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Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica

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Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica

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  1. 1. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti 1 1 Centro de Investigación de Métodos Computacionales, CIMEC (UNL - CONICET), 3000 Santa Fe, Argentina. Tel.: +54 (0) 342 4511594 Fax: +54 (0) 342 4511595 1 / 44
  2. 2. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. ¿Qué es la interacción fluido-estructura? En muchos problemas de ingeniería aparece la interacción mecánica entre fluidos y sólidos. El fluido impone cargas (fricción y presión) sobre el sólido y este se deforma, modificando el dominio donde se mueve el fluido. Esta interacción implica un traspaso de energía entre ambos medios. Bajo ciertas condiciones esta interacción se puede hacer inestable, causando vibraciones o destrucción de estructu- ras. 2 / 44
  3. 3. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. ¿Qué es la interacción fluido-estructura? Ejemplos de FSI: divergencia, flut- ter, buffetting de perfiles aerodiná- micos. Instrumentos de viento, fonación en humanos/animales, ronquido. Vibraciones en cañerías. Vibraciones en rotordinámica. 3 / 44
  4. 4. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Fuerzas aerodinámicas Desde el punto de vista de la estructura, podemos pensar que el fluido aplica una fuerza sobre la misma m¨x + c ˙x + kx = Ffl({x}) La fuerza es no local en el tiempo: depende de toda la his- toria {x} anterior de x Un primer efecto del fluido es introducir amortiguación (dam- ping), es decir m¨x + c ˙x + kx = Ffl({x}) ≈ −cfl ˙x, m¨x + (c + cfl) ˙x + kx = 0. k c m Ffl 4 / 44
  5. 5. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Fuerzas aerodinámicas(cont) Pero en realidad el fluido también puede agregar una masa adicional (o masa agregada) a la estructura ya que esta al desplazarse debe desplazar una cierta cantidad de fluido. m¨x + c ˙x + kx = Ffl({x}) ≈ −cfl ˙x − mfl ¨x, (m + mfl)¨x + (c + cfl) ˙x + kx = 0. Para una esfera la masa agregada es 2/3πR3 ρ o sea 50 % de la masa de fluido desalojada por la esfera. (Estas son aproximaciones basadas en flujo potencial.) En flujo real sue- les ser un poco mayor (55 % a 60 %). La masa puede ser no diagonal es decir, la masa agregada en una dirección puede no ser igual a la de otra dirección, por ejemplo para una elipse. Tenemos entonces un tensor da masa agregada. 5 / 44
  6. 6. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Fuerzas aerodinámicas(cont) Una forma de calcular la massa agregada Mij es imponer sobre el cuerpo una velocidad en la direccion ubdy y resolver (por ej. con flujo potencial) el campo de velocidades u(x). La energía cinética del fluido será EK = Ω 1/2ρu2 dΩ = 1/2Mijubdy,iubdy,j (1) Factor de amplificación de la masa agregada: Si en cier- tas partes del fluido el flujo se acelera entonces puede agre- gar más masa agregada que la propia masa del fluido. 6 / 44
  7. 7. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Fuerzas aerodinámicas(cont) Finalmente, para un perfil aerodi- námico por ejemplo, tenemos una fuerza (torque) que es proporcio- nal al ángulo de ataque del mismo I ¨θ + c ˙θ + kθ = Ffl({x}) ≈ −kflθ, I¨x + c ˙x + (k + kfl)θ = 0. k c θ Torque estructural (estabilizante) Torque del fluido (desestabilizante) En este caso kfl < 0 es decir tiene un efecto desestabili- zante sobre el sistema. Si k + kfl < 0 es decir si la rigidez estructural no llega a compensar a la rigidez negativa aero- dinámica se produce la divergencia del sistema y colapsa. Este tipo de inestabilidad no es dinámica, es puramente es- tática. 7 / 44
  8. 8. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Rotordinámica La rotordinámica estudia el comportamiento de componen- tes que se caracterizan por una alta velocidad de rotación (rotores). Ejemplos típicos: cojinetes, rodetes de turbinas. Nos interesan los casos en que existe un gap de fluido entre el rotor y el estator. El rotor se puede desplazar de su posición centrada por efectos de cargas (cojinetes) o desbalances de fuerzas (en- trada irregular de fluido en el rodete de una turbina). Al desplazarse con respecto al centro del stator, el fluido ejerce una fuerza hidrodinámica, tenemos por lo tanto un problema de interacción fluido-estructura. 8 / 44
  9. 9. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Flujo de lubricación. Ec de Reynolds Se llaman flujos de lubricación a los que se producen entre dos superficies cuando la distancia entre las mismas es mu- cho menor que el tamaño característico de las superficies. Asumiendo que en cada sección (perpendicular a las su- perficies) el flujo es una combinación de flujo Couette (perfil lineal) y Poiseuille (perfil parabólico) se llega a la aproxima- ción dada por la Ec. de Reynolds. 9 / 44
  10. 10. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Flujo de lubricación. Ec de Reynolds(cont) Ecuación de Reynolds · h3 12µ P = ∂h ∂t , (2) h(x, t) es un dato (dado por la geometría del problema. Notar que el término derecho es también un dato (a menos que hagamos FSI). h(x) x fluid 10 / 44
  11. 11. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Ejemplo. Levantando una cacerola Planta circular de radio R en el plano x, y h, dh dt =cnst no dependen de x, y La ec. a resolver es ∆P = 12µ˙h h3 = cnst (3) La solución es P = P0 + c(r2 − R2 ). Como ∆(r2 ) = 4 queda en- tonces 4c = 12µ˙h/h3 La fuerza neta total es en- tonces F − W = 3πµ˙hR2 2h3 (4) Piny F h D P(r) 11 / 44
  12. 12. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Ejemplo. Levantando una cacerola(cont) Por ejemplo si h = 1 × 10−4 m, ˙h = 1 × 10−4 m/s, R = 0.15 m, µ = 1 × 10−3 Pas (agua) =⇒ F = 106 N De hecho si asumimos F =cnst se puede integrar la ec. diferen- cial F = W + 3πµ˙hR2 2h3 (5) y da 1 h2 0 − 1 h(t)2 = Ct, (C = 2(F − W) 3πµR2 ) (6) 12 / 44
  13. 13. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Ejemplo. Levantando una cacerola(cont) El tiempo de despegue T es 1 h2 0 = CT, T = 3πµR2 2h2 0(F − W) (7) Para los datos del caso anterior (cacerola) da T = 68 s. La presión negativa mínima en el centro de círculo es cerca de 5 × 105 Pa. Por lo tanto está en cavitación. 13 / 44
  14. 14. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Rotordinámica(cont) ω ΔX W P+ P- Q1=c1(ωR/2) Q2=c2(ωR/2) 14 / 44
  15. 15. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Rotordinámica(cont) El desplazamiento es orto- gonal a la carga. Fuerza no- conservativa. Si el rotor realiza una ór- bita corotante con el fluido entonces tiende a absorber energía y por lo tanto es desestabilizante. Recíprocamente, órbitas contrarotantes el efecto tiende a ser estabilizante. Las fuerzas desestabilizan- tes pueden tener efectos catastróficos sobre la es- tructura. También es fuente de vibraciones. ω ΔX W P+ P- Q1=c1(ωR/2) Q2=c2(ωR/2) 15 / 44
  16. 16. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Turbina Francis Belomonte (BR)(cont) 16 / 44
  17. 17. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Turbina Francis Belomonte (BR)(cont) Labyrinth seal Three Gorges Dam rotor 17 / 44
  18. 18. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Ejemplo rotordinámica Se considera el flujo entre dos cilindros excéntricos. Ambos o uno de los cilindros es libre de moverse, por lo cual es un problema de FSI. Una aplicación muy importante del flujo en el lubricante en- tre el rotor y el estator de un rodamiento. En este caso uno de los cilindros (puede ser el rotor o el estator) está en rota- ción con respecto al otro. Normalmente no hay flujo axial. Otra aplicación es el flujo en el huelgo entre el rotor y el es- tator de una turbina hidráulica. En este caso las velocidades de rotación son menores pero puede haber un flujo axial. Si asumimos que el que se mueve es el rotor y que los mo- vimientos son bidimensionales, es decir que el rotor se des- plaza en forma rígida, manteniendo su eje alineado con el eje z, y sin desplazarse según el eje z entonces su movi- miento está caracterizado por el desplazamiento {ex(t), ey(t)} 18 / 44
  19. 19. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Ecuaciones de gobierno El dominio ocupado por el fluido es una región anular excéntrica: Ωfl = { x−e > Rint, y x < Rext}. (8) Las ecuaciones de NS (momento y continuidad) rigen en Ωfl. Las condiciones de contorno son v = ˙e, en Γint, v = ω × x, en Γext, (9) Las ecuaciones de gobierno para la posición del cilindro interior son, M¨e = −Ke − C˙e + Ffl, (10) ω ΔX W P+ P- 19 / 44
  20. 20. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. FSI con Code-Saturne Code-Saturne (CS) es el código CFD general desarrollado por Electricité de France (EDF) (https: //www.code-saturne.org) y Commisariat pour l’Energie Atomique (CEA). Paquete de software de CFD de uso general licen- cia GNU-GPL. Se basa en un enfoque de volumen finito co-locado que acepta mallas con cual- quier tipo de celda y cual- quier tipo de estructura de malla (no estructurada, es- tructurada en bloque, híbri- da, hanging nodes). 20 / 44
  21. 21. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. FSI con Code-Saturne(cont) Flujos incompresibles o compresibles con o sin transferen- cia de calor y turbulencia (longitud de mezcla, modelos de 2 ecuaciones, modelos de tensión de Reynolds, LES ...). Po- see módulos dedicados para procesos físicos específicos como transferencia calor por radiación, combustión, dinámi- ca magnetohidrodinámica, flujos compresibles, flujos bifási- cos (enfoque Euler-Lagrange con acoplamiento bidireccio- nal), y extensiones a aplicaciones específicas (por ejemplo, para ambientes atmosféricos). Puede acoplarse al software térmico SYRTHES para la trans- ferencia de calor conjugado. También puede utilizarse conjuntamente con el software de análisis estructural Code-Aster, en particular en la platafor- ma Salomé. SYRTHES y Code-Aster son desarrollados por EDF y distribuidos bajo la licencia GNU GPL. 21 / 44
  22. 22. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. FSI con Code-Saturne(cont) La figura muestra el com- portamiento del tiempo de cómputo para un cálculo de CFD con modelo de turbulencia LES en un arre- glo de tubos (un elemento combustible de un reactor nuclear) corrido en HEC- ToR Phase3 (es un Cray XE6, [goo.gl/KKHrfk ]) muestra escalabilidad hasta 3.2 Bcells en 65k cores. 51Mcell(fit) 204Mcell(fit) 816Mcell(fit) 3.2Bcell(fit) weak scalability region 22 / 44
  23. 23. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Caso sin rotación y con FSI. Ponemos velocidad de rotación del cilindro exterior W=0.0 y activamos la FSI, poniendo una excentricidad inicial de e(t=0)=[0.05,0,0] es decir del 5 % del huelgo. La masa del cuerpo rígido es puesta en m11=m22=m33=1 (ten- sor de masa diagonal) y la constante de rigidez en k11=k22=k33=10. La estructura no tiene amortiguamiento (c11=c22=...=0). Notar que una constante de rigidez es necesaria en este caso ya que caso contrario el cuerpo queda en “equilibrio indiferente”, es decir puede desplazarse por la cavidad y por lo tanto el problema no es estable. También es necesario darle una masa positiva al cuerpo ya que si no la única masa sería la agregada y el acoplamiento no converge. 23 / 44
  24. 24. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Caso sin rotación y con FSI.(cont...) En el gráfico se muestra el desplazamiento y las fuerzas. Se puede observar que la evolución es estable, con un im- portante amortiguamiento tanto de los desplazamientos co- mo de las fuerzas. El amortiguamiento es aportado sólo por el fluido (cij=0). 0 2 4 6 8 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 t [s] fx ex 24 / 44
  25. 25. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Masa agregada y damping Podemos determinar la masa agregada aportada por el flui- do y el coeficiente de damping imponiendo desplazamientos harmónicos y ajustando la respuesta Fx. Efectivamente, si las fuerzas del fluido se pueden aproximar de la siguiente forma Fx(t) = −mfl¨e − cfl ˙e − kfle, (11) entonces, imponemos un desplazamiento de la forma ex(t) = A sin(ωt), (12) Las fuerzas del fluido deben ser entonces Fx(t) = A(mflω2 − kfl) sin(ωt) − cflωA cos(ωt). (13) 25 / 44
  26. 26. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Masa agregada y damping(cont) Por lo tanto podemos imponer el desplazamiento harmónico (12), calcular las fuerzas Fx sobre el cuerpo. Después de un transitorio inicial las fuerzas deben terminar siendo una función harmónica de la misma frecuencia que la excitación. Por lo tanto debe ser una combinación lineal de la siguiente forma Fx(t) = a sin(ωt) + b cos(ωt). (14) Los coeficientes a y b se pueden obtener por mínimos cua- drados. Si los cilindros no rotan entonces el coeficiente kfl debe ser nulo y por lo tanto con una sola simulación se pue- den deducir los coeficientes de masa agregada y damping como mfl = a/(Aω2 ), cfl = −b/(Aω), (15) Si tuviéramos kfl = 0 (por ejemplo debido al efecto Loma- kin, o a una rotación de los cilindros) entonces con una sola frecuencia no se puede terminar mfl, pero tomando dos fre- cuencias se puede ajustar la relación entre a y ω por una cuadrática y se pueden determinar ambos coeficientes. 26 / 44
  27. 27. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Determinar coefs con CS Para realizar los cálculos de mfl y cfl realizamos una simula- ción con CS utilizando A = 0.01 y ω = 5. El coeficiente A debe ser suficientemente pequeño como para garantizar que la respuesta del sistema es lineal, en este caso A = 0.01 equivale a un 10 % del huelgo. En azul vemos las fuerzas calculadas por CS. Después de un transitorio inicial las fuerzas parecen rápida- mente tomar un comportamiento harmónico. 0 2 4 6 8 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t fx fx(fitted) 27 / 44
  28. 28. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Determinar coefs con CS(cont) Si hacemos mínimos cuadrados y ajustamos la fuerza de la forma (14) vemos que el ajuste es muy bueno, salvo un pequeño transitorio inicial. A partir de los coeficientes a y b deducimos las masas agre- gadas y coeficiente de damping. Resulta ser a=0.0909, b=-0.046559 y por lo tanto resulta mfl=0.363. El valor teórico de la masa agregada, calculado en base a teoría potencial es mfl = πρR3 hz c = (2πρRchz) R2 2c2 = 0.314 = (fluid mass) × (ampl. factor) (16) Vemos que hay una coincidencia razonable. Las discrepan- cia de un 15 % se puede deber al hecho de que estamos un poco lejos de la aproximación de la teoría de lubricación ya que el espesor del huelgo no es tan pequeño con respecto al radio. 28 / 44
  29. 29. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Determinar coefs con CS(cont) Con respecto a cfl el valor de b resultante del fiteo con seno y coseno es b=-0.046559 y por lo tanto a partir de (15) resulta cfl = 0.931. Si aproximamos las fuerzas del fluido con estos coeficientes mfl y cfl entonces las oscilaciones libres del cuerpo estarían descriptas por (m + mfl)¨e + cfl ˙e + ke = 0 (17) Por lo tanto las soluciones son de la forma ∝ eλt donde (m + mfl)λ2 + cflλ + k = 0 (18) y en este caso resulta ser λ1,2 = −0.3415 ± i 2.6866 (19) 29 / 44
  30. 30. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Determinar coefs con CS En particular para las condiciones iniciales de este problema la solución es e(t) = e(t = 0)e−βt cos(ωt). (20) Con β = Re {λ} = −0.3415 y ω = 2.6866. 0 2 4 6 8 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 t [s] ex ex(anl) 30 / 44
  31. 31. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Caso FSI con rotación, inestable. Ahora ponemos el cilindro externo a rotar con velocidad an- gular W = 10[rad/s]. Resolvemos con FSI activado, agregando una masa al cuer- po de m11 = m22 = m33 = 1 y sin coeficientes de damping ni restitución. El cuerpo se inicializa con un desplazamiento según x de ex = 0.001 (1 % del huelgo). En las figura de abajo (izq.) vemos la evolución de los des- plazamientos ex, ey y las fuerzas sobre el fluido Fx, Fy en función del tiempo. En la figura derecha vemos la evolución del centro del cuerpo. Se observa una trayectoria espiral cre- ciente co-rotatoria (es decir en el mismo sentido que el rotor, contrario al sentido de las agujas del reloj). Obviamente la evolución es inestable. 31 / 44
  32. 32. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. 0 1 2 3 4 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 t ex ey fx fy -0.01 -0.005 0 0.005 -0.01 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 t ey 32 / 44
  33. 33. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Caso FSI con rotación, estable. Queremos ver si podemos estabilizar el sistema agregando una rigidez estructural. El sistema de ecs que utilizamos pa- ra el problema sin rotación fue (17). En ese caso era una ecuación de un solo grado de libertad (ex) ya que al no ha- ber rotación las ecuaciones en x e y se desacoplan. Al haber rotación las ecuaciones se acoplan (en el caso 3 vimos que al aplicar un desplazamiento en x se produce una fuerza en y). Por lo tanto el sistema de ecuaciones ahora es (Ms + Mf )¨e + (Cs + Cf )˙e + (Ks + Kf )e = 0 (21) El subíndice s indica estructura y f del fluido. Donde todas las matrices son de 2x2. 32 / 44
  34. 34. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Caso FSI con rotación, estable. (cont) Notemos que todas las matrices deben tener ciertas pro- piedades de simetría. Los coeficientes diagonales xx e yy deben ser iguales, por ejemplo debemos tener Kxx = Kyy. Por otra parte recordemos del caso 3 que si aplicamos un desplazamiento en x obtenemos una fuerza positiva en y. Por simetría si producimos un desplazamiento en y obten- dremos una fuerza en −x. Es decir la estructura de K debe ser K = a b −b a (22) El mismo razonamiento se aplica a todas las matrices del fluido y asumiremos también que las matrices de la estruc- tura son diagonales, multiplos de la identidad es decir Ms = msI2×2, Cs = csI2×2, Ks = ksI2×2. (23) Si buscamos soluciones de la forma e(t) = ˆe eλt entonces tenemos el problema de autovalores cuadrático det (Ms + Mf )λ2 + (Cs + Cf )λ + (Ks + Kf ) = 0 (24) 33 / 44
  35. 35. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Caso FSI con rotación, estable. Como todas las matrices tienen la estructura (22). El proble- ma de autovalores se simplifica ya que los autovectores son de la forma v = 1 i (25) Ya que, por ejemplo a b −b a 1 i = a + i b −b + i a = (a + i b) 1 i (26) Algo similar ocurre con el autovector v = 1 −i (27) 34 / 44
  36. 36. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Caso FSI con rotación, estable. (cont) Utilizando el resultado (26) vemos que el problema de auto- valores se reduce a (ms + mf )λ2 + cf λ + (Kf,xx + i Kf,xy + ks) = 0 (28) Utilizando los valores de Kf,xx = −0.090751/0.05, Kf,xy = −0.144934/0.05, cf = 0.931, mf = 0.314 (29) Si ponemos ms = 1 y cs, = ks = 0 entonces vemos que los autovalores son λ = {−1.7996 − i 0.7631, 1.0911 + i 0.7631}. Es decir que la evolución es inestable ya que tenemos un autovalor con parte real positiva. 35 / 44
  37. 37. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Caso FSI con rotación, estable. (cont) Agregando coeficiente de restitución positiva de la estructu- ra ks se puede estabilizar el sistema. Por prueba y error se puede llegar a determinar que a ks = 30 los autovalores tienen parte real negativa es decir que se estabiliza. ks = 30, =⇒ λ = {−0.5928 − i 4.6240, −0.1157 + i 4.6240} (30) Agregando estos coeficientes y realizando una simulación FSI con un desplazamiento inicial de 0.01 tenemos una evo- lución como se muestra en las siguientes figuras. 0 2 4 6 8 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t ex ey fx fy -0.005 0 0.005 0.01 -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 ex ey 36 / 44
  38. 38. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Caso FSI con rotación, estable. (cont) Se observa efectivamente que la evolución es estable. Puede verse que después del transitorio inicial el movimien- to es una helicoide que gira en sentido antihorario, es decir co-rotatorio con el movimieno del rotor. Repasando los autovalores (30) vemos que si bien los dos autovalores son estables (Re {λ} < 0) hay uno de ellos que es el decae más lento (λ = {−0.1157 + i 4.6240} ) y otro que decae mucho más rápido λ = {−0.5928−i 4.6240, −0.1157+ 4.6240i }. Ambos tienen la velocidad angular (Im {λ} < 0) opuesta y puede demostrarse que el de decaimiento más lento es el co-rotatorio. 37 / 44
  39. 39. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Modos co- y contra-rotatorios(cont) Más aún, puede verse que la velocidad angular del modo lento Im {λ} = 4.6240 es aproximadamente igual a un medio de la velocidad de rotación (W = 10). Esto es un efecto bien conocido en rotordinámica. La gran disipación de energía se produce cuando la excentricidad produce una estricción y el flujo es “bombeado” a través de la misma. Si ambos cilindros rotaran con la misma veloci- dad angular pero en sentido antihorario entonces no habría caudal neto bombeado a través de la estricción ya que el caudal neto producido por el flujo Couette sería nulo en to- das las posiciones azimutales. 38 / 44
  40. 40. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Modos co- y contra-rotatorios(cont) Por lo tanto una excentricidad en ese caso no tendría las di- ferencias de presión como en la figura derecha de la trans- parencia ?? y por lo tanto tampoco fuerza transversal. Es decir esa excentricidad tendería a tener un comportamiento más indiferente. En general, cuando ambos cilindros rotan este conportamiento “indiferente” ocurre cuando la excen- tricidad rota con el promedio de las velocidades de ambos cilindros. En particular cuando uno rota con velocidad W y el otro está fijo eso se corresponde con que la excentricidad rote con velocidad W/2. 39 / 44
  41. 41. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Inclinación del eje 40 / 44
  42. 42. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Lomakin effect(cont) Lomakin effect occurs when an axial flow is present in the clearance. If there is a shift (eccen- tricity) to the left, then the clearance is larger at the right, the velocity is higher and (Bernoulli) the pressu- re is lower. So a net force to the right (restoring) is pro- duced. Lomakin has a stabilizing effect. P-P+ F ΔX ω 41 / 44
  43. 43. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. FSI con superficie libre (FS)(cont) En aplicaciones en un reac- tor nuclear (CAREM) es im- portante modelar la FSI en- tre cilindros con superficie libre (FS). Un modelo simple de flujo con FS fue agregado en CI- MEC para modelar superfi- cie libre. 42 / 44
  44. 44. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. FS con Saturne(cont) Flow in annulus with initial slope Flow in annulus with initial rota- tion and wall. Flow in annulus with initial slope Flow in an annulus with inner si- nusoidal motion 43 / 44
  45. 45. Avances en la modelización computacional de problemas de interacción Fluido-Estructura, especialmente Rotordinámica Mario A. Storti Fluids Structure Interaction (FSI) Caso sin rotación y con FSI. Determinar coefs con CS Caso FSI con rotación, inestable. Caso FSI con rotación, estable. Módulo de cuerpo rígido Trompo en movimiento libre, sin drag, tip desliza. Cadena de barras rígidas. Trompo en movimiento libre, con drag. 44 / 44

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