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Cap5

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Cap5

  1. 1. FUERZAS DISTRIBUIDAS CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD <ul><li>La tierra ejerce una fuerza gravitacional sobre cada partícula que forma un cuerpo. Estas fuerzas se pueden reemplazar por una sola fuerza equivalente igual al peso del cuerpo y aplicada en el centro de gravedad del cuerpo. </li></ul><ul><li>El centroide de un área es análogo al centro de gravedad de un cuerpo plano, de espesor uniforme y del material homogeneo. El concepto del primer momento de un área se utiliza para localizar el centroide. </li></ul><ul><li>La determinación del área de una superficie de revolución y el volumen de un cuerpo de revolución se obtienen aplicando los Teoremas de Pappus-Guldinus . </li></ul>
  2. 2. Centro de Gravedad de un cuerpo en 2D <ul><li>Centro de gravedad de una placa </li></ul><ul><li>Centro de gravedad de un alambre </li></ul>Ecuaciones de equivalencia: W = dW , xW = x dW , yW = y dW De estas expresiones se despejan las formulas para calcular las coordenadas del centro de gravedad. ó
  3. 3. Centroides y primeros momentos de áreas y líneas Primer momento con respecto a y Primer momento con respecto a x <ul><li>Centroide de un área </li></ul><ul><li>Centroide de un línea </li></ul>
  4. 4. Primeros momentos de áreas y líneas <ul><li>Un área es simétrica con respecto a un eje BB’ si para cada punto P existe un punto P’ tal que PP’ es perpendicular a BB’ y el eje divide en dos partes iguales a PP’. </li></ul><ul><li>El primer momento de un área con respecto a la línea de simetría es cero. </li></ul><ul><li>Si un área posee una línea (eje) de simetría, su centroide se encuentra sobre dicho eje. </li></ul><ul><li>El centroide de un área simétrica coincide con el centro de simetría. </li></ul><ul><li>Si un área posee dos líneas de simetría, su centroide se encuentra en su intersección. </li></ul><ul><li>Un área es simétrica con respecto a un centro O si para cada elemento dA en ( x,y ) existe un área dA’ de igual magnitud en ( -x,-y ). </li></ul>
  5. 5. Centroides de formas comunes de áreas
  6. 6. Centroides de formas comunes de líneas
  7. 7. Áreas y placas compuestas <ul><li>Placas compuestas </li></ul><ul><li>Áreas compuestas </li></ul>
  8. 8. Determinación de Centroides por Integración <ul><li>La integración doble para encontrar el primer momento se puede evitar al definir dA como un rectángulo delgado o una tira. </li></ul>
  9. 9. Teoremas de Pappus-Guldinus <ul><li>El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generadora multiplicada por la distancia recorida por el centroide durante la rotación. </li></ul>PRIMER TEOREMA <ul><li>La superficie de revolución se genera al rotar una curva plana (curva generadora) alrededor de un eje fijo. </li></ul>
  10. 10. Teoremas de Pappus-Guldinus SEGUNDO TEOREMA <ul><li>Un cuerpo de revolución se genera al rotar un área plana alrededor de un eje fijo. </li></ul><ul><li>El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generadora por la distancia que recorre el centroide de este área durante la rotación. </li></ul>
  11. 11. Los teoremas de Pappus-Guldinus no son validos si alguno de los elementos generadores (sea línea o área) intersectan el eje de rotación. En tal caso hay que considerar primero lo que es de un lado del eje y después lo que es del otro lado y al final sumar ambos casos.
  12. 12. Cargas distribuidas sobre vigas Para calcular las reacciones en un sistema, la carga distribuida se debe sustituir por la concentrada equivalente, pero no así si se deben calcular las fuerzas internas en alguna sección debajo de la carga distribuida. <ul><li>Una carga distribuida se representa al graficar la carga por unidad de longitud, w (N/m) . La carga total es igual al área bajo la curva de carga. </li></ul><ul><li>Una carga distribuida se puede reemplazar por una carga concentrada con una magnitud igual al área bajo la curva de carga y una línea de acción que pasa por el centroide del área. </li></ul>
  13. 13. Centro de Gravedad de un cuerpo en 3D: Centroide de un volumen <ul><li>Centro de gravedad G </li></ul><ul><li>Los resultados son independientes de la orientación del cuerpo, </li></ul><ul><li>Para cuerpos homogéneos, </li></ul>
  14. 14. Centroides de formas comunes en 3D
  15. 15. Cuerpos compuestos en 3D <ul><li>El momento total del peso concentrado en el centro de gravedad G es igual a la suma de los momentos de los pesos de cada una de las partes componentes. </li></ul><ul><li>Para cuerpos homogéneos, </li></ul>

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