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Elipse

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Elipse

  1. 1. •Q1 Q2P1P2Elipse
  2. 2. Se denomina elipse al conjunto de puntos del planotales que la suma de las distancias a dos puntos fijosllamados focos, es una constante.Siendo F1 y F2 focos de la elipse∀ ∈P a la elipse ⇒ + =PF PF a1 2 2P(x;y)B1B2F2 F1RA2 A1-x xy-y• •O ••
  3. 3. Elementos:Eje mayor : A A a1 2 2=Semieje mayor :A O OA a1 2= =Eje menor : B B b1 2 2=Semieje menor : B O OB b1 2= =Vértices : A a A a B b B b1 2 1 20 0 0 0( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; )− −P(x;y)B1B2F2 F1RA2 A1-x xy-y• •O ••
  4. 4. Eje focal : F F c1 2 2=Semieje focal : F O OF c1 2= =Focos : F c F c1 20 0( ; ); ( ; )−a la elipse y satisface al condición :F B B F a1 1 1 2 2+ =F B B F a b c a b a c1 1 1 22 2 2 2 2 2= = ⇒ + = ⇒ = −B1abcF1 F2por relación pitagórica.
  5. 5. xayb22221+ =La ecuaciónSe puede escribir b x a y a b2 2 2 2 2 20+ − =caso particular de la ecuación generalde 2º grado en x e y.xayb22221+ = EcuaciónCanónica
  6. 6. Ecuación explícitaxayb22221+ =despejamos y ⇒ = ± −ybaa x2 2y=bx=ax= -ay= -b-x x-yyL1L2F1F2
  7. 7. despejamos x : ⇒ = ± −xabb y2 2xayb22221+ =x= -a-xy=bx=ay= -bx-yyL1L2F1F2
  8. 8. Deducimos:Propiedad 1: La elipse es simétricarespecto al origen y a los ejes coordenados.Propiedad 2: La elipse es interior al rectángulolimitado por las rectas :x a y b= ± ∧ = ±y=bx=ax= -ay= -b-x x-yyL1L2F1F2
  9. 9. Lado recto.: (Lr)Es el segmento perpendicular al eje coordenado,que pasando por el foco, une dos puntos de laelipse.Lrba=2 2y=bx=ax= -ay= -b-x x-yyL1L2F1F2Excentricidad.ace =c a e< ⇒ < 1; comoSi c = 0 ⇒ e = 0 :los focos coinciden y la curva es unacircunferencia
  10. 10. PosicionesDada una elipse mediante su ecuación canónica, eleje mayor (eje focal) corresponde al ejecoordenado de la variable que tiene mayordenominador.eje mayor sobre el eje x :xayb22221+ =-4 -2.64 2.64 4-33B1B2A1A2F2 F1yx
  11. 11. Posicioneseje mayor sobre el eje y :xbya22221+ =yxF1F2B2B1A2 A1
  12. 12. Ecuación de la elipse referida a un sistema deejes paralelosy´x´Po´x´y´xβαyxo( )O′ α β;xayb′+′=22221referido alsistema O´.x xy y′ = −′ = −αβ( ) ( )⇒−+−=xaybα β22221eje focal paraleloal eje x.( ) ( )⇒−+−=yaxbβ α22221eje focal es paraleloal eje y

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