Cinemática tridimensioanl

1. Cinemática tridimensional de un cuerpo rígido
1. Movimiento de rotación en torno a un punto fijo
1.1 Teorema de Euler
Este teorema establece que dos rotaciones componentes cuyos ejes pasan por un punto
equivale a una rotación resultante alrededor de un eje que pasan por un punto equivalente a
una sola rotación alrededor de un eje que pasa por el punto. Si se presentan dos o más
rotaciones, se combinan en pares.
𝒘⃗⃗⃗ = 𝒘 𝟏⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒘 𝟐⃗⃗⃗⃗⃗ (1)
Velocidad
𝒗⃗⃗ = 𝒘⃗⃗⃗ 𝑥 𝒓⃗ (2)
Donde 𝑟 es la posición del punto P
respecto al punto fijo O
Fig. 1.1 Eje instantáneo de rotación Aceleración
𝒂⃗⃗ = 𝜶⃗⃗ 𝒙 𝒓⃗ + 𝒘⃗⃗⃗ 𝒙(𝒘⃗⃗⃗⃗ 𝒙 𝒓⃗ ) (3)
Donde 𝛼 se encuentra derivando la
ecuación 1, es decir
𝑑
𝑑𝑡
(𝒘⃗⃗⃗⃗⃗ )
Fig. 1.2 Disco girando sobre una plataforma Fig. 1.3 Identificación de los conos
generados

2. 1.2 Derivada de un vector con respecto al tiempo
medido desde un sistema fijo y un sistema en traslación
y rotación.
Sea (X,Y,Z) sistema de coordenada fija, (x,y,z)
Sistema de coordenada móvil, Ω la velocidad
angular del sistema de coordenada móvil y A un
vector en el espacio
La expresión del vector A respecto a sus
componentes i,j,k está dado por
𝑨 = 𝑨 𝒙 𝒊 + 𝑨 𝒚 𝒋+ 𝑨 𝒛 𝒌
La derivada de este vector respecto al sistema móvil,
teniendo en cuenta que las componentes de A
cambian de magnitud y las direcciones de sus
componentes no cambian se tiene
(𝑨̇ ) 𝒙𝒚𝒛 = 𝑨 𝒙
̇ 𝒊 + 𝑨 𝒚
̇ 𝒋 + 𝑨 𝒛
̇ 𝒌 (4)
𝑨̇ = 𝑨 𝒙
̇ 𝒊 + 𝑨 𝒚
̇ 𝒋 + 𝑨 𝒛
̇ 𝒌 + 𝑨 𝒙 𝒊̈ + 𝑨 𝒚 𝒋̈ + 𝑨 𝒛 𝒌̇
(5)
A continuación, veamos la derivada de los vectores
unitarios. Como se observa en el gráfico 1.4 (b) el
cambio de di es tangente a la trayectoria descrita por i,
por lo tanto
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝜴 𝒙 𝒊 = 𝒊̈
Del mismo modo 𝒋̈ = 𝜴 𝒙 𝒋 y 𝒌̇ = 𝜴 𝒙 𝒌
Reemplazando en la ecuación (5)
𝑨̇ = (𝑨̇ ) 𝒙𝒚𝒛 + 𝑨 𝒙 𝜴 𝒙 𝒊+ 𝑨 𝒚 𝜴 𝒙 𝒋 + 𝑨 𝒛 𝜴 𝒙 𝒌
Fig. 1.4 Sistema de coordenadas fijo y móvil 𝑨̇ = (𝑨̇ ) 𝒙𝒚𝒛 + 𝜴 𝒙 𝑨 (6)
Esta ecuación es muy importante para analizar el
movimiento de un vector en el espacio y que será muy
utilizado en las siguientes secciones.

3. 2. Movimiento Plano general
Sea un cuerpo rígido sometido a movimiento de traslación y rotación en el espacio con
velocidad angular w y aceleración angular α, para su estudio consideremos un sistema de
coordenada fijo y un sistema de coordenada móvil sujeto sólo a traslación para definir el
movimiento relativo.es decir, en este caso 𝜴 = 𝟎.
Recordando:
𝑉𝐵/𝐴 = 𝜔 𝑥 𝑟𝐵/𝐴
𝑎 𝐵/𝐴 = 𝛼 𝑥 𝑟𝐵/𝐴 + 𝜔 𝑥 (𝜔 𝑥 𝑟𝐵/𝐴)
La velocidad y aceleración del punto están dada por:
𝑽 𝑩 = 𝑽 𝑨 + 𝝎 𝒙 𝒓 𝑩/𝑨 (7)
𝑎 𝐵 = 𝑎 𝐴 + 𝛼 𝑥 𝑟𝐵/𝐴 + 𝜔 𝑥 (𝜔 𝑥 𝑟𝐵/𝐴) (8)
Al resolver estas ecuaciones se tendrán tres
ecuaciones y cuatro incógnitas imposible de
resolver.
Para encontrar la cuarta ecuación se supone que la
velocidad de giro del elemento (varilla) AB respecto a
su eje es cero; es decir
𝜔⃗⃗ . 𝑟 𝐵/𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 (9)
Una solución alternativa directa para 𝑉𝐵 y 𝑎 𝐵 se
obtiene considerando
𝑽 𝑩/𝑨 = 𝑽 𝑩 − 𝑽 𝑨 = 𝝎 𝒙 𝒓 𝑩/𝑨
El producto cruz indica que
𝑉𝐵/𝐴 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑐𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑟𝐵/𝐴, o en su equivalente
𝒓 𝑩/𝑨 . 𝑽 𝑩/𝑨 = 𝟎 (10)
Derivando respecto al tiempo
𝑑
𝑑𝑡
(𝑟 𝐵
𝐴
. 𝑉𝐵
𝐴
) =
𝑑
𝑑𝑡
(0)
𝑽 𝑩/𝑨. 𝑽 𝑩/𝑨 + 𝒓 𝑩/𝑨 . 𝒂 𝑩/𝑨 (11)

4. 3. Análisis del movimiento relativo por medio de ejes en traslación y rotación
Sea (X,Y,Z) sistema de coordenada fija, (x,y,z) Sistema de coordenada móvil en
traslación y rotación, Ω la velocidad angular del sistema de coordenada móvil x,y,z,
𝜴̇ =
𝒅𝜴
𝒅𝒕
la aceleración angular de coordenada móvil, 𝑉𝐴 la velocidad del punto A y
𝑎 𝐴 la aceleración del punto A
Posición
𝒓⃗ 𝑩 = 𝒓⃗ 𝑨 + 𝒓⃗ 𝑩/𝑨 (12)
Velocidad
𝒓⃗ 𝑩
̇ = 𝒓⃗ 𝑨
̇ + 𝒓⃗̇
𝑩/𝑨
El último término de esta ecuación debe
evaluarse mediante la derivada de un
vector respecto a x,y,z, es decir con
𝑨̇ = (𝑨̇ ) 𝒙𝒚𝒛 + 𝜴 𝒙 𝑨 (6 R)
Así
𝒓⃗̇
𝑩/𝑨 = (𝒓⃗̇
𝑩/𝑨) 𝒙𝒚𝒛 + 𝜴⃗⃗ 𝒙 𝒓⃗ 𝑩/𝑨
Por lo tanto
𝑽⃗⃗ 𝑩 = 𝑽⃗⃗ 𝑨 + (𝑽⃗⃗ 𝑩
𝑨
) 𝒙𝒚𝒛 + 𝜴⃗⃗ 𝒙 𝒓⃗ 𝑩/𝑨
Ordenando
𝑽⃗⃗ 𝑩 = 𝑽⃗⃗ 𝑨 + 𝜴⃗⃗ 𝒙 𝒓⃗ 𝑩/𝑨 + (𝑽⃗⃗ 𝑩/𝑨) 𝒙𝒚𝒛
(13)
Aceleración
Derivando la ecuación (13)
𝑽⃗⃗̇
𝑩 = 𝑽⃗⃗̇
𝑨 + 𝜴⃗⃗̇
𝒙 𝒓⃗ 𝑩/𝑨 + 𝜴⃗⃗ 𝒙 𝒓⃗̇
𝑩/𝑨 +
𝒅
𝒅𝒕
(𝑽⃗⃗ 𝑩/𝑨 ) 𝒙𝒚𝒛
El último término de esta ecuación lo evaluamos mediante la ecuación 6R, es decir
𝒅
𝒅𝒕
(𝑽⃗⃗ 𝑩/𝑨 ) 𝒙𝒚𝒛 = (𝑽⃗⃗̇
𝑩/𝑨) 𝒙𝒚𝒛 + 𝜴⃗⃗ 𝒙 (𝑽⃗⃗ 𝑩/𝑨) 𝒙𝒚𝒛 = (𝒂 𝑩/𝑨) 𝒙𝒚𝒛 + 𝜴⃗⃗ 𝒙 (𝑽⃗⃗ 𝑩/𝑨) 𝒙𝒚𝒛

5. Del mismo lo hacemos para 𝑟̇
𝐵/𝐴 aplicamos la ecuación 6R
𝒓⃗̇
𝑩/𝑨 = (𝒓⃗̇
𝑩/𝑨 ) 𝒙𝒚𝒛 + 𝜴⃗⃗ 𝒙 𝒓⃗ 𝑩/𝑨
Reemplazando estos datos en la ecuación de la aceleración se tiene
𝑎 𝐵 = 𝑎 𝐴 + 𝜴⃗⃗̇
𝒙 𝒓⃗ 𝑩/𝑨 + 𝜴⃗⃗ 𝒙[(𝒓⃗̇
𝑩/𝑨) 𝒙𝒚𝒛 + 𝜴⃗⃗ 𝒙 𝒓⃗ 𝑩/𝑨]+(𝒂 𝑩/𝑨 ) 𝒙𝒚𝒛 + 𝜴⃗⃗ 𝒙 (𝑽⃗⃗ 𝑩/𝑨 ) 𝒙𝒚𝒛
Finalmente
𝑎 𝐵 = 𝑎 𝐴 + 𝜴⃗⃗̇
𝒙 𝒓⃗ 𝑩/𝑨 + 𝜴⃗⃗ 𝒙[ 𝜴⃗⃗ 𝒙 𝒓⃗ 𝑩/𝑨]+ 𝟐 𝜴⃗⃗ 𝒙 (𝑽⃗⃗ 𝑩/𝑨) 𝒙𝒚𝒛 + (𝒂 𝑩/𝑨) 𝒙𝒚𝒛 (14)