Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Matemaatikaeksam

8,409 views

Published on

matemaatikaeksam

Published in: Education
  • Be the first to comment

Matemaatikaeksam

  1. 1. Геометрические задачи в государственном экзамене по математике. Марина Метс 02-03.02.2009
  2. 2. Классификация геометрических задач геометрические задачи планиметрические задачи задачи аналитической геометрии стереометрические задачи
  3. 3. Задачи аналитической геометрии задачи аналитической геометрии на плоскости в пространстве
  4. 4. Задачи аналитической геометрии <ul><li>1999 № 9 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Даны прямые, заданные уравнениями </li></ul><ul><li>и </li></ul><ul><li>1)Найти точку пересечения прямых. </li></ul><ul><li>2)Найти уравнение биссектрисы острого угла между данными прямыми. </li></ul><ul><li>1999 № 9 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li> Даны прямые, заданные уравнениями </li></ul><ul><li>и </li></ul><ul><li>1)Найти точку пересечения прямых. </li></ul><ul><li>2)Найти уравнение биссектрисы тупого угла между данными прямыми. </li></ul>
  5. 5. Задачи аналитической геометрии <ul><li>2002 №4 ( 10 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Вершинами треугольника являются А (0;2), В (4;4), С (4;-1). </li></ul><ul><li>1)Постройте данный треугольник в координатной плоскости и вычислите его площадь. </li></ul><ul><li>2)Составьте уравнение прямой АВ . </li></ul><ul><li>3)Найдите угловой коэффициент прямой, на которой расположена высота треугольника, проведённая из вершины С . </li></ul><ul><li>2002 №4 ( 10 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Вершинами треугольника являются А (2;0), В (-2;4), С (4;4). </li></ul><ul><li>1)Постройте данный треугольник в координатной плоскости и вычислите его площадь. </li></ul><ul><li>2)Составьте уравнение прямой АС . </li></ul><ul><li>3)Найдите угловой коэффициент прямой, на которой расположена высота треугольника, проведённая из вершины В . </li></ul>
  6. 6. Задачи аналитической геометрии <ul><li>2003 №8 ( 15 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>На плоскости проведены 4 прямые. Первая из них задана уравнением . Вторая прямая параллельна первой и проходит через точку Р (2;-1). Третья прямая перпендикулярна первой и проходит через точку Q (-3 ;-1). Четвёртая параллельна оси Оу и проходит через точку R (6 ;3). Третья прямая пересекается с первой прямой в точке A и со второй прямой в точке B . Четвёртая прямая пересекает первую в точке D и вторую – в точке C . </li></ul><ul><li>1)Сделайте чертёж и запишите уравнения данных прямых; </li></ul><ul><li>2)Найдите координаты вершин четырёхугольника ABCD ; </li></ul><ul><li>3)Для четырёхугольника ABCD найдите: </li></ul><ul><li>а)точные длины его сторон, </li></ul><ul><li>б)площадь. </li></ul>
  7. 7. Задачи аналитической геометрии <ul><li>2003 №8 ( 15 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>На плоскости проведены 4 прямые. Первая из них задана уравнением . Вторая прямая параллельна первой и проходит через точку Р (0;4). Третья прямая перпендикулярна первой и проходит через точку Q (- 9;1). Четвёртая параллельна оси О x и проходит через точку R (-2 ; 6 ). Третья прямая пересекается с первой прямой в точке A и со второй прямой в точке B . Четвёртая прямая пересекает первую в точке D и вторую – в точке C . </li></ul><ul><li>1)Сделайте чертёж и запишите уравнения данных прямых; </li></ul><ul><li>2)Найдите координаты вершин четырёхугольника ABCD ; </li></ul><ul><li>3)Для четырёхугольника ABCD найдите: </li></ul><ul><li>а)точные длины его сторон, </li></ul><ul><li>б)площадь. </li></ul>
  8. 8. Задачи аналитической геометрии <ul><li>200 4 №8 ( 15 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Даны прямые y=-x , y=4x и y=x-6 . </li></ul><ul><li>1)Вычислите координаты точек пересечения данных прямых. </li></ul><ul><li>2)Постройте данные прямые в одной системе координат. </li></ul><ul><li>3)Составьте уравнение параболы , проходящей через точки пересечения данных прямых. </li></ul><ul><li>4)Вычислите координаты вершины параболы из предыдущего пункта. </li></ul>
  9. 9. Задачи аналитической геометрии <ul><li>200 4 №8 ( 15 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Даны прямые y=x , y= - 4x и y= - x + 6 . </li></ul><ul><li>1)Вычислите координаты точек пересечения данных прямых. </li></ul><ul><li>2)Постройте данные прямые в одной системе координат. </li></ul><ul><li>3)Составьте уравнение параболы , проходящей через точки пересечения данных прямых. </li></ul><ul><li>4)Вычислите координаты вершины параболы из предыдущего пункта. </li></ul>
  10. 10. Задачи аналитической геометрии <ul><li>200 3 №8 ( 15 баллов ) дополнительный экзамен </li></ul><ul><li>При вращении прямоугольника ABCD вокруг стороны AD получается цилиндр. При вращении прямоугольника треугольник ABD образует конус. Вершинами прямоугольника являются точки А(-4;0), В(-1;-3), С(3;1), D(0;4) . </li></ul><ul><li>1)Построить прямоугольник ABCD в прямоугольной системе координат. </li></ul><ul><li>2)Вычислить </li></ul><ul><li>а) объём цилиндра; </li></ul><ul><li>б) объём конуса. </li></ul><ul><li>3)Найти угол при вершине осевого сечения конуса. </li></ul><ul><li>4)Составить уравнение прямой, на которой расположена ось цилиндра. </li></ul>
  11. 11. Задачи аналитической геометрии <ul><li>2000 №2 ( 10 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Две вершины прямоугольного треугольника расположены в точках А (1;-2;1) и В (-4;-4;1). Вершина прямого угла С лежит на оси Оу . Найдите координаты точки С . </li></ul><ul><li>2000 №2 ( 10 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Две вершины прямоугольного треугольника расположены в точках В (1;-2;-2) и С (-4;2;0). Вершина прямого угла А лежит на оси О z . Найдите координаты точки A . </li></ul>
  12. 12. Задачи аналитической геометрии <ul><li>2001 №4 ( 15 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Вершинами четырёхугольника KLMN являются точки K ( 1;1;7), L ( 3;3;7), M ( 9;1;1) и N ( 4;0;4). </li></ul><ul><li>1)Убедитесь, что четырёхугольник KLMN является трапецией. Определите, какие отрезки являются основаниями трапеции. </li></ul><ul><li>2)Выясните, является ли эта трапеция равнобокой. </li></ul><ul><li>3)Найдите концы средней линии трапеции. </li></ul><ul><li>4)Найдите косинус угла между продолжениями боковых сторон трапеции. </li></ul>
  13. 13. Задачи аналитической геометрии <ul><li>2001 №4 ( 15 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Вершинами четырёхугольника ABCD являются точки A (9 ; 3 ; -8 ), B (7 ; 5 ; -9 ), C (-5 ; - 1; 0 ) и D (-11 ; -7 ; 7 ). </li></ul><ul><li>1)Убедитесь, что четырёхугольник ABCD является трапецией. Определите, какие отрезки являются основаниями трапеции. </li></ul><ul><li>2)Выясните, является ли эта трапеция равнобокой. </li></ul><ul><li>3)Найдите концы средней линии трапеции. </li></ul><ul><li>4)Найдите косинус угла между продолжениями боковых сторон трапеции. </li></ul>
  14. 14. Планиметрические задачи планиметрические задачи задачи на свойства фигур задачи с применением тригонометрии задачи на нахождение экстремума
  15. 15. Планиметрические задачи на нахождение экстремума <ul><li>1999 № 7 (15 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>У стены надо оградить с трёх сторон забором прямоугольный участок земли, имеющий наибольшую площадь. Найти размеры участка, если длина забора равна 200 м. </li></ul><ul><li>1999 № 7 (15 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><ul><li>Из листа жести надо вырезать прямоугольный треугольник, квадрат площади которого максимален. Найти длины катетов этого треугольника, если длина гипотенузы равна 20 см. </li></ul></ul>
  16. 16. Планиметрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>2000 №6 ( 15 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Угол при одной из вершин треугольника удовлетворяет условию </li></ul><ul><li>Найдите площадь треугольника, если длины всех сторон треугольника различны , длина стороны, противолежащей углу равна 6, а прилежащей стороны . </li></ul><ul><li>2000 №6 ( 15 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Угол при одной из вершин ромба удовлетворяет условию </li></ul><ul><li>Найдите площадь ромба, если длина большей диагонали ромба равна 24. </li></ul>
  17. 17. Планиметрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>2003 №7 ( 10 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Города Амстердам, Берлин и Прага образуют треугольник, два угла которого равны 5 0° и 1 1 0° . Расстояние от Берлина до Праги составляет 280 км. Каковы расстояния от Амстердама до Берлина и от Праги до Амстердама? Ответы дайте с точностью до 10 км. </li></ul>
  18. 18. Планиметрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>2003 №7 ( 10 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>1)Три дороги – магистраль, шоссе и просёлочная дорога – образуют треугольник АВС , в котором , и км. Какова длина отрезка АС ? </li></ul><ul><li>2)В 12.00 нарушитель правил дорожного движения свернул в точке А с магистрали на шоссе и поехал в направлении перекрёстка С со скоростью 140км/ч. В то же время (в 12.00) из пункта В по просёлочной дороге в сторону перекрёстка С выехал инспектор дорожной полиции и достиг этого перекрёстка через 35 секунд. Успел ли инспектор полиции к перекрёстку С раньше нарушителя? </li></ul><ul><li>Обоснуйте ответ с </li></ul><ul><li>помощью вычислений. </li></ul>
  19. 19. Планиметрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>2005 №7 ( 10 баллов ) дополнительный экзамен </li></ul><ul><li>Две стороны четырёхугольного участка земли длина которых 60 м перпендикулярны друг другу. Третья сторона длиной 120 м составляет с 60-метровой стороной угол 1 2 0° . Вычислите площадь участка земли. Ответ дайте с точностью до 10 квадратных метров. </li></ul>
  20. 20. Планиметрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>2006 №7 ( 10 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Во время наводнения прибрежные поля оказались под водой и урожай погиб. Страховая фирма выплатила владельцу возмещение убытков в размере 10   000 кр за гектар. Сколько получил хозяин в возмещение убытков, если его поле является четырёхугольником с двумя взаимно перпендикулярными сторонами длиной 0,5км и 1,5км, внутренний угол при более короткой стороне равен 1 2 0° , а внутренний угол при более длинной стороне равен 45 ° . </li></ul><ul><li>Ответ дайте с точностью </li></ul><ul><li>до 1000 крон. </li></ul>
  21. 21. Планиметрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>2006 №7 ( 10 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Оценивается ущерб от лесного пожара. Сгоревшая часть по результатам картографирования с самолёта является четырёхугольником с двумя взаимно перпендикулярными сторонами (см. рисунок) длиной 1 км и 1,5 км. При первой из них внутренний угол равен 1 2 0° и при второй 45 ° . Страховая фирма выплатит владельцу 50   000 кр за гектар в возмещение убытков. Сколько получит владелец описанной лесной делянки в возмещение убытков? </li></ul><ul><li>Ответ дайте с точностью до 10000 крон. </li></ul>
  22. 22. Планиметрические задачи на применение свойств фигур <ul><li>2007 №5 ( 10 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Пруд имеет форму прямоугольной трапеции. Длины берегов пруда, являющихся основаниями трапеции, равны а и b ( a>b ), а длина перпендикулярного им берега равна c . В точке пересечения диагоналей трапеции расположен фонтан. </li></ul><ul><li>1)Найдите расстояние от фонтана до берега пруда длиной а . </li></ul><ul><li>2)Вычислите это расстояние при </li></ul><ul><li>а=60 м, b =40 м , с=30 м . </li></ul>
  23. 23. Планиметрические задачи на применение свойств фигур <ul><li>2007 №5 ( 10 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Боковая стена здания имеет форму прямоугольной трапеции. Длина стены равна с, а высоты соответственно а и b ( a>b ). В точке пересечения диагоналей боковой стены прикреплён прожектор. </li></ul><ul><li>1)Найдите, на каком расстоянии от ребра стены длиной b находится прожектор. </li></ul><ul><li>2)Вычислите это расстояние при </li></ul><ul><li>а=9 м, b =6 м, с=15 м. </li></ul>
  24. 24. Планиметрические задачи на применение свойств фигур <ul><li>2005 №7 ( 10 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>В цилиндрическую коробку с крышкой положено 4 одинаковых шара так, что все шары касаются основания, крышки, боковой стенки коробки, а также двух соседних шаров. Какую часть от объёма коробки занимают шары? </li></ul>
  25. 25. Планиметрические задачи на применение свойств фигур <ul><li>2005 №7 ( 10 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>В цилиндрическую коробку с крышкой положено 3 одинаковых шара так, что все шары касаются основания, крышки, боковой стенки коробки и друг друга. Какую часть от объёма коробки занимают шары? </li></ul>
  26. 26. Стереометрические задачи стереометрические задачи задачи практического содержания задачи с применением тригонометрии задачи на комбинацию многогранников и тел вращения задачи на нахождение экстремума задачи на построение сечений
  27. 27. Стереометрические задачи практического содержания <ul><li>2002 №2 ( 5 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Крыша башни имеет вид конуса, диаметр основания которого равен 8,0 м и высота равна 4,2 м. Сколько килограммов краски нужно купить для покраски крыши башни, если на покраску одного квадратного метра идёт 200 г краски. </li></ul><ul><li>2002 №2 ( 5 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Куча песка имеет вид конуса, диаметр основания которого равен 0,90 м, а образующая равна 0,75 м. Сколько килограммов песка в этой куче, если масса 1 кубического метра песка равна 1,8 тонны? </li></ul>
  28. 28. Стереометрические задачи практического содержания <ul><li>2003 №2 ( 5 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>К стене дома нужно пристроить парник из полиэтиленовой плёнки, у которого высота передней стенки равна 1,5 м, а высота задней стенки равна 2 м. Размеры основания 1,2 м и 2 м, а длина ската крыши равна 1,3 м. Сколько плёнки потребуется для покрытия крыши, трапецевидных боковых стенок и передней стенки? </li></ul>
  29. 29. Стереометрические задачи практического содержания <ul><li>2003 №2 ( 5 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>К стене дома нужно пристроить остеклённый парник, у которого высота передней стенки равна 2 м, а высота задней стенки равна 3 м. Размеры основания 4 м и 5 м, а длина ската крыши равна 4,1 м. Какова суммарная остекляемая площадь крыши, трапецевидных боковых </li></ul><ul><li>стенок и передней стенки? </li></ul>
  30. 30. Стереометрические задачи практического содержания <ul><li>2006 №11 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Задняя и передняя стенки корыта являются равнобедренными трапециями, одно основание которых длиннее другого на 3 0%, и эти трапеции перпендикулярны дну корыта. Дно корыта – прямоугольник шириной а . Глубина корыта равна h , а глубина воды в корыте 0,5h . Корыто наклоняют на одну (прямоугольную) боковую стенку так, что противоположная прямоугольная стенка корыта показывается из воды полностью, но дна корыта не видно. Выясните, выльется ли при этом часть воды через край корыта. </li></ul>
  31. 31. Стереометрические задачи практического содержания <ul><li>2006 №11 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Задняя и передняя стенки корыта являются равнобедренными трапециями, одно основание которых длиннее другого на 2 0%, и эти трапеции перпендикулярны дну корыта. Дно корыта – прямоугольник шириной а . Глубина корыта равна h , а глубина воды в корыте 0,5h . Корыто наклоняют на одну (прямоугольную) боковую стенку так, что противоположная прямоугольная стенка корыта показывается из воды полностью, но дна корыта не видно. Выясните, выльется ли при этом часть воды через край корыта. </li></ul>
  32. 32. Стереометрические задачи практического содержания <ul><li>2004 №2 ( 5 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Диаметр 50-литрового цилиндрического сосуда равен 3,4 дм. С точностью до 0,1 дм найдите высоту цилиндрического сосуда такого же диаметра, но в два раза меньшей вместимости. </li></ul><ul><li>2004 №2 ( 5 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Высота 100-литрового цилиндрического сосуда равен 4,5 дм. С точностью до 0,1 дм найдите диаметр цилиндрического сосуда такого же высоты, но в два раза меньшей вместимости. </li></ul>
  33. 33. Стереометрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>2008 №3 ( 10 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Длина одной стороны треугольной площадки равна 20 м, углы, прилежащие к этой стороне, равны 100° и 27° . В вершине третьего угла расположена мачта, перпендикулярная плоскости треугольной площадки . Вершина мачты видна из вершины тупого угла под углом 47° к поверхности земли . Вычислите площадь площадки и высоту мачты. </li></ul>
  34. 34. Стереометрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>2008 №3 ( 10 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Длина одной стороны треугольной площадки равна 15 м, углы, прилежащие к этой стороне, равны 95° и 4 7° . В вершине третьего угла расположена мачта, перпендикулярная плоскости треугольной площадки . Вершина мачты видна из вершины тупого угла под углом 21 ° к поверхности земли . Вычислите площадь площадки и высоту мачты. </li></ul>
  35. 35. Стереометрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>1999 №3 ( 15 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Периметр основания правильной треугольной пирамиды равен см, а двугранный угол между основанием и боковой гранью равен 3 0° . Найти площадь полной поверхности пирамиды. </li></ul><ul><li>1999 №3 ( 15 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Угол при вершине осевого сечения конуса равен 64 ° , а окружность основания равна 126 см. Найти площадь боковой поверхности и объём конуса. </li></ul>
  36. 36. Стереометрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>2001 №3 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Длина, ширина и высота стен дома, имеющего вид прямоугольного параллелепипеда, равны а , b и с. Поверхность крыши состоит из двух трапеций и двух треугольников, причём каждая из этих четырёх частей пересекается с горизонтальной плоскостью под углом . Найдите: </li></ul><ul><li>1)длину гребня крыши; </li></ul><ul><li>2)высоту дома от земли до гребня крыши; </li></ul><ul><li>3)площадь поверхности крыши; </li></ul><ul><li>4)объём чердака. </li></ul>
  37. 37. Стереометрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>2001 №3 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Основанием палатки служит прямоугольник длина которого а и ширина b . Крыша палатки состоит из двух трапеций и двух треугольников, причём каждая из этих четырёх частей пересекается с горизонтальной плоскостью под углом . Найдите: </li></ul><ul><li>1)длину гребня крыши палатки; </li></ul><ul><li>2)высоту палатки; </li></ul><ul><li>3)площадь крыши палатки; </li></ul><ul><li>4)объём палатки. </li></ul>
  38. 38. Стереометрические задачи с применением тригонометрии <ul><li>1999 №8 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и </li></ul><ul><li>см. Периметр его основания равен 18 см, а боковое ребро равно 4 см. Определить объём этого параллелепипеда. </li></ul><ul><li>1999 №8 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>В том же самом параллелепипеде определить объём треугольной пирамиды </li></ul>
  39. 39. Задачи на комбинацию многогранников и тел вращения <ul><li>2004 №11 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Цветочный горшок является правильной восьмиугольной призмой, выемка в которой представляет собой полусферу и </li></ul><ul><li>а)плоскость наибольшего круга полусферы совпадает с плоскостью верхнего основания призмы, </li></ul><ul><li>б)оси симметрии полусферы и призмы совпадают, </li></ul><ul><li>в)объём полусферической выемки составляет половину объёма призмы, </li></ul><ul><li>г)толщина основания горшка в самом тонком месте равна толщине стенок в самом тонком месте, </li></ul><ul><li>1)Выразить объём полусферической выемки через длину а ребра основания призмы. </li></ul><ul><li>2)Сколько целых сантиметров </li></ul><ul><li>должно составлять а , чтобы </li></ul><ul><li>объём плусферической выемки </li></ul><ul><li>был не менее 0,5 литра? </li></ul>
  40. 40. Задачи на комбинацию многогранников и тел вращения <ul><li>2004 №11 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Миска является правильной пятиугольной призмой, выемка в которой представляет собой полусферу, причём </li></ul><ul><li>а)плоскость наибольшего круга полусферы совпадает с плоскостью верхнего основания призмы, </li></ul><ul><li>б)оси симметрии полусферы и призмы совпадают, </li></ul><ul><li>в)объём полусферической выемки составляет половину объёма призмы, </li></ul><ul><li>г)толщина основания горшка в самом тонком месте равна толщине стенок в самом тонком месте, </li></ul><ul><li>1)Выразить объём полусферической выемки через длину а ребра основания призмы. </li></ul><ul><li>2)Сколько целых сантиметров </li></ul><ul><li>должно составлять а , чтобы </li></ul><ul><li>объём плусферической выемки </li></ul><ul><li>был не менее 1 литра? </li></ul>
  41. 41. Задачи на комбинацию многогранников и тел вращения <ul><li>2003 №11 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Поперечное сечение навеса получается из равностороннего треугольника, если один из его углов скруглить дугой окружности радиуса r . При этом две стороны треугольника являются касательными к окружности. Ширина и длина навеса соответственно равны и b . Найдите площадь S навеса, объём V покрытого им пространства и высоту h . </li></ul>
  42. 42. Задачи на комбинацию многогранников и тел вращения <ul><li>2003 №11 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Поперечное сечение навеса получается из стоящего на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, если угол при его вершине скруглить дугой окружности радиуса r . При этом катеты прямоугольного треугольника являются касательными к окружности. Ширина и длина навеса соответственно равны и b . Найдите площадь S навеса, объём V покрытого им пространства и высоту h . </li></ul>
  43. 43. Задачи на комбинацию многогранников и тел вращения <ul><li>2000 №8 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Угол при вершине осевого сечения конусообразного сосуда равен 6 0° . В сосуд помещают тяжёлый шар радиуса r и наливают воду до тех пор, пока вода не закроет шар. Найдите высоту воды после извлечения шара. </li></ul><ul><li>2000 №8 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>В конус, угол при вершине осевого сечения которого равен 6 0° , налита вода до уровня h . В сосуд поместили железный шар радиуса r , и он оказался полностью под водой. Найдите высоту уровня воды при условии, что шар находится внутри конуса. </li></ul> 
  44. 44. Задачи на комбинацию многоранников и тел вращения <ul><li>2007 №10 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>На основании конуса лежат четыре одинаковых шара, каждый из которых касается двух соседних шаров. На этих шарах расположен такой же по величине пятый шар. Каждый шар касается боковой поверхности конуса. Найдите расстояние от самой высокой точки верхнего основания (пятого) шара до основания конуса и величину угла при вершине осевого сечения конуса, если радиус каждого шара равен r . </li></ul>
  45. 45. Задачи на комбинацию многоранников и тел вращения <ul><li>2007 №10 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>На основании конуса лежат три одинаковых шара, каждый из которых касается двух других шаров. На этих шарах расположен такой же по величине четвёртый шар. Каждый шар касается боковой поверхности конуса. Найдите расстояние от самой высокой точки верхнего основания (четвёртого) шара до основания конуса и величину угла при вершине осевого сечения конуса, </li></ul><ul><li>если радиус каждого шара равен r . </li></ul>
  46. 46. Задачи на комбинацию многогранников и тел вращения <ul><li>2002 №10 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Из заготовки, имеющей вид прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a , b и c изготавливают деталь. Сначала в заготовке просверливают круглое отверстие радиуса r так, что ось отверстия совпала с осью симметрии заготовки, параллельной боковому ребру a . Затем делают имеющее квадратное сечение отверстие, ось которого совпадает с осью симметрии заготовки, параллельной боковому ребру b . Сторона поперечного сечения квадратного отверстия равна d , причём . </li></ul><ul><li>Для детали выразите </li></ul><ul><li>1)площадь внешней поверхности; </li></ul><ul><li>2)объём; </li></ul><ul><li>3)площадь поверхности выемок. </li></ul>
  47. 47. Задачи на комбинацию многогранников и тел вращения <ul><li>2002 №10 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Из заготовки, имеющей вид прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a , b и c изготавливают деталь. Сначала в заготовке просверливают круглое отверстие радиуса r так, что ось отверстия совпала с осью симметрии заготовки, параллельной боковому ребру a . Затем делают имеющее квадратное сечение отверстие, ось которого совпадает с осью симметрии заготовки, параллельной боковому ребру b . </li></ul><ul><li>Сторона поперечного сечения квадратного </li></ul><ul><li>отверстия равна d , причём . </li></ul><ul><li>Для детали выразите </li></ul><ul><li>1)площадь внешней поверхности; </li></ul><ul><li>2)объём; </li></ul><ul><li>3)площадь поверхности выемок. </li></ul>
  48. 48. Задачи на построение сечений <ul><li>2004 №11 ( 20 баллов ) дополнительный экзамен </li></ul><ul><li>Треугольную пирамиду пересекли плоскостью, которая делит пирамиду на два многогранника. Найдите, как относятся объёмы этих многогранников, если известно, что секущая плоскость делит три ребра, исходящие из одной вершины в отношении 1:2, 1:2 и 2:1, считая от вершины. </li></ul>
  49. 49. Задачи на построение сечений <ul><li>2005 №11 ( 20 баллов ) дополнительный экзамен </li></ul><ul><li>Длина ребра основания правильной треугольной призмы равна а . Через ребро при основании призмы и точку М, лежащую на противоположном боковом ребре проходит секущая плоскость, составляющая с основанием угол . Точка М делит боковую сторону в отношении 3:5, считая от нижнего основания. Выразите и вычислите площадь </li></ul><ul><li>сечения и отношение объёмов </li></ul><ul><li>полученных частей, если </li></ul><ul><li> и а =10 см. </li></ul>
  50. 50. Задачи на построение сечений <ul><li>2005 №11 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>На рёбрах ВВ ` и DD` куба ABCDA`B`C`D` находятся соответственно точки B`` и D`` , делящие эти рёбра, начиная от точек B и D , в отношении 1:2. Через точки C` , B`` и D`` проведена плоскость. Постройте сечение куба плоскостью. </li></ul><ul><li>1)В каком отношении сечение </li></ul><ul><li>делит рёбра куба AD и AB ? </li></ul><ul><li>2)Вычислите площадь сечения, </li></ul><ul><li>если ребро куба равно а . </li></ul>
  51. 51. Задачи на построение сечений <ul><li>2005 №11 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>На рёбрах ВВ ` и DD` куба ABCDA`B`C`D` находятся соответственно точки B`` и D`` , делящие эти рёбра, начиная от точек B и D , в отношении 2:1. Через точки А, B`` и D`` проведена плоскость. Постройте сечение куба плоскостью. </li></ul><ul><li>1)В каком отношении сечение </li></ul><ul><li>делит рёбра куба C`D` и C` В ` ? </li></ul><ul><li>2)Вычислите площадь сечения, </li></ul><ul><li>если ребро куба равно а . </li></ul>
  52. 52. Задачи на построение сечений <ul><li>2008 №9 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Точки K и L расположены соответственно на рёбрах OA и OB треугольной пирамиды OABC и делят эти рёбра в отношении 1:2 и 2:1, считая от вершины O . </li></ul><ul><li>1)Обозначьте вершины пирамиды и дополните данный чертёж секущей плоскостью . </li></ul><ul><li>2) В каком отношении делит секущая плоскость CKL объём пирамиды ? </li></ul>
  53. 53. Задачи на построение сечений <ul><li>2008 №9 ( 20 баллов ) дополнительный экзамен </li></ul><ul><li>Дан куб , сторона которого равна . </li></ul><ul><li>Через вершины куба B , D и проведено сечение. </li></ul><ul><li>1) Дополните данный чертёж секущей плоскостью </li></ul><ul><li>2) Вычислите расстояние от вершины C до секущей плоскости. </li></ul>
  54. 54. Задачи на построение сечений <ul><li>2008 №9 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Точки K и L расположены соответственно на рёбрах OA и OB треугольной пирамиды OABC и делят эти рёбра в отношении 1:3 и 3:1 , считая от вершины O . </li></ul><ul><li>1)Обозначьте вершины пирамиды и дополните данный чертёж секущей плоскостью CKL . </li></ul><ul><li>2) В каком отношении делит секущая плоскость CKL объём пирамиды ? </li></ul>
  55. 55. Задачи на построение сечений <ul><li>2002 №9 ( 20 баллов ) дополнительный экзамен </li></ul><ul><li>Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает основание конуса по хорде, длина которой равна радиусу основания. Найти отношение объёмов двух получившихся частей конуса. </li></ul>
  56. 56. Стереометрические задачи на нахождение экстремума <ul><li>2005 №10 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Строится башня, нижняя часть которой цилиндрическая, а верхняя конусообразная. Осевым сечением конусообразной части является равносторонний треугольник. Выполните чертёж. Каким должен быть радиус основания цилиндрической части, чтобы объём башни был максимальным, если периметр осевого сечения башни равен 90 м? </li></ul><ul><li>2005 №10 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Нижняя часть башни является прямоугольным параллелепипедом с квадратным основанием, а верхняя часть правильной пирамидой. Периметр сечения башни, проходящий через её вершину и середины противоположных сторон основания, равен 90 м. Верхняя часть сечения является равносторонним треугольником. Выполните чертёж. Найдите длину стороны основания, при которой объём башни максимален. </li></ul>
  57. 57. Стереометрические задачи на нахождение экстремума <ul><li>2002 №9 ( 20 баллов ) 1 вариант </li></ul><ul><li>Дан шар объёма кубических сантиметров. В шар вписан конус. </li></ul><ul><li>1)Найдите радиус шара R . </li></ul><ul><li>2) Выразите радиус r основания конуса через высоту h . </li></ul><ul><li>3) Выразите объём конуса через высоту h конуса. </li></ul><ul><li>4) Какова должна быть высота h конуса, чтобы объём конуса был наибольшим? </li></ul>
  58. 58. Стереометрические задачи на нахождение экстремума <ul><li>2002 №9 ( 20 баллов ) 2 вариант </li></ul><ul><li>Дан шар площадью поверхности квадратных сантиметров. В шар вписан цилиндр. </li></ul><ul><li>1)Найдите радиус шара R . </li></ul><ul><li>2) Выразите радиус r основания цилиндра через высоту h . </li></ul><ul><li>3) Выразите объём цилиндра через высоту h . </li></ul><ul><li>4) Какова должна быть высота h цилиндра, чтобы объём цилиндра был наибольшим? </li></ul>

×