El documento explica cómo calcular la velocidad instantánea de un objeto a partir de su velocidad media. La velocidad instantánea es igual al límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, lo que equivale a la derivada de la función de posición con respecto al tiempo. La derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva de posición en el punto donde se calcula la velocidad instantánea.

1. Velocidad instantánea
Y derivada de una
función en un punto

2. Recordemos la situación
planteada en anteriormente:
O Teníamos dos automovilistas, uno que se
desplazaba con MRU y el otro con MRUV.
O Los gráficos correspondientes eran:

3. Comparemos la velocidad
media de los dos
automovilistas:
O La velocidad media, para diferentes
intervalos de tiempo, del automovilista
que se mueve con MRU es:
Siempre es la misma

4. O Independientemente de los intervalos de
tiempo que tomemos, la velocidad media
SIEMPRE es la misma

5. En cambio…
O La velocidad media del automovilista que
se mueve con MRUV, para diferentes
intervalos de tiempo varía:

6. En conclusión…
O El cociente incremental o velocidad media
de un cuerpo que se mueve con MRU no
varía con el tiempo ya que siempre se
mantiene constante, con lo cual nos
permitiría indicar con certeza cuál es la
velocidad que tiene el móvil en un tiempo
determinado. En nuestro problema inicial,
el automovilista SIEMPRE viaja con una
velocidad de 100/3 km/h, dato que
coincide con la PENDIENTE DE LA
RECTA.

7. Pero ¿qué sucede con el
automovilista que se mueve
con MRUV?
O Si la velocidad media depende del
intervalo de tiempo analizado,
O ¿cómo podemos determinar la velocidad
en un instante dado?
O ¿cómo es que el velocímetro nos indica
una velocidad exacta?

8. Para dar respuesta a ello veamos que cuál
sería la velocidad del móvil a las tres horas:
O Como sabemos que la velocidad media coincide con la
pendiente de la recta que pasa por los extremos del
recorrido, utilicemos esta "idea" para determinar la
velocidad del móvil cuando se desplaza con MRUV a
las tres horas de haber comenzado su viaje, tomando
intervalos cada vez más pequeños que se aproximen
(por derecha y por izquierda) a la hora en la cual
queremos determinar la velocidad...

9. O Tomando intervalos próximos a t= 3
horas, por DERECHA, la velocidad media
TIENDE al MISMO valor que para
intervalos próximos a t= 3 por
IZQUIERDA
O Las variaciones medias, para valores
próximos a t=3, tienen un valor límite:
66,6 km/h

10. Para pensar:
O Si tomo intervalos cada vez más chicos, es
evidente que la distancia de t1 - t0 va a ser
cada vez menor, por lo tanto si quiero calcular
la velocidad instantánea en un punto,
O ¿qué longitud va a tener t - t0?, en otras
palabras, ¿a cuánto va a tender t1 – t0?
Rta: Independientemente de los valores de t0
que tomemos, t - t0 no es otra cosa que el
incremento de la variable independiente, y
como tomamos intervalos cada vez más
pequeños, la diferencia tenderá a cero

11. Aplicando un concepto
anterior…
O Para determinar la velocidad en un
instante dado tomamos intervalos cada
vez más pequeños tal que:
Δt tienda a cero
O En clases anteriores vimos que hay un
concepto que nos serviría para describir
esta situación, y es el LÍMITE de una
función, siendo la función, en este caso,
la velocidad media.

12. Entonces:
O Si la función velocidad media queda
definida por:
O La velocidad instantánea queda
determinada por:

13. Velocidad instantánea
O La velocidad instantánea en un tiempo
determinado no es otra cosa que la
DERIVADA de la función en ese punto.
O A la derivada de una función la
denotaremos a partir de ahora como f´(t):

14. Aclaraciones:
O Ésta definición es local, es decir, nos dice
que es lo que sucede en un valor t que
pertenece al dominio de f.
O La definición dada es válida de existir y ser
finito el límite, en las próximas clases
veremos que sucede cuando el límite no
exite.
O Dada la función f, llamamos función
derivada de f, a la función que, a cada x
(donde f es derivable), le hace
corresponder f´(x).

15. Comparando la pendiente de la recta
secante que pasa por dos puntos y la
velocidad media…
O La variación media de la función f,
entre dos puntos cualesquiera, se
interpreta geométricamente como la
pendiente de la recta secante a la
función y que pasa por los puntos
dados.
O Cuando el intervalo de tiempo tiende a
cero, la recta tiende a una posición
limite, la cual “casi” se confunde con la
curva.

16. Recta tangente
O Una recta es tangente a una curva en un
punto p si ésta es una posición límite de
las secantes, tanto por derecha como
por izquierda del punto. Ésta recta tiene
la característica de ser la mejor
aproximación lineal de la función en
dicho punto.

17. Pendiente de la recta tangente
O Y la pendiente de la recta tangente a
dicho punto no es otra cosa que la
derivada de la función en tal punto: