A partir del problema planteado se manifiesta lo siguiente: ¿Qué tipo de ecuaciones diferenciales podemos aplicar para calcular el tiempo que se tarda en vaciar el contenido líquido de un tanque?
En un canal, existe agua dulce retenida por una compuerta rectangular plana con una anchura de 0,6m (en dirección perpendicular a la hoja) que está soportado por un pasador en B. La pared vertical BD se fija en su posición. Si el peso de la puerta es despreciable, determinar la fuerza F requerida para comenzar a abrir la puerta; además encontrar la reacción en el pasador B
En un canal, existe agua dulce retenida por una compuerta rectangular plana con una anchura de 0,6m (en dirección perpendicular a la hoja) que está soportado por un pasador en B. La pared vertical BD se fija en su posición. Si el peso de la puerta es despreciable, determinar la fuerza F requerida para comenzar a abrir la puerta; además encontrar la reacción en el pasador B
En la figura se muestra una compuerta rectangular que contiene agua tras ella, si la profundidad del agua es 6 pie, calcule la magnitud y ubicación de la fuerza resultante sobre la compuerta; halle también la fuerza que actúa sobre el tope y en la bisagra.
El estudio del flujo en sistemas de tuberías es una de las aplicaciones más comunes de la mecánica de fluidos, esto ya
que en la mayoría de las actividades humanas se ha hecho común el uso de sistemas de tuberías. Por ejemplo la
distribución de agua y de gas en las viviendas, el flujo de refrigerante en neveras y sistemas de refrigeración, el flujo de
aire por ductos de refrigeración, flujo de gasolina, aceite, y refrigerante en automóviles, flujo de aceite en los sistemas
hidráulicos de maquinarias, el flujo de de gas y petróleo en la industria petrolera, flujo de aire comprimido y otros
fluidos que la mayoría de las industrias requieren para su funcionamiento, ya sean líquidos o gases.
En la figura a continuación, un eje lubricado de 40mm de diámetro rota dentro de una camisa de acero concéntrica de 40.2mm de diámetro y 60mm de longitud; el claro entre la camisa y el eje es de tal manera que se puede suponer un perfil de velocidades lineal para el lubricante (μ=0,2 (N∙s)⁄m^2 ).
¿Qué potencia (en hp) debe tener el sistema para que el eje pueda rotar bajo éstas condiciones?
En primer lugar al llegar al laboratorio se recibió por parte del docente una inducción sobre El Campo Eléctrico que se refiere al comportamiento del campo con diferentes materiales como en este caso fue el zinc y el cobre, luego con el voltímetro procedimos a medir las cargas que hay en diferentes posiciones con las placas de zinc y cobre.
En la figura se muestra una compuerta rectangular que contiene agua tras ella, si la profundidad del agua es 6 pie, calcule la magnitud y ubicación de la fuerza resultante sobre la compuerta; halle también la fuerza que actúa sobre el tope y en la bisagra.
El estudio del flujo en sistemas de tuberías es una de las aplicaciones más comunes de la mecánica de fluidos, esto ya
que en la mayoría de las actividades humanas se ha hecho común el uso de sistemas de tuberías. Por ejemplo la
distribución de agua y de gas en las viviendas, el flujo de refrigerante en neveras y sistemas de refrigeración, el flujo de
aire por ductos de refrigeración, flujo de gasolina, aceite, y refrigerante en automóviles, flujo de aceite en los sistemas
hidráulicos de maquinarias, el flujo de de gas y petróleo en la industria petrolera, flujo de aire comprimido y otros
fluidos que la mayoría de las industrias requieren para su funcionamiento, ya sean líquidos o gases.
En la figura a continuación, un eje lubricado de 40mm de diámetro rota dentro de una camisa de acero concéntrica de 40.2mm de diámetro y 60mm de longitud; el claro entre la camisa y el eje es de tal manera que se puede suponer un perfil de velocidades lineal para el lubricante (μ=0,2 (N∙s)⁄m^2 ).
¿Qué potencia (en hp) debe tener el sistema para que el eje pueda rotar bajo éstas condiciones?
En primer lugar al llegar al laboratorio se recibió por parte del docente una inducción sobre El Campo Eléctrico que se refiere al comportamiento del campo con diferentes materiales como en este caso fue el zinc y el cobre, luego con el voltímetro procedimos a medir las cargas que hay en diferentes posiciones con las placas de zinc y cobre.
Después de la inducción recibida por el docente en el laboratorio procedimos a realizar la práctica que consistía en poder armar circuitos en serie y circuitos en paralela con la ayuda del profesor y luego medir a q distancia esto nos iba a dar el valor de 0 en el voltímetro.
Los problemas de liderazgo y su afectación en el funcionamiento de las empresas.Martín Vinces Alava
La importancia de conocer los problemas de liderazgo y su afectación de las empresas consiste que conociendo dichas afectaciones la empresa podría tomar las medidas necesaria para capacitar o cambiar a los encargados de liderar su empresa para la mejora de la misma.
El arroz, semilla de la planta Oryza sativa, es un cereal de gran consumo a nivel mundial, siendo la base de la alimentación de muchas culturas, en especial la asiática
La Psicología Social aborda temas relacionados con la influencia social y la interacción, y específicamente, se pueden enlistar los siguientes campos de reflexión privilegiados por el enfoque psicosocial: la percepción social, la cognición social, las actitudes, la persuasión, la socialización, las conductas sociales, la personalidad, el comportamiento y estructura de los grupos sociales, la relación entre el ambiente y el comportamiento, y la comunicación humana
En primer lugar al llegar al laboratorio se recibió una introducción sobre la electrización que se refiere a como se cargan los cuerpos, para entender cómo funciona la práctica a realizar, luego se procedió a frotar una barra de caucho con lana y se pudo saber que este adquiere carga negativa, así mismo al frotar una barra de vidrio con seda este adquiere carga positiva.
Es el cereal con mayor contenido de grasas. Tiene el 65% de grasas insaturadas y el 35% de ácido linoleico.
Es una planta que tiene menor resistencia al frío que la cebada y el trigo. Se siembra a principios de la primavera, para ser cosechada a fines del verano.
Es la estimación de los recursos financieros que tiene el Ecuador; es decir, aquí están los Ingresos (venta de petróleo, recaudación de impuestos, etc.) pero también están los Gastos (de servicio, producción y funcionamiento estatal para educación, salud, vivienda, agricultura, seguridad, transporte, electricidad, etc de acuerdo a las necesidades identificadas en los sectores y a la planificación de programas de desarrollo)
Planta anual, de la familia de las Gramíneas, muy parecida al trigo, con el tallo delgado, fuerte y flexible, de uno a dos metros de altura; hojas planas y estrechas, espiga larga, estrecha y comprimida, de la que se desprenden con facilidad los granos, que son de forma oblonga, puntiagudos por un extremo y envueltos en un cascabillo áspero por el dorso y terminado en arista
La Psicología Social aborda temas relacionados con la influencia social y la interacción, y específicamente, se pueden enlistar los siguientes campos de reflexión privilegiados por el enfoque psicosocial: la percepción social, la cognición social, las actitudes, la persuasión, la socialización, las conductas sociales, la personalidad, el comportamiento y estructura de los grupos sociales, la relación entre el ambiente y el comportamiento, y la comunicación humana
Los centros de documentación están constituidos por personas que procesan la información de los documentos de un campo temático, en el que este especializado, con el fin de proveer información abreviada a una comunidad de usuarios especializados.
Un sistema de distribución de energía eléctrica es el conjunto de equipos que permiten energizar en forma segura y fiable un número determinado de cargas, en distintos niveles de tensión, ubicados generalmente en diferentes lugares.
En el siguiente trabajo hablaremos que es un sistema de distribución de energía dentro de una vivienda, como funciona y cuales son las medidas a tomar para evitar la sobrecarga de circuitos y corto circuitos dentro de los hogares.
Análisis de modelo de mercado, determinación de precios y rendimiento en su p...Martín Vinces Alava
Este proyecto tiene como fin conocer sobre el modelo de mercado, determinación de precios y rendimiento en su planificación de la Aerolínea LAN, para así poder conocer y entender la organización y planificación de dicha empresa y poder asociarlos ala asignatura de Micro y Macro Economía, este proyecto cuenta con los recursos tanto bibliográficos como humanos para desarrollar la investigación respectiva
Un sistema de distribución de energía eléctrica es el conjunto de equipos que permiten energizar en forma segura y fiable un número determinado de cargas, en distintos niveles de tensión, ubicados generalmente en diferentes lugares.
En el siguiente trabajo hablaremos que es un sistema de distribución de energía dentro de una vivienda, como funciona y cuales son las medidas a tomar para evitar la sobrecarga de circuitos y corto circuitos dentro de los hogares.
El arroz, semilla de la planta Oryza sativa, es un cereal de gran consumo a nivel mundial, siendo la base de la alimentación de muchas culturas, en especial la asiática
Proyecto de etica profesional etica de un ingeniero industrial en si área de ...Martín Vinces Alava
Generalmente se entiende la ética como una disciplina o campo de estudio que trata los deberes y obligaciones morales. Esto normalmente da origen a una serie de principios directores o valores que, a su vez, son usados para juzgar la conveniencia de conductas o comportamientos particulares. Estos principios se presentan corrientemente, bien como grandes líneas directrices de naturaleza idealista o inspirada, o bien como una serie detallada y específica de reglas expresadas en términos legales o imperativos para hacerlas más aplicables.
En el laboratorio después de la introducción que nos dio el profesor empezamos a realizar nuestra práctica q consistía en calcular el voltaje el los puntos de resistencia, en la caja de conexión y en el bombillo tenias que determinar cuál era el voltaje q nos daba en el multímetro. Teníamos que calcular el cada punto con los voltajes de 6, 9 y de 12 y poder observar la diferencia en cada punto
Es la parte de la hidráulica que estudia el comportamiento de los líquidos en movimiento. Para ello considera entre otras cosas la velocidad, la presión, el flujo y el gasto del líquido.
Introducción a la Contabilidad de Costos
Objetivos de la Contabilidad de Costos
Concepto de Costo.-
Costos del producto o costos inventariables
Costos del periodo o costos no inventariables
Costos Capitales.-
Empresas
Tipos de empresas
Empresas Industriales
Empresas Comerciales
Empresas De Servicio
Los servicios tienen tres características
Empresa comercial
Empresa de servicios
La Termodinámica es la rama de la Física que estudia a nivel macroscópico las transformaciones de la energía, y cómo esta energía puede convertirse en trabajo (movimiento).
Históricamente, la Termodinámica nació en el siglo XIX de la necesidad de mejorar el rendimiento de las primeras máquinas térmicas fabricadas por el hombre durante la Revolución Industrial.
La elaboración de este trabajo de investigación se lleva a cabo con el fin de conocer un poco más sobre la materia de “harinas y balanceados” mediante la elaboración de una harina casera a base de habas puesto que de esta manera se dará a conocer la composición de este producto además de los procesos y pasos que se lleven a cabo, para que de esta manera aportar en cuanto a conocimientos sobre el tema a las personas que deseen aprender sobre el mismo.
MANEJO Y ALMACENAMIENTO DE LOS CEREALES
Introducción
Objetivo del almacenamiento
El valor del grano depende de
Deterioro de los granos
Humedad
Manejo de los granos
Muestreo
Graneles en reposo
Muestreo en camiones
En almacenamiento (Sacos)
En almacenamiento (Silos)
Control de calidad
CEREALES
DEFINICIÓN
CARACTERÍSTICAS
ESTRUCTURA DE LOS GRANOS DE CEREAL
DIVISIÓN DE LOS CEREALES
EL SALVADO O CÁSCARA
EL GERMEN O EMBRIÓN
EL ENDOSPERMO O NÚCLEO
CARBOHIDRATOS
PROTEINAS
LÍPIDOS
LOS CEREALES
¿QUÉ ES EL MAÍZ?
DESCRIPCIÓN
SOBRE SU ORIGEN
LAS PROPIEDADES FUNDAMENTALES Y LAS CARACTERÍSTICAS DEL MAÍZ
¿CÓMO UTILIZAR EL MAÍZ EN LA COCINA?
VARIEDADES DEL MAÍZ
TABLA NUTRICIONAL Y CARACTERÍSTICAS DEL MAÍZ
AMENAZAS Y CONSERVACIÓN
Informe de práctica de física 5 aplicaciónes del eléctromagnetismoMartín Vinces Alava
Una vez llegado al laboratorio el docente nos dio una pequeña inducción del tema, posteriormente teníamos seis prácticas y empezamos a realizar cada una de las prácticas entendiendo en que momentos trabaja el electromagnetismo.
La Microbiología
Los microorganismos son utilizados para obtener una gran variedad de alimentos, son causa de su deterioro y pueden provocar enfermedad en el hombre. Producir, distribuir y consumir alimentos de buena calidad sanitaria, crudos, preparados para consumo inmediato o procesado, forma parte de los intereses de cualquier comunidad. Este objetivo se satisface en relación directa con el desarrollo social, económico y cultural de un país.
Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
Aletas de Transferencia de Calor o Superficies Extendidas.pdfJuanAlbertoLugoMadri
Se hablara de las aletas de transferencia de calor y superficies extendidas ya que son muy importantes debido a que son estructuras diseñadas para aumentar el calor entre un fluido, un sólido y en qué sitio son utilizados estos materiales en la vida cotidiana
libro conabilidad financiera, 5ta edicion.pdfMiriamAquino27
LIBRO DE CONTABILIDAD FINANCIERA, ESTE TE AYUDARA PARA EL AVANCE DE TU CARRERA EN LA CONTABILIDAD FINANCIERA.
SI ERES INGENIERO EN GESTION ESTE LIBRO TE AYUDARA A COMPRENDER MEJOR EL FUNCIONAMIENTO DE LA CONTABLIDAD FINANCIERA, EN AREAS ADMINISTRATIVAS ENLA CARREARA DE INGENERIA EN GESTION EMPRESARIAL, ESTE LIBRO FUE UTILIZADO PARA ALUMNOS DE SEGUNDO SEMESTRE
1º Caso Practico Lubricacion Rodamiento Motor 10CVCarlosAroeira1
Caso pratico análise analise de vibrações em rolamento de HVAC para resolver problema de lubrificação apresentado durante a 1ª reuniao do Vibration Institute em Lisboa em 24 de maio de 2024
SESION 1 - SESION INTRODUCTORIA - INTRODUCCIÓN A LA PERFORACIÓN Y VOLADURA DE...
Aplicación de las Ecuaciónes Diferenciales Ordinarias aplicadas en el vaciado de tanques
1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
TEMA:
APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES
ELABORADO POR:
DOCENTE: ING. JOSÉ GUANOLUISA
2. Planteamiento del problema
Encontramos las ecuaciones
diferenciales en la mayoría de las
áreas de la Ingeniería Civil, abarca
desde la Resistencia de Materiales
hasta la Hidráulica. No obstante,
debemos recordar que además
tienen como propósito servir como
mecanismo para estudiar los
cambios que se presentan en el
mundo físico.
Son por estas razones que se
plantean aplicaciones como la del
problema de braquistócrona, las
leyes de Kepler, el oscilador
armónico, la teoría potencial,
entre otras, debido a que el
tratamiento matemático de estos
problemas es un gran logro para
la sociedad.
La base de la enorme cantidad de aplicaciones
corresponde a que la derivada se puede interpretar
como el índice de cambio de una variable respecto
de la otra, y las variables que explican los fenómenos
que se relacionan entre sí por sus índices de cambio.
Cuando se manifiestan estas relaciones a través de
símbolos matemáticos se obtiene una gran cantidad
de ecuaciones diferenciales.
En el presente documento se trata de coordinar, de
una manera adecuada, el conocimiento teórico con
las distintas aplicaciones, específicamente con el
problema del vaciado de tanques, para lograr una
comprensión clara sobre los conceptos y sistemas de
que se necesitan para resolver la problemática en
estudio
3. *
A partir del problema planteado se manifiesta lo
siguiente: ¿Qué tipo de ecuaciones diferenciales podemos
aplicar para calcular el tiempo que se tarda en vaciar el
contenido líquido de un tanque?
4. *
El incentivo principal del presente documento investigativo es promover una percepción general
del uso de las ecuaciones diferenciales de primer orden en el vaciado de tanques, con la finalidad
de ofrecer una fuente de conocimiento en el campo del análisis matemático a los estudiantes y
personas en general que se han planteado preguntas con relación al tema objeto de esta
investigación.
Se pretende resolver preguntas como: ¿Por qué ciertos tanques se vacían más rápido que otros si
tienen tamaño similar e igual contenido?, ¿Por qué no es proporcional la salida del líquido con el
tiempo?, a través de la aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer orden para calcular y
determinar el tiempo que se requiere en vaciar un tanque por gravedad, debido a que existen
variaciones de presión en los tanques con respecto al nivel del líquido, identificando a la vez en
qué momento se vuelve más lento el flujo de salida, demostrando finalmente que a menor
cantidad de líquido dentro de un tanque será menor el caudal y la velocidad de salida.
5. GENERAL ESPECÍFICOS
Aplicar ecuaciones
diferenciales
ordinarias para
calcular el tiempo que
se tarda en vaciar el
contenido líquido de
un tanque.
Definir las ecuaciones diferenciales
ordinarias, así como su orden, grado y
tipo de solución.
Calcular el tiempo que tarda el vaciado
de tanques mediante la resolución de
ejemplos de problemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Comparar el tiempo de salida del
líquido calculado por las ecuaciones
diferenciales y el tiempo medido por
un cronómetro y determinar posibles
factores que afectan este fenómeno a
través de métodos numéricos.
OBJETIVOS
Presentar los resultados calculados
numéricamente.
7. Marco
teórico
En las ciencias Matemáticas el
Análisis se ha convertido en una
de las ramas que ha tenido
relevancia durante trescientos
años, el Análisis centra su estudio
en las ecuaciones diferenciales, ya
que además es una de los mejores
métodos para comprender las
ciencias físicas y las distintas
técnicas que se utilizan en ella.
Las ecuaciones diferenciales
aparecen en modelos matemáticos
que tratan de describir situaciones
de la vida real. Así, muchas leyes
naturales pueden ser traducidas al
lenguaje matemático mediante
ecuaciones que envuelven
derivadas, como en física, donde la
velocidad y la aceleración aparecen
como derivadas; en biología, la
derivada se utiliza como una razón
de crecimiento de poblaciones; en
química, como rapidez de
reacciones, entre otros más.
Una ecuación
diferencial es una
relación entre una
función y una o varias
de sus derivadas
sucesivas. La incógnita
en estas ecuaciones en
la función que se está
derivando.
8. Una ecuación que establece una relación entre la variable
independiente x, la función buscada 𝑦 = 𝑦 𝑥 y sus derivadas y,
y’, y’’,…, yn se llama ecuación diferencial.
Ecuación diferencial
aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable
independiente.
Ecuaciones
diferenciales
ordinarias:
aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Ecuaciones en
derivadas parciales:
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se
denomina orden de la ecuación.
Orden de una
ecuación diferencial.
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la
ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma
polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
Grado de una
ecuación diferencial
Marco conceptual
9. Una función que
verifica la ecuación,
pero que no se obtiene
particularizando la
solución general.
Si fijando cualquier punto P=(X_0,Y_0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la
ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface
la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto
P=(X_0,Y_0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución
general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico
una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de
curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante
corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita,
etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de
las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer
el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0 más una solución particular de la
ecuación completa.
Solución de
una Ecuación
Deferencial.
Solución
particular:
Solución
general:
Solución
singular:
10. Marco referencial
TEOREMA DE
TORRICELLI
𝑉𝑡 = 2 ∗ 𝑔 ℎ +
𝑣0
2
2 ∗ 𝑔
El teorema de Torricelli es una aplicación del
principio de Bernoulli y estudia el flujo de un
líquido contenido en un recipiente, a través de un
pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A
partir del teorema de Torricelli se puede calcular
el caudal de salida de un líquido por un orificio.
"La velocidad de un líquido en una vasija abierta,
por un orificio, es la que tendría un cuerpo
cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde
el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del
orificio":
𝑉𝑟 = 𝐶 𝑣 2 ∗ 𝑔 ∗ ℎ
Para velocidades de
aproximación bajas, la
mayoría de los casos, la
expresión anterior se
transforma en:
Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de
pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros
factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de
velocidad.
11. El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en
régimen no estacionario dado que tenemos una
salida de masa del sistema a una velocidad variable
que dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al
no haber ingreso de masa sal tanque, esta descarga
provocará un cambio en el contenido inicial del
equipo, de modo que podemos plantear el balance
general de masas y energía del sistema de la
siguiente forma:
VACIADO DE TANQUES
1
2
𝑚𝑣2
= 𝑚𝑔ℎ → 𝑣 = 2𝑔ℎ
𝑣 = 2𝑔ℎ
12. Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques
Sea h (t) la altura del líquido en el tanque en cualquier
instante t y V(t) el volumen del agua del tanque en ese
instante. La velocidad v del agua a través del orificio es
𝑣 = 2𝑔ℎ
Donde g es la gravedad. La ecuación anterior representa la
velocidad que una gota de agua adquirirá al caer
libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En
condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción
que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se
obtendrá
𝑣 = 𝑐 2𝑔ℎ
Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0
y 1. En algunos problemas, cuando el coeficiente de
descarga no se indica, se asume que c=1.
Se considera un recipiente lleno de agua hasta una altura h, donde A es el área de la sección
transversal constante, y a es el área de un orificio de sección transversal por el que fluye el agua, el
cual está ubicado en la base del tanque.
Sea h la altura del agua en el tanque en un tiempo t (nivel 1) y h + Ah la altura en un tiempo t + At
(nivel 2). Se desea establecer la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo
que este demora en vaciarse.
La cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la cantidad de agua que se
escapa por el orificio.
13. Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolver sujeta a la condición
de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t=0, permite obtener la variación de la altura del
líquido en el tanque en función del tiempo.
Según el Teorema de Torricelli, la razón con la que el
agua sale pro el agujero (variación dl volumen de
líquido en el tanque respecto al tiempo) se puede
expresar como el área del orificio de salida por la
velocidad v del agua. Esto es
Sustituyendo en la ecuación:
Si A(h) denota el área de la sección transversal
horizontal del tanque a la altura h, aplicando el
método del volumen por secciones transversales se
obtiene
𝑣 =
0
ℎ
𝐴 ℎ 𝑑ℎ
Derivando respecto a t y aplicando el teorema
fundamental del cálculo
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑎𝑣
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑎𝑐 2𝑔ℎ
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝐴(ℎ)
𝑑ℎ
𝑑𝑡
Comparando las ecuaciones
𝐴 ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −𝑎𝑐 2𝑔ℎ
14. Algunos Tipos De Tanques
Caso 1: Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma vertical y con un orificio
circular de diámetro d.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 2𝑔ℎ
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −0.6𝜋
𝐷
2
2
2 9.81 ℎ = −0.664𝜋𝐷2
ℎ
𝑑𝑉 = 𝜋𝑅2
𝑑ℎ →
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜋𝑅2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
𝜋𝑅2
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −0.664𝜋𝐷2
ℎ
Con las condiciones iniciales t=0 y h= h0, se halla la
constante C, así:
2 𝐻0 = −
0.664𝐷2
𝑅2
0 + 𝐶
𝐶 − 2 𝐻0
Entonces de la ecuación se despeja el tiempo
2 ℎ = −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑡 − 2 𝐻0
𝑡 =
( 𝐻0 − ℎ)𝑅2
0.332𝐷2
Esto es el tiempo que demora en vaciarse el tanque
cilíndrico vertical.
y separando variables,
𝑑ℎ
ℎ
= −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑑𝑡
Integrando
ℎ−1/2
𝑑ℎ = −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑑𝑡
2 ℎ = −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑡 + 𝐶
15. Caso 2: El mismo cilindro pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el
fondo.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 2𝑔ℎ = −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔ℎ
𝑑𝑉 = 2 ∗ 𝐻0 𝑑ℎ
𝑥2
+ (ℎ − 𝑟)2
= 𝑟2
𝑥 = 2ℎ𝑟 − ℎ2
Entonces 𝑑𝑉 = 2 2ℎ𝑟 − ℎ2 𝐻0 𝑑ℎ
Reemplazando en (*)
2 2ℎ𝑟 − ℎ2 𝐻0
𝑑𝑡
= −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔ℎ
2𝑟 − ℎ𝑑ℎ =
𝑘𝜋𝐷2
2𝑔
8𝐻0
𝑑𝑡
Con las condiciones iniciales, t0=0 y h=2r, se halla la constante de integración.
El tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0
16. Caso 3: Un cono circular recto de altura h0 y radio R dispuesto verticalmente
con orificio circular en el fondo de diámetro d.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 2𝑔ℎ = −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔ℎ
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔ℎ
𝑅
𝑟
=
𝐻0
ℎ
→ 𝑟 =
𝑅ℎ
𝐻0
𝐶𝑜𝑚𝑜: 𝑑𝑉 = 𝜋𝑟2
𝑑ℎ → 𝑑𝑉
=
𝜋𝑅2
ℎ2
𝐻0
2 𝑑ℎ
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔ℎ →
𝜋𝑅2
ℎ
3
2
𝐻0
2 𝑑ℎ
= −𝑘
𝜋𝐷2
4
2𝑔𝑑𝑡
ℎ3/2
𝑑ℎ = −𝑘
𝐷2
𝐻0
2
2𝑔
4𝑅2
𝑑𝑡
Por semejanza de triángulos se conoce que
Condiciones iniciales cuando t=0 y h= h0, el tiempo de vaciado tv se
produce cuando h=0
17. El diseño de tanque más difundido es sin dudas, el tanque cilíndrico de eje vertical con fondo
plano. Considerando este y otros diseños, ya detallados, como base se puede calcular el tiempo
de descarga de los mismos, que se pueden obtener simplemente utilizando la ecuación
diferencial, hallada anteriormente, claro, teniendo en cuentas las condiciones iniciales que se
dan en cada caso.
Tiempo De Descarga En Tanques Y
Recipientes
Influencia De La Geometría
Del Recipiente
Que el área transversal del recipiente
sea constante en toda su altura, o
Que el área transversal varíe en
distintos niveles.
Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la
geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a
través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma
geométrica del recipiente determina el comportamiento
físico del agua. A medida que se produce la descarga del
líquido y según la forma geométrica del tanque, pueden
presentarse dos situaciones:
18.
19. CASO 1: Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma vertical y con un orificio
circular de diámetro d.
H
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 2𝑔ℎ
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −0.6ᴨ
𝐷
2
2
2 ∗ 9.81 ∗ ℎ = −0.664ᴨ𝐷² ℎ
𝑑𝑉 = ᴨ𝑅²𝑑ℎ →
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= ᴨ𝑅²
𝑑ℎ
𝑑𝑡
ᴨ𝑅²
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −0.664ᴨ𝐷² ℎ
y separando variables,
𝑑ℎ
ℎ
= −
0.664 𝐷²
𝑅²
𝑑𝑡
Integrando
ℎ−
1
2 𝑑ℎ = −
0.664𝐷²
𝑅²
𝑑𝑡
2 ℎ = −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑡 + 𝐶
Con las condiciones iniciales t=0 y h= h0, se halla la
constante C así:
2 𝐻 = −
0.664𝐷2
𝑅2
0 + 𝐶
𝐶 = 2 𝐻
Entonces de la ecuación se despeja el tiempo
2 ℎ = −
0.664𝐷2
𝑅2
𝑡 + 2 𝐻
𝑡 =
𝐻 − ℎ 𝑅²
0.332𝐷²
20. CASO 2: El mismo cilindro pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el fondo
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −𝑘𝐴 2𝑔ℎ = −𝑘
ᴨ𝐷2
4
2𝑔ℎ … … ∗
𝑑𝑉 = 2𝑥𝐻 𝑑ℎ
𝑥² + ℎ − 𝑟 ² = 𝑟²
𝑥 = 2ℎ𝑟 − ℎ²
Entonces 𝑑𝑉 = 2 2ℎ𝑟 − ℎ² 𝐻 𝑑ℎ
Reemplazando en (*)
2 2ℎ𝑟 − ℎ² 𝐻
𝑑𝑡
= −𝑘
ᴨ𝐷2
4
2𝑔ℎ
2𝑟 − ℎ 𝑑ℎ =
𝑘ᴨ𝐷² 2𝑔
8𝐻
𝑑𝑡
Con las condiciones iniciales, t0= 0 y h=2r, se halla la constante
de integración. El tiempo de vaciado t(v) se produce cuando
h=0.
Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de
altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el
fondo de 1 pulgada de diámetro, ¿Cuándo se vaciará el tanque?
𝐴 ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −𝑎𝑐 2𝑔ℎ
𝑎 = ᴨ
1
24
2
=
ᴨ
576
𝑝𝑖𝑒²
100 ᴨ 𝑑ℎ = −
ᴨ
576
64 ℎ 𝑑𝑡 = −
8ᴨ
576
ℎ ∗
1/ᴨ
100 𝑑ℎ = −
1
72
ℎ 𝑑𝑡
Esta ecuación debe resolverse sujeta a la condición que para
t=0, y h=20 pies
100 𝑑ℎ = −
1
72
ℎ 𝑑𝑡 ∗ −
72
ℎ
= −
7200
ℎ
𝑑ℎ = 𝑑𝑡
Luego se integra
−7200
1
ℎ
𝑑ℎ = 𝑑𝑡
1
ℎ
𝑑ℎ = ℎ−1/2
𝑑ℎ = 2ℎ1/2
= 2 ℎ + 𝐶1
𝒀 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐶2
Se sustituyen los resultados en la ecuación
−144000 ℎ = 𝑡 + 𝐶
Sustituyendo los valores iniciales del problema
−14400 ℎ = 𝑡 − 14400 20 ∗ −
1
14400
ℎ 𝑡 = −
𝑡
14400
+ 20
2
𝑡 = 14400 20 = 64398,75
𝐶 = −14400 20
21. Descriptiva
Bibliográfica
El estudio y la recolección de información acerca del
problema planteado llevan a describir y brindar
información sobre el vaciado de tanques, los
resultados se interpretan objetivamente.
La información en el proyecto se basa en fuentes
bibliográficas, libros adicionalmente también de
fuentes informáticas.
Métodos de investigación
El proyecto se adecuó a los propósitos de la investigación no experimental. Exponiendo
los objetivos en el presente estudio, brindamos análisis sobre las ecuaciones diferenciales
en los vaciados de tanques.
Metodología
Tipo de investigación
Con respecto al tema objeto de estudio referente a la aplicación de ecuaciones
diferenciales ordinarias a problemas de vaciado de tanques, la investigación se
enmarco dentro de la siguiente metodología: Descriptiva y bibliográfica.
22. *CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
CONCLUSIONES
En la comparación del tiempo del cálculo del drenado del
líquido de un tanque empleando el uso de las ecuaciones
diferenciales ordinarias con el tiempo medido por un
cronometro se pudo determinar un pequeño marguen de error
y esto se pueda dar por los factores que afectan para un cálculo
exacto
Se pudo mediante el uso de las
ecuaciones diferenciales
ordinarias calcular el tiempo
en que tarda el drenaje de
taques en los problemas que
planteamos
Se concluye que es necesario poder
definir a las ecuaciones diferenciales
ordinarias, en su orden, grado y tipo de
solución darle la aplicación correcta a
cada una ellas y poder llegar al
resultado deseado.
23. •Se invita al uso de las
ecuaciones diferenciales
ordinarias aplicadas en
problemas de vaciado de
tanque para calcular el
tiempo que tarda drenarse el
líquido porque nos permite
determinar las incógnitas
que buscamos.
•Para obtener un resultado
lo más exacto posible en el
cálculo del tiempo del
drenado de un taque hay
que tener en cuenta los
factores que puedan dar a
un pequeño marguen de
error, pero igual es algo
mínimo por lo que no afecta
mucho aquello por lo que
calculamos el tiempo.
Recomendaciones
Se recomienda saber las
definiciones de las ecuaciones
diferenciales ordinarias en su
orden, grado y tipo para así de
esta manera tener un mejor
manejo de ellas en las diversas
áreas y problemas que este tipo
de ecuaciones son usadas.