UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓNAplicación de las Distribuciones       Maricruz Buendía Solís               2-“A”       ...
Aplicaciones de las distribucionesDistribución BernoulliEjemplo 1:•Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráficoco...
Ejemplo 3:Lanzar un dado y salir un 6".Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:Estamos realizando un único e...
Ejemplo 4: Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál esla probabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de...
Distribución BinomialEjemplo 1:Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos laprobabilidad de que el número 3 salga...
Ejemplo 3:Un agente de seguros vende pólizas a cincopersonas de la misma edad y que disfrutan debuena salud. Según las tab...
Ejemplo 4:     Se lanza una moneda cuatro veces.Calcular la probabilidad de que salgan más carasque cruces.B(4, 0.5) p = 0...
Distribución PoissonEjemplo 1: El número promedio de partículas radiactivasque pasan a través de un contadordurante 1 ms e...
Ejemplo 3:Supongamos que en exploraciones del cielo se encuentrancon una cierta técnica un promedio de 3.2 galaxias porgra...
o con disttool, seleccionando Binomial y cdf con ensayos(trials n = 6000, de probabilidad p=0.002 y número de casos8, obte...
Distribución NormalEjemplo 1: Sólo 24 de los 200 alumnos de un Centromiden menos de 150 cm. . Si la estatura media de dich...
Ejemplo 3: Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo auna distribución normal de media 168y desviación típic...
Ejemplo 5:La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de68 meses, con una desviación típica de 5. Se supone que ...
Distribución GammaEjemplo 1: . Suponga que cierta pieza metálica se romperá después desufrir dos ciclos de esfuerzo. Si es...
Ejemplo 2: .A una centralita de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto,siguiendo una distribución de Poisson. ¿Cuál es la...
Ejemplo 3:Si un componente eléctrico falla una vez cada 5 horas,¿cuál es el tiempo medio que transcurre hasta que fallando...
Ejemplo 5:En una ciudad se observa que el consumo diario deenergía (en millones de kilowatt-hora) es una variablealeatoria...
Distribución T de StudentEjemplo 1:Cual es la probabilidad acumulada de una Distribución t deStudent de 9 grados de libert...
Ejemplo 3:Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de lossiguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3 gr...
hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95(probabilidad acumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la ...
Ejemplo 4:Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>...
Ejemplo 5:La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienenmedia μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular laproba...
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5 ejemplos de las distribuciones

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5 ejemplos de las distribuciones

  1. 1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓNAplicación de las Distribuciones Maricruz Buendía Solís 2-“A” Procesos Industriales
  2. 2. Aplicaciones de las distribucionesDistribución BernoulliEjemplo 1:•Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráficocon impacto frontal y cuyos conductores sí tenían cinturónde seguridad, que 10 individuos quedaron con secuelas.Describa el experimento usando conceptos de v.a.• Solución.• La noc. Frecuentista de prob. Nos permiteaproximar la probabilidad de quedar con secuelas por10/2000=0,005=0,5%• X=“tener secuelas tras accidente usando cinturón” esvariable de Bernoulli•X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,005•X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,995Ejemplo 2:"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salgacruz". Se trata de un solo experimento, con dos resultadosposibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. Elfracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salenen un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0(ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya quecumple todos los requisitos.•solución•••
  3. 3. Ejemplo 3:Lanzar un dado y salir un 6".Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:Estamos realizando un único experimento (lanzar el dadouna sola vez).Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidadsegún el teorema de La place(casos favorables divididoentre casos posibles) será 1/6.Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considerafracaso sacar cualquier otro resultado.La variable aleatoria X medirá "número de veces que saleun 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y1 (que salga un 6).Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como unaBernoulli de parámetro = 1/6La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definidacomo la probabilidad de que X sea igual a 1.La probabilidad de que NO obtengamos un 6 vienedefinida como la probabilidad de que X sea igual a 0.
  4. 4. Ejemplo 4: Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál esla probabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888Ejemplo 5:"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salgacruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultadosposibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. Elfracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salenen un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0(ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya quecumple todos los requisitos.° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
  5. 5. Distribución BinomialEjemplo 1:Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos laprobabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En estecaso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad seríaP(X=20):Ejemplo 2:La última novela de un autor ha tenido un granéxito, hasta el punto de que el 80% de los lectoresya la han leido. Un grupo de 4 amigos sonaficionados a la lectura:1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupohayan leido la novela 2 personas?B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.22.¿Y cómo máximo 2?
  6. 6. Ejemplo 3:Un agente de seguros vende pólizas a cincopersonas de la misma edad y que disfrutan debuena salud. Según las tablas actuales, laprobabilidad de que una persona en estascondiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese laprobabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:1. Las cinco personas.B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/32.Al menos tres personas.3.Exactamente dos personas.
  7. 7. Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces.Calcular la probabilidad de que salgan más carasque cruces.B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5Ejemplo 5:La probabilidad de que un hombre acierte en elblanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es laprobabilidad de que acierte exactamente en tresocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que aciertepor lo menos en una ocasión?B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
  8. 8. Distribución PoissonEjemplo 1: El número promedio de partículas radiactivasque pasan a través de un contadordurante 1 ms en un experimento de laboratorio es 4, ¿cuáles la probabilidad de que entren6 partículas al contador en un milisegundo determinado?.En este caso x = 6, λ = 4 luego debemos calcular p(6; 4),p=poisspdf(6,4) p =0.1042Si nos piden hallar la probabilidad de que entren 5 ´o 6partículas,Ejemplo 2:Un estudiante observa que una muestra de Torio emite 49partículas en 30 minutos ¿Cuál es la tasa de emisión? ¿Cuáles la tasa en partículas por minuto?
  9. 9. Ejemplo 3:Supongamos que en exploraciones del cielo se encuentrancon una cierta técnica un promedio de 3.2 galaxias porgrado cuadrado. Se pide encontrar el área que debemosexplorar para tener la seguridad en un 95% de encontrarmás de 100 galaxias.Con el diagrama cdf, colocamos en la casillacorrespondiente al número de casos el valor 100.Vamos probando valores en lambda y leyendo laprobabilidad hasta que valga 0.05. ResultaQue λ = 118 proporciona probabilidad 0.05074 de encontrarx ≤ 100, o lo que es lo mismo laprobabilidad de encontrar x > 100 es 0.95. Traducido anuestro problema: esperamos 118 galaxias en 118/3.2 = 37grados cuadrados. Si exploramos este ´área hay unaprobabilidad de 0.95 de encontrar más de 100 galaxias.Ejemplo 4:En un proceso de fabricación de componenteselectrónicos, a veces se producenDefectos que los hacen inservibles. Supongamos que 2 decada 1000 piezas salen defectuosasen promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que en unamuestra aleatoria de 6000 piezas menosde 9 sean inservibles?.Este ejemplo es de distribución Binomial y se resuelve muyfácilmente como,P(X < 9) =X8x=0b(x; 6000, 0.002) = 0.1548
  10. 10. o con disttool, seleccionando Binomial y cdf con ensayos(trials n = 6000, de probabilidad p=0.002 y número de casos8, obtenemos el mismo resultado. Como la probabilidad esmuy pequeña (p ≃ 0) y n es bastante grande, podemoshacer la aproximación con la distribución de Poissonutilizando λ = 6000 × 0.002 = 12. Volvemos a seleccionar ladistribución de Poisson con λ = 12 y número de casos 8, yobtenemos una probabilidad de 0.155.Ejemplo 5: En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallineropone un huevo al día. Si se recogen los huevos cada hora¿Cuál es el número medio de huevos que se recogen encadavisita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevospara x = 0,1,2,3? ¿y la probabilidad de que x ≥ 4 ?Promedio: μ =1×18 / 24 = 0.75 huevos / hora
  11. 11. Distribución NormalEjemplo 1: Sólo 24 de los 200 alumnos de un Centromiden menos de 150 cm. . Si la estatura media de dichosalumnos es de 164 cm., ¿ cuál es su varianza ?.Siendo 24 / 200 = 012 , sabemos que el 12% de los alumnostienen estaturas inferiores a 150.Consultando las tablas de la distribución normal tipificada,obtenemos el valor z que deja a su izquierda un área 012.Dicho valor es : z = -1175(para z = -117 encontramos 012100 y para z = -118encontramos 011900).Ejemplo 2: El percentil 70 de una distribución normal esigual a 88, siendo 027 la probabilidad de que la variabletenga un valor inferior a 60. ¿ A qué distribución normal nosestamos refiriendo ¿Se nos pide determinar la media y desviación típica de unadistribución normal que verifica las condiciones delenunciado.a) Valor de z que deja a su izquierda un área igual a 070 :z = 052 (valor más próximo 069847)b) Valor de z que deja a su izquierda un área igual a 027z = -061 (valor más próximo 027093)
  12. 12. Ejemplo 3: Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo auna distribución normal de media 168y desviación típica 8 cm. .Cuántos soldados miden entre166 y 170 cm?. Sea X la distribución de los soldados, X esuna N (168,8). Nos piden p(166 ≤ X ≤ 170).Utilizando el resultado anterior, primero restamos x=168 en ladesigualdad: p (166 ≤ X ≤ 170) = p (166 − 168 ≤ X − 168 ≤ 170− 168) = p (−2 ≤ X − 168 ≤ 2)Y ahora dividimos entre σ = 8, con lo que acabamos detipificar:P (166 ≤ X ≤ 170) = p(−2 ≤ X − 168 ≤ 2) = pEjemplo 4:.-El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte delos empleados de una empresa se distribuye según unadistribución normal, con media de 5 días y desviación típica1 día. Calcular el porcentaje de empleados que realizan latarea en un tiempo inferior a 7 días.t1 = - y t2 = (7 -5)/1 = 2 En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2(equivalente a un tiempo inferior a 7 días.). Estaprobabilidad es 0,9772. Por lo tanto, el porcentaje deempleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7días es del 97,7%.
  13. 13. Ejemplo 5:La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de68 meses, con una desviación típica de 5. Se supone que sedistribuye según una distribución normal En un lote de 10.000lámparas. a) ¿Cuántas lámparas superarán previsiblementelos 75 meses?. b) ¿Cuántos lámparas se estropearán antesde 60 meses? a) t = (75 -68)/5 = 1,4P (X > 75) = (t > 1,4) = 1 - P (t ≤ 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808Luego, el 8,08% de las lámparas (808 lámparas) superaránlos 75 meses b) t = (60 -68)/5 = -1,6P (X ≤ 60) = (t ≤ -1,6) = P (t> 1,6) = 1 - P (t ≤ 1,6) = 0,0548Luego, el 5,48% del lote (548 lámparas) no llegaránprobablemente a durar 60 meses
  14. 14. Distribución GammaEjemplo 1: . Suponga que cierta pieza metálica se romperá después desufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren demanera independiente a una frecuencia promedio de dospor cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que elintervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre elsegundo ciclo.a. Dentro de una desviación con respecto del tiempopromedio.b. A más de dos desviaciones por encima de la media.Solución:X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundociclo de esfuerzo ,en horas.Y: Número de ciclos / 100 horas ----Y ~P( =2) E(Y) = 2Y: Número de ciclos / hora ---------Y~P( =0.02) E(Y) = 0.02=X ~ G(2, 0.02)
  15. 15. Ejemplo 2: .A una centralita de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto,siguiendo una distribución de Poisson. ¿Cuál es laprobabilidad de que en menos de 1 minuto lleguen 8llamadas?Existe un 91,05% de probabilidades de recibir 8 llamadas enun plazo de tiempo de menos de 1 minuto.α=2,94 =13,94
  16. 16. Ejemplo 3:Si un componente eléctrico falla una vez cada 5 horas,¿cuál es el tiempo medio que transcurre hasta que fallandos componentes? ¿Cuál es la probabilidad de quetranscurran 12 horas antes de que fallen los doscomponentes?Ejemplo 4:Si se sabe que el tiempo de sobrevivencia de ratasexpuestas a un determinado tóxico es una variablealeatoria que sigue una distribución Gamma (5, 10), ¿cuáles la probabilidad de que una rata no supere las 60semanas de vida?
  17. 17. Ejemplo 5:En una ciudad se observa que el consumo diario deenergía (en millones de kilowatt-hora) es una variablealeatoria que sigue una distribución gamma conparámetros α= 3 y =2. Si la planta de energía que suministraa la ciudad tiene una capacidad diaria de generar unmáximo de 12, ¿cuál es la probabilidad de que haya un díadonde no se pueda satisfacer la demanda?DondeDe forma queLa probabilidad de que exista 1 excesoResolviendo la integral con ayuda del Derive, laprobabilidad obtenida es
  18. 18. Distribución T de StudentEjemplo 1:Cual es la probabilidad acumulada de una Distribución t deStudent de 9 grados de libertad, de que x < 0,25.esto es:buscando en la tabla en la columna del 9, y la fila de 0,25tenemos que:Ejemplo 2:Cual es la probabilidad de que una variable t de Studentde 6 grados de libertad deja a la izquierda de -1,45los valores negativos no vienen en la tabla, pero según loanterior:con lo que obtenemos:
  19. 19. Ejemplo 3:Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de lossiguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real queverifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad,en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, ennuestro caso: 0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posicionesanteriores hasta cruzarnos en el punto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 gradosde libertad será el valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemoshorizontalmente hasta la primera columna, llegaremos alvalor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente
  20. 20. hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95(probabilidad acumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van desde 0=75hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremosque realizar la siguiente consideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modosimilar al caso anterior, pero buscando en la fila 30 de latabla. Resultando:w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
  21. 21. Ejemplo 4:Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7;0=99 hemos de tener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de latabla) El valor donde se cruzan todos estos datos será elpercentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840
  22. 22. Ejemplo 5:La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienenmedia μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular laprobabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, lalongitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución tde n-1 grados de libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%

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