculo de = ∫ ( ) = ∫ =0 = ∫ ( ) ( )Calculo de = ∫ ( ) ∫ ( ) ( )Calculo de = ∫ ( ) ( ) = ∫ ( ) (∫ ( ) ∫ ( ) ) (II) ( )∫ ( ) = (III) ( )∫ ( ) = (IV)
  20. 20. (III) y (IV) en (II): ( ) ( ) = (∫ ( ))Si n es un número par: = (∫ ( ))Si n es número impar: = (∫ ( )) (( ) )( )Reemplazando los valores en la serie de Fourier en (I): ( ) ( ) ∑( ( ) ( ) ( ) ( )* ( )( )Luego: ( ) ( ) 17) Sea la función: ( )Sol. ∫ ∫ ( ⁄ ) ( ⁄ ) ( + ( ⁄ ) ( ⁄ )
  21. 21. ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ⌊ ⌋ ( ) ( ) ( ) ( * 18) Sea la función: ( )Sol:a) ∫ ∫ ( * (∫ ∫ ) (, - [ ]b) ∫ ∫ ( * (∫ ∫ * (0 1 [ ( ] , ( * (( ) ( )) ( )
  22. 22. c) ∫ ∫ ( * (∫ ∫ * (0 1 [ ( ] , ( *Luego: ( ) 19) Sea la función : ( ) 2Sol. (∫ ∫ ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ( ) )Luego: ( ) ( *

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