Aljabar linier : Notasi Matriks

1,711 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,711
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
45
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Aljabar linier : Notasi Matriks

  1. 1. Aljabar Linier Pertemuan 1
  2. 2. Jadwal Kuliah Hari : Rabo jam : 15.30 Sistem Penilaian     UTS 30 % UAS 30 % Tugas 40 %
  3. 3. Silabus • • • • • • • • • • • • • Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Invers Matriks Bab IV Sistem Persamaan Linear Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen Bab VI Matlab (SPL) Bab VII Vektor Bab VIII Perkalian Vektor Bab IX Ruang Vektor Bab X Proses Gram Schmidt Bab XI Transformasi Linier Kernel Bab XII Nilai Eigen , Vektor Eigen Bab XIII MATLAB
  4. 4. Sub Pokok Bahasan 1 1. Matriks dan Operasinya Sub Pokok Bahasan – Matriks dan Jenisnya – OperasiMatriks – Operasi Baris Elementer –Sifat OperasiMatriks Beberapa Aplikasi Matriks – Representasi image (citra) – Chanel/Frequency assignment – Operation Research dan lain-lain.
  5. 5. Pengertian Matrix Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom. 2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang. 3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom. Notasi yang digunakan Atau       Atau
  6. 6. Matriks  Notasi Matriks A = a  11  a21  :  a  m1 a12 ..... a22 .... : : .... am 2 a1n   a2 n  :   amn   Baris ke -1 Unsur / entri /elemen kemn (baris m kolom n) Kolom ke -2 Matrix A berukuran (ordo) m x n Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B) Jika aij = bij untuk setiap i dan j
  7. 7. Jenis Matriks (i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol Sifat-sifat :  A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0  A*0=0, begitu juga 0*A=0. (ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.  Contoh : Matriks berukuran 2x2 1 4 A=   2 3   
  8. 8. Jenis Matriks (iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol. Contoh :  2 0 0      0 5 0  0 0 3   (iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.  Contoh :  1 0 0    0 1 0 0 0 1    Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A
  9. 9. Jenis Matriks (v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu. Contoh :   A=  4 0 0    0 4 0   (vi) MATRIKS 0 0 4  ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah SEGITIGA  matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0. A = 3 2 1   0 4 5 0 0 4  
  10. 10. (Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0. 3 0 0   A=  1 4 0    6 9 4   (viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama A = AT dengan dirinya sendiri. 1 2 0 1 2 0 Contoh :     T A =  2 3 1 A = 2 3 1 0 1 1   0 1 1  
  11. 11. (ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0 Contoh :  A= 1 −3 0  0   4 2  −1 0  3 − 4 0 − 1   0 2 1 0   0   0 −1 3  A =  0 − 4 − 2  1 −3 4 0 1     0 − 2 −1 0    T
  12. 12. TRANSPOSE MATRIKS  Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.  Beberapa Sifat Matriks Transpose :  (A+B)T = AT + BT  (AT) T = A  k(AT) = (kA)T  (AB)T = BT AT
  13. 13. Operasi Matrix • Penjumlahan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan Contoh = a. a b   e  c d +g      f  a+e b+ f  =  c + g d + h  h   b.  1 6   3 1  4 7    3 5  +  4 1 =  7 6            
  14. 14. Operasi Matrix • Pengurangan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan Contoh = a. b. a b   e  c d −g      f  a −e b− f  =  c − g d − h   h    1 6   3 1  − 2 5    3 5  −  4 1 =  − 1 4            
  15. 15. Operasi Matrix Perkalian Matriks • Perkalian Skalar dengan Matriks Contoh :  p q   kp kq  k  r s  =  kr ks         • Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn a A= e  b f  p q   d  ,B = r s  g  ( 2 x 3)  t u  (3 x 2) a A.B = e  b f  p q   d  ap + br + dt  ( 2 x 3) . r s  =  ep + fr + gt g    t u  (3 x 2) aq + bs + du   eq + fs + gu  ( 2 x 2 ) 
  16. 16. Hukum Perkalian Matriks :     Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C Tidak Komutatif, A*B ≠ B*A Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan     (i) A=0 dan B=0 (ii) A=0 atau B=0 (iii) A≠0 dan B≠0 Bila A*B = A*C, belum tentu B = C
  17. 17. Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh : OBE 1 OBE2 2 3  − 3 − 2 − 1  1     A= 1 2 3 b1 ↔ b2  − 3 − 2 − 1  0  0 2 4 2 4      4 − 4 0 − 4  1 − 1 0 − 1     1 b1  0 2 1 7  A = 0 2 1 7  4  2 −1 1 3    2 −1 1 3  →    
  18. 18. OBE3  1 − 1 0 − 1  1 − 1 0 − 1   −b1 +b3   A =  0 2 1 7   → 0 2 1 7    2 −1 1 3  0 1 1 5     
  19. 19. Definisi yang perlu diketahui :  1 −1 1 3    B = 0 0 3 1 0 0 0 0   – Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. – Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. – Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. – Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.
  20. 20. OBE  Sifat matriks hasil OBE : 1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama). 2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan. 3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. 4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol. Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi Gauss) Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan)

×