Análisis complejo 01

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Análisis complejo 01

  1. 1. Demostración de que 2 2 1 1 1 √5 1 √5 2 2 √5 2 2Es una de las raíces de √2 ; 1,2,3,4Entonces tenemos que para 1 √2 2O lo que es lo mismoReemplazamos por la primera expresión compleja y se debe establecer la siguiente igualdadpara llevar a cabo la demostración 2 2 " 1 1 ! 1 √5 1 √5 ! 2 2 ! √5 2 2 2 ! ! !Teniendo el mismo denominador podemos hacer lo siguiente " 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 √5 # $ %$ % # $ %$ % ! 2 2 2 2 2 √5 2 2 2 2 √5 !Simplificando " 1 1 1 1 1 1 1 1 √5 # # ! 2 2 2 2 √5 2 2 2 √5 !
  2. 2. Sumando " 1 1 2 √5 1 1 2 √5 ! √5 # # 2 2 2 2√5 2 2 2√5 ! !Racionalizando " 1 1 2 √5 √5 1 1 2 √5 √5 ! √5 # & & # & & ! 2 2 2 2√5 √5 2 2 2√5 √5 ! " 1 1 5 2√5 #1 1 5 2√5 ! √5 # ! 2 2 2 10 2 2 10 ! " 1 1 5 2√5 #1 1 5 2√5 ! √5 # ! 2 2 2 10 2 2 10 !Obteniendo la potencia a la cuarta tenemos )√5* #1 1 5 2√5 #1 1 5 2√5 2 2 2 10 2 2 10Utilizando el binomio de Newton 3√5 +, ./0-√/2 4, ./0-√/2 , ./0-√/2 - - 1 - - 1 - - 1 - - 36, ./0-√/2 , ./0-√/2 4, ./0-√/2 , ./0-√/2 - - 1 - - 1 - - 1 - - 1, ./0-√/2 5 2 - - 1
  3. 3. Desarrollando los términos -√5 6&- . /0-√/ 4 &- ./0-√/ , ./0-√/2 , ./0-√/2 - 1 - 1 - - 1 - - 16 - &- ./0-√/ & ./0-√/ - 1 - - 1 -4 , 3 ./0-√/2 & ./0-√/ , ./0-√/2 &- ./0-√/ 5 2 - - 1 - - 1 - - 1 - 1Desarrollando además los productos notables y las potencias de la unidad imaginaria i√5 67 ./0-√/ 8 /0-√/ 9: 4 &- ./0-√/ , & ./0-√/ & ./0-√/2 - 1 1 - 1 - - 1 - - 16; 1< & 8 /0-√/ 9 4; <& ./0-√/ , & ./0-√/ & ./0-√/2 1 - - 1 - - 1 - - 1;1< 7 ./0-√/ 8 /0-√/ 9:5 2 - 1 1√5 =& ./0-√/ / -√/ 4 &- ./0-√/ &. / -√/ 68 / -√/ 9 - 1 1 1 - 1 1 1 1 14 &- ./0-√/ &. / -√/ & ./0-√/ / -√/ > 2 - 1 1 1 - 1 1 1Simplificando nuevamente√5 =& ./0-√/ √/ 4 &- ./0-√/ &. √/ 68 √/ 9 - 1 ? -1 - 1 ? -1 ? -14 &- ./0-√/ &. √/ & ./0-√/ √/ > 2 - 1 ? -1 - 1 ? -1√5 =&? 3 ./0-√/ √/ 4 &- ./0-√/ &. √/ 6 8? √/ 9 - 1 -1 - 1 ? -1 -14 &- ./0-√/ &. √/ &? 3 ./0-√/ √/ > 2 - 1 ? -1 - 1 -1
  4. 4. √5 =&? 3 ./0-√/ √/ &2 2. /0-√/ &. √/ 68 √/ 9 - 1 -1 1 ? -1 ? -1&2 2. &. &? ./0-√/ > 2 /0-√/ √/ 3 √/ 1 ? -1 - 1 -1√5 =? 3 ./0-√/ √/ 2 .? √/ 2 .8 1 9 8? /0-√/ √/ 9 3 3√/ 2 .? √/ - 1 -1 -1 -1 1 -12 .8 1 9 8? /0-√/ √/ 9 3 ./0-√/ √/ @ 2 -1 ? - 1 -1Desarrollando el producto de los radicales√5 =? 3 ./0-√/ √/ 2. √/ 2 .8 /0-√/ 98 /A-√/ 9 3 3√/ 2. √/ - 1 -1 ? -1 1 1 1 ? -12 .8 1 9 8 1 9 /0-√/ /A-√/ 3 ./0-√/ √/ @ 2 ? - 1 -1√5 =? 3 ./0-√/ √/ 2 .? √/ 2 .8 1 9 8 1 9 /0-√/ /A-√/ 3 3√/ 2 .? √/ - 1 -1 -1 1 -12 .8 1 9 8 1 9 /0-√/ /A-√/ 3 ./0-√/ √/ @ 2 ? - 1 -1√5 =? 3 ./0-√/ √/ 2. √/ 2. -/A-1 3 3√/ 2. √/ 2. -/A-1 3 - 1 -1 ? -1 11 1 ? -1 11 ? ./0-√/ √/ @ 2- 1 -1√5 =? 3 ./0-√/ √/ 2 .? √/ √/ 3 3√/ 2 .? √/ √/ 3 ./0-√/ - 1 -1 -1 1 1 -1 1 ? - 1√/ @ 2-1Reduciendo los términos semejantes tenemos (Fijarse en los colores semejantes) 2√5 √5 √5 = 2 > 2 5 10
  5. 5. 2√5 √5 √5 = > 2 5 5 2√5 √5)√5* & )√5* & 2 5 5 10 5 2 5 5 2 2

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