Unidad 3 razones y proprciones slide

Cartilla de Matemática – 9no Año A y B – INSTITUTO SANTA BÁRBARA – Ciclo lectivo 2012
unidad3-razonesyproprcionesslide-121018044027-phpapp02.doc

UNIDAD N° 3
RAZONES Y PROPORCIONES

La foto corresponde a la máquina fraccionadora de vinos de la Bodega Etchart de
Cafayate. Está máquina es de origen italiano y el proceso que efectúa la misma es el siguiente:
Dos operarios colocan las botellas en una cinta, de ahí la maquina las lava, luego las seca,
llena, encorcha, encapucha, etiqueta, las encaja y finalmente cierra las cajas.

La
misma envasa y deja lista para incluir en el mercado, 6000 botellas de vino ¾ por hora. De las
cuales el 20% se exporta a 40 países de Europa y el resto se consume en Argentina.
¿Cuántas botellas se envasan, por día? y ¿por semana?, si la máquina trabaja 8hs diarias
de lunes a sábado.
¿Cuántos litros de vino se necesitan para llenar la cantidad de botellas que la máquina
envasa en un día?.
En la resolución de los problemas anteriores, aplicamos el concepto de proporcionalidad.
Para identificar y resolver situaciones de proporcionalidad, es muy útil que tengas presente a las
razones y proporciones.

88


RAZÓN

Dados en un cierto orden 2 números Reales a y b, siendo b ≠ 0. Se
llama razón entre a y b al cociente exacto entre ellos:
a
b

a antecedente
→
b con sec uente
Se lee “ a es a b”
Ejemplo:
La razón entre 7 y 1/5 = 35.
La razón entre 3 y 7 = 3/7
PROPORCIÓN

Dados cuatro números reales a, b, c y d en un cierto orden
y distintos de 0, se dice que forman una proporción, cuando la razón
entre los dos primeros es igual a la razón entre los dos últimos.
a c
=
b d

a c
=
b d
Se lee “a es a b como c es a d”
Ejemplo: Dados 9, 3, 6 y 2

Para que nos sirven las razones y proporciones

88


Elementos de una proporción
Dados a, b, c, y d
a c
= a y d reciben el nombre de extremos b y c medios
b d
Clases de proporciones:
a c
Ordinaria : = los medios son distintos
b d
Proporción:
a b
Continua: los medios son iguales =
b d
Propiedad fundamental de las proporciones

En toda proporción el producto de los extremos es igual al
producto de los medios.
a c
=
b d
a . d= b . c

a)

3
−
b) 4 = 6
6 − 48

Esta propiedad nos permite calcular un elemento desconocido en una proporción.

88


Cálculo de un elemento desconocido en una proporción.
Ejemplo: hallar el elemento desconocido:
7 − 0,14 −1 − 2
a) = b) =
5 x x 10

3 x x 4
c) = d) =
x 27 4 8

Ejercicio: Revisar los conocimientos de operaciones con números racionales y aplicarlos al
concepto de proporcionalidad numérica.
Hallar el valor de x en las siguientes proporciones:
x+3 x−2 − 2x + 3 2 1
a) = b) =2 c) =
5 3 x+4 5x − 1 3
x −1
2
 1 
1  11 2   −  ⋅ 0,9
1 3 1 5 2
⋅ −  − ⋅ 0,3 1 − ⋅ 0,12 
3  15 5  6 4 16 9 3
d) = e) =− f) −2
=
x
( 0,5) 2 ⋅ 1 1 1
− −
x 5
 
x
3 2 4  2

1 1
−
x 12 x +1 1 − 0,8 2 x
g) =  −1 h) = 4 5 i) 2 4 =
( )
2 12 1,6
5
1 1
  ⋅ 
−4
5 :5 x  1   1  − 4 
2 −1
Resultados:
  ⋅  
2 2  2   2   19
  a) x = ; b)
2
2x + 1
=
( )9
0,3 : ( )

0,3 5 ; c)
j)  −1 x =−
0,2 + 1,5 1− 3 4
1 ; d)
x =−
2
1
x =− ;
6
3 1 1
e) x = ; f) x = −4 ; g) x = 40 ; h) x = ; i) x = ± ;
40 2 4
19
j) x = − ;
54

Otras propiedades de las proporciones
Existen otras propiedades secundarias de las proporciones:
a c
Dada la proporción = , se cumple:
b d

88


1° Propiedad:
En toda proporción la suma de antecedente y consecuente de la primera razón es a su
antecedente, como la suma de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su antecedente.
a c 15 18
= =
b d 5 6
a +b c +d 15 + 5 18 + 6
= =
a c 15 18
20 24
=
15 18
4 4
=
3 3
2° Propiedad:
consecuente, como la suma de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su
consecuente.
a c 15 18
= =
b d 5 6
a +b c +d 15 + 5 18 + 6
= =
b d 5 6
20 24
=
5 6
4=4
3° Propiedad:
En toda proporción la diferencia de antecedente y consecuente de la primera razón es a
su antecedente, como la diferencia de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su
antecedente.
a c 15 18
= =
b d 5 6
a −b c − d 15 − 5 18 − 6
= =
a c 15 18
10 12
=
15 18
2 2
=
3 3
4° Propiedad

88


En toda proporción la diferencia de antecedente y consecuente de la primera razón es a
su consecuente, como la diferencia de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su
consecuente.
a c 15 18
= =
b d 5 6
a −b c − d 15 − 5 18 − 6
= =
b d 5 6
10 12
=
5 6
2=2
5° Propiedad
diferencia, como la suma de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su diferencia
a c 15 18
= =
b d 5 6
a +b c +d 15 + 5 18 + 6
= =
a −b c − d 15 − 5 18 − 6
20 24
=
10 2
2=2
Estas propiedades se usan cuando tenemos dos incógnitas, y nos dan como
dato la suma o diferencia de las mismas.
Ejemplos:
3
a) Dos números cuya suma es 28 guardan entre si la razón ¿Cuáles son esos
4
números?

8
b) Hallar dos números, cuya diferencia es 12 y la razón entre ellos .
5

Serie de razones iguales o proporción múltiple

88


Se llama serie de razones iguales o proporción
múltiple a la igualdad de 3 ó más razones.
a c e g
= = =
b d f h

Ejemplo

Propiedad de la proporción múltiple

En toda proporción múltiple, la suma de los antecedentes
es a la suma de los consecuentes como un antecedente es a su
consecuente.

En símbolo:
a c e g a +c +e +g a
= = = =
b d f h b +d +f +g b

Ejemplo:
4 6 30 48
= = =
2 3 15 24
4 + 6 + 30 + 48 4
=
2 + 3 + 15 + 24 2
88 4
=
44 2

=

=

=

Más ejemplos:

88


a) Quiero repartir $100 entre mis tres hijos, en forma proporcional a la nota obtenida en
matemática si el mayor obtuvo 4, el mediano 8 y la menor 10. ¿Cuánto le corresponde a cada
uno?

b) Hallar los ángulos interiores de un triángulo ABC, sabiendo que son proporcionales a
3, 2 y 4.

c) Un padre quiere repartir su herencia de $60.000 entre sus 3 hijos de manera que sean
proporcionales a 2, 3 y 5. ¿Cuánto le corresponde a cada uno.

88


SEGMENTOS PROPORCIONALES

Dados en un cierto orden cuatro segmentos, forman una
proporción sí y solo sí , la razón entre los dos primeros es igual
a la razón entre los dos últimos.

A B AB = 8 cm

C D CD = 12 cm

E F EF = 10 cm

G H GH = 15 cm

AB, CD, EF Y GH son proporcionales Sí:

AB EF
=
CD GH

TEOREMA DE THALES
Enunciado:

Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos
transversales, dos segmentos cualesquiera de una de las
transversales son proporcionales a sus correspondientes sobre la
otra transversal.

88


t t’
A A’ a Hipótesis:

B B’ b

C C’ c a // b // c // d

D D’ d t ∧ t’ transversales

Tesis:
AB A ' B' ....... ....... ....... ....... ....... .......
= Ó = Ó = Ó =
BC B' C'

COROLARIO DEL TEOREMA DE TALES

Toda recta paralela a un lado de un triángulo determina
sobre las rectas que contienen a los otros dos lados, segmentos
proporcionales.

AM CN AM CN AB CB
= = =
MB NB AB BC AM BC

APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES
1º) Calcular el segmento cuarto proporcional.

88


2º) Calcular analítica y gráficamente el segmento cuarto proporcional, sabiendo que
AB = 4 cm; BC = 6 cm y A’B’ = 2 cm.

88


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Nosotros ya estudiamos la definición y propiedades de los triángulos rectángulos, las
recordemos:

 Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto. ˆ
C =
90°
=1R

 Los lados del triángulo rectángulo reciben nombres especiales: hipotenusa (lado
opuesto al ángulo recto) y catetos (lados opuestos a los ángulos agudos)
 Los 2 ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, es decir su
suma es igual a 90° ˆ Bˆ
A += °
90
.
 El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
c2 = 2 + 2
a b
(Teorema de Pitágoras).
Según el ángulo agudo que se tome, reciben los nombres los catetos.

88


Razones Trigonométricas
Mariana y Fabricio están subiendo por una rampa que forma un ángulo de 30° con el piso.

Como podemos observar Fabricio recorrió una distancia de 12m sobre la rampa, y se
encuentra a una altura del piso de 6m
Mariana recorrió una distancia de 8m sobre la rampa y se encuentra a 4m de altura del
piso.
En los triángulos acb
ˆ y aqp , para calcular los lados ac y aq, aplicamos el Teorema
ˆ

de Pitágoras.
En el triángulo acb en el triángulo aqp
2 2 2 2 2 2
ab = ac + cb ap = aq + pq
(8m ) 2 = ac + ( 4m )
2 2
(12m ) 2 = aq + ( 6m )
2 2

2 2
64m 2 = ac +16m 2 144m 2 = aq +36m 2
2 2
ac = 64m 2 −16m 2 aq =144m 2 −36m 2
2 2
ac = 48m 2 aq =108m 2
ac = 48m 2 aq = 108m 2
ac ≅ 6,93m aq ≅10,39m

Calculamos las razones entre los lados de cada triángulos e identificamos de qué
elemento dependen.
En el triángulo acb en el triángulo aqp
bc /
4m 1 pq /
6m 1
= = = =
ab 8m / 2 ap 12m/ 2

88


ac 6,93m/
= ≅ 0,866
ab 8m/

aq 10,39m/
= ≅0,866
ap 12m/

bc /
4m
= ≅ 0,577
ac 6,93m/

pq 6m/
= ≅0,577
aq 10,39m/

Podemos observar que las razones que se formaron con las medidas de los lados de cada
triángulo, son iguales por que dependen únicamente del ángulo α
ˆ
Se llaman Razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados
de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo. Aunque las mismas dependen
únicamente de la amplitud del ángulo y no de las longitudes de los lados del triángulo.

A
c
b

C a B
Definimos las razones
trigonométricas de la siguiente manera:

Seno de un ángulo: es la razón entre el cateto
opuesto y la hipotenusa.
ˆ cateto opuesto = b
sen B = y ˆ cateto opuesto = a
sen A =
hipotenusa c hipotenusa c

Coseno de un ángulo: es la razón entre el cateto
adyacente y la hipotenusa.
ˆ cateto adyacente = a
cos B = y ˆ
cos A =
cateto adyacente b
=
hipotenusa c hipotenusa c

Tangente de un ángulo: es la razón entre el cateto
opuesto y el cateto adyacente.
ˆ cateto opuesto b ˆ cateto opuesto a
tg B = = y tg A = =
cateto adyacente a catetoadyacente b
88


Cotangente de un ángulo: es la razón entre el cateto
adyacente y el cateto opuesto.
ˆ cateto adyacente = a
cot g B = y ˆ cateto adyacente = b
cot g A =
cateto opuesto b cateto opuesto a

secante de un ángulo: es la razón entre la hipotenusa
y el cateto adyacente.
ˆ hipotenusa c ˆ hipotenusa c
sec B = = y sec A = =
cateto adyacente a cateto adyacente b

Cosecante de un ángulo: es la razón entre la
hipotenusa y el cateto opuesto.
ˆ hipotenusa c ˆ hipotenusa c
cos ec B = = y cos ec A = =
cateto opuesto b cateto opuesto a

 c a teto op ue s to
SenA =
h ipo te nu sa
 c a te to a dy a c e nte
Co sA =
h ip ote nu sa
 ca te to o pu e sto
Tg A =
ca te to ad ya ce n te

Aplicación de las razones trigonométricas:
1°) Observa el triángulo ˆ
ABC y completa.
ˆ ˆ
Sen A = Sen C =

A ˆ ˆ
Cos A = Cos C =

ˆ ˆ
Tg A = Tg C =
B C
2°) Calcula aproximadamente el seno, coseno y tangente de
un ángulo de 53°.

88


Para ello escribe las medidas de AC, BC y AB ( aplicando Teorema de Pitágoras para
calcular el lado desconocido)
AC =
A BC =
AB =

Sen 53° = =

53 Cos 53° = = Tg 53° = =
0°
B C

Ahora calcula las razones trigonométricas del ángulo complementario de 37°.

Sen 37° = =

Cos 37° = =

Tg 37° = =

También podemos determinar el valor de las razones trigonométricas utilizando una
calculadora científica.
4°) Si conocemos el ángulo agudo, podemos calcular las razones trigonométricas, de la
siguiente manera:

Trabajamos con la calculadora científica. En ella las unidades que se pueden utilizar para
medir ángulos son el grado sexagesimal (Deg), el radián (Rad) y el grado centesimal (Gra). Los
más usados son los dos primeros pero este año únicamente trabajaremos con el sexagesimal.
Antes de operar con medidas angulares hay que seleccionar el modo de funcionamiento
de la calculadora, ya que a cada unidad le corresponde un modo distinto. Por ejemplo para operar
en sistema sexagesimal: pulsamos la tecla mode y a continuación la correspondiente a Deg.
Ejemplos:
Antes de empezar nos aseguramos que la calculadora este en mode Deg.
Seno 45°==> sin 45 °’’’ =0,707106781
ó Sen 45°==> 45 °’’’ sin= (según el modelo de calculadora)
Cos 36°25’==>cos 36 ° ’ ’’ 25 ° ’ ’’ =0,804721144.
Determina con la calculadora las siguientes razones:

88


Cos 43°=................... sin 45°=................... Tag 83°=....................
Tag 23°15’20’’=........... sin 54°25’=..............- cos 19°32’16’’=..............
5°) Si conocemos el valor de la función trigonométrica, podemos calcular la amplitud del
ángulo agudo.
Sen x=0,3045 shift sin 0,3045 = shift ° ‘ ‘’ 17°43’41’’
ó Sen x=0,3045 0,3045 shift sin shift ° ’ ’’( según el modelo de calculadora)
Determina con calculadora la amplitud de los siguientes ángulos:
Si tg α=1
ˆ entonces α=........
ˆ Si sen ˆ =0.86
β entonces ˆ =...........
β

Si cos ˆ =0.53
δ entonces ˆ =........
δ Si sen ε=0.86
ˆ entonces ε
ˆ

=...........

Repasamos lo estudiado, con más ejercicios
a) Hallar el valor de las razones trigonométricas del ángulo agudo indicado en la siguiente
figura.

b) Escribir las expresiones trigonométricas correspondientes a los ángulos agudos.

c) Hallar la razón trigonométrica y, con calculadora el ángulo correspondiente.

88


ˆ ......... ˆ ˆ ......... ˆ
Sen M = ⇒ M = ................ Cos O = ⇒ O = ................
........ ........

ˆ ......... ˆ
Tg O = ⇒O = ................
........

d) Hallar, con la calculadora, la razón trigonométrica correspondiente.

Sen 25°10’15”= Cos 18°14’29” Tg 89°20’17”=

e) Hallar con la calculadora, el ángulo correspondiente.

Sen x= 0,5 Cos x= 0,75 Tg x=1,5

Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo rectángulo, significa hallar el valor de sus elementos, es decir de sus
tres lados y sus tres ángulos. Para eso se utilizan como herramientas el teorema de Pitágoras y las
razones trigonométricas.
Para resolver un triángulo rectángulo es imprescindible conocer por lo menos un ángulo
agudo y un lado, o la longitud de dos de sus lados.
En la resolución de triángulos rectángulos, podemos distinguir dos casos:

1° Caso: Conocidos un ángulo agudo y un lado.

88


 Bˆ = 63°
Datos
 BC = 10cm

 AB =

Incognita AC =
 Cˆ =


Cálculo de C
ˆ Cálculo de AB
ˆ ˆ
B +C =90º
Para calcular AB , debe aplicarse una razón trigonométrica
C =90º −ˆ
ˆ C
ˆ =90º − º
que relacione los dos datos con el lado desconocido AB .
C 63
ˆ
C =27 º

ˆ AB
Cos B =
BC
AB
Cos 63º =
10cm
0,454 ⋅10cm ≅ AB
4,54cm ≅ AB

Cálculo de AC
Para calcular AC , razonamos
de la misma manera.

ˆ AC
Sen B =
BC
AC
Sen 63º =
10cm
0,891 ⋅10cm ≅ AC
8,91cm ≅ AC

88


2° Caso: Conocidos dos lados.

 AB = 6cm
Datos
 AC = 5cm

 BC =

Incognita Bˆ =
 Cˆ =

Cálculo de ˆ ˆ
B y C Cálculo de BC
ˆ ˆ
Para calcular los ángulos B y C Para calcular BC , debe aplicarse
debe aplicarse una función trigonométrica Teorema de Pitágoras.
que relacione los dos datos con el ángulo.

ˆ AC AB
Tg B = ˆ
Tg C = 2 2 2
BA AC BC = AC + AB
5cm/ 6cm/ = ( 5cm ) + ( 6cm )
2 2 2
ˆ
Tg B = ˆ
Tg C = BC
6cm/ 5cm/ BC
2
= 25cm 2 + 36cm 2

ˆ
Tg B = 0,83 ˆ
Tg C =1,2
 BC = 61cm 2
ˆ
B = arc tg 0,83 ˆ
C = arc tg 1,2
BC ≅ 7,81cm
ˆ
B = 39 º 48` 20´' ˆ
C = 50º 11` 40´'

88

Unidad 3 razones y proprciones slide

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (18)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Unidad 3 razones y proprciones slide

Similar a Unidad 3 razones y proprciones slide (20)

Más de Colegio Santa Bárbara

Más de Colegio Santa Bárbara (6)

Último

Último (20)

Unidad 3 razones y proprciones slide